Travaux pratiques sur le nombre rationnel, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur le nombre rationnel, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur le nombre rationnel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la primitive, la courbe représentative de la fonction.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nancy juin 1970 \

EXERCICE 1

Déterminer les couples (x, y) d’entiers strictement positifs satisfaisant aux trois condi- tions suivantes : a. le plus grand commun diviseur de x et y est égal à 5 ; b. le plus petit communmultiple de x et y est égal à 720 ;

c. il existe un nombre rationnel r tel que r 2 = x

y .

EXERCICE 2

Soit f la fonction qui, à tout nombre réel x strictement positif, associe le nombre réel

f (x)= 1

x(x +1)(x +2)

Montrer que l’on peut trouver trois nombres réels a,b et c tels que, pour tout x > 0,

f (x)= a

x +

b

x +1 +

c

x +2

et calculer a,b et c. Calculer la primitive, F , de f telle que F (1)= 0. (On rappelle que la dérivée de

Log |x + k|, où k est un nombre réel, est égale à 1

x +k

)

Déterminer la limite de F (x) lorsque x tend vers +∞.

EXERCICE 3

On considère un plan rapporté à un repère orthonormé d’axes Ox et Oy ; on rap- pelle qu’à tout point d’un tel plan on peut associer un nombre complexe, appelé son affixe. On désigne par T l’application qui à tout point M du plan, d’affixe z, associe le point M ′ dont l’affixe, z ′, est définie par la relation

z ′ = (1+ i)z − i.

1. Cette application est-elle une bijection du plan sur lui-même ?

Interpréter géométriquement la transformationT : onnotera A le point double de cette transformation.

Calculer l’angle orienté (

−−→ AM ,

−−−−→ M M

)

, en supposant M différent de A.

Déterminer le lieu de M ′ = T (M) lorsque M parcourt le cercle de centre O et de rayon 1.

2. Montrer qu’il existe un point B du plan distinct de A, et un seul, tel que les affixes z0 de B et z ′0 de B

′ = T (B) soient liées par la relation z0ůz ′0 = 1.

Construire B et B′.

Soit A′ le symétrique de A par rapport à O. Prouver que les points A, A′, B et B′

appartiennent à unmême cercle, (C ).

Étudier le faisceau de droites (Ox, Oy , OB, OB′) ; en déduire que la droite BB′

passe par le pôle P de la droite AA′ par rapport à (C ).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Soit M unpoint du plan, M ′ son transformépar T etG le barycentre des points A, M ,M ′ affectés respectivement des coefficients +1, +2, −1.

Effectuer une construction géométrique de G, connaissant A, M et M ′. Calcu- ler l’affixe, Z , de G en fonction de l’affixe, z, de M .

Interpréter géométriquement la transformation qui à M associe G et détermi- ner le lieu de G lorsque M décrit l’axe Oy .

4. Soit x et y les coordonnées cartésiennes de M et z ′ l’affixe du transformé, M ′, de M par T . Calculer le module, R, du nombre complexe z ′ en fonction de x et y .

On suppose que M décrit la droite d’équation y = x ; étudier les variations de R en fonction de x et tracer la courbe représentative de la fonction ainsi définie.

Montpellier 2 juin 1970

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