Travaux pratiques sur le corps des réels, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur le corps des réels, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur le corps des réels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fraction, la racine de l’équation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Orléans juin 1970 \

EXERCICE 1

Résoudre, sur le corps des réels, l’équation

(

x2−1 )

eLog(x−2) = Loge(x+1),

où Log désigne le logarithme népérien.

EXERCICE 2

Déterminer n(n ∈N) tel que la fraction

n2+3

n+2

soit réductible.

Déterminer n tel que cette fraction soit égale à un entier naturel.

EXERCICE 3

1. Démontrer que le polynôme

Z 2+2(2+ i)Z +3+4i,

Z est un nombre complexe, est le carré d’un polynôme du premier degré.

2. On considère, sur le corps des complexes, l’équation enU

(E) U 2−2(Z +4)U +2Z 2+2(6+ i)Z +19+4i= 0,

Z est un paramètre appartenant lui-même à l’ensemble des complexes.

a. Déterminer Z pour que cette équation ait une racine double.

b. Déterminer les deux solutions de (E) dans le cas général ; on pourra ap-

peler U ′ etU ′′ ces deux solutions.

c. Déterminer l’ensemble des Z tels que Z soit lui-même une des solutions

de l’équation (E).

3. Dans un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

, à tout point de coordonnées (x ; y) ∈

R 2, on associe le nombre complexe x + iy dont il est l’image.

Soit Z et U deux nombres complexes, M l’image de Z et P l’image de U . On

dira que M et P vérifient la relation R et l’on écrira MRP si, et seulement si,

U est une racine de l’équation (E) correspondant à la valeur Z du paramètre.

Démontrer que

MR ⇐⇒

P = S ′(M)

ou

P = S ′′(M)

S ′ et S ′′ étant des transformations ponctuelles planes, respectivement défi-

nies par

U ′ = Z (1+ i)+3+2i et U ′′ = Z (1− i)+5−2i,

que l’on caractérisera géométriquement, soit directement, soit en s’aidant du

2.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. a. Pour un point M donné, on pose P ′ =S ′(M) et P ′′ =S ′′(M).

Quelle est la transformation ponctuelle fixe S permettant de passer de

P ′ à P ′′ ?

Caractériser S géométriquement.

b. Soit I le milieu de P P ′′. On pose I = T (M).

Montrer que T est une translation.

En déduire une construction simple de l’ensemble

{P |MRP }, le point M étant donné,

puis de l’ensemble

{M |MRP }, le point P étant donné,

c. Déterminer l’ensemble des points M tels que M ,P ′ et P ′′ soient alignés.

Quel est alors l’ensemble des points P ′ et l’ensemble des points P ′′ ?

Orléans 2 juin 1970

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