Prepara gli esami con i nostri Tutor Online prova gratis

Formulario di elettrotecnica, Formule e Formulari di Elettrotecnica. Politecnico di Milano

Elettrotecnica

Descrizione: Formulario di elettrotecnica
Mostro le pagine  1  -  2  di  18
La preview di questo documento finisce qui| Per favore o per leggere il documento completo o scaricarlo.
Informazioni sul documento
Caricato da: polimi
Visite: 1000+
Downloads : 50
Universita: Politecnico di Milano
Indirizzo: Ingegneria
Data di caricamento: 15/07/2011
Incorpora questo documento nel tuo sito web:
antonoo - Università non definita

bravo

14/05/12 13:19
io1989 - Università non definita

io

13/05/12 15:09
cristian90 - Università di Modena e Reggio Emilia

utile

03/03/12 23:19
pippo11 - Istituto Superiore di Scienze Religiose

molto utile

13/02/12 04:00
miticocico - Istituto Superiore di Scienze Religiose

una lignata di legno buono, non ramagghie

31/01/12 12:15
Microsoft Word - Prospetto riassuntivo elettrotecnica

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

1

Convenzioni 

Le variabili scritte in minuscolo presentano una dipendenza dal tempo.  Le variabili scritta in maiuscolo non presentano dipendenza dal tempo. 

Regime sinusoidale 

Per poter compiere operazioni e quindi analizzare il circuito tutte le  sinusoidi dovranno essere isofrequenziali, quindi possiamo omettere la 

frequenza   dai fasori.  Per passare dal regime sinusoidale al regime fasoriale bisogna avere la  sinusoide espressa tramite il coseno e l’ampiezza della sinusoide deve 

essere moltiplicata per √2.  cos  

√2 √2 cos  

Il fasore che si ricava è 

√2  

  Le lettere utilizzate significano:  Ampiezza della sinusoide    Pulsazione della sinusoide    Sfasamento della sinusoide    Unità immaginaria 

Fasore associato alla sinusoide     

Il valore efficace sarà dato da  √  

Questa relazione vale sia per la tensione sia per la corrente.   

Quando si trovano equazioni differenziali nel regime sinusoidale, per  passare al regime fasoriale si possono effettuare le seguenti 

sostituzioni: 

   

  1

 

  Se la sinusoide fosse espressa tramite il seno per trasformarla in 

coseno si utilizzerebbe la seguente relazione 

sin cos 2  

 

Definizioni 

Unità immaginaria:   (in analisi matematica)  Frequenza:      Pulsazione:  2   Impedenza:    Ω   Ammettenza:     (Siemens)  In un circuito RCL 

1   La parte immaginaria si annulla. 

1   Il sistema è in risonanza. 

1  

Si ha un’impedenza ohmico  induttiva. 

1  

Si ha un’impedenza ohmico  capacitiva. 

   

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

2

Concetto di Potenza 

Alimentando un circuito in corrente alternata si introduce il concetto  di potenza complessa

  dove   è il fasore coniugato della corrente. 

  con   detto sfasamento. 

Può essere espressa in base all’ampiezza delle sinusoidi di corrente e  tensione:  1 √2

1 √2

1 2  

Si può esprimere infine anche in forma trigonometrica:  cos sin  

  Il modulo della potenza complessa è la potenza apparente 

1 2    

Riassumendo  Potenza attiva  cos Potenza reattiva  sin

Potenza complessa  Potenza apparente 

Fattore di potenza  cos  

Sfasamento  arctan   Potenza attiva  cos Potenza reattiva  sin

   

Teoremi sulla Potenza 

Per il principio di conservazione della potenza, la somma delle potenze  complesse deve essere zero. 

Per il teorema di Boucherot si ottiene che sia la somma delle potenze  attive, sia quella delle potenze reattive, è uguale a zero. 

