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Appunti sugli Integrali doppi, Appunti di Calcolo III. Università della Calabria

Calcolo III

Materie simili: Matematica, Analisi
Descrizione: Integrali doppi
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Informazioni sul documento
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Universita: Università della Calabria
Indirizzo: Matematica
Materia: Calcolo III
Data di caricamento: 11/12/2009
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Sia D ⊂ R2 il seguente dominio:

D = { (x, y) R2 : 4 ≤ x + 2y ≤ 2, −1 ≤ x− y ≤ 2 }.

Calcolare il seguente integrale : ∫

D (x + 2y)ey−x dx dy .

Svolgimento

Figure 1: dominio D

Consideriamo il seguente cambio di variabili {

u = x + 2y v = x− y ,

che in modo equivalente si puó scrivere nella forma:

(u, v) = ψ(x, y)

dove ψ è la trasformazione definita da:

ψ(x, y) = (x + 2y, x− y) .

Nelle nuove variabili il dominio diventa

ψ(D) = { (u, v) R2 : 4 ≤ u ≤ 2, −1 ≤ v ≤ 2 }. La matrice Jacobiana di ψ è:

(x, y) = (

1 2 1 1

)

da cui si ottiene:

|detDψ(x, y)| = ∣∣∣∣ (u, v) (x, y)

∣∣∣∣ = 3 e

|detDψ−1(u, v)| = ∣∣∣∣ (x, y) (u, v)

∣∣∣∣ = 1∣∣∣(u,v)(x,y)

∣∣∣ =

1 3

.

1

Applicando il Teorema del Cambiamento di Variabili si ha ∫

D (x + 2y)ey−x dx dy =

ψ(D) f(ψ−1(u, v))|detDψ−1(u, v)| du dv

= ∫ 2 4

u

3

[∫ 2 1

e−v dv ]

du

= ∫ 2 4

1 3 u

[−e−v]21 du

= (e− e−2)

3 u2

2

∣∣∣ 2

4 = 2(e− e−2) .

2

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