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Esercitazioni ed Esercizi - Analisi I - Studio di Funzioni, Esercitazioni e Esercizi di Analisi Matematica I. Università della Calabria

Analisi Matematica I

Descrizione: Esercitazioni ed Esercizi per il corso di Analisi I riguardante esercizi svolti sullo Studio di Funzioni
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Universita: Università della Calabria
Indirizzo: Ingegneria
Data di caricamento: 16/05/2011
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nino.rocca21 - Politecnico di Torino

ok

27/01/13 18:53
claudia.panarella1 - Università di Napoli Federico II

grazie :)

04/01/13 15:02
eraclito - Libera Università Internazionale Studi Sociali Guido Carli

Ottimo

17/10/12 14:10
montano - Università di Salerno

MOLTO UTILE

30/05/12 11:08
chiaranailsjewels - Università di Roma Tor Vergata

ottimo!

29/05/12 13:15

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2009-2010

Studio di funzioni

Esercizi svolti.

1. Studiare la seguente funzione

f(x) = x3 3x + 2

x2 1 e disegnarne il grafico.

Svolgimento:

dominio: basta imporre la condizione che il denominatore non sia nullo, quindi x2 6= 1 ,

da cui segue che il dominio di f D = R \ {−1, 1} ;

asintoti: osserviamo che

f(x) = x3 3x + 2

x2 1 = (x− 1)(x2 + x− 2)

(x− 1)(x + 1) = x2 + x− 2

x + 1 = x− 2

x + 1

per ogni x 6= ±1 . Allora si ha

lim x→−1+

f(x) = lim x→−1+

( x− 2

x + 1

) = −∞ ,

mentre

lim x→−1

f(x) = lim x→−1

( x− 2

x + 1

) = +∞ ,

per cui f ha un asintoto verticale di equazione x = 1. Inoltre

lim x→1

f(x) = lim x→1

( x− 2

x + 1

) = 0 .

Infine risulta

lim x→±∞ f(x) = limx→±∞

( x− 2

x + 1

) = ±∞ ,

quindi potrebbe esserci un asintoto obliquo. Poiché

lim x→±∞

f(x) x

= lim x→±∞

( 12

x(x + 1)

) = 1

e

lim x→±∞ (f(x)− x) = limx→±∞

2 x + 1

= 0 ,

allora f ha un asintoto obliquo la cui equazione è y = x ;

1

2 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

monotonia e massimi e minimi: f è derivabile nel suo dominio e per ogni x ∈ D risulta

f ′(x) = (

x− 2 x + 1

)= · · · = x

2 + 2x + 3 (x + 1)2

.

Allora f ′(x) > 0 per ogni x ∈ D, quindi f è crescente in D. Inoltre non ci sono massimi e minimi relativi o assoluti per f ;

concavità, convessità e flessi: calcolando la derivata seconda si ha

f ′′(x) = (2x + 2)(x + 1)2 2(x2 + 2x + 3)(x + 1)

(x + 1)4 = · · · = 4

(x + 1)3 .

Allora f ′′(x) = 4

(x + 1)3 > 0 ⇐⇒ x < −1 ,

quindi f è convessa nell’intervallo (−∞,−1) e concava in (1, 1)(1,+). Il punto in cui cambia la concavità della funzione f non è un punto di flesso, in quanto in tale punto la funzione non è definita;

grafico:

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 3

2. Studiare la seguente funzione

f(x) =

4e2x − 4 e disegnarne il grafico.

Svolgimento:

dominio: basta imporre la condizione che il radicando sia maggiore o uguale a zero, quindi

4e2x − 4 0 da cui segue che il dominio di f D = {x ∈ R : x ≥ 0} ;

segno: risulta che f(x) 0 per ogni x ∈ D e f(x) = 0 se e solo se x = 0 ;

asintoti: si ha che lim

x→+∞−

4e2x − 4 = −∞ , per cui f non ha asintoti orizzontali. Inoltre

lim x→+∞−

4e2x − 4

x = −∞

quindi f non ha neanche asintoti obliqui;

monotonia e massimi e minimi: f è derivabile per ogni x > 0 e risulta

f ′(x) = 2e2x√ e2x − 1 < 0 per ogni x > 0 ,

quindi f è decrescente nel suo dominio;

concavità, convessità e flessi: calcolando la derivata seconda di f si ottiene che per ogni x > 0

f ′′(x) = 4e2x√e2x − 1 + 2e2x · 2e2x

2

e2x−1 e2x − 1 =

2e2x(e2x − 2)√ (e2x − 1)3 .

Allora f ′′(x) > 0 se e solo se

e2x − 2 < 0 e quindi se e solo se x < (log 2)/2 . Pertanto f è convessa in [0, (log 2)/2) e concava in ((log 2)/2, +), mentre x = (log 2)/2 è un punto di flesso;

grafico:

4 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

3. Studiare la seguente funzione

f(x) = ex

|e2x − 1| e disegnarne il grafico.

Svolgimento:

dominio: basta imporre che il denominatore di f sia non nullo, quindi che e2x 6= 1

da cui segue che il dominio di f è dato da D = R \ {0} ;

segno: risulta f(x) > 0 per ogni x ∈ D;

asintoti: si ha lim

x→±∞ ex

|e2x − 1| = 0 , quindi y = 0 è un asintoto orizzontale per f a ±∞. Inoltre si ha

lim x→0±

ex

|e2x − 1| = +∞ ,

per cui x = 0 è un asintoto verticale per f ;

monotonia e massimi e minimi: f si può scrivere come

f(x) =

  

ex

e2x − 1 se x > 0

−ex e2x − 1 se x < 0 ,

quindi f è derivabile in D e si ha

f ′(x) =

  

−ex(e2x + 1) (e2x − 1)2 se x > 0

ex(e2x + 1) (e2x − 1)2 se x < 0 .

