Travaux pratiques sur la sphère d’équation, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur la sphère d’équation, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur la sphère d’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espace rapporté au repère orthonormé, les plans d’équations respectives, la transformation involutive.
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[ Baccalauréat C Montpellier septembre 1970 \

EXERCICE 1

EXERCICE 1

Dans l’espace rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

, on considère la sphère

(S) d’équation

x2+ y2+ z2 = 4.

1. Donner les équations du cylindre de révolutiond’axeOx, circonscrit à la sphère (S), et du cône de révolution de sommet A(0 ; 0 ; +6), circonscrit à (S).

2. Montrer que l’intersection du cône et du cylindre est incluse dans la réunion des deux plans d’équations respectives

2x p 2−3z+2= 0 et 2x

p 2+3z−2= 0.

EXERCICE 2

Résoudre dans le corps des complexes l’équation

z2−4(1− i)z+2(4− i)= 0.

On calculera le module et l’argument des racines de cette équation.

EXERCICE 3

Dans ce problème on se propose d’étudier quelques aspects de l’inversion de pôle O et de puissance k2 (k > 0).

1. Soit deux droites (D1) et (D2) concourantes en A.

Rappeler la définition et une construction de la polaire du point O par rapport à (D1) et à (D2). Soit (∆) cette polaire. On supposera que O n’appartient ni à (D1) ni à (D2).

2. On fait subir à la figure formée par (D1), (D2) et (∆) l’inversion de pôle O et de puissance k2.

On obtient trois cercles de centres respectifs ω1, ω2 et I . Étudier cette figure ; en particulier quelle est la disposition des points ω1, ω2 et I ?

(On pourra utiliser le faisceau des droitesOω1, Oω2 et OI et la perpendiculaire abaissée de O sur OA.)

3. Oncoupe les trois cercles par unedroite (D3) passant parO ; étudier la disposi- tion des trois points d’intersection autres que O. Énoncer le théorème obtenu.

4. On suppose le plan rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit M(x ; y)

un point du plan. On lui associe le point M ′ (

x′ ; y ′ )

par la transformation, T , définie par

x′ = ksx

x2+ y2 et y"=

k2y

x2+ y2

Montrer que T est définie sur tout le plan diminué d’un point, que l’on préci- sera.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

Montrer que cette transformation est involutive.

Cette transformation possède-t-elle des points doubles ? Si oui, quel est leur ensemble ?

Montrer que O, M etM ′ sont alignés. Calculer OM ·OM ′.

Quelle est cette transformation ?

Représenter graphiquement la fonction f qui à x associe

f (x)= x

ax

a+ x (a constante positive).

En déduire la courbe (C ) représentée par l’équation

y2(a+ x)= x2(ax)

et la courbe (C ′) inverse de (C ) dans T .

Montpellier 2 septembre 1970

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