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ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI CON SOLUZIONE, Dispense di Analisi. Università di Torino

Analisi

Descrizione: Esercizi sulle disequazioni con soluzione.
Mostro le pagine  1  -  4  di  14
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I
Risolvere le seguenti disequazioni: 1
1) 6x3<2x+ 1
4x+ 4 x62) 3x+ 1 >2x3
4x63x10
3) x4
x1>2; 4) 2x5
6x+ 1 3; 5) 4x+ 6
3x+ 1 0
6)
x
x1>2
x1
x20
7) 3|x| − 2>4x+ 1; 8) 4 5|x1|<12|x+ 2|
9) x+|x|
2x= 1; 10) x− |x|
2x= 0; 11) |x| − 2x
x+ 1 = 1;
12) x
|x|+|x|
x=2; 13) x
|x|+|x|
x= 2
14) 2|x1| − 2<4|x|
3x2> x 7; 15) |x1|
x+ 4 |x4|
x2
Determinare al variare di aRle soluzioni:
16) ax 2; 17) ax 1
x+ 2 3(x5); 18) (x1
2x+1 2
x25x+ 6 = 0
;
19)
3x1
x+2 4
x2+ (1 a)xa= 0
; 20) 1
x+ 1 >x
x21; 21) |x24|+ 3
3x+ 1 1;
22) |x2x6| ≥ |5x+ 10|; 23) x7x0;
24) x2+ 1 |x|
|x|+ 1 0; 25) 2x2+ 1
x2+ 1 +3x2+ 5
x2+x+ 1 0;
26) Dimostrare che:
ab ε
2a2+1
2εb2,a, b, R,ε > 0.
27) Dimostrare che se a1 e 0 b1 allora: (a+b)ab 1.
28) Determinare per quali valori di kRla seguente diseguaglianza `e verificata per ogni xreale:
k|x|+ 1
|x|+ 1 1
x4+ 1 0
29) x3p|x|x10; 30) rx+ 1
x+ 4 4; 31) px21≥ −1;
1Le soluzioni sono a pagina 3, lo svolgimento a partire da pagina 3.
1
32) s
x+ 1
x1
>1; 33) |x| − 2
x+ 1 x1; 34) |x1|21
p(x1)24≥ |x1|;
35) x21x+ 1
2x2+ 1 x2+ 1 0.
SCHEMA RIASSUNTIVO DELLA RISOLUZIONE DELLE DISEQUAZIONI IRRAZIO-
NALI
Siano FeGdue funzioni definite in Ra valori in R.
(I) Le soluzioni della disequazione:
pF(x)G(x)
sono date dall’unione delle soluzioni dei sistemi seguenti:
F(x)0 (realt`a della radice)
G(x)0
F(x)[G(x)]2
oppure F(x)0 (realt`a della radice)
G(x)0
(II) Le soluzioni della disequazione:
pF(x)G(x)
si trovano risolvendo il sistema:
F(x)0 (realt`a della radice)
G(x)0
F(x)[G(x)]2
III) Radice con esponente dispari:
3
pF(x)> G(x)F(x)>[G(x)]3,
oppure
3
pF(x)< G(x)F(x)<[G(x)]3.
2
RISPOSTE
1)x≤ −10
3;2);3)2< x < 1; 4)1
2x < 1
6;
5)1
3< x oppure x≤ −3
2;6);7)x < 3
7;8)x < 2
7; oppure x > 4;
9)x > 0; 10)x > 0; 11)x=1
4;12)x < 0; 13)x > 0; 14){x:x > 5
2, x 6= 0}.15){x:
4< x oppure x7
2}.16)Se a > 0 allora x2
a, se a < 0 allora x2
a.17)Vedi la risoluzione nelle pagine
succesive. 18){2,3}19)x1,2=a1±(a+1)2
2,per a > 2.20){x:1<x<1}.21){x:x < 2, o , 1
3<
x2} ∪ {x:3+17
2x}22){x:x8 oppure x=2}23){x:x1 oppure 1x0}.24)R
25)R26) 27) 28)k1.29)10 x19
630)21
5< x < 431){x1, x ≤ −1}32){x > 0, x 6= 1}
33){x: 1 x};34){x > 3, x < 1};35) {x:x=1 oppure x2}.
SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI
1)4x < 4
3x≤ −10 x < 1
