Travaux pratiques sur la division euclidienne, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur la division euclidienne, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur la division euclidienne. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: une primitive de la fonction numérique, le nombre des parties d’un ensemble fini.
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[ Baccalauréat C Lyon septembre 1970 \

EXERCICE 1

EXERCICE 1

1. Rappeler la définition du quotient et du reste de la division euclidienne du polynôme X 2−1 par le polynôme 2X −1 (où ces polynômes sont à coefficients réels).

Calculer ce quotient et ce reste.

2. Déterminer une primitive de la fonction numérique

x 7−→ cos3 x

1−2sinx , definie dans

]

0 ; π

6

[

EXERCICE 2

On rappelle que le nombre des parties d’un ensemble fini, E, ayant n éléments est 2n".

1. En utilisant les congruences, étudier les restes possibles de la division par 5 d’une puissance de 2.

2. On désigne par F l’ensemble des parties de l’ensemble E de n éléments et par G l’ensemble des parties de F. On écrit, dans le système à base 5, le nombre, m, des éléments de G. Quel est, suivant les valeurs de n, le chiffre des unités de m ?

EXERCICE 3

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy), on considère les droites (D) et (D ′) d’équations respectives y = mx et y =−mx, où m est un nombre réel tel que 0< m < 1. On considère, sur Ox, le point d’abscisse a, où a est un nombre réel positif et l’on désigne par (∆) une droite variable de pente p différente de 0, passant par A.

1. Calculer les coordonnées du point M où (∆) coupe (D) et du point M ′ où (∆) coupe (D ′). Écrire l’équation du cercle (C ) de diamètre M M ′.

2. Soit L la polaire de O par rapport au cercle (C ).

Montrer que, pour qu’un point P appartienne à L, il faut et il suffit que −−→

BO · −→

BP = r 2, oùB est le centre de (C ) et r le rayonde (C ). Endéduire l’équation de L.

3. Montrer analytiquement que L passe par un point fixe quand p varie.Montrer géométriquement que (C ) reste orthogonal à un cercle fixe quand p varie.

4. On considère l’inversion de centre O et de puissance a2. Calculer les coordon- nées du transformé P de M par cette inversion et celles du transformé P ′ de M ′. Former l’équation du cercle (Γ) de diamètre PP ′.

5. Prouver qu’il existe une ellipse (E ) (dont on précisera le centre, les foyers et les sommets) telle que, par tout point intérieur à (E ), ne passe aucun cercle (Γ) et que, par tout point extérieur à (E ), passent deux cercles (Γ), (E ) étant l’ensemble des points par où passe un seul cercle (Γ).

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