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MM08- Fatica multiassiale, meccanica dei materiali, Dispense di Costruzione Di Macchine. Politecnico di Bari

Costruzione Di Macchine

Descrizione: Massimo Rossetto. Fatica multiassiale,sollecitazioni,direzioni principali,analisi di Sines,piano critico,Curva di Manson Coffin
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daikengo2012 - Politecnico di Torino

ottimo

01/05/12 12:22
MM08-fatica multiassiale.ppt

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 1

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 1

FATICA MULTIASSIALE

Stati di sollecitazione

• multiassiali proporzionali (semplici):

•Direzioni principali fisse

•Direzioni principali mobili

• multiassiali non proporzionali (complessi):

•Sincrone (uguale frequenza) con sfasamento

•Asincrone periodiche (rapporto fra le frequenze razionale)

•Asincrone non periodiche (rapporto fra le frequenze irrazionale)

Fatica multiassiale 2

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80

t

S 1

- S

2

Sollecitazioni proporzionali direzioni principali fisse (uguale R)

-6

-4

-2

0

2

4

6

-15 -10 -5 0 5 10 15

S1

S 2

Rapporto di biassialità

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80

S2/S1

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 2

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 3

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80

t

S 1

- S

2

-6

-4

-2

0

2

4

6

-10 -5 0 5 10 15

S1

S 2

Rapporto di biassialità

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80

S2/S1

Sollecitazioni proporzionali direzioni principali mobili (R diversi)

Fatica multiassiale 4

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80

t

S 1

- S

2

0

2

4

6

8

10

12

-5 0 5 10 15 S1

S 2

Rapporto di biassialità

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80

S2/S1

Sollecitazioni proporzionali direzioni principali mobili (dovute a componente media)

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 3

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 5

Sollecitazioni non proporzionali sincrone con sfasamento (out of phase)

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80

t

S 1

- S

2

-6

-4

-2

0

2

4

6

-15 -10 -5 0 5 10 15

S1

S 2

2 π

Rapporto di biassialità

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80

S2/S1

Fatica multiassiale 6

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80

t

S 1

- S

2

-6

-4

-2

0

2

4

6

-15 -10 -5 0 5 10 15

S1

S 2

Rapporto di biassialità

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80

S2/S1

Sollecitazioni non proporzionali asincrone periodiche

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 4

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 7

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80

t

S 1

- S

2

-6

-4

-2

0

2

4

6

-15 -10 -5 0 5 10 15

S1

S 2

Rapporto di biassialità

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80

S2/S1

Sollecitazioni non proporzionali asincrone non periodiche

Fatica multiassiale 8

Criteri per la fatica multiassiale

Empirici: Gough e Pollard* (’30-’50) Son Book Lee* (1985)

Invarianti delle tensioni: Sines* (1955) Crossland* (1956)

Piano critico: Brown e Miller (1973) Matake* (1977) McDiarmid* (1989) Socie (1987) Socie e Fatemi (1988)

Energetici Froustey

Approccio microscopico Dang Van* (73-88) Papadopulos*

* per vita infinita

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 5

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 9

0

100

200

300

400

0 100 200 300 400 500 600 ( )MPaaσ

30 Ni Cr Mo12 Rm=900 MPa

C 15 Rm=425 MPa

( )MPaaτ

Gough e Pollard

2 1

2 2

1

12

2

1

2

1 1

− −

−−

σ≤τ 

  

 τ σ

≤ 

  

 τ τ

+ 

  

 σ σ

Da D

D a

D

a

D

a

3 6.0 111

− −−

σ ≅σ≅τ DDD

materiali duttili

121 11

1 2

1

2

1 =

  

 σ σ

 

  

 τ σ

−+ 

  

 σ σ

 

  

 −

σ τ

+ 

  

 τ τ

−−

−− D

a

D

D

D

a

a

a

D

a materiali fragili:

1 22 3 −σ≤τ+σ Daa

σ e τ alternate in fase ⇒ Sollecitazioni proporzionali

Fatica multiassiale 10

Son Book Lee

Ampliamento del criterio di Gough e Pollard

)sin1(2

1

1

11

δβ+=α

≤   

  

  

  

 τ τ

+ 

  

