Travaux pratiques sur la théorie de calcul 9, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 9, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les équations d’inconnue, la construction du point M0.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Paris 1 septembre 1986 \

EXERCICE 1 4 points

1. Résoudre dans le corps des nombres complexes les équations d’inconnue z :

a. z4 = 1.

b.

(

z −1 z +1

)4

= 1.

2. Soit n un entier naturel non nul, et A un nombre complexe.

Soit (E) l’équation d’inconnue complexe z :

(

z −1 z +1

)n

= A

On appelle P et Q les points du plan complexe d’affixes respectives i et −i, et M le point d’affixe z.

a. Montrer que si z vérifie l’équation (E), alors MP

MQ = n

p |A|.

b. Prouver que si l’équation (E) a au moins une racine réelle alors |A| = 1. c. En conclure que si l’équation (E) a aumoins une racine réelle, alors toutes

ses racines sont réelles.

EXERCICE 2 4 points

Dans le plan affine P, on considère le cercle (C ) de centre O et de rayon R non nul, et un point Ω tel que OΩ> R.

1. Démontrer qu’à tout point M de (C ) distinct de deux points A et B que l’on précisera, on peut associer un point M′ tel que M′ soit le centre d’un cercle passant parΩ et tangent à (C ) au point M.

Indiquer une construction du point M′.

2. a. Démontrer que pour tout point M de (C ) distinct des points A et B, la relation :

∣M′Ω−M′O ∣

∣= R

est vérifiée.

On admettra que l’ensemble des points M′ tels que ∣

∣M′Ω−M′O ∣

∣ = R est l’hyperbole (H) de foyers O etΩ, et dont la distance des sommets est R.

b. Déterminer alors l’ensemble E décrit par M′ lorsque M décrit le cercle (C ) privé des points A et B.

c. Préciser les axes de symétries et les sommets de E.

PROBLÈME 12 points

A. -On considère la fonctionnumérique f de la variable réelle x définie sur [−1 ; +∞[ par :

f (x)= p

x +1e−x .

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

1. Paris, Créteil, Versailles, Caen ; Clermont-Ferrand, Dijon ; Grenoble, Limoges, Lyon, Nancy–Metz, Poitiers, Reims, Rennes, Rouen ; Strasbourg

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de défini- tion.

b. Étudier le sens de variation de f .

c. Montrer que (C ) admet une droite asymptote et préciser la position de (C ) par rapport à cette asymptote.

d. Tracer la courbe (C ) sur une feuille de papier millimétré (en prenant 4 cm pour une unité de longueur).

2. On considère la suite (un )n∈N définie par :

un = ∫n+1

n f (t)dt .

a. Donner une interprétation géométrique de un . Montrer que, pour tout entier naturel n,

f (n+1)6 un 6 f (n).

b. Démontrer que la suite (un)n∈N est décroissante et qu’elle admet pour limite zéro.

B. -On considère la fonctionnumériqueΦde la variable réelle x définie sur [−1 ; +∞[ par :

Φ(x)= ∫x

−1

p t +1e−t dt

(on ne cherchera pas à calculer Φ(x). On désigne par (Γ) la courbe représentative de Φ dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

1. Expliciter la fonction dérivée de Φ. Donner le sens de variation deΨ.

2. a. Démontrer que si t ∈ [−1 ; +∞[ alors

p t +16

t +3 2 p 2

En déduire que : pour tout x élément de l’intervalle [−1 ; +∞[

Φ(x)6 ∫x

−1

1

2 p 2 (t +3)e−t dt .

b. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale

x

−1

1

2 p 2 (t +3)e−t dt

En déduire que : pour tout x élément de l’intervalle [−1 ; +∞[

Φ(x)6 3e

2 p 2 .

et que Φ(x) admet une limite finie lorsque x tend vers +∞ (on ne cher- chera pas à déterminer cette limite).

c. Donner l’allure de la courbe (Γ) et préciser sa tangente au point d’abs- cisse −1.

Paris 2 septembre 1986

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