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Esercitazioni ed Esercizi - Analisi I - Studio di Funzioni, Esercitazioni e Esercizi di Analisi Matematica I. Università della Calabria

Analisi Matematica I

Descrizione: Esercitazioni ed Esercizi per il corso di Analisi I riguardante esercizi svolti sullo Studio di Funzioni
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ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1
A.A. 2009-2010
Studio di funzioni
Esercizi svolti.
1. Studiare la seguente funzione
f(x) = x33x+ 2
x21
e disegnarne il grafico.
Svolgimento:
dominio: basta imporre la condizione che il denominatore non sia nullo, quindi
x26= 1 ,
da cui segue che il dominio di f`e D=R\ {−1,1};
asintoti: osserviamo che
f(x) = x33x+ 2
x21=(x1)(x2+x2)
(x1)(x+ 1) =x2+x2
x+ 1 =x2
x+ 1
per ogni x6=±1 .
Allora si ha
lim
x→−1+f(x) = lim
x→−1+µx2
x+ 1=−∞,
mentre
lim
x→−1f(x) = lim
x→−1µx2
x+ 1= +,
per cui fha un asintoto verticale di equazione x=1.
Inoltre
lim
x1f(x) = lim
x1µx2
x+ 1= 0 .
Infine risulta
lim
x→±∞ f(x) = lim
x→±∞ µx2
x+ 1=±∞,
quindi potrebbe esserci un asintoto obliquo. Poice
lim
x→±∞
f(x)
x= lim
x→±∞ µ12
x(x+ 1)= 1
e
lim
x→±∞ (f(x)x) = lim
x→±∞ 2
x+ 1 = 0 ,
allora fha un asintoto obliquo la cui equazione `e y=x;
1
2 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010
monotonia e massimi e minimi: f`e derivabile nel suo dominio e per ogni xD
risulta
f0(x) = µx2
x+ 10=··· =x2+ 2x+ 3
(x+ 1)2.
Allora f0(x)>0 per ogni xD, quindi f`e crescente in D. Inoltre non ci sono
massimi e minimi relativi o assoluti per f;
concavit`
a, convessit`
a e flessi: calcolando la derivata seconda si ha
f00(x) = (2x+ 2)(x+ 1)22(x2+ 2x+ 3)(x+ 1)
(x+ 1)4=··· =4
(x+ 1)3.
Allora
f00(x) = 4
(x+ 1)3>0x < 1,
quindi f`e convessa nell’intervallo (−∞,1) e concava in (1,1)(1,+). Il punto
in cui cambia la concavit`a della funzione fnon `e un punto di flesso, in quanto in
tale punto la funzione non `e definita;
grafico:
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010 3
2. Studiare la seguente funzione
f(x) = p4e2x4
e disegnarne il grafico.
Svolgimento:
dominio: basta imporre la condizione che il radicando sia maggiore o uguale a zero,
quindi
4e2x40
da cui segue che il dominio di f`e D={xR:x0};
segno: risulta che f(x)0 per ogni xDef(x) = 0 se e solo se x= 0 ;
asintoti: si ha che
lim
x+p4e2x4 = −∞,
per cui fnon ha asintoti orizzontali. Inoltre
lim
x+4e2x4
x=−∞
quindi fnon ha neanche asintoti obliqui;
monotonia e massimi e minimi: f`e derivabile per ogni x > 0 e risulta
f0(x) = 2e2x
e2x1<0 per ogni x > 0,
quindi f`e decrescente nel suo dominio;
concavit`
a, convessit`
a e flessi: calcolando la derivata seconda di fsi ottiene
che per ogni x > 0
f00(x) = 4e2xe2x1+2e2x·2e2x
2e2x1
e2x1=2e2x(e2x2)
p(e2x1)3.
Allora f00(x)>0 se e solo se
e2x2<0
e quindi se e solo se x < (log 2)/2 . Pertanto f`e convessa in [0,(log 2)/2) e concava
in ((log 2)/2,+), mentre x= (log 2)/2 `e un punto di flesso;
grafico:
4 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 - A.A. 2009-2010
3. Studiare la seguente funzione
f(x) = ex
|e2x1|
e disegnarne il grafico.
Svolgimento:
dominio: basta imporre che il denominatore di fsia non nullo, quindi che
e2x6= 1
da cui segue che il dominio di f`e dato da D=R\ {0};
segno: risulta f(x)>0 per ogni xD;
asintoti: si ha
lim
x→±∞
ex
|e2x1|= 0 ,
quindi y= 0 `e un asintoto orizzontale per fa±∞. Inoltre si ha
lim
x0±
ex
|e2x1|= +,
per cui x= 0 `e un asintoto verticale per f;
monotonia e massimi e minimi: fsi pu`o scrivere come
f(x) =
ex
e2x1se x > 0
ex
e2x1se x < 0,
quindi f`e derivabile in De si ha
f0(x) =
ex(e2x+ 1)
(e2x1)2se x > 0
ex(e2x+ 1)
(e2x1)2se x < 0.
Pertanto f`e crescente in (−∞,0) e decresce in (0,+) e non ha n´e massimi n´e
minimi;
grafico:
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Universita: Università della Calabria
Data di caricamento: 16/05/2011
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nino.rocca21 - Politecnico di Torino

ok

27/01/13 18:53
claudia.panarella1 - Università di Napoli Federico II

grazie :)

04/01/13 15:02
eraclito - Libera Università Internazionale Studi Sociali Guido Carli

Ottimo

17/10/12 14:10
montano - Università di Salerno

MOLTO UTILE

30/05/12 11:08
chiaranailsjewels - Università di Roma Tor Vergata

ottimo!

29/05/12 13:15
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