Travaux pratiques sur les coordonnées, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur les coordonnées, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur les coordonnées. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le rectangle isocèle, l’application.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Paris juin 1970 \

EXERCICE 1

Leplan étant rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy), on appelle imagedunombre complexe z = x+ iy le point M dont les coordonnées sont (x ; y) ; le nombre z est dit affixe de M . On considère les deux points A et B, d’affixes respectives 1− i et

p 3+ i. Calculer les

affixes z des points C pour lesquels le triangle ABC est

1. rectangle isocèle, l’angle droit étant en B (deux cas possibles) ;

2. rectangle isocèle, l’angle droit étant en C (deux cas possibles).

EXERCICE 2

On considère l’ensemble E = Z×Z ; ses éléments sont les couples (a ; b), où a et b sont des entiers relatifs. On munit l’ensemble E de la loi, notée ⋆, définie par

(a ; b)⋆ (

a′ ; b′ )

= (

aa′ ; ab′+ab )

.

1. La loi ⋆ est-elle commutative ; associative ? Montrer qu’il existe un élément neutre et le calculer.

2. À un élément fixé (a ; b) de E , on associe l’application

f : E −→E

définie par

(x ; y) 7−→ (a,b)⋆ (x, y).

Montrer que, si a 6= 0, l’application f est injective. Montrer que, pour que f soit surjective, il faut et il suffit que a = 1 ou a =−1.

3. a. On considère l’équation

3x +5y = 1.

Déterminer tous les couples (x ; y) d’entiers relatifs qui sont solutions de cette équation [on pourra remarquer que le couple (+2 ; −1) est une solution].

b. On considère l’application f : E −→E associée à l’élément (a ; b)= (5 ; 3) de E .

Pour quelles valeurs de l’entier relatifα l’élément (x ; 1) deE est-il l’image, par f , d’un élément de E ?

EXERCICE 3

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy), on considère l’équation

x2+ y2−2[Log(−t)]x −2t y +2t = 0,

t est un nombre réel (Log désigne le logarithme népérien, de base e).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Déterminer l’ensemble, A, des valeurs (réelles) de t pour lesquelles l’équation précédente est celle d’un cercle, noté (Ct ). On note E l’ensemble des cercles (Ct ), lorsque t parcourt A.

2. Montrer que tout cercle (Ct ) de E est orthogonal à un cercle fixe, (Ω), de centre ω(0 ; +1), dont on déterminera le rayon.

3. Onappelle γt le centre du cercle (Ct ). C’est la position à l’instant t d’unmobile M (le paramètre représente le temps, qui varie en croissant dans A).

Déterminer et dessiner

a. la trajectoire du mobile M et le sens de son déplacement ;

b. le vecteur vitesse −−−→ MV de M à l’instant t ;

c. l’ensemble des points ν définis par la relation

−−→ Oν =

−−−→ MV

d. le vecteur accélération −−→ MΓ de M à l’instant t .

Indiquer si le mouvement de M sur sa trajectoire est accéléré ou retardé.

4. a. Déterminer l’équation de l’axe radical, D(t , t ′), des cercles (Ct ) et (Ct ′ ) (t 6= t ′). Démontrer qu’il existe une position limite, (∆t ), de cette droite D(t , t ′) lorsque t ′ tend vers t fixé. Donner l’équation de (∆t ).

b. On a ainsi défini une application ϕ de A dans l’ensemble, D, des droites du plan, qui, à l’élément t de A, fait correspondre la droite ϕ(t)= (∆t ). L’application ϕ est-elle injective ? Préciser l’ ensemble des images par ϕ des éléments t de A.

5. Solution géométrique de la question 4.

À l’aide de propriétés géométriques de l’axe radical D(t , t ′) démontrer à nou- veau l’existence de la position limite (∆t ) lorsque t ′ tend vers t fixé. Caractéri- ser géométriquement la droite (∆t ). En déduire les propriétés de l’application ϕ démontrées dans la question 4.

Paris 2 juin 1970

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