0 ; 0 

 

Potenze dei componenti circuitali 

  Potenza  attiva 

Potenza reattiva   

Fattore di  potenza 

 

Resistore       

Induttore       

Condensatore       

Il resistore assorbe potenza attiva.  L’induttore immagazzina potenza reattiva positiva. 

Il condensatore immagazzina potenza reattiva negativa.     

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

3

Legge di Ohm (L ) 

     

 

Leggi di Kirchhoff  LKT – Si applica alla maglia scegliendo un verso di rotazione, associandogli quindi un segno alle  tensioni. Stesso verso di rotazione stesso segno. 

LKC – Si applica ai nodi, stabilendo un segno alle correnti in entrata e l’opposto a quelle in  uscita. 

Resistori in serie 

 

 

   

Resistori in parallelo 

 

1 1 1 1  

 

 

   

  Se si applica un cortocircuito dal nodo 1 al nodo 

2 le resistenze in parallelo si annullano. 

Partitore di tensione e corrente 

 

Per poterlo applicare le resistenze devono essere  in serie.   

 

 

 

  Se le tensioni hanno lo stesso verso di rotazione si 

mette un meno. 

 

 

 

 

 

 

 

Se la corrente entra nello stesso nodo, invece di  uscire, si pone il segno meno. 

 

Serie di generatori 

 

 

  Non esiste il circuito, poiché viola la legge di 

Kirchhoff alle correnti.   

   

R1

1kΩ

R2

1kΩ 1

R1 1kΩ

R2 1kΩ

1

2

R1 5kΩ

R2 1kΩ

1

R3 3kΩ

2

3

Vx

VyV1

R1

R2 R3

1

V

I1 I2 I3

3

2

E1 E2 E3 V

A1 A2

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

4

Generatore pilotato  Il generatore pilotato è un doppio bipolo.  Non lo si può spegnere nell’analisi circuitale, ma si può supporre la corrente  circolante uguale a zero, quindi supporre che sia spento.  Il generatore pilotato può generare resistenze negative quando viene  semplificato nel circuito. 

Generatori di tensione a sorgente controllata 

Generatore controllato in tensione   

Generatore controllato in corrente   

  Generatori di corrente a sorgente controllata 

Generatore controllato in tensione   

Generatore controllato in corrente   

Componenti dinamici  Sono circuiti resistivi o circuiti alimentati in corrente continua, che presentano  una dipendenza dal tempo. 

Condensatore 

 

C è la capacità del condensatore misurata in  Farad (F). 

q è la carica e dipende dal tempo:   

La corrente che passa nel condensatore si può  calcolare in un intervallo di tempo infinitesimo: 

∆ ∆

 

cos 2  

La corrente aumenta linearmente nel tempo  quando la tensione varia, ed è zero quando V è 

costante.  1

 

L’energia immagazzinata in un condensatore è pari al lavoro fatto per  caricarlo: 

 

Integrando questa equazione si può determinare l’energia potenziale  immagazzinata. 

Gli estremi di integrazione saranno zero e Q, ovvero il condensatore  scarico e la carica immessa sui piatti del condensatore. 

1 2

1 2

 

La potenza di un condensatore si determina con la seguente formula:  1 2

 

  Per studiare il circuito levando la dipendenza dal tempo, si passa ai 

E1

E2

A1

A2

CV

q

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

5

fasori. 

1 1  

L’impedenza del condensatore è    La reattanza capacitiva, misurata in Ohm, utilizzata come resistenza 

immaginaria per il calcolo nei circuiti, è data da:  1  

  Nella sostituzione nel circuito si utilizza l’impedenza. 

  Il condensatore a regime stazionario si comporta come circuito aperto.   

Interruttore 

Rappresenta un interruttore aperto da un tempo  infinito che all’istante t0 si chiude. 

  Resistore 

 

cos cos

   

La potenza assorbita dal resistore si calcola come: 

 

 

Induttore 

 

L è l’induttanza dell’induttore e si misura in Henry (H).  La tensione che attraversa il condensatore in un 

intervallo infinitesimo si ottiene con: 

  sin ωt φI cos ωt φI π 2  

Il flusso magnetico concatenato misurato in Weber  (Wb) si ottiene da: 

  La corrente che attraversa l’induttore è data da: 

1   cos  

Per evitare di studiare il circuito nel dominio del tempo  si passa ai fasori: 

  Impedenza dell’induttore è  . 

