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Appunti sugli Integrali doppi

Appunti, Calcolo III

Invia: 11 dicembre 2009
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integrali doppi
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Sia D ⊂ R2 il seguente dominio: D = { (x, y ) ∈ R2 : Calcolare il seguente integrale : (x + 2y )ey−x dx dy . D −4 ≤ x + 2y ≤ 2, −1 ≤ x − y ≤ 2 }. Svolgimento Figure 1: dominio D Consideriamo il seguente cambio di variabili u = x + 2y v = x−y , che in modo equivalente si pu´ scrivere nella forma: o (u, v ) = ψ (x, y ) dove ψ ` la trasformazione definita da: e ψ (x, y ) = (x + 2y, x − y ) . Nelle nuove variabili il dominio diventa ψ (D) = { (u, v ) ∈ R2 : La matrice Jacobiana di ψ `: e Dψ (x, y ) = da cui si ottiene: |det Dψ (x, y )| = e |det Dψ −1 (u, v )| = 12 1 −1 ∂ (u, v ) =3 ∂ (x, y ) 1 ∂ (u,v ) ∂ (x,y ) −4 ≤ u ≤ 2, −1 ≤ v ≤ 2 }. ∂ (x, y ) = ∂ (u, v ) 1 = 1 . 3 Applicando il Teorema del Cambiamento di Variabili si ha (x + 2y )ey−x dx dy = D 2 ψ (D ) f (ψ −1 (u, v ))|det Dψ −1 (u, v )| du dv u 3 2 −1 2 −1 = −4 2 e−v dv du du = −4 1 u −e−v 3 2 −4 = (e − e−2 ) u2 3 2 = −2(e..

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