Travaux pratiques sur la théorie de calcul 6, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 6, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le problème étude de la cissoïde de dioclès, l'interprétation géométrique de (E).
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montpellier 1 septembre 1986 \

EXERCICE 1 4 points

On considère la fonction numérique f définie sur R par :

f (x) = 1

x2 e

1 x pour x

]

−∞ ; − 1

2

]

f (x) = 4

e2 pour x

]

− 1

2 ; 1

]

f (x) = 4

e2 + lnx pour x ∈ ]1 ; +∞]

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur R.

2. Tracer la courbe représentative (C ) de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

3. Calculer l’aire du domaine limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x =−2 et x = 2.

EXERCICE 2 4 points

Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On désigne par T l’application de P dans P qui, à tout M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ = (1+ i)z− i.

1. Montrer que T est une similitude directe de P dont on donnera les éléments caractéristiques. On notera A le point invariant de T .

Donner une mesure de l’angle (

−−→ AM ,

−−−−→ MM

)

, en supposant M 6= A.

2. a. Construire M ′ pour un point M donné.

b. Déterminer l’image D′ par T de la droite D d’équation y = x. Construire D′.

3. a. Montrer qu’il existe un point B du plan distinct de A et un seul tel que les affixes z0 de B et z ′0 de B

′ = T (B) soient liées par la relation z0z ′0 = 1. Mettre en place B et B′.

b. Soit A′ le symétrique de A par rapport à O. Montrer que les point A, A′, B et B′ sont cocycliques.

PROBLÈME ÉTUDE DE LA CISSOÏDE DE DIOCLÈS : 12 points

Partie A

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

f (x)=

x2

1− x .

1. Dresser le tableau des variations de f

1. Aix-Marseille, Corse, Nice, Toulouse

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Soit Γ1 la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

. Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à la

courbe Γ1 au point d’abscisse 1

2 . Tracer la courbe Γ1 et la droite T.

3. Sur le même graphique, tracer Γ2 courbe symétrique de Γ1 dans la symétrie orthogonale d’axe Ox.

4. Soit Γ= Γ1∪Γ2. Montrer que Γ a pour équation cartésienne :

(E) x (

x2+ y2 )

y2 = 0

Γ est appelée cissoïde de Dioclès.

Partie B Interprétation géométrique de (E) :

I est le point de coordonnées (1 ; 0) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

C est le cercle de diamètre [OI] et ∆ est la tangente àC au point I. Soit D la droite passant par O de coefficient directeur t , t ∈R.

1. Déterminer les coordonnées deM tel que C ∩D= {O, M}.

Déterminer les coordonnées deM ′ tel que Γ∩D= {O, M ′}.

Déterminer les coordonnées de N tel que ∆∩D= {N }.

2. Montrer que −−−→ OM ′ =

−−−→ MN .

3. Déterminer l’intersection de Γ et C .

Partie C Propriétés géométriques

Soit M un point de C , N le point d’intersection de (OM) et ∆ et M ′ le point d’inter- section de (OM) et Γ. On considère le point P tel que OINP soit un rectangle.

1. Montrer que les triangles IMN etOM P se transforment par une symétrie cen- trale à déterminer.

2. En déduire que le triangle PM N est rectangle.

3. Soit F le symétrique de I par rapport à O. On considère la parabole P de foyer F et de directrice∆. La droite (FP ) coupe∆ en R. Construire géométriquement le point K de P qui se projette orthogonalement en R sur ∆.

4. Démontrer que la droite (PM ′) est tangente en K à P .

5. Démontrer réciproquement que si K est un point de P , la projection ortho- gonale de O sur la tangente en K à P est un point M ′ de Γ.

Remarque : Γ apparaît comme ensemble des projections orthogonales du sommet d’une parabole sur les tangentes à cette parabole. On dit pour cela que la cissoïde de Dioclès est la podaire d’une parabole par rapport à son sommet.

Montpellier 2 septembre 1986

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