La reattanza induttiva, misurata in Ohm, utilizzata come  resistenza immaginaria per il calcolo nei circuiti, è data 

da:   

  Nella sostituzione nel circuito si utilizza l’impedenza. 

  L’induttore a regime stazionario si comporta come 

cortocircuito.     

t0

R

V

I

LV

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

6

Parallelo di generatori 

 

Non esiste il circuito, poiché viola la legge di  Kirchhoff alle correnti. 

Potrebbe esistere se ci fosse almeno una  resistenza attaccata tra E1 ed E2. 

 

 

  Trasformazione generatori 

 

Per passare dal generatore di corrente al generatore di tensione, E1 = A*R1 

Trasformazione stella‐triangolo resistori 

Caso particolare.  3   1 3  

 

 

  A numeratore si ha la moltiplicazione  tra le resistenze connesse al nodo, in 

questo caso A.   

A denominatore la somma di tutte e  tre le resistenze del circuito. 

 

 

 

 

 

 

   

I

E1 E2

2

1

A1 A2

2

1 I

I

E1

R1

V

I

R1 VA=E/R1

1

2

Rs Rs

Rs

B

CA

Rt Rt

Rt

B

C

A

Rb Rc

Ra

A

CB

Rbc Rac

Rab

A

C

B

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

7

Teorema di Millman 

In una rete a due nodi, con componenti collegati in parallelo   

∑ ∑

∑ 1 1 1 1  

  Dove Ei/Ri è la somma dei generatori di tensione con collegato in serie una resistenza.  Aj è la somma dei generatori di corrente senza le relative resistenze attaccate in serie.  1/Rk è la somma di tutte le resistenze che compaiono nel circuito ad eccezione di quelle 

collegate in serie ad un generatore di corrente.   

I segni dipendono dal verso della corrente, ovvero se la corrente è concorde con il verso di Vm  allora avrà segno positivo. 

Si assume come convenzione il verso del primo nodo, quindi verso il nodo 1.   

 

 

NOTA: Quando si crea un cortocircuito la tensione è nulla su quel ramo. 

Teorema di Thévenin 

Un circuito lineare, comunque complesso, visto da due punti, è equivalente ad un generatore  reale di tensione in cui la tensione impressa assume il valore della tensione a vuoto misurata ai  morsetti mentre la resistenza è uguale al rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di corto 

circuito.  Formula basata sulla convenzione dei generatori: 

 

 

 

  Compare il segno meno davanti alla resistenza per via della convenzione utilizzata. 

La resistenza   nel caso particolare in cui non vi siano generatori controllati nel bipolo  esaminato, può essere calcolata come la resistenza equivalente ai morsetti del bipolo, A e B, 

dopo aver disattivato tutti i generatori presenti. 

Teorema di Norton 

Un circuito lineare, è equivalente ad un generatore reale di corrente, in cui il generatore  assume il valore della corrente di corto circuito misurata ai morsetti del bipolo e la resistenza è 

uguale al rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito.  Per la convenzione dei generatori la corrente di cortocircuito deve andare dal nodo A al nodo B, 

altrimenti avrà segno meno.   