 σ σ α

α

α

D

a

D

a

β costante del materiale: β ≈ 0.3 materiali duttili β ≈ 0.15 materiali fragili

Sollecitazioni non proporzionali sincrone con sfasamento δ

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 6

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 11

0 1.0

-1.0

1.0 1

2

−σ σ

D

dati di Sawert, 1943

1

1

−σ σ

D

0 1.0

-1.0

1.0

dati di Gough, 1951

acciaio Cr-Va

ghisa

1

2

−σ σ

D

1

1

−σ σ

D

Sines Sollecitazioni proporzionali

Fatica multiassiale 12

τ m

τ a

τ a

τ m02,1, =+ mm σσ

c)

σ m

σ a

σ a

σ m

02,1, ≠+ mm σσ

a)

Analisi di Sines: influenza dei valori medi (stati di tensione biassiale)

( ) ( ) ( ) ( ) 13,2,1,23,2,23,1,22,1, 2

1 −σ≤σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ Dmmmaaaaaa m

Tenendo conto dei risultati ottenuti senza tensione media e generalizzando :

σ m

τ a

τ a

σ m

02,1, ≠+ mm σσ

b)

τ m σa

τ m02,1, =+ mm σσ

d)

σ a

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 7

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 13

( ) ( ) ( ) ( ) 13,2,1,23,2,23,1,22,1, 2

1 −σ≤σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ Dmmmaaaaaa m

Nel caso uniassiale: 11,1, −σ=σ⋅+σ Dma m

cioè l’equazione di Goodman se m

D

R m 1−

σ =

Nel caso di alberi:

1 22 3 −σ≤σ⋅+τ+σ Dmaa m

Biassiale:

( ) 12,1,2,1,2 2,2 1, −σ≤σ+σ+σσ−σ+σ Dmmaaaa m

al II invariante del tensore deviatorico delle tensioni alternate

I invariante del tensore delle tensioni medie

Fatica multiassiale 14

In caso di intagli...

( ) ( ) ( ) ( ) f

D mmmaaaaaa K

m 13,2,1, 2

3,2, 2

3,1, 2

2,1, 2

1 −σ≤σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ

1−σ D

f D

K 1−σ

Rm

?

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 8

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 15

Interpretazione come tensioni equivalenti:

( ) ( ) ( )

)(

2

1

3,2,1,,

2 3,2,

2 3,1,

2 2,1,,

mmmeqm

aaaaaaeqa

σ+σ+σ=σ

σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ

σmRp0.2 RmRp0.2

Rm

Rp,0.2

Rm

R=-∞

σa

R=0

Componente

Provino σD−1

P

),(P eq,eq a,m σσ

* 1Dσ

f

i DD K

C∏⋅⋅σ=σ −− *

11

?

Fatica multiassiale 16

ottid τ=σ 2

3 Von Mises:

( ) ( ) ( )

( ) Hott

ott

σ==σ+σ+σ=σ

σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ

1321

2 31

2 32

2 21

I 3 1

3 1 3 1

Tensioni ottaedriche

1

2

3

Interpretazione di Sines con le tensioni ottaedriche

⇒ Formula alternativa:

( ) ( ) ( ) ba 3 1 2

3,2, 2

3,1, 2

2,1, ≤σ⋅+σ−σ+σ−σ+σ−σ H,maaaaaa

1 1

3 22

2 − − σ=

σ == D

m

D b R

ma

otta

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 9

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 17

( ) ( ) ( ) ( ) niDmmm

aaaaaa

m 1 fem

3, fem

2, fem

1,

2fem 3,

fem 2,

2fem 3,

fem 1,

2fem 2,

fem 1,

2

1

−σ≤σ+σ+σ+

+σ−σ+σ−σ+σ−σ

Sines + FEM

Corrisponde a non considerare la sensibilità all’intaglio: Kf = Kt

Nel caso biassiale:

( ) ( ) ( ) niDmmaaaa m 1fem2,fem1,fem2,fem1,2fem2,2fem1, −σ≤σ+σ+σσ−σ+σ

iD ni D C∏ ⋅⋅σ=σ −−

* 11

Fatica multiassiale 18

Crossland Sollecitazioni proporzionali o non proporzionali periodiche

( ) ( ) ( ) CmaxC,

CmaxC 2

3,2, 2

3,1, 2

2,1,

ba

ba 3 1

≤σ⋅+τ

≤σ⋅+σ−σ+σ−σ+σ−σ

H,otta

H,aaaaaa

Per sollecitazioni non proporzionali non è possibile definire un “istante medio”. Se le sollecitazioni sono periodiche è possibile valutare la σH,max

ac e bc valutabili con due limiti di fatica indipendenti: • Torsione – flessione • Trazione R = -1, Trazione con R = 0

