Travaux pratiques sur la fonction réciproque, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur la fonction réciproque, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur la fonction réciproque. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’aire du domaine limité par le graphe de la fonction f , la transformation ponctuelle T.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nice juin 1970 \

EXERCICE 1

On considère la fonction f qui, à tout réel x de l’intervalle I = [0 ; 1], associe le nombre

f (x)= 2x

x2+1 .

1. Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque, ϕ, définie sur l’in- tervalle [0 ; 1]. Construire, dans unmême repère orthonormé,Oxy , les graphes des fonctions f et ϕ.

2. Calculer l’aire du domaine limité par le graphe de la fonction f , l’axe xx et la droite d’équation x = 1, ainsi que l’aire du domaine limité par les graphes des fonctions f et ϕ.

EXERCICE 2

On considère l’équation en Z à coefficients complexes

Z 3− (3+4i)Z 2−4(1−3i)Z +12= 0.

1. Montrer qu’elle admet une racine réelle, a, dont on calculera la valeur numé- rique.

2. Montrer que (Za) peut êtremis en facteur dans le premiermembrede l’équa- tion et résoudre l’équation dans C.

EXERCICE 3

A

L’espace est rapporté à un. repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère les points

A, de coordonnées (+ 1 ; 0 ; 0), et B, de coordonnées (0 ; + 1 ; 0). A À tout pointM de coordonnées (X ; Y ; Z ) on associe, s’il existe, le pointm tel que

X −−→ mA +Y

−−→ mB +Z

−−→ mO =

−→ 0 .

1. Trouver l’ensemble des points M qui n’ont pas d’associé.

Dans le cas où M a un associé, m, on note m = g (M). Déterminer alors les coordonnées (x ; y ; z) dem en fonction de celles de M et trouver l’ensemble des points M qui ont une image donnée,m.

2. On restreint la transformation g à l’ensemble des pointsM duplan (P) d’équa- tion X +Y +Z = 1.

On note g1 cette nouvelle application. Quelle est la nature de g1 ?

3. Quelle est la nature de la transformée (γ) par g1 de l’intersection, (Γ), du plan (P) et de la sphère de centre O et de rayon 1 ?

La courbe (γ) admet un centre de symétrie, dont on déterminera les coordon- nées.

Partie B

On considère la transformation ponctuelle T qui, à tout point M de l’espace, de co- ordonnées (X ; Y ; Z), associe le point M ′, de coordonnées

(

X ′ ; Y ′ ; Z ′ )

, tel que

X ′ = Z , Y ′ = X et Z ′ = Y .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Montrer que la transformation T est une bijection de l’espace sur lui-même, admettant une droite de points doubles, (∆).

2. Montrer que, pour tout point M la droite MM ′ est orthogonale à (∆) et que tout plan perpendiculaire à (∆) est globalement invariant par T .

3. On se propose de déterminer la nature de T . À cet effet, on prend pour nou-

veau repère (

O, −→ ı1 ,

−→ 1 ,

−→ k1

)

défini par

−→ ı1 =

1p 6

−→ ı − 2p

6

−→ + 1p

6

−→ k ,

−→ 1 =

1p 6

−→ ı − 1p

2

−→ k ,

−→ k1 =

1p 3

(−→ ı +

−→ +

−→ k )

.

Vérifier que ce nouveau repère est orthonormé. On admettra qu’il est de sens direct.

Dans ce nouveau repère, on note (

x1 ; y1 ; z1 )

les coordonnées deM et (

x′1 ; y ′ 1 ; z

′ 1

)

celles de M ′.

Calculer x′1, y ′ 1, z

′ 1 en fonction de x1, y1 et z1. En déduire que T est une ro-

tation dont l’axe, passant par O, admet −→ k1 pour vecteur directeur et dont on

précisera l’angle.

Partie C

À tout point M du plan (P) on associe le pointm = g1(M) et le point M ′ = T (M). On notem′ = g1

(

M ′ )

.

1. Montrer que, si (x ; y ; z) sont les coordonnées de m et (x′ ; y ′ ; z ′) celles de m′, on a

(1)

x′ = −xy +1, y ′ = x, z ′ = z = 0.

Ces relations (1) définissent une transformation, S, du plan d’équation z = 0 dans lui-même.

Montrer que S est bijective et admet un point double,ω.

2. Montrer sans calcul que la courbe (γ), définie dans la question A, 3., est globa- lement invariante par S.

3. Soit (D) et (D′) les droites passant par ω et de pentes respectives −1 et −2.

Montrer que S s’obtient en composant, dans l’ordre, la symétrie par rapport à (D) avec l’affinité de direction (D′), de rapport −1 et dont l’axe est la parallèle à l’axe Ox passant par ω.

N.B. - La question C ne fait intervenir de la question B que la définition de la trans- formation T .

Nice 2 juin 1970

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