Travaux pratiques sur la théorie de calcul 3, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 3, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation différentielle, Trouver la solution de l’équation, l’axe des ordonnées autre que O.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1986 \

EXERCICE 1 5 POINTS

On considère l’équation différentielle

y ′′− y ′−6y =−6x−1. (1)

1. Déterminer a et b réels tels que la fonction polynôme g définie sur R par g (x)= ax+b soit une solution de l’équation (1).

2. a. Démontrer que f , fonction numérique de la variable réelle, deux fois dé- rivable sur R, est solution de (1) si et seulement si f g est solution de l’équation différentielle

y ′′− y ′−6y = 0.

b. Résoudre l’équation différentielle y ′′− y ′−6y = 0.

c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (1).

d. Trouver la solution de l’équation (1) vérifiant

f (1)= 2 et f ′(1)= 4.

3. Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie sur R par

f (x)= e3x−3+ x.

Étudier ses variations et tracer sa courbe représentative dans le plan muni

d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 2 cm).

Préciser la tangente au point A d’abscisse 1 et tracer cette tangente.

EXERCICE 2 5 POINTS

1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie pour x 6= 1 par

f (x)= x3−3x2+ x

1− x .

a. Déterminer a, b, c, d réels tels que l’on ait, pour x 6= 1 :

f (x)= ax2+bx+c+ d

1− x .

b. Calculer I = ∫ 1

2

0 f (x)dx.

2. Calculer à l’aide d’une intégration par parties

J =

∫ 1 2

0

(

3x2−6x+1 )

ln(1− x)dx.

PROBLÈME 12 POINTS

Le plan P orienté est rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 4 cm).

Dans ce qui suit les équations des courbes et les coordonnées des points seront don- nées dans ce repère. Soit A le point de coordonnées (−1 ; 0).

Le baccalauréat de 1986 A. P. M. E. P.

Partie A

Soit ϕ la fonction de l’intervalle [−1 ; 1[ dans R définie par

ϕ(x)= x

1+ x

1− x .

1. Étudier les variations de ϕ et tracer sa courbe représentative (S1). Préciser les tangentes ou demi-tangentes à (S1) aux points A et O.

2. Soit (S2) l ?image de (S1) par la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses. Donner une équation de (S2). Vérifier que (S) = (S1)∪ (S2) a pour équation

x3+ xy2+ x2− y2 = 0.

3. Soit λ un réel non nul et N le point de coordonnées (0 ; λ). Écrire une équation cartésienne, notée (⋆), de la droite (AN) en fonction deλ. Vérifier que le cercle () de centre N, passant par O, a pour équation

x2+ y2−2λy = 0. (2)

Pour tout λ non nul, (AN) et () se coupent en deux points distincts d’ordon- née non nulle.

Exprimer λ en fonction de x et y à l’aide de l’équation (2).

Reporter l’expression trouvéedans l’équation (⋆) et vérifier que les deuxpoints d’intersection de (AN) et () appartiennent à (S).

En déduire une construction de (S), points par points, à la règle et au compas.

Partie B

Les questions de cette partie du problème doivent être résolues sans calculs

M étant un point de P, on se propose d’étudier, s’ils existent, les points M ′ de P véri- fiant à la fois les deux conditions : (B1) A,M ,M ′ alignés

(B2) −−−→ OM ·

−−−→ OM ′ = 0.

Soit (C ) le cercle de diamètre [OA].

1. Trouver l’ensemble des pointsM ′ dans les cas suivants (onpourra s’aider d’une figure pour chacun des cas) :

a. M est en O.

b. M est en A.

c. M est un point de (C ) autre que O et A.

d. M est un point de l’axe des abscisses autre que O et A.

e. M est un point de l’axe des ordonnées autre que O.

2. On suppose que le point M n’est pas sur (C ). Démontrer qu’il existe un point unique M ′ vérifiant les conditions B1 et B2.

Donner une construction géométrique deM ′ (faire un dessin).

3. Soit P⋆ le plan privé du cercle (C ) et des axes de coordonnées.

À tout point M de P⋆ , on associe le point M ′ vérifiant les conditions B1 et B2.

Démontrer que M ′ est un point de P⋆. On note f l’application de P⋆ dans P⋆

qui àM associe M ′ = f (M).

Démontrer que f f est l’identité de P⋆.

Partie C

Lille 2 juin 1986

Le baccalauréat de 1986 A. P. M. E. P.

On désigne par f l’application précédemment définie.

1. Soit (

S⋆ )

la courbe (S) privée de A et O. En utilisant les questions A 2. et B 3., déterminer f

(

S⋆ )

.

2. a. Soient (x ; y) les coordonnées deM et (

x′ ; y ′ )

celles deM ′ = f (M).

Vérifier que x′ = −y2

x2+ y2+ x , y ′ =

xy

x2+ y2+ x .

b. Soit (E) la courbe d’équation 4

(

x+ 1

2

)2

+8y2 = 1.

Tracer (E). Préciser sa nature, ses éléments de symétrie, ses sommets.

c. Soit (

D⋆ )

la droite d’équation x = 1 privée de son point d’ordonnée nulle. Démontrer que f

(

D⋆ )

est la courbe (E) privée de O et A.

Lille 3 juin 1986

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