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Calcolo lunghezza di una curva, esempio, Appunti di Analisi Matematica II. Università di Roma Tor Vergata

Analisi Matematica II

Descrizione: Esempio di calcolo della lunghezza di una curva di parametrizzazione assegnata.
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Calcolare la lunghezza della curva γdi parametrizzazione
r(t) = 6t+1
6,log "16t+1
62#! t1
6,1
6
Soluzione
r0(t) =
6,266t+1
6
16t+1
62
Lγ=Z1/6
1/6||r0(t)||dt =Z1/6
1/6
6 +
266t+1
6
16t+1
62
2
1/2
dt
Applico la sostituzione
x=6t+1
6t=x
61
6dt =1
6dx
per cui gli estremi di integrazione diventano x1= 0 per t1=1
6ex2=2
6per t2=1
6.
Allora l’integrale diventa
Z2/6
0
1
6
6 + 26x
1x2!2
1/2
dx =Z2/6
0
1
66 + 24x2
12x2+x41/2
dx =
=Z2/6
0
1
66(x4+ 2x2+ 1)
12x2+x41/2
dx =Z2/6
0(x2+ 1)2
(1 x2)21/2
dx =
=Z2/6
0
|x2+ 1|
|1x2|dx
1
Essendo x2+ 1 >0 sempre e 1 x2>0xh0,2
6i, i moduli possono esse-
re eliminati ottenendo
Z2/6
0
x2+ 1
1x2dx =Z2/6
0
(x+ 1)(x1) + 2
(1 x)(1 + x)dx =
=Z2/6
0
(1)dx + 2 Z2/6
0
A
1x+B
1 + xdx
ove A(1 + x) + B(1 x)=1 A=B=1
2.
Allora ottengo
Z2/6
01 + 1
1x+1
1 + xdx = log 6+2
62!2
6
che `e finalmente il valore della lunghezza della curva γ.
Luca Donio
2
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Universita: Università di Roma Tor Vergata
Data di caricamento: 28/11/2010
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ottimo

20/11/11 08:27
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