Travaux pratiques sur la théorie de calcul 5, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 5, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Méthode géométrique, Utilisation des nombres complexes.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montpellier 1 juin 1986 \

EXERCICE 1 6 points

Le triangle ABC est quelconque, M est le milieu du segment [BC). Les triangles BAB′ et CAC′ sont rectangles et isocèles de sommet A.

B′

B

C

C′

A

M +

Le but de l’exercice est de montrer que les droites (AM) et (B′C) sont perpendicu- laires et que

B′C′ = 2AM.

1. Méthode géométrique

a. Soit h l’homothétie de centre B et de rapport 2.

Déterminer les images des points A et M par h.

Trouver une rotation r telle que r h transforme A en B′ et M en C. b. En déduire que les droites (AM) et (B′C′) sont perpendiculaires et que

B′C′ = 2AM. 2. Utilisation des nombres complexes

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct d’origine A dans lequel B et C ont pour affixes respectives b et c.

Quelles sont les affixesm,b′,c ′ des points M, B′, C′ ?

Retrouver alors les résultats du 1. b.

EXERCICE 2 4 points

On donne dans le plan deux points fixes distincts F et A. On considère les ellipses E dont un foyer est F et A le sommet de l’axe focal le plus voisin de F.

1. a. Quel est l’ensemble des points O centres des ellipses E ?

b. Soit O un point de cet ensemble et soit D la perpendiculaire en O à la droite (AF). Construire (au moyen du compas seulement) les sommets B et B′ de l’ellipse E appartenant à D.

2. a. Soit B un sommet du petit axe d’une ellipse E ; montrer que B appartient à une parabole P de foyer F dont on déterminera la directrice ∆.

1. Aix-Marseille, Corse, Nice, Toulouse

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Déterminer la partie de P qui est l’ensemble des points B.

EXERCICE 3 10 points

Partie A

1. Étudier la fonction

f :R → R

x 7−→ 1

p 1+ x2

.

a. Tracer sa courbe représentative C dans le plan rapporté à un repère or-

thonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes xx, y y .

b. Pour tout x réel on pose

F (x)= ∫x

0

1 p 1+ t2

dt .

i. Justifier que F est définie sur R et dérivable sur R.

Calculer F ′(x). En déduire le sens de variation de F .

ii. Montrer que F est impaire.

iii. Montrer que

x ∈R+ ∫x

0

1

1t dt 6

x

0

1 p 1+ t2

dt .

Déduire de cette inégalité que F (x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞.

c. x étant un réel quelconque, on pose

G(x)= F (2x)−F (x).

i. Montrer que G est dérivable sur R. Étudier le sens de variation deG sur R.

ii. Justifier l’affirmation suivante : pour tout x de R∗+

1 p 1+ x2

6 1

x .

iii. Déduire de a. et b. que l’on peut affirmer : pour tout x de R

G(x)6 ln2.

[On écriraG(x) à l’aide d’une seule intégrale).

iv. Déduire de a. et c. que l’on peut affirmer l’existence d’un réel L, li- mite quand x tend vers +∞ deG(x).

v. Montrer queG est une (onction impaire.

vi. Déduire de d. et e. que G(x) tend vers une limite quand x tend vers −∞. Exprimer cette limite en fonction de L.

Partie B

On considère la fonction ϕ :

{

R → R x 7−→ ln

(

x+ p 1+ x2

)

.

Montpellier 2 juin 1986

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. i. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction ϕ.

ii. Calculer ϕ′(x). Montrer alors que les fonctions F et ϕ sont égales.

iii. Déduire deb. unenouvelle écriture deG(x) (introduit au 3. ci-dessus) et la valeur du réel L de la question A. 3. d.

b. On s’intéresse à la courbe représentative Γ de la fonction F dans le plan

rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

i. Montrer que, pour x strictement positif, on peut écrire :

F (x)= ln2x+ ln

1+ √

1+ 1 x2

2

 .

[On rappelle que, par 1. b. ci-dessus, F (x)=ϕ(x). ii. Étudier les branches infinies deΓ. Reconnaître d’éventuelles courbes

asymptotes à Γ.

iii. Étudier la position de Γ par rapport à sa tangente à l’origine. (On pourra étudier la variation de h : x 1-+ F(x) ... ;. x). tI) Tracer Γ10.

c. En utilisant une intégration par parties, calculer l’aire du domaine plan limité par Γ, l’axe xx, les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Partie C

Soit (un ) la suite définie par

u0 = 1 et ∀n ∈N un+1 = F (un ) .

a. Montrer par récurrence que les termes de (un ) sont strictement positifs.

b. Calculer, à 10−4 près, les termes u1,u2,u3,u4 de la suite.

c. Montrer que (un ) est décroissante. En déduire qu’elle converge. Quelle est sa limite ?

Montpellier 3 juin 1986

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