Travaux pratiques sur le nombre complexe, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur le nombre complexe, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le module et l’argument des nombres complexes, l’ensemble des imagesm.
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[ Baccalauréat C Mexico juin 1970 \

EXERCICE 1

Soit le nombre complexe z = x + iy .

1. Déterminer en fonction de x et y le module et l’argument des nombres com- plexes

z1 = z −4 et z2 = z +1.

En déduire le module ρ et l’argument θ du nombre complexe

Z = z −4

z +1 .

2. Déterminer dans le plan complexe l’ensemble des imagesm(x ; y) des nombres z tels que

a. ρ = p 2 ;

b. θ =− π

4 ou

3π

4 ;

c. ρ = p 2 et θ =−

π

4 ou

3π

4 .

Dans le dernier cas, déterminer les nombres complexes z correspon- dants.

EXERCICE 2

Calculer la fonction dérivée de la fonction réelle f de la variable réelle positive x définie par

f (x)= xnLog x,

où Log x désigne le logarithme népérien de x et n un entier naturel non nul. En déduire la valeur de

∫e

1 xn−1Log x dx.

PROBLÈME

Partie A

Dans un plan rapporté à un repère cartésien orthonormé (

x′Ox, y ′Oy )

on considère la correspondance qui au point M(x ; y) associe le point M

(

x′ ; y ′ )

tel que

a′ = a

x ,

b′ = b

y ,

a et b sont deux nombres réels positifs. On désigne par T la transformation ponctuelle ainsi associée au couple (a ; b).

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Montrer que T est involutive. Déterminer ses points doubles.

Quel est l’ensemble des points M tels que T (M) soit défini ?

Montrer que les courbes (Γ) et (Γ′) d’équations respectives

x y = p

ab et x y =− p

ab

sont globalement invariantes par T .

2. Calculer le produit scalaire −−−→ OM ·

−−−→ OM ′ .

En déduire, lorsque M décrit le plan, que les cercles (C), de diamètre M M ′, restent orthogonaux à un cercle fixe (Ω) dont on déterminera le centre et le rayon.

3. Établir que l’ensemble des cercles (C) est un faisceau linéaire de cercles (F ), lorsque M décrit la courbe (Γ). Préciser la nature du faisceau (F ) et détermi- ner son axe radical (∆).

Partie B

Soit T ′ la transformation associée au couple (

a′ ; b′ )

et soit ϕ=T ′ ◦T et M ′ =ϕ(M).

1. Établir les relations liant x′ à x et y ′ à y .

2. Préciser la nature de la transformation ponctuelle ϕ qui au point M associe le point M ′ dans les cas suivants :

a. ab′−ba′ = 0 ;

b. a = a′ ;

c. b = b′.

3. Déterminer analytiquement dans le cas général la figure (F ′) image de la figure (F ) par ϕ dans les cas suivants :

a. (F ) est une droite D d’équation

ux + v y +w = 0;

b. (F ) est une conique à centre d’équation

x2

A2 +

y2

B2 −1= 0

A et B étant positifs.

Préciser la nature et la position de (F ′) suivant les valeurs de a, b, a′ et b′.

Mexico 2 juin 1970

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