Travaux pratiques sur les entiers naturels, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur les entiers naturels, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur les entiers naturels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique de la variable réelle x, la relation.
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[ Baccalauréat C Poitiers septembre 1970 \

EXERCICE 1

Trouver les entiers naturels compris entre 100 et 200, divisibles par 9, et i dans le système de numération de base 6 s’écrivent x3y .

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que

f (x) = 4x3 −3x − 1

2 .

1. Calculer f (−1), f

(

− 1

2

)

, f (0) et f (1).

2. En déduire que l’équation f (x) = a admet trois racines réelles distinctes com- prises. entre −1 et +1.

3. Calculer cos 3lX en fonction de cos lX. Posant alors x = cos lX, en déduire les trois racines de l’équation f (x) = a sous forme trigonométrique.

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy). Soit I et J deux points du

plan ; on désigne par R, la rotation de centre I et d’angle π

4 , par H , l’homothétie de

centre J et de rapport p

2 et par S la transformation composée H ◦R.

Partie A

Dans cette partie, on suppose que I et J sont confondus en O. On désignera par R0, H0 et S0 les transformations R, H et S correspondantes. On donne les points A(+1 ; 0) et B(+1 ; +1).

1. Soit F le faisceau de cercles admettant A et B pour points de base. Détermi- ner géométriquement l’ensemble, F′, des transformés par S0 des cercles du faisceau F.

2. Soit (C1) le cercle de diamètre AB. Déterminer son transformé (

C ′1 )

par S0. Montrer qu’il existe un cercle unique (C2) du faisceau F qui est orthogonal à (

C ′1 )

.

Montrer que le transformé (

C ′2 )

du cercle (C2) par S0 est un cercle orthogonal à (C1).

3. Plus généralement, (Γ1) et (Γ2) étant deux cercles du faisceau F, (

Γ ′ 1

)

et (

Γ ′ 2

)

, leurs transformés par S0, montrer que, si (Γ2) est orthogonal à

(

Γ ′ 1

)

; alors (Γ1) est orthogonal à

(

Γ ′ 2

)

.

Partie B

Dans cette partie, les points I et J sont quelconques. On désigne par R(m), H (m) et S (m) les transformés d’un point m du plan par R, H et S respectivement. À tout point m du plan, de coordonnées (x ; y), on associe le nombre complexe zm = x + iy . Aux points I et J sont donc associés, en particulier, des nombres zI et zJ.

1. Donner zm′ en fonction de zm en désignant par m ′ le point R(m).

2. Donner zm′′ en fonction de zm′ en désignant par m ′′ le point H (m′) =S (m).

3. Donner zm′′ en fonction de zm . Montrer que S a un point double unique K. Déterminer zK en fonction de zI et zJ

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

Partie C

1. À quelle relation zI et zJ doivent-ils satisfaire pour que S soit identique à S0 ?

2. Montrer alors que J est le transformé de I dans la similitude de centre O, d’angle

− 3π

8 et de rapport

2 (

2+ p

2 )

.

Poitiers 2 septembre 1970

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