Travaux pratiques sur le système décimal, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur le système décimal, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur le système décimal. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative, les angles polaires.
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[ Baccalauréat C Orléans septembre 1970 \

EXERCICE 1

Déterminer le nombre entier du système décimal qui s’écrit abca, dans le système à base onze et bbac, dans le système à base sept.

EXERCICE 1

Étudier les variations de la fonction, f , de la variable réelle x définie par

y = f (x)= 2ex −e2x .

Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On précisera la pente de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des abscisses.

EXERCICE 3

On donne un plan (P) rapporté au repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy . On consi- dère la transformation plane, T , qui, au point m de coordonnées x et y , associe le point M dont les coordonnées X et Y sont définies par

{

X = x + y, Y = x y.

On écrit M = T (m).

1. a. Démontrer que cette transformation T réalise une application bijective de (P) dans (P).

b. La transformation T admet-elle des points doubles ? La transformation T est-elle involutive ?

2. On établit une correspondance bijective entre les points de (P) et l’ensemble des nombres complexes. Au point m(x ; y), on associe z = x + iy .

Soit Z = X + iY l’affixe deM.

a. Si z désigne le nombre complexe conjugué de z, démontrer que Z = (1+ i )z.

b. On donne deux points m et m′ distincts. On pose M = T (m) et M ′ = T

(

m′ )

. Soit d la distance entre m et m′, D la distance entre M et M ′.

Calculer D

d .

c. Calculer la somme des deux angles polaires

(

−−→

Ox , −−−→

mm′ )

et (

−−→

Ox , −−−−→

M M ′ )

.

d. Démontrer que la transformation T est le produit d’une symétrie axiale, que l’on précisera, et d’une homothétie de rapport positif.

Ce produit est-il commutatif ?

3. On pose T2= T T . Étudier T 2.

On définit la suite d’applications T n par récurrence à l’aide de la relation

T n = T T n−1, n > 2.

Soit m un point de (P). On posera M1 = T (m), puis, pour tout n supérieur ou égal à 2, Mn = T n(m).

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

Construire M1,M2 et M3. Démontrer que l’ensemble des points Mn est inclus dans la réunion de deux droites. Ces deux droites sont-elles distinctes quel que soit m ?

4. On considère l’hyperbole équilatère (h) d’équation

x2− y2 = 4

et la droite (δ) d’équation 3x y −9= 0, qui coupe (h) en b et en c.

a. Déterminer et construire les figures (H) et (∆) transformées de (h) et de (δ) par T .

b. On suppose maintenant que m se déplace dans le domaine fermé (σ) limité par le segment bc et la courbe (h). Quel est le domaine (

) décrit par M ?

c. Calculer l’aire de ( ∑

).

d. En admettant que l’on peut étendre aux domaines (σ) et ( ∑

) le résultat relatif au rapport des aires de deux polygones semblables, déduire l’aire du domaine (σ).

Orléans 2 septembre 1970

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