R3 Vm

A1 R2 A2

E1

R1

1

2

Eth

Rth A

B

I

V

A

B

I

V Int Rnt

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

8

Metodo dell’analisi nodale 

1. Identificare e nominare i nodi del circuito, ogni nodo sarà identificato da un  potenziale μ . 

Il nodo della terra è identificato dal valore zero.  2. La tensione tra due nodi è orientata verso il nodo con indice maggiore e sarà data da: 

μ μ   3. Prendo tutte le correnti dei lati con la convenzione degli utilizzatori, ovvero verso 

opposto alla tensione.  4. Scrivo le equazioni di Kirchhoff delle correnti ai nodi, supponendo le correnti entranti 

nel nodo negative e quelle uscenti positive.  5. Esplicito le equazioni raccogliendo i potenziali e ponendo come termine noto i valori 

delle correnti, ottenendo un’equazione del tipo:  1: 2: 3:

 

6. Creo la matrice del sistema:   

  Nodo 1  Nodo 2  Nodo 3      Nodo 1      0   

·  Nodo 2   

 

Nodo 3  0      

   

Le colonne e le righe identificano i nodi del circuito, nel nostro esempio il circuito presenta 3  nodi. 

La matrice si riempie andando a sommare tutte le conduttanze collegate direttamente tra i due  nodi, qual’ora non vi fossero resistenze collegate tra i due nodi si pone zero. 

Tutte le caselle fuori dalla diagonale principale (segnata in azzurro) saranno moltiplicate per  1.   

Si moltiplica la matrice per i potenziali nel nodo considerato, ottenendo una matrice composta  dai generatori collegati nel nodo, sommati tra loro. Si pone il segno meno quando il verso della 

tensione va al contrario, ovvero dal nodo più alto al nodo più basso.  Il valore dei generatori va moltiplicato per l’eventuale conduttanza collegata in serie. 

  La matrice è simmetrica rispetto alla diagonale principale: 

, ,  

Metodo della sovrapposizione degli effetti 

Si utilizza per analizzare circuiti composti da n generatori, avendo così n circuiti indipendenti da  risolvere.  Si procede con lo spegnere n‐1 generatori, lasciandone attivo solo uno e studiando il circuito  risultante.    Spegnendo un generatore di tensione il circuito rimane chiuso.  Spegnendo un generatore di corrente il circuito si apre.    Si possono spegnere i generatori pilotati supponendo la grandezza pilota nota.    Nei sottocircuiti alcune tensioni e correnti potrebbero scomparire, quindi bisogna fare  attenzione alla nomenclatura.    Terminato lo studio n circuiti, si sommano le stesse variabili ottenute dallo studio dei vari casi,  facendo attenzione al verso delle correnti e tensioni. Nel caso il verso sia opposto si pone il  segno meno.     

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

9

Studio di doppi bipoli o quadri‐porta 

 

Convenzione degli utilizzatori:  Vi sono dei legami tra le porte 1 e 1’, così 

come tra le porte 2 e 2’.  La tensione  va dalla porta 1’ alla porta 

1.  La tensione   va dalla porta 2’ alla porta 

2. 

  Matrice resistiva o matrice R 

 

   

 

   

 

 

 

Se esiste R può esistere la matrice F solo se R è invertibile.     

Quindi  det 0   det 0  

Le rappresentazioni R e G possono esistere entrambe o soltanto una.    Rappresentazione controllata in corrente o matrice G 

 

 

 

 

 

 

 

Matrici ibride H e H’ 

Matrice H diretta: 

   

  Matrice gemella, H’: 

     

   

   è un coefficiente adimensionale di resistenza o conduttanza. 

  Passaggio dalla matrice R alla matrice H 

:  

 

:  

 

  Simmetria circuitale del doppio bipolo 

 

Circuito simmetrico 

 

Circuito reciproco 

 

  Potenza di un doppio bipolo 

 

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

10

Trasformatore reale 

 

Il funzionamento del trasformatore  reale è influenzato dai campi 

elettromagnetici.  Viene studiato con la convenzione degli 

utilizzatori.  La parte del circuito identificata con la  lettera A si chiama parte primaria, 

quella di B secondaria. 

: 1:    è il rapporto di trasformazione 

Direttamente proporzionale al rapporto  di trasformazione. 

: : 1  Inversamente proporzionale al  rapporto di trasformazione. 

0

 0  Il trasformatore non assorbe potenza. 

 

Il segno meno della   è dato dal suo  verso, se non fosse entrante non ci 

sarebbe il meno. 

