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Principio delle tensioni efficaci, Dispense di Geotecnica. Università della Calabria

Geotecnica

Materie simili: Meccanica, Geologia
Descrizione: Principio delle tensioni efficaci (Terzaghi)
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Universita: Università della Calabria
Indirizzo: Ingegneria
Materia: Geotecnica
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Capitolo 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

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CAPITOLO 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

Essendo il terreno un materiale multifase, il suo comportamento meccanico (compressibi- lità, resistenza), in seguito all’applicazione di un sistema di sollecitazioni esterne o, più in generale, ad una variazione delle condizioni esistenti, dipende dall’interazione tra le di- verse fasi. Lo studio di questa interazione, che rappresenta un problema estremamente complesso, può essere affrontato, in linea teorica, seguendo due tipi di approccio: − il primo consiste nell’analizzare il comportamento della singola particella, in relazio-

ne alle particelle circostanti e al fluido interstiziale, e nel determinare la risposta di un elemento di terreno a partire dalla modellazione del comportamento di un insieme di particelle;

− il secondo è basato su una trattazione di tipo più integrale, che prescinde dalle vicen- de dei singoli grani e analizza il comportamento globale del mezzo.

Il primo modo di procedere è talmente complesso da risultare di fatto inutilizzabile per le applicazioni ingegneristiche, cosicché nella pratica, con una pesante semplificazione dal punto di vista concettuale, un terreno saturo (salvo diversa indicazione ci riferiremo nel seguito a terreni totalmente saturi d’acqua) viene assimilato a due mezzi continui sovrap- posti, ovvero che occupano lo stesso volume, l’uno solido, l’altro fluido. Tale semplifica- zione implica che le proprietà di un elemento di terreno, infinitesimo o finito, siano le stesse, e che si possano estendere ancheciaooo ai terreni i concetti di tensione e deforma- zione propri dei mezzi continui con le relative notazioni. Naturalmente è necessario stabilire una legge di interazione tra le fasi, ovvero tra i due continui solido e fluido che occupano lo stesso volume di terreno. Tale legge è il princi- pio delle tensioni efficaci, enunciato da Karl Terzaghi nel 1923.

3.1 Principio delle tensioni efficaci Le esatte parole con cui Terzaghi enuncia il principio delle tensioni efficaci alla 1a Confe- renza Internazionale di Meccanica delle Terre (Londra, 1936) sono le seguenti: “The stress in any point of a section through a mass of soil can be computed from the total principal stresses σ1, σ2 and σ3 which act at this point. If the voids of the soil are filled with water under a stress u the total principal stresses consist of two parts. One part u acts in the water and in the solid in every direction with equal in- tensity. It is called the neutral stress (or the pore pressure). The balance σ1’ = σ1 – u, σ’2 = σ2 – u, and σ’3 = σ3 – u represents an excess over the neutral stress u and it has its seat exclu- sively in the solid phase of the soil. This fraction of the total principal stress will be called the effective principal stress”.

“Le tensioni in ogni punto di una sezione attraverso una massa di terreno possono es- sere calcolate dalle tensioni principali totali σ1, σ2 e σ3 che agiscono in quel punto. Se i pori del terreno sono pieni d’acqua ad una pressione u, le tensioni principali totali pos- sono scomporsi in due parti. Una parte, u, agisce nell’acqua e nella fase solida in tutte le direzioni con eguale intensità, ed è chia- mata pressione neutra (o pressione di pori). Le differenze σ1’ = σ1 – u, σ’2 = σ2 – u, e σ’3 = σ3 – u rappresentano un incremento rispetto alla pressione neutra ed hanno sede esclusivamente nella fase solida del terreno. Questa frazione della tensione totale princi- pale sarà chiamata tensione principale effi- cace”.

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“All measurable effects of a change of stress, such compression, distortion and a change of shearing resistance, are exclu- sively due to changes in the effective stresses”.

“Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la compressio- ne, la distorsione e la variazione di resisten- za al taglio è attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci”.

Si osservi che: − Terzaghi non attribuisce alcun significato fisico alle tensioni principali efficaci, ma le

definisce semplicemente come differenza tra tensioni principali totali e pressione neutra;

− le tensioni principali efficaci non sono dunque direttamente misurabili, ma possono essere desunte solo attraverso la contemporanea conoscenza delle tensioni principali totali e della pressione neutra;

− il principio delle tensioni efficaci è una relazione di carattere empirico (come si de- sume dal fatto che Terzaghi precisa che “Ogni effetto misurabile.....), sebbene sia sta- to finora sempre confermato dall’evidenza sperimentale.

In definitiva per studiare il comportamento meccanico di un terreno saturo ci si riferisce a due mezzi continui sovrapposti e mutuamente interagenti, e si definiscono in ogni punto il tensore delle tensioni totali, il tensore delle pressioni interstiziali (isotropo) e, per diffe- renza, il tensore delle tensioni efficaci. Importanti implicazioni del principio delle tensioni efficaci sono: una variazione di tensione efficace comporta una variazione di resistenza, se non vi è variazione di tensione efficace non varia la resistenza, una variazione di volume è sempre accompagnata da una variazione di tensione effi-

cace, una variazione di tensione efficace non comporta necessariamente una variazione di

volume, condizione necessaria e sufficiente affinché si verifichi una variazione di stato tensio-

nale efficace è che la struttura del terreno si deformi, la deformazione può essere vo- lumetrica, di taglio o entrambe.

Un’interpretazione fisica approssimata del concetto di tensione efficace può essere data nel modo seguente: si consideri una superfi- cie immaginaria (di area trasversale pari ad At) che divida in due parti un elemento di ter- reno saturo senza sezionare le particelle di terreno (Figura 3.1). Se indichiamo con: − Ac l’area dei contatti intergranulari, − u la pressione dell’acqua nei pori, la forza totale verticale, Ft,v , agente sulla su- perficie, è data dalla somma delle componen- ti verticali delle forze trasmesse dai grani in corrispondenza delle aree di contatto e dalla risultante della pressione dell’acqua nei pori, agente in corrispondenza delle zone di con- tatto acqua- superficie, ovvero:

Figura 3.1 – Schema adottato per l’interpretazione del principio delle tensioni efficaci

At

F1 F2 F3 F4

F5 F6 F7

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31

Ft,v = Σ Fi,v + u (At – Ac) (Eq. 3.1) Dividendo tutto per At e indicando con σ = (Ft,v /At), la tensione verticale totale media sulla superficie considerata, per l’equilibrio in direzione verticale si ha:

σ = Σ Fi,v/At + u (1 – Ac/At). (Eq. 3.2) Posto Σ Fi,v/At = σ, tensione efficace, e tenuto conto che l’area dei contatti intergranulari è trascurabile rispetto all’area totale (Ac<< At), si ottiene infine: σ = σ’ + u (Eq. 3.3) ovvero l’equazione del principio degli sforzi efficaci. A commento di quanto sopra detto, è opportuno evidenziare che: − la tensione efficace, σ, rappresenta la somma delle forze intergranulari riferita

all’area totale della sezione considerata (quindi una tensione media sulla sezione) e non la pressione esistente in corrispondenza delle aree di contatto, che risulta molto maggiore di σ’ (essendo l’area di contatto molto piccola);

− nel caso dei minerali argillosi, il termine σ include anche le azioni elettromagnetiche (di attrazione e repulsione) tra le particelle, che non risultano trascurabili rispetto alle pressioni intergranulari; anzi, per argille ad alta plasticità, dove potrebbero anche non esistere contatti intergranulari, σ rappresenta la risultante delle forze di attrazione e di repulsione tra le particelle;

− l’ipotesi di trascurare il rapporto AC/AT non è sempre valida per tutti i mezzi granula- ri1;

Per capire meglio il principio delle tensioni efficaci, consideriamo un recipiente contenen- te della sabbia immersa in acqua (Figura 3.2a), in modo che il livello dell’acqua sia coin- cidente con quello della sabbia (tutti i pori tra i grani sono pieni d’acqua, il terreno è satu- ro). Se immaginiamo di aggiungere sopra la sabbia uno strato di pallini di piombo (Figura 3.2b), si avrà un incremento di pressioni totali, ∆σ, e un conseguente abbassamento, ∆h, del livello superiore della sabbia. In questo caso, i pallini trasmettono le sollecitazioni di- rettamente allo scheletro solido, la pressione dell’acqua all’interno dei pori (pressione neutra) non cambia, l’incremento di tensione efficace è pari a quello di tensione totale (∆σ’ = ∆σ); la variazione delle tensioni efficaci produce degli effetti sul comportamento meccanico del terreno e induce dei cedimenti. Se invece immaginiamo di innalzare il livello dell’acqua (Figura 3.2c), nel recipiente con- tenente sabbia e acqua, si avrà un incremento di pressione totale dovuto unicamente ad un incremento del carico idrostatico, che produce in ciascun punto un analogo incremento della pressione neutra. In questo caso ∆σ = ∆u e ∆σ’ = 0; non avendo variazioni delle

1 A titolo di esempio, consideriamo due diversi mezzi granulari: una sabbia omogenea, per la quale si può ragionevolmente assumere un valore molto piccolo di AC/AT ( = 0.01) e un insieme di pallini di piombo, per i quali il valore del rapporto AC/AT è maggiore e vale approssimativamente 0.3 (in quanto a parità di dimen- sioni, forma e tensione totale agente su di essi, la deformabilità risulta più grande per i pallini di piombo con un conseguente aumento dell’area di contatto tra le particelle). Assumiamo inoltre, per entrambi i mezzi granulari: σ = 100kPa e u = 50kPa, e quindi per il principio delle tensioni efficaci σ’ = σ – u = 50kPa. Per la sabbia si ha: Σ Fi,v/At = σ - u (1 – Ac/At) =100 – 50·(1 – 0.01) = 50.5 kPa σ e la pressione verticale media di contatto interparticellare è molto elevata e vale: Σ Fi,v/AC = (Σ Fi,v/AT)·(AT / AC) = 50.5/0.01 = 5050 kPa. Per i pallini di piombo invece si ha: Σ Fi,v/At = σ - u (1 – Ac/At) =100 – 50·(1 – 0.3) = 65 kPa σ e la pressione verticale media di contatto interparticellare è molto meno elevata e vale: Σ Fi,v/AC = (Σ Fi,v/AT)·(AT / AC) = 65/0.3 = 216.7 kPa.

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tensioni efficaci non si hanno né effetti sul comportamento meccanico del terreno né ce- dimenti.

(a) (b)

∆h

Pallini di piombo

(c) Figura 3.2 – Effetti della variazione delle tensioni totali sulle tensioni efficaci: (a) condizione ini- ziale; (b-c) Eguale incremento di tensione totale, ∆σ, testimoniato dalla medesima variazione di peso registrata dalla bilancia; (b) ∆σ = ∆σ’, u = 0 produce l’effetto misurabile del cedimento h; (c) ∆σ = ∆u, ∆σ’ = 0 non si ha alcun effetto misurabile

3.2 Tensioni geostatiche In molti problemi di ingegneria geotecnica può essere necessario stimare l’effetto che una perturbazione, come ad esempio l’applicazione di un carico in superficie, lo scavo di una trincea o l’abbassamento del livello di falda, produce sul terreno in termini di resistenza e di deformazione. A tal fine è necessario prima stimare le variazioni dello stato di sollecitazione indotto dal- la perturbazione nel terreno, e poi applicare la legge costitutiva, ovvero le relazioni che permettono di stimare, date le variazioni di tensione, le conseguenti deformazioni, imme- diate e/o ritardate, del terreno. Poiché quasi mai il terreno può essere assimilato ad un mezzo elastico lineare, le deformazioni indotte dalla variazione di stato tensionale dipen- dono anche dallo stato tensionale iniziale del terreno, ovvero precedente alla perturbazio- ne, e dalla storia tensionale e deformativa che il terreno ha subito fino a quel momento. Perciò è molto importante stimare lo stato tensionale dovuto al peso proprio del terreno (tensioni geostatiche), che di norma corrisponde allo stato tensionale iniziale. La conoscenza dello stato tensionale iniziale in sito è dunque un punto di partenza fon- damentale per la soluzione di qualunque problema di natura geotecnica. In assenza di carichi esterni applicati, le tensioni iniziali in sito sono rappresentate dalle tensioni geostatiche (o litostatiche), ovvero dalle tensioni presenti nel terreno allo stato naturale, indotte dal peso proprio. Tali tensioni sono legate a molti fattori ed in particolare: − alla geometria del deposito, − alle condizioni della falda,

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− alla natura del terreno (caratteristiche granulometriche e mineralogiche, stato di ad- densamento o di consistenza, omogeneità, isotropia),

− alla storia tensionale (con il termine storia tensionale si intende comunemente la se- quenza di tensioni, in termini di entità e durata, che hanno interessato il deposito dall’inizio della sua formazione alle condizioni attuali),

e la loro determinazione è, in generale, piuttosto complessa. Se consideriamo all’interno di un deposito di terre- no un generico punto P, con rife- rimento ad un e- lemento cubico infinitesimo di terreno, i cui lati sono orientati se- condo un sistema di riferimento cartesiano orto- normale (0,x,y,z) con asse z verti- cale, lo stato ten- sionale può esse- re definito una volta note le

componenti normali, σ, e tangenziali, τ, delle tensioni agenti sulle facce dell’elemento di terreno considerato (Figura 3.3). Tali tensioni sono legate tra loro ed alle componenti dPx, dPy e dPz delle forze di volume, presenti nell’elemento, attraverso le equazioni indefinite di equilibrio alla traslazione e alla rotazione:

  

  

=+⋅ ∂

∂ +⋅

∂ ∂

+⋅ ∂

=+⋅ ∂

∂ +⋅

∂ +⋅

=+⋅ ∂

∂ +⋅

∂ +⋅

∂ ∂

0dPdzdx y

dzdy x

dydx z

0dPdzdx z

dzdy x

dzdx y

0dPdydx z

dzdx y

dzdy x

z yzxzz

y zyxyy

x zxyxx

ττσ

ττσ

ττσ

 

 

= = =

yzzy

xzzx

yxxy

ττ ττ ττ

(Eq. 3.4)

Nel caso di: − piano di campagna orizzontale ed infinitamente esteso − uniformità orizzontale delle proprietà del terreno (quindi terreno omogeneo od e-

ventualmente stratificato, con disposizione orizzontale degli strati) − falda orizzontale e in condizioni di equilibrio idrostatico

si realizza per ragioni di simmetria uno stato tensionale assial-simmetrico rispetto all’asse z, in cui in ogni punto il piano orizzontale e tutti i piani verticali sono principali e le tensioni orizzontali sono tra loro uguali, in tutte le direzioni. Lo stato tensionale totale in un generico punto P può essere dunque univocamente defini- to mediante una tensione totale verticale, σz = σv, e una tensione totale orizzontale, σh = σx = σy (Figura 3.4).

y x

z

O

σ z

σ y

σ x

τ z y

τ z x

τ x y

τ x z

τ y x

τ y z

Figura 3.3 – Stato tensionale di un elemento infinitesimo di terreno

Capitolo 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

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Le equazioni indefinite dell’equilibrio, (3.4), considerando che le forze di volume sono rappresentate dalla sola forza peso dPz = - dP = - γ dx dy dz, risultano così semplificate:

 

 

= ∂

= ∂

∂ =

∂ ∂

γσ

σσ

z

0 yx

v

hh

(Eq. 3.5)

Figura 3.4 – Stato tensionale assial-simmetrico e tensioni geostatiche nel terreno

3.2.1 Tensioni verticali

Integrando l’equazione ottenuta dall’equilibrio in direzione verticale, è possibile ricavare il valore della pressione verticale totale alla profondità z:

∫= z

v dZZ 0

)(γσ (Eq. 3.6)

