Travaux pratiques sur la transposition, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur la transposition, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur la transposition. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des points m, les constantes a,b et c, la formule des accroissements.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Niamey juin 1970 \

EXERCICE 1

On considère l’ensemble I= {1,2,3, . . . ,n} desn premiers entiers strictement positifs.

1. Montrer brièvement que l’ensemble Sn des bijections de I sur I, muni de la composition ◦ des applications, est un groupe.

2. On dit qu’un élément s de Sn est une transposition s’il existe deux éléments distincts, i et j , de I tels que

s(i )= j , s( j )= i , ∀k ∈ I− {i , j }, s(k)= k.

Prouver que si s et t sont deux transpositions, on a nécessairement

s t = e ou (s t)2 = e ou (s t)2 = e

e étant l’élément neutre de Sn .

EXERCICE 2

Soit Z = 1− iz

1− iz . On pose z = x + iy .

1. Déterminer une condition que doivent satisfaire x et y pour que Z soit réel. Quel est alors l’ensemble des points m d’affixe z ?

2. Déterminer une condition que doivent satisfaire x et y pour que Z soit imagi- naire pur. Quel est alors l’ensemble des points m d’affixe z ? .

3. Déterminer les complexes z tels que Z = z. Placer les points correspondant à ces valeurs dans le plan complexe.

EXERCICE 3

Partie A

Soit la fonction f définie par

f (t)= 1

t(t +1)2 .

1. Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative en repère orthonormé.

2. Déterminer les constantes a,b et c telles que

f (t)= a

(t +1)2 +

b

(t +1) +

c

t (t 6= −1 et t 6= 0).

3. Pour 0< x < y , on pose

A(x, y)= ∫y

x f (t)dt .

Montrer que

A(x, y)= x y

(x +1)(y +1) +Log

y(x +1)

x(y +1)

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie B

On considère la fonction g (t)= −1

t2(t +1) .

1. Vérifier que g (t)− f (t)=− 2t +1

(t2+ t)2 .

Déterminer une primitive de la fonction g f .

2. En déduire

B(x, y)= ∫y

x g (t)dt , avec 0< x < y.

3. En considérant x fixe, positif, déterminer, lorsque y →+∞, les limites de A(x, y) et B(x, y) nommées respectivement Φ(x) et Γ(x).

Partie C

En appliquant la formule des accroissements finis à la fonction « Logarithme népé- rien de »,

1. montrer que Γ(x)< 0<Φ(x), x étant positif ;

2. en déduire que, pour x > 0, on a

(

1+ x

x

)x

< e<

(

1+ x

x

)x+1

.

3. n étant un entier naturel non nul, établir

1< e

(

1+ 1n )n < 1+

1

n

En déduire la limite de

(

1+ 1

n

)n

lorsque n →+∞.

Niamey 2 juin 1970

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