Travaux pratiques sur la théorie de calcul 8, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 8, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé, le symétrique de C.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Paris juin 1986 \

EXERCICE 1 4 points

Leplan complexe est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

; onprend comme

unité graphique 1 cm. On considère l’équation

z3− (6+3i)z2+ (9+12i)z−9(2+3i)= 0. (E )

1. a. Démontrer que (E) admet une solution imaginaire pure unique z1 que l’on calculera.

b. Déterminer les autres solutions de (E), notées z2 et z3.

2. Soit M1, M2, M3 les points ayant respectivement pour affixes z1, z2, z3.

a. Prouver que le triangleM1M2M3 est équilatéral.

b. Déterminer les coordonnées dumilieu I de [M2M3] et de l’isobarycentre des points M1, M2, M3.

c. Placer les points M1, I et G sur cette figure et indiquer une construction géométrique de M2 et M3.

EXERCICE 2 4 points

Dans le plan orienté P, on considère un triangle ABC équilatéral direct, c’est à dire

que l’angle (−−→ AB ,

−−→ AC

)

ait pour mesure π

3 .

On désigne par r1 la rotation de centre A et d’angle demesure π

3 et par r2 la rotation

de centre B et d’angle de mesure 2π

3 .

Pour tout point M du plan, on pose N = r1(M) etM ′ = r2(N ). On pose r = r2 ◦ r1.

1. a. Soit D le symétrique de C par rapport à la droite (AB). Déterminer r (D) et r (B).

b. Montrer que r est la symétrie centrale par rapport aumilieu Ω de [BD].

2. tr

a. Montrer que l’ensemble Γ des points M du plan tels que M , N et M

soient alignés est un cercle passant par les points A et Ω. (on pourra

considérer l’angle (−−−→ MΩ ,

−−→ MA

)

.)

b. Prouver que Γ admet [AD] pour diamètre et que le milieu I de [AB] ap- partient à Γ. Construire le cercle Γ.

PROBLÈME 12 points

Partie A

L’objectif de cette partie est d’étudier la fonction f définie sur R par :

f (x)= 1

4

(

ex −e−x )

.

et d’expliciter sa fonction réciproque g .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. Résoudre l’équation différentielle y ′′− y = 0.

b. Déterminer la solution ϕ de cette équation telle que :

ϕ(0)= 0 etϕ′(0)= 1

2 .

Comparer ϕ et f .

2. a. Étudier les variations de f , donner son tableau de variations et tracer sa courbe représentative C dans le plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

en prenant 1 cm pour unité.

b. Démontrer que l’équation f (x) = x admet une solution unique α dans l’intervalle ]0 ; +∞[ et que 2<α< 3.

Donner une valeur approchée de α à 10−1 près.

3. a. Prouver que f est une bijection de R sur R.

Tracer la courbe représentative de la fonction réciproque g de f sur la même figure que C .

b. Expliciter g en résolvant l’équation f (x)= y y est un nombre réel.

B. L’objectif de cette partie est d’étudier la fonctionG définie sur R par :

G(y)= ∫y

0

2 p 1+4t2

dt .

(On ne cherchera pas à calculer une primitive de t 7−→ 2

p 1+4t2

.)

1. a. Montrer queG est dérivable sur R et calculer sa dérivée.

b. Déterminer le sens de variation deG.

c. Montrer queG est impaire.

2. a. Prouver que pour tout nombre réel t > 0,

1

1+2t 6

1 p 1+4t2

.

b. En déduire par un minoration deG sur l’intervalle [0 ; +∞[ que :

lim y→+∞

G(y)=+∞.

3. a. Montrer queG est une bijection de R sur R.

b. Soit F la fonction réciproque de G. Montrer que F est dérivable sur R et que pour tout nombre réel x :

F ′(x)= 1

2

1+4[F (x)]2.

c. En déduire que F est deux fois dérivable sur R et que F ′′−F = 0.

Calculer F (0) et F ′(0).

d. Prouver que F = f et queG = g .

e. Contrôler ce dernier résultat grâce à un calcul direct de la dérivée de g .

4. On se propose d’étudier le comportement asymptotique deG au voisinage de

+∞, en comparant 2

p 1+4t2

à 1

t .

Plus précisément, pour tout nombre réel t > 1, on pose :

Paris 2 juin 1986

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

h(t)= 1

t

2 p 1+4t2

et pour tout nombre réel y > 1, on pose :

H(y)= ∫y

1 h(t)dt .

a. Montrer que, pour tout t > 1, 06 h(t)6 1

8t3 .

b. Endéduire queH(y) admet une limite finie (qu’on ne demande pas d’ex- pliciter) lorsque y tend vers +∞.

c. Prouver queG(y)− ln y admet un limite finie lorsque y tend vers +∞.

d. Calculer grâce à la relationG = g .

Paris 3 juin 1986

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