Pertanto f è crescente in (−∞, 0) e decresce in (0, +) e non ha né massimi né minimi;

grafico:

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 5

4. Studiare la seguente funzione

f(x) = 1 log (arctanx + 1)

e disegnarne il grafico.

Svolgimento:

dominio: l’insieme di definizione D di f è dato da  

arctanx + 1 > 0

log (arctanx + 1) 6= 0 da cui segue 

 

arctanx > −1

arctanx + 1 6= 1 e quindi 

 

x > tan(1) = tan 1

x 6= 0 . Allora il dominio di f D = (tan 1, 0) (0, +) ;

segno: risulta f(x) > 0 se e solo se log (arctanx + 1) < 0

e quindi se e solo se 0 < arctanx + 1 < 1

da cui segue x ∈ (tan 1, 0) ;

asintoti: si ha lim

x→0+

( 1

log (arctanx + 1)

) = −∞

e

lim x→0

( 1

log (arctanx + 1)

) = +∞ ,

quindi x = 0 è un asintoto verticale per f . Inoltre si ha

lim x→(tan 1)+

( 1

log (arctanx + 1)

) = 0 ,

per cui f è prolungabile con continuità in x = tan 1 . Infine

lim x→+

( 1

log (arctanx + 1)

) = 1

log (π/2 + 1) .

Allora y = 1 log (π/2 + 1)

è un asintoto orizzontale per f ;

monotonia e massimi e minimi: la funzione f è derivabile per ogni x ∈ D e si ha f ′(x) =

1 log2 (arctanx + 1)

· 1 arctanx + 1

· 1 1 + x2

.

Allora f ′(x) > 0 se e solo se

arctanx + 1 > 0

6 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

e quindi per ogni x ∈ D . Pertanto f è crescente in D ;

concavità, convessità e flessi: lo studio della derivata seconda si presenta complicato. Calcoliamo

lim x→(tan 1)+

f ′(x) = lim x→(tan 1)+

( 1

log2 (arctanx + 1) · 1 arctanx + 1

· 1 1 + x2

) .

Grazie al confronto tra infiniti risulta

lim x→(tan 1)+

( 1

log2 (arctanx + 1) · 1 arctanx + 1

) = +

e quindi lim

x→(tan 1)+ f ′(x) = +∞ .

Allora f ha una tangente verticale di equazione x = tan 1 . Poiché f è crescente in (tan 1, 0), allora f è necessariamente concava in un intorno destro di x = tan 1. D’altra parte, essendo lim

x→0− f(x) = +, f deve necessariamente essere convessa in

un intorno sinistro di x = 0. Quindi, deve esistere almeno un flesso in un punto x0 (tan 1, 0) ;

grafico:

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 7

Esercizi proposti. Studiare le seguenti funzioni e disegnarne il grafico:

1. f(x) = x + ex

2. f(x) = log(x2 + x)

3. f(x) = ex + 2e−2x

3

4. f(x) = | log |x||

5. f(x) = 1

x− 1

6. f(x) =

  

log(1 + x) se x ≥ 0

|1 + x| − 1 se x < 0

7. f(x) = xex

ex − 1 8. f(x) = arccos |x− 1|

9. f(x) =

4x− x2 |x− 1|

10. f(x) = arctan ( 1

x2 + 4

)

11. f(x) = − √

2x2 + 3 2x

12. f(x) = (x + 1)(2x− 3)(3− x)

13. f(x) = 25x3(x− 1)2

14. f(x) = x2 4 x + 1

15. f(x) = x3

1 + x3

16. f(x) = 1

4− x2

17. f(x) =

x− 1 x + 1

18. f(x) = 1

1− x − 1

1 + x

19. f(x) =

1− ex

20. f(x) = x2e−2x

21. f(x) = ex − 2

x

8 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

22. f(x) = 1 x

log2 x

23. f(x) = x− log x

24. f(x) = 3 sin2 x− 2 sin3 x

25. f(x) = cos2 x

1 + 2 sinx .

Soluzioni:

Figure 1. Grafico esercizio 1

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 9

Figure 2. Grafico esercizio 2

Figure 3. Grafico esercizio 3

10 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

Figure 4. Grafico esercizio 4

Figure 5. Grafico esercizio 5

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 11

Figure 6. Grafico esercizio 6

Figure 7. Grafico esercizio 7

12 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

Figure 8. Grafico esercizio 8

Figure 9. Grafico esercizio 9

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 13

Figure 10. Grafico esercizio 10

Figure 11. Grafico esercizio 11

14 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

Figure 12. Grafico esercizio 12

Figure 13. Grafico esercizio 13

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 15

Figure 14. Grafico esercizio 14

Figure 15. Grafico esercizio 15

16 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

Figure 16. Grafico esercizio 16

Figure 17. Grafico esercizio 17

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 17

Figure 18. Grafico esercizio 18

Figure 19. Grafico esercizio 19

18 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

Figure 20. Grafico esercizio 20

Figure 21. Grafico esercizio 21

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 19

Figure 22. Grafico esercizio 22

Figure 23. Grafico esercizio 23

20 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010

Figure 24. Grafico esercizio 24 in [0, 2π)

Figure 25. Grafico esercizio 25 in [0, 2π)

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