 

  

 −

σ τ

=τ= −

− − 3

1 3 3

2 3 6

1

1 1

D

D CDC ab

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 10

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 19

Anche il metodo di Crossland può essere utilizzato con il FEM, con le stesse considerazioni svolte per Sines

Più restrittivo di Sines per le sollecitazioni proporzionali

Nel caso di sollecitazioni non proporzionali si considera la τa,ott massima nel periodo

Piano di Crossland

σH,max

τott b

maxCC lim

, a b H,otta σ⋅−≤τ

Fatica multiassiale 20

Piano critico

La fatica dipende dalle sollecitazioni agenti su un particolare piano (critico)

Il piano critico è quello di nucleazione delle cricche

La nucleazioni dipende principalmente dalle τ (γ) sul piano critico

τ (γ)

τ (γ)

τ (γ)

τ (γ)

σ (ε)

σ (ε)

le σ (ε) agenti normalmente al piano critico influenzano la nucleazione

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 11

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

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Fatica multiassiale 21

y

x

z n

τ

σ

t = [σ]·n

θ

ϕ

( ) ( )[ ]mamamama bbbbaaaa γ+γ+ε+ε+τ+τ+σ+σϕθ 43214321max:),(

Individuazione piano critico:

Verifica (* valori sul piano critico):

( ) ( ) LimBBBBAAAA mamamama ≤γ+γ+ε+ε+τ+τ+σ+σ ∗∗∗∗∗∗∗∗ 43214321

Fatica multiassiale 22

Individuazione componenti alterne e medie (multiassiali periodiche)

n

r

l t Traccia vettore t

l

r

σmax σmin

l

r

l

r

massima corda massima proiezione

minimo cerchio circoscritto

Proiezione sul piano critico

∗τa∗τa

∗τa ∗τa

∗τa

∗τm

∗τm ∗τm

Definizioni non univoche

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 12

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

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Fatica multiassiale 23

Brown e Miller Lavoro che ha introdotto il concetto di piano critico

Linea di ugual vita   

   ε+ε=

ε−ε 22

3131 f

Massima γ/2 εn nel piano della massima γ

Analizzando dati di fatica uniassiali e proporzionali

εεnε3 ε2

2 γ

ε1

γmax )(NCs n =ε⋅+γ∆

∗∗

NB: stress 2D ⇒ strain 3D

Formula alternativa:

s dipendente dal materiale

Fatica multiassiale 24

Piano critico (stato di tensione biassiale)

ε1

ε3

ε2

Superficie libera

Caso A

Stage I Stage II

ε1

ε2

ε3

Caso B

Stage I Stage II

321 ε≥ε≥ε

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 13

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

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Fatica multiassiale 25

Casi particolari

Uniassiali:

132 νε−=ε=ε

Cricche circolari

Torsione

0213 =εε−=ε

Caso A

Plane strain+tensione biassiale Caso B

Fatica multiassiale 26

Matake [ ]),(max:),( ϕθτϕθ a

λ≤σ⋅+τ ∗∗ maxka

McDiarmid

A D

Dm

A D

a R 1max1 1

2 − ∗

−∗ τ≤σ σ⋅

τ +τCricche di tipo A

1max 1

1 1 2

− ∗

−∗ τ≤σ⋅ 

  

 −

σ τ⋅

D D

D a

Calibrazione con 2 prove indipendenti

Calibrazione empirica

B D

Dm

B D

a R 1max1 1

2 − ∗

−∗ τ≤σ σ⋅

τ +τ

Cricche di tipo B

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 14

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 27

Socie

  

  

 σ +ε+γϕθ

E m

aamax:),(

( ) ( )cfb f

a NNGR k 2'2

' 1

02,p

max γ+ τ

=   

  

 σ +γ

∗ ∗

Valida solo certi materiali (propagazione cricca in modo II)

Socie e Fatemi

da determinare con prove di fatica a flessione e torsione

( ) ( )cfb fm

aa NNGE 2'2

' γ+

τ =

σ +ε+γ

∗ ∗∗

Fatica multiassiale 28

ccbbff f

f ==ε⋅=γ σ

=τ 11'3' 3

' '

Curva di Manson Coffin γ-2N

( ) ( ) 11 2'2 '

