Travaux pratiques sur la fonction réciproque, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur la fonction réciproque, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (35.6 KB)
2 pages
129Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de mathématique sur la fonction réciproque. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’aire du domaine limité par le graphe de la fonction f , la transformation ponctuelle T.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
NiceCjuin1970.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nice juin 1970 \

EXERCICE 1

On considère la fonction f qui, à tout réel x de l’intervalle I = [0 ; 1], associe le nombre

f (x)= 2x

x2+1 .

1. Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque, ϕ, définie sur l’in- tervalle [0 ; 1]. Construire, dans unmême repère orthonormé,Oxy , les graphes des fonctions f et ϕ.

2. Calculer l’aire du domaine limité par le graphe de la fonction f , l’axe xx et la droite d’équation x = 1, ainsi que l’aire du domaine limité par les graphes des fonctions f et ϕ.

EXERCICE 2

On considère l’équation en Z à coefficients complexes

Z 3− (3+4i)Z 2−4(1−3i)Z +12= 0.

1. Montrer qu’elle admet une racine réelle, a, dont on calculera la valeur numé- rique.

2. Montrer que (Za) peut êtremis en facteur dans le premiermembrede l’équa- tion et résoudre l’équation dans C.

EXERCICE 3

A

L’espace est rapporté à un. repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère les points

A, de coordonnées (+ 1 ; 0 ; 0), et B, de coordonnées (0 ; + 1 ; 0). A À tout pointM de coordonnées (X ; Y ; Z ) on associe, s’il existe, le pointm tel que

X −−→ mA +Y

−−→ mB +Z

−−→ mO =

−→ 0 .

1. Trouver l’ensemble des points M qui n’ont pas d’associé.

Dans le cas où M a un associé, m, on note m = g (M). Déterminer alors les coordonnées (x ; y ; z) dem en fonction de celles de M et trouver l’ensemble des points M qui ont une image donnée,m.

2. On restreint la transformation g à l’ensemble des pointsM duplan (P) d’équa- tion X +Y +Z = 1.

On note g1 cette nouvelle application. Quelle est la nature de g1 ?

3. Quelle est la nature de la transformée (γ) par g1 de l’intersection, (Γ), du plan (P) et de la sphère de centre O et de rayon 1 ?

La courbe (γ) admet un centre de symétrie, dont on déterminera les coordon- nées.

Partie B

On considère la transformation ponctuelle T qui, à tout point M de l’espace, de co- ordonnées (X ; Y ; Z), associe le point M ′, de coordonnées

(

X ′ ; Y ′ ; Z ′ )

, tel que

X ′ = Z , Y ′ = X et Z ′ = Y .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Montrer que la transformation T est une bijection de l’espace sur lui-même, admettant une droite de points doubles, (∆).

2. Montrer que, pour tout point M la droite MM ′ est orthogonale à (∆) et que tout plan perpendiculaire à (∆) est globalement invariant par T .

3. On se propose de déterminer la nature de T . À cet effet, on prend pour nou-

veau repère (

O, −→ ı1 ,

−→ 1 ,

−→ k1

)

défini par

−→ ı1 =

1p 6

−→ ı − 2p

6

−→ + 1p

6

−→ k ,

−→ 1 =

1p 6

−→ ı − 1p

2

−→ k ,

−→ k1 =

1p 3

(−→ ı +

−→ +

−→ k )

.

Vérifier que ce nouveau repère est orthonormé. On admettra qu’il est de sens direct.

Dans ce nouveau repère, on note (

x1 ; y1 ; z1 )

les coordonnées deM et (

x′1 ; y ′ 1 ; z

′ 1

)

celles de M ′.

Calculer x′1, y ′ 1, z

′ 1 en fonction de x1, y1 et z1. En déduire que T est une ro-

tation dont l’axe, passant par O, admet −→ k1 pour vecteur directeur et dont on

précisera l’angle.

Partie C

À tout point M du plan (P) on associe le pointm = g1(M) et le point M ′ = T (M). On notem′ = g1

(

M ′ )

.

1. Montrer que, si (x ; y ; z) sont les coordonnées de m et (x′ ; y ′ ; z ′) celles de m′, on a

(1)

x′ = −xy +1, y ′ = x, z ′ = z = 0.

Ces relations (1) définissent une transformation, S, du plan d’équation z = 0 dans lui-même.

Montrer que S est bijective et admet un point double,ω.

2. Montrer sans calcul que la courbe (γ), définie dans la question A, 3., est globa- lement invariante par S.

3. Soit (D) et (D′) les droites passant par ω et de pentes respectives −1 et −2.

Montrer que S s’obtient en composant, dans l’ordre, la symétrie par rapport à (D) avec l’affinité de direction (D′), de rapport −1 et dont l’axe est la parallèle à l’axe Ox passant par ω.

N.B. - La question C ne fait intervenir de la question B que la définition de la trans- formation T .

Nice 2 juin 1970

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome