Travaux pratiques sur la transformation ponctuelle plane, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur la transformation ponctuelle plane, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur la transformation ponctuelle plane. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: une similitude plane directe, l’équation réduite de la courbe.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montpellier juin 1970 \

EXERCICE 1

1. Calculer le module et l’argument de u = 1+ i p 3.

2. Soit T la transformation ponctuelle plane qui associe au point m (image de z)

le point M (image de Z ), avec

Z = (

1+ i p 3 )

z + p 3.

Déterminer le point double, A, de T .

Montrer queT est une similitudeplane directe, que l’onprécisera (centre, rap-

port et angle).

EXERCICE 2

Utiliser les congruences pour calculer les restes de la division par 7 des nombres

suivants : 56, 56p (p est un entier positif) et 3338.

EXERCICE 3

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy on donne deux

points fixes A(a ; a) et B(a ; −a), a étant une longueur donnée. Sur Oy varient deux points P(y = u) et P′(y = v) de façon que

(1) uv = 2a2

1. Montrer que (1) définit une application bijective f

(P f

−→ P′)

de y ′Oy (privé de O) sur lui-même et que P et P′ restent conjugués harmo-

niques par rapport à deux points fixes K et K′, que l’on précisera.

2. Donner les équations des droites AP′ et BP.

Ces deux droites se coupent en M ; donner l’équation cartésienne de l’en-

semble (H) des points M ; obtenus quand P et P′ varient.

On trouvera

(H) y2−3x2+4ax −2a2 = 0.

3. Trouver l’équation réduite de la courbe (H).

Préciser ses éléments : centre, axes, asymptotes et sommets. Construire (H).

4. On considère l’inversion, I , de pôle O, de puissance p = 2a2.

Donner une construction géométrique des figures inverses des droites BP et

AP′.

En déduire que l’ensemble des points N, intersection des cercles OBP′ et OAP,

est la courbe (C ) inverse de (H) dans l’inversion I (

O, 2a2 )

. On ne demande

pas la construction de (C ).

Les droites AP et BP′ se coupent en général en un point, S. Quel est l’ensemble

des points S ?

Montrer que la droiteMSpasse par un point fixe,ω, que l’on précisera, et trou-

ver le lieu du conjugué harmonique deω par rapport aux points M et S.

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