2 c

f bf NN

G γ+

τ =

γ∆

Stima 2

Stima 1

( ) ( )

( ) ( )cfb f

c f

bf

NN E

NN E

2'5.12 '

3.1 2

2'2 '

2

ε+ σ

= γ∆

ε+ σ

= ε∆

5.03.0

)1(

)(

1

1131

≈ν≈ν εν+=γ

εν−−ε=ε−ε=γ

pe

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 15

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Fatica multiassiale 29

Dang Van Approccio microscopico (mesoscopico)

lato V ≈ 1 mm (FEM)

Le tensioni/deformazioni macroscopiche sono la media delle tensioni/deformazioni microscopiche

Il materiale è omogeneo su scala macroscopico, anisotropo su scala microscopica

In ogni grano esistono piani di scorrimento facilitato (piani principali)

Le sollecitazioni macroscopiche sono in campo elastico Le sollecitazioni microscopiche possono essere in campo plastico

Fatica multiassiale 30

Il rottura a fatica avviene quando si innesca una cricca nel grano orientato più sfavorevolmente (fenomeno plastico)

La deformazione plastica nel grano (dovuta essenzialmente alle azioni tangenziali) si accumula.

La relazione fra le grandezze macroscopiche e quelle microscopiche risulta:

)()()( 2

)()( 31

ttt

tt

ρ+σ=µσ

µσ−µσ =µτ

Tensore tensioni residue (≠ 0 nei grani plasticizzati)

Ipotesi di Mandel

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 16

Massimo Rossetto

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Fatica multiassiale 31

Si deve tener conto dell’incrudimento sul piano principale che è una combinazione di due tipi: cinematico e isotropo

A B

C

D

E

Incrudimento cinematico (effetto Bauschinger): spostamento del centro del ciclo

µτ

µγ

A B

C D

E

µτ

µγ

F

GH

I L

Incrudimento isotropo: Innalzamento limite elastico

C’

Fatica multiassiale 32

Due casi: A) Ad un certo punto la capacità di incrudimento isotropo si esaurisce

e rimane un ciclo di isteresi che comporta un accumulo di deformazione plastica fino alla rottura del grano (= innesco cricca)

A B

C D

E

µτ

µγ

F

G H,N…

I,O … L,P…

NNs NR

Γ ΓR ΓS

Si innesca la cricca ⇒ rottura a fatica

∑µγ=Γ N

p 1

4

M…

rottura

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 17

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

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Fatica multiassiale 33

A B

C D

E

µτ τ

µγ, γ

F

GH

I L

NNs NR

Γ

Γ

…R,T…

…Q, S …

B) Il ciclo di isteresi si riduce ad una linea: non vi è ulteriore accumulo di deformazione plastica e non vi è quindi innesco della cricca

Tensione residua ρ

Stato adattato (o shake down elastico) ⇔ limite di fatica del grano

Ciclo microscopico elastico simmetrico

Ciclo macroscopico elastico asimmetrico

⇒ Il criterio di fatica è:

ΓS

Γ∞< ΓS

ρ costante in stato adattato

ρ=τm

Fatica multiassiale 34

µσΗ (tensione idrostatica microscopica) tiene conto dell’effetto delle tensioni normali alla superficie di scorrimento; si può dimostrare che:

)( 3

)()()(

3

)()()( )( 321321 t

tttttt t HH σ=

σ+σ+σ =

µσ+µσ+µσ =µσ

btat H ≤µσ⋅+µτ )()(

Per Dang Van:

Γ∞< ΓS

btat H ≤σ⋅+µτ )()(

(a e b ricavate da due prove monoassiali..)

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 18

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Fatica multiassiale 35

• il materiale è macroscopicamente omogeneo ⇒ i piani principali (di scorrimento) sono disposti casualmente.

• ci sarà sempre un piano principale orientato (nell’istante t) nella direzione della µτ max(t) (massima nello spazio).

