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Appunti sugli Integrali doppi, Appunti di Calcolo III. Università della Calabria

Calcolo III

Materie simili: Analisi, Matematica
Descrizione: Integrali doppi
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Sia DR2il seguente dominio:
D={(x, y)R2:4x+ 2y2,1xy2}.
Calcolare il seguente integrale :
ZD
(x+ 2y)eyxdx dy .
Svolgimento
Figure 1: dominio D
Consideriamo il seguente cambio di variabili
½u=x+ 2y
v=xy ,
che in modo equivalente si pu´o scrivere nella forma:
(u, v) = ψ(x, y)
dove ψ`e la trasformazione definita da:
ψ(x, y) = (x+ 2y, x y).
Nelle nuove variabili il dominio diventa
ψ(D) = {(u, v)R2:4u2,1v2}.
La matrice Jacobiana di ψ`e:
Dψ(x, y) = µ1 2
11
da cui si ottiene:
|det Dψ(x, y)|=¯
¯
¯
¯
(u, v)
(x, y)¯
¯
¯
¯
= 3
e
|det Dψ1(u, v)|=¯
¯
¯
¯
(x, y)
(u, v)¯
¯
¯
¯
=1
¯
¯
¯
(u,v)
(x,y)¯
¯
¯
=1
3.
1
Applicando il Teorema del Cambiamento di Variabili si ha
ZD
(x+ 2y)eyxdx dy =Zψ(D)
f(ψ1(u, v))|det Dψ1(u, v)|du dv
=Z2
4
u
3·Z2
1
evdv¸du
=Z2
4
1
3u£ev¤2
1du
=(ee2)
3
u2
2¯
¯
¯
2
4=2(ee2).
2
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Informazioni sul documento
Caricato da: giogio
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Indirizzo: Matematica
Universita: Università della Calabria
Materia: Calcolo III
Data di caricamento: 11/12/2009
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