  Trasformazione circuitale da secondario (B) a primario (A) 

Per la trasformazione fare attenzione al rapporto di trasformazione riportato  nel disegno. 

1  

Gen. di corrente ‐> Moltiplico per t  Gen. di tensione ‐> Divido per t 

Resistori ‐> Divido per t2 

1  

Gen. di corrente ‐> Divido per t  Gen. di tensione ‐> Moltiplico per t

Resistori ‐> Moltiplico per t2   

Se si ha un rapporto del tipo:   

si pone   

ottenendo così 1    

Se si passa da primario a secondario le formule sono le inverse. 

Equazioni differenziali per i circuiti transitori (RC o RL) 

Sono caratterizzati da equazioni differenziali 

 

Dove   è detta forzante.  Il grado dell’equazione differenziale è data dall’ordine della derivata, in 

questo caso è di primo grado, poiché si ha  . 

  Per poter risolvere i circuiti si passa alla forma omogenea associata, che 

si ottiene nel seguente modo 

 e   

nel nostro caso avremmo 

0   nella quale ci interessa calcolare  . 

  Integrando si ottiene 

Poniamo delle condizioni iniziali e finali  lim lim

lim lim  

Si ricava che   

 è denominata variabile si stato e descrive l’andamento nel tempo del  circuito. 

Per i condensatori: 

 

Dove  , la tensione, è la variabile  di stato. 

Per gli induttori: 

 

Dove  , la corrente, è la  variabile di stato. 

1 : t I2I1

V2V1 A B

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

11

Metodo risolutivo circuiti transitori (RC o RL) 

Introduciamo  1  

Dove   è la costante di tempo che identifica la curva caratteristica del  circuito, nel fascio di curve di tipo esponenziale. 

       è la variabile di stato del circuito transitorio, determinata dai 

componenti che lo compongono. 

Per convenzione, un condensatore o induttore, si può considerare a  regime, scarico o carico, dopo un periodo di tempo di 

5  o 4  dove avrà raggiunto rispettivamente il 99% o 98% della propria  carica o scarica. 

La risoluzione dei circuiti transitori, che presentano quindi un  interruttore che fa variare il comportamento del circuito nel tempo a 

partire dall’istante  , si può suddividere in tre parti:   

Parte 1   

Si analizza il circuito prima del cambiamento di comportamento, ad  esempio della chiusura di un interruttore. 

Si determina la variabile di stato dei componenti transitori, detta  costante iniziale, per i condensatori la   e per gli induttori la  . 

I transitori sono a regime stazionario.   

Parte 2:     

Si analizza la dinamica del circuito, andando a calcolare  .  Si calcola la resistenza equivalente vista dal componente transitorio, 

spegnendo i generatori.  Nel caso del condensatore si calcola come   mentre per 

l’induttore come  . 

Se il circuito viene riaperto o richiuso, è necessario ricalcolare  .   

Parte 3:  ∞ 

Si analizza il circuito in un tempo infinito, quindi senza ulteriori  variazioni. 

Si calcola la variabile di stato dei componenti, detta costante finale, per  i condensatori   e per gli induttori  .  I transitori sono a regime stazionario. 

  NOTA: 

Si può dire che:       

questo perché le variabili di stato in natura sono sempre delle funzioni  continue e non presentano discontinuità. 

    

Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio 

   

12

Prefissi per le potenze del 10 

10  yocto [y]  10  deca [da]  10  zepto [z]  10  etto [h]  10  atto [a]  10  chilo [k]  10  fento [f]  10  mega [M]  10  pico [p]  10  giga [G]  10  novo [n]  10  tera [T]  10  micro [ ]  10  peta [P]  10  milli [m]  10  exa [E]  10  centi [c]  10  zetta [Z]  10  deci [d]  10  yotta [Y] 

 

 

Docsity non è ottimizzato per il browser che stai usando. Per una miglior fruizione usa Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox o Safari! Scarica Google Chrome