• la tensione idrostatica σH(t) è indipendente dal piano (per definizione)

Per poterla applicare si deve considerare che:

ρ+σ=µσ

µτ= µσ−µσ

=µτ

)()(

)( 2

)()( )( 31max

tt

t tt

t

Costante nel tempo perché in stato adattato, calcolabile con procedimento grafico (automatizzabile) in alcuni casi

Fatica multiassiale 36

µτ b

-b

σΗ Resiste a fatica

Rottura a fatica

Se siamo in grado di calcolare le µτ (t) (cioè ρ e il tensore [σ(τ)]) possiamo valutare se un componente resiste a fatica oppure no:

btat H ≤σ⋅+µτ )()(

Il criterio è, in teoria, applicabile a qualunque storia di carico, anche non periodica, pur di essere in grado di valutare ρ. In pratica il calcolo si semplifica in casi particolari

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 19

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

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Fatica multiassiale 37

Storie di carico periodiche: • Si definisce τn,m come la distanza fra l’origine e il centro del minimo

cerchio circoscritto alla storia di carico delle τn(τ) su un piano (definito dal versore n); τn,m = ρn (sul piano).

• La distanza fra il centro e la curva (in ogni istante) è il valore µτn(ti) • Il raggio del cerchio minimo è il valore massimo nel piano durante il

ciclo della µτn(t) (= µτn,max).

minimo cerchio circoscritto su un

piano generico (n)

l

r

)( in tµτ

nmn ρ=τ ,

max,nµτ

La cricca può nascere quando, al variare di n, la µτn,max supera il valore critico del grano orientato più sfavorevolmente.

Fatica multiassiale 38

Storie di carico periodiche sincrone (in fase e fuori fase):

( ) ( ) 2

)()(

2

)()( )(

)()(

,33,1131 mm

mm

tttt t

tt

σ−σ−σ−σ =

µσ−µσ =µτ

σ−σ=µσ⇒σ−=ρ

Storie di carico periodiche con R = -1:

)( 2

)()(

2

)()( )(

)()(0

max3131 t tttt

t

ttm

τ= σ−σ

= µσ−µσ

=µτ

σ=µσ⇒=σ−=ρ

Storie di carico proporzionali con R = -1 e ampiezza costante:

Storie di carico proporzionali con R = -1:

[ ] )(max)(max)()( max a TtTt

ttt τ=µτ⇒τ=µτ ∈∈

[ ] a Tt

t τ=µτ ∈

)(max

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 20

Massimo Rossetto

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Fatica multiassiale 39

• campionamento del ciclo (K istanti)

• campionamento degli ∞2 piani (L·M) • per ogni ogni piano (individuato da n) si calcola il centro e il raggio

del minimo cerchio circoscritto (ρn; µτn,max) • si individua il piano n* con il massimo cerchio circoscritto:

µτn*,max= max(µτn,max) ⇒ ρ • sul piano n*, per ogni istante si calcolano:

Algoritmo (logico):

)()()( ttt Hiin σµτ=µτ ∗

• si esegue la verifica con il criterio di Dang Van: btat H ≤σ⋅+µτ )()(

Il tutto equivale a: [ ] btat H t

≤  

  σ⋅+µτ )()(maxmax

n

Esistono algoritmi per la valutazione delle grandezze in esame

Fatica multiassiale 40

Determinazione costanti a e b Prova di torsione alternata (R=-1, ampiezza costante)

[ ] 13211 03)(max −−∈ τ=⇒= σ+σ+σ

=στ=τ=µτ DHDa Tt

bt

aa τ−=σ=στ=σ max,3max,2max,1 0

btat H ≤σ⋅+µτ )()(

Prova di flessione rotante (R=-1, ampiezza costante)

0max,3max,2max,1 =σ=σσ=σ a

[ ]

2 33

32

33322 )(max

1

1 1

11

13211

− σ

τ⋅ =⇒σ=

σ ⋅+

σ

σ =

σ =

σ+σ+σ =σ

σ =

σ =µτ

− −

−−

−−

D

D D

DD

Da H

Da

Tt

aa

t

Meccanica dei Materiali Metallurgia Meccanica Fatica multiassiale 21

Massimo Rossetto

Dipartimento di Meccanica

Politecnico di Torino

Fatica multiassiale 41

τa(t)

τD-1

σD-1/2

σD-1/3

A volte la µτ(t) viene indicata come τa(t)

Torsione alterna

Flessione rotante

σΗ

1 1

1 )( 2 33

)( − −

− τ≤σ 

  

 −

σ τ⋅

+µτ DH D

D tt

Fatica multiassiale 42

τa(t)

τD-1

σΗ Sincrona fuori fase

Trazione con R=0

Compressione R=-∞ Asincrona periodica

Rottura

1 1

1 )( 2 33

)( − −

− τ≤σ 

  

 −

σ τ⋅

+µτ DH D

D tt

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