Travaux pratiques sur le nombre entier, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur le nombre entier, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur le nombre entier. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative, l’ensemble des centres, les caractéristiques de l’ensemble.
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[ Baccalauréat C Limoges septembre 1970 \

EXERCICE 1

Démontrer que, quel que soit l’entier n, le nombre entier N = n2 (

n4−1 )

est divisible par 60.

EXERCICE 2

Étudier la fonction suivante et tracer sa courbe représentative dans un repère ortho- normé :

x 7−→ f (x)= Log ∣

∣Log x

∣ .

EXERCICE 3

Dansunplan rapporté à un repère orthonorméd’axesOx, Oy on considère la famille des cercles (Γ) d’équation générale

a (

x2+ y2 )

m2x −2amy +am2 = 0,

a est une longueur non nulle et m un paramètre.

1. Quel est l’ensemble des centres, ω, de (Γ) quand m varie de −∞ à +∞ ?

2. Soit M0 un point du plan, de coordonnées (

x0 ; y0 )

. Discuter suivant la posi- tion de M0 dans le plan le nombre de cercles (Γ) passant par M0.

Quel est l’ensemble, (E), des points M0 par où passent deux cercles (Γ) confon- dus ?

Cet ensemble (E) se décompose en deux courbes (E1) et (E2), dont on donnera les équations et que l’on placera dans le plan.

3. Chaque cercle (Γ) a, en commun avec (E1), un point T1 et avec (E2) un point T2. Former l’équation de la droite T1T2.

Montrer que les droites T1T2, quand (Γ) varie, passent par un point fixe.

4. a. Montrer que tous les cercles (Γ) sont orthogonaux à un cercle fixe, (C ), que l’on déterminera.

b. Former l’équationde la droite (D), axe radical de (Γ) et de (C ). Soit P (

x0 ; y0 )

un point du plan.

Discuter suivant la position de P dans le plan le nombre de droites (D) passant par P.

Quel est l’ensemble (E′) des points P par où passent deux droites (D) confondues ?

Déterminer les caractéristiques de l’ensemble (E′).

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