Vale la pena evidenziare che le tensioni litostatiche vengono spesso indicate con il simbo- lo “0” a pedice, per sottolineare che si tratta di condizioni iniziali (di partenza per il pro- blema geotecnico di interesse). Se il deposito è omogeneo (γ costante con la profondità) e σv = 0 per z = 0 (assenza di ca- richi verticali sul piano di campagna) e la superficie piezometrica coincide col piano di campagna (zw = 0) si ha, dall’equazione : σvo = γ ⋅ z (Eq. 3.7) dove γ rappresenta il peso di volume saturo del terreno sovrastante2. Nel caso di deposito costituito da più strati orizzontali caratterizzati da valori di γ diversi (costanti all’interno di ciascuno strato), il valore della pressione verticale totale alla pro- fondità z è dato invece da:

σvo = Σi γi ⋅ ∆zi (Eq. 3.8) essendo ∆zi lo spessore dello strato i-esimo compreso entro la profondità z. È da osservare che anche all’interno di uno stesso strato γ può variare con la profondità (anche per effetto del solo peso proprio l’indice dei vuoti di un terreno diminuisce al cre-

2 Nel caso in cui la superficie piezometrica sia al di sopra del piano di campagna ad una distanza H, allora la tensione verticale totale è data da: σvo = γ z + γwH mentre nel caso in cui sia al di sotto del piano di cam- pagna ad una profondità zw, allora la tensione verticale totale è: σvo = γsat ⋅( z - zw) + γ ⋅ zw,,dove γ rappresen- ta il peso di volume del terreno al di sopra della falda (in genere parzialmente saturo a causa di fenomeni di risalita capillare) e γd < γ < γsat.

z

zw

dP

σv

dz z

v v

∂ +

σσ

σh σh

hσ

x

Capitolo 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

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scere della profondità e conseguentemente aumenta il suo peso di volume); in tal caso si è soliti suddividere il deposito in sottostrati per i quali viene assunto γ costante. La pressione verticale efficace, σv’, non è invece determinabile direttamente; una volta determinato il valore della pressione verticale totale, σv, è necessario perciò valutare an- che il valore della pressione dell’acqua nei pori, ossia il valore della pressione neutra, u, in modo da poter applicare l’equazione del principio delle pressioni efficaci (3.3). In condizioni di falda in quiete, la pressione dell’acqua, u, può essere ricavata una volta nota la posizione della superficie piezometrica, che è per definizione il luogo dei punti in cui la pressione dell’acqua è uguale alla pressione atmosferica, ua (in pratica la pressione dell’acqua u può essere rilevata utilizzando varie tecniche di misura che verranno descrit- te in uno dei capitoli seguenti). Poiché convenzionalmente si assume ua = 0, si ha, all’interno di un deposito reale, u>0 sotto la superficie piezometrica e u<0 sopra (specie per terreni coesivi per la presenza di fenomeni di risalita capillare). Essendo la determinazione dei valori u<0 molto incerta, si è soliti assumere u = 0 al di sopra della superficie piezometrica, commettendo consape- volmente un errore che, nella maggior parte dei casi è a favore della sicurezza. In ciascun punto al di sotto della superficie piezometrica, e in assenza di moto di filtra- zione, la pressione dell’acqua, uguale in tutte le direzioni, è pari al valore idrostatico3, ov- vero: u = γw z (Eq. 3.9) essendo z la profondità del punto considerato rispetto alla superficie piezometrica. Pertan- to, avendo assunto un sistema di riferimento con l’asse z verticale discendente e origine sul piano campagna, se la superficie piezometrica si trova a profondità zw, il valore della pressione neutra a profondità z è pari a: u = 0 per z < zw u = γw (z-zw) per z zw

(Eq. 3.10)

Ricordando l’espressione generale di σv, si ha quindi:

σ ’vo = σvo - u = σvo = Σi γi ⋅ ∆zi per z < zw σ ’vo = σvo - u = Σi γi ⋅ ∆zi – γw(z-zw) per z zw

(Eq. 3.11)

