Travaux pratiques sur le module et l’argument du nombre complexe, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur le module et l’argument du nombre complexe, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur le module et l’argument du nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'application numérique, le faisceau linéaire de cercles, l’inversion de centre S.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1970 \

EXERCICE 1

1. On donne deux entiers naturels, a et b, premiers entre eux. Trouver un entier

naturel, c, tel que chacun des entiers a,b et c divise le produit des deux autres.

2. On donne deux entiers naturels, a et b, et d leur P.G.C.D. Trouver les entiers

naturels, c, tels que chacun des entiers a,b et c divise le produit des deux

autres.

Application numérique a = 15, b = 12.

EXERCICE 2

On donne deux nombres réels a et α. Calculer le module et l’argument du nombre

complexe

z = a (1+ itgα)2

1+ tg2α .

EXERCICE 3

La lettre a désigne un nombre réel donné, strictement positif, et la lettre λ un para-

mètre variable appartenant à l’ensemble des nombres réels.

On considère, relativement à un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy , l’ensemble

F des cercles d’équation

x2 + y2 −2λy +4−5a2 = 0.

1. Démontrer que l’ensemble F est un faisceau linéaire de cercles à points de

base, A et B, dont on précisera les coordonnées.

Que représente la droite (∆) d’équation y = 2a pour ce faisceau ?

2. Soit (O) le cercle du faisceau F de centre O ; soit F le centre du cercle de ce

faisceau qui est tangent à Ox et que l’on désignera par (F ). Déterminer analy-

tiquement, par son équation cartésienne, l’ensemble (P) des points ω, centres

des cercles (Ω) orthogonaux au cercle (O) et tangents à la droite (∆).

(P) est une parabole, dont on déterminera les éléments : foyer, directrice, pa-

ramètre.

3. Trouver l’équation de la tangente en ω à (P).

Montrer que cette tangente est perpendiculaire à OS, où S désigne le point de

contact du cercle (Ω), de centre ω, avec (∆). En déduire que (P) est tangente

en A et B au cercle (O).

4. En utilisant une inversion de centre S et de puissance convenable, montrer

que le cercle (Ω) est tangent au cercle (F), en un point qu’on appellera T. Utili-

ser cette dernière propriété pour retrouver géométriquement les résultats du

3.

5. La polaire de ω, relativement au cercle (O), coupe ce cercle en I′et J′ et la droite

(∆) en K. Montrer géométriquement que la tangente en T au cercle (F) et la

tangente en ω à (P) passent par K.

Montrer que le cercle de diamètre KO est orthogonal à (Ω).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

6. Montrer que les droites SI′ et SJ′ recoupent le cercle (O) respectivement en I et

J, diamétralement opposés sur (O).

Quel est l’inverse ω′ du point ω dans l’inversion de centre S et de puissance −→

SA · −→

SB ?

Caractériser géométriquement l’ensemble des points ω′ quand ω décrit (P).

Pondichéry 2 avril 1970

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