x≤ −10
3x≤ −10
3
2)x > 4
x≤ −4
Questo sistema non ha soluzioni.
3)x4
x12>0x42(x1)
x1>02x
x1>0
Le soluzioni si ottengono risolvendo i sistemi:
2x > 0
x1>0oppure 2x < 0
x1<0
Da cui segue:
x < 2
x > 1oppure 2< x
x < 1
Il primo sistema non ha soluzioni, mentre il secondo ha come soluzioni:
{x:2< x < 1}.
4)2x5
6x+ 1 32x5
6x+ 1 302x53(6x+ 1)
6x+ 1 0
16x8
6x+ 1 0
Risolvere questa disequazione equivale a risolvere i sistemi:
16x80
6x+ 1 >0oppure 16x80
6x+ 1 <0
Da cui segue:
x≤ −1
2
x > 1
6
oppure 1
2x
x < 1
6
Il primo sistema non ha soluzioni. Le soluzioni della disequazione di partenza sono date da quelle del secondo
sistema, ossia:
{x:1
2x < 1
6}.
3
5)4x+ 6
3x+ 1 0
Risolvere la disequazione data equivale a risolvere i sistemi:
4x+ 6 0
3x+ 1 >0oppure 4x+ 6 0
3x+ 1 <0
O equivalentemente:
x≥ −3
2
x > 1
3
oppure x≤ −3
2
x < 1
3
Il primo sistema ha soluzioni {x:x > 1
3},il secondo {x:x≤ −3
2}.La disequazione data ha quindi
soluzioni:
{x:x > 1
3}∪{x:x≤ −3
2}.
6)
x
x1>2
x1
x20
x+2
x1>0
x1
x20
Per risolvere il sistema dobbiamo risolvere ciascuna delle due disequazioni che lo compongono e poi
intersecare gli insiemi di soluzioni cos`ıottenuti.
Considero la prima disequazione: x+2
x1>0,equivale ai sistemi:
x+ 2 >0
x1>0oppure x+ 2 <0
x1<0
Il primo ha soluzioni {x: 1 < x < 2},il secondo non ha soluzione. La prima disequazione ha soluzioni:
{x: 1 < x < 2}∪∅={x: 1 < x < 2}Considero la seconda disequazione: x1
x20,equivale ai sistemi:
x10
x2>0oppure x10
x2<0
Il primo ha soluzioni {x:x > 2},il secondo {x:x1}.Quindi la disequazione: x1
x20 ha soluzioni:
{x:x > 2}∪{x:x1}.
Il sistema proposto non ha soluzioni perch`e:
{x: 1 < x < 2} ∩ ({x:x > 2}∪{x:x1}) = .
7) 3|x| − 2>4x+ 1.
Per risolvere la disequazione proposta si deve “togliere” il valore assoluto che compare nell’espressione
distingendo il caso in cui x`e positivo da quello in cui x`e negativo. Questo equivale a risolvere i sistemi:
x0
3x2>4x+ 1 oppure x < 0
3x2>4x+ 1
Ossia x0
x < 3oppure x < 0
x < 3
7
Il primo sistema non ha soluzioni, mentre il secondo `e risolto da:
{x:x < 3
7}.
8) 45|x1|<12|x+ 2|.
Per risolvere la disequazione, applichiamo la definizione di valore assoluto ottenendo i seguenti sistemi:
(I)
x10
x+ 2 0
45(x1) <12(x+ 2)
oppure (II)
x1<0
x+ 2 0
4 + 5(x1) <12(x+ 2)
4
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Indirizzo:
Universita: Università di Torino
Materia: Analisi
Data di caricamento: 20/02/2010
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interessante

28/03/13 09:18
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