Travaux pratiques sur la théorie de calcul 2, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 2, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: En déduire l’expression dem en fonction de A. Étude de F dans un cas particulier.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C La Réunion septembre 1986 \

EXERCICE 1 4 points

L’éclat d’un astre caractérise l’impression plus ou moins intense que produit sa lu- mière sur l’œil ou sur une plaque photographique. L’éclat est mesuré par la magni- tude m, quantité qui augmente quand l’éclat diminue. La magnitude de la comète de Halley à une date donnée dépend à la fois de sa distance ∆ à la Terre (lieu de l’observation) et de sa distance Γ au Soleil (astre qui l’éclaire). Des mesures sur plaques photographiques ont donné les résultats sui- vants, où ∆ et Γ sont exprimées en unités astronomiques (1 unité astronomique = 1,5 ·108 km) :

Date m ∆ Γ 15/02/86 4,1 1,500 0,600 17/03/86 4,5 0,887 0,947 11/04/86 4,0 0,417 1,332 11/05/86 7,1 1,114 1,779 10 ;06/86 9,2 2,093 2,198 15/07/86 10,7 3,138 2,653

Des considérations théoriques permettent de penser que m = −5log∆, où log dé- signe la fonction logarithme décimal, ne dépend que de Γ.

1. On pose x = logΓ et y = m − 5log∆. Représenter le nuage de points (x ; y) correspondant aux données ci-dessus.

2. Ajuster par la méthode des moindres carrés une fonction affine à ces points. Apprécier la qualité de cet ajustement.

3. En déduire l’expression de m en fonction de ∆ et de Γ.

Application : le 04/08/86, on a ∆= 3,636 et Γ= 2,900 ; quelle est la magnitude de la comète de Halley à cette date ?

N.B. : cet exercice est hors programme.

EXERCICE 2 5 points

L’objet de l’exercice est d’étudier des relations entre d’une part des propriétés de configurations planes et d’autre part des égalités dans le groupe des isométries du plan. Dans tout l’exercice, sA, sB, sC, · · · , désignent des symétries centrales de centres A, B, C, ... et SD , S∆, ... des symétries orthogonales par rapport à des droites D, ∆, ...

1. Interpréter géométriquement l’égalité sA ◦ sB ◦ sC ◦ sD = Id.

2. Traduire par une égalité entre isométries la propriété :

D est une bissectrice de ∆1 et de ∆2.

3. Montrer que Sd sA = sA ◦Sd si et seulement si A ∈D.

4. Montrer que D1, D2, D3 sont concourantes, si et seulement si

(

SD1 ◦SD2 ◦SD3 )2

= Id.

PROBLÈME 11 points

Terminale C A. P. M. E. P.

L’objet du problème est de construire une bijection continue et positive sur R+ à partir d’une fonction continue et positive quelconque sur R+. On considère une fonction f définie et continue sur [0 ; +∞[ et telle que, pour tout t > 0, on ait f (t)> 0. On définit à partir de f une nouvelle fonction F en posant :

F (0) = 0

F (x) =

x

0 t f (t)dt

x

0 f (t)dt

pour tout x > 0.

On admet que, pour tout x > 0, on a ∫x

0 f (t)dt > 0, de sorte que F est effectivement

définie sur [0 ; +∞[.

A. - Étude de F dans un cas particulier

Dans cette partie on pose, pour tout t ∈ [0 ; +∞[, f (t)= et .

1. Montrer que F est définie par : F (0)= 0

{

F (0) = 0

F (x) = x −1+ x

ex −1 pour tout x > 0.

2. a. Montrer que F est continue et dérivable sur ]0 ; +∞[ ; calculer F ′(x) pour tout x > 0.

b. Montrer que F est continue et dérivable en 0. (Indication : utiliser le dé- veloppement limité à l’ordre 2 de la fonction exponentielle au voisinage de 0).

3. Étudier les variations de F . (Indication : étudier d’abord le signe de la fonction auxiliaire ϕ : x 7−→ ex x −1).

4. On note (C ) la courbe représentative de F dans le plan muni d’un repère or- thonormé.

a. Montrer que (C ) et la droite d’équation y = x - 1 sont asymptotes au voi- sinage de + 00.

b. Tracer (C ) avec soin.

B. - Quelques propriétés de F dans le cas général.

1. Montrer que, pour tout xE [0,+00[,onař F (x) x. En déduire que F est continue en 0. 1

2. Soit G la primitive de f sur [0 ; +∞[ qui s’annule en 0 et soit H la primitive de G sur [0 ; +∞[ qui s’annule en 0.

a. Montrer que, pour tout x > 0. H(x)F (x)= x H ′(x).

b. En déduire que F est continue et dérivable sur ]0 ; +∞[ et que, pour tout x > 0, F/( ) = f(x) H (x) X [H/(xW

3. Montrer que F est strictement croissante sur [0 ; +∞[. (Indication : étudier d’abord les variations et le signe de H ′ puis de H).

4. a. Montrer que F est une bijection de [0 ; +∞[ sur un intervalle I et que l’on a ou bien I = [0 ; +∞[, ou bien I= [0 ; a[ avec a > 0.

b. Donner un exemple de fonction f de telle façon que 1 = [0 ; +∞[ et, pour chaque a > 0, un exemple de fonction f telle que I = [0 ; a[. (Indication : chercher f sous la forme f : t 7−→ ebt ).

N.B. : La question A. 2. b) est hors-programme, on pourra la remplacer par « Étudier la limite de F en 0 et admettre que F est dérivable en 0 ». La question B. 1. est hors programme, on pourra la remplacer par « Montrer que, pour tout x de [0 ; +∞[ on a 06 F (x)6 x. En déduire que F admet une limite en 0. »

La Réunion 2 septembre 1986

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