3.2.2 Tensioni orizzontali

Al contrario di quanto accade per le pressioni verticali, la determinazione delle pressioni orizzontali in un deposito risulta alquanto complessa, poiché le equazioni che si ricavano dall’equilibrio alle traslazioni in direzione orizzontale, (3.5), forniscono σh = costante e quindi non danno nessuna informazione utile. Non essendo pertanto possibile una loro determinazione analitica, neppure adottando pe- santi semplificazioni, è necessario ricorrere ad evidenze sperimentali. L’osservazione condotta sperimentalmente su depositi di differente origine e composizione, ha evidenzia- to che il valore di σ’h dipende, oltre che: − dalla geometria del deposito, − dalle condizioni della falda, − dalla natura del terreno

3 Infatti nella maggior parte dei casi i vuoti nei terreni sono fra loro comunicanti e quindi sotto falda sono saturi d’acqua. In alcuni casi ciò non è vero: ad esempio in alcuni terreni di origine vulcanica, come i terreni di Sarno

Capitolo 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

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(analogamente a quanto accade per σ’v), anche dalla storia tensionale del deposito. Per meglio comprendere l’influenza della storia tensionale del deposito sul valore della tensione orizzontale, si faccia riferimento ad un caso di sedimentazione in ambiente lacu- stre su un’area molto estesa in direzione orizzontale. La tensione verticale totale nel punto P (Figura 3.5a), in corrispondenza del piano di campagna, è inizialmente uguale alla pressione neutra, quindi la tensione efficace vertica- le risulta nulla. Durante la deposizione, dopo un certo periodo di tempo, il terreno nel punto P si trova ad una certa profondità z dal piano di campagna, e una volta raggiunto l’equilibrio sotto l’azione del peso del terreno sovrastante, si osserva che la pressione neu- tra è rimasta immutata, mentre per effetto del peso del terreno sovrastante, è aumentata la tensione verticale totale e con essa, per il principio delle tensioni efficaci, anche la tensio- ne efficace verticale, σ’v(A).

P

e

σ’ (log) v

∆σ’ v

∆e

(A)

A

B C

a) b)

(B) (C)

Figura 3.5 - Sedimentazione in ambiente lacustre (a) e linea di compressione vergine (b)

Il terreno in tale punto ha subito una compressione assiale (εz) senza deformazioni laterali (εx = εy = 0), per ragioni di simmetria, considerando il deposito infinitamente esteso in di- rezione orizzontale. Quindi risulta che la deformazione volumetrica, εv, è legata alla va- riazione di altezza ∆H e dell’indice dei vuoti ∆e del terreno dalla seguente relazione:

0 321 H

H zv

∆ ==++= εεεεε (Eq. 3.12)

dove4:

00

10

0

10

0

10

0 11// //)()(

e e

e ee

VVVV VVVV

VV VVVV

V V

sssv

svsv

sv

svsv v +

∆ =

+ −

= + −

= +

+−+ =

∆ =ε (Eq. 3.13)

da cui quindi risulta che:

00 1 e e

H H

+ ∆

= ∆ (Eq. 3.14)

Tale fenomeno, detto consolidazione monodimensionale, verrà ripreso ed approfondito nel Capitolo 7 e può essere descritto riportando su un grafico in scala semilogaritmica la tensione efficace verticale nel punto P considerato e l’indice dei vuoti corrispondente, raggiunto al termine della consolidazione, al procedere della deposizione del materiale. I valori si dispongono su una retta detta linea di compressione vergine (linea ABC in Figu- ra 3.5b). In queste condizioni di deformazioni orizzontali impedite dovute alla particolare geome- tria e simmetria del deposito, l’incremento delle tensioni efficaci orizzontali è sempre

4 Si assume che il volume dei solidi Vs rimanga costante nell’ipotesi di incompressibilità dei grani

Capitolo 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

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proporzionale al corrispondente incremento delle tensioni efficaci verticali, secondo un coefficiente detto coefficiente di spinta a riposo (“a riposo” significa in assenza di de- formazioni laterali):

'

'

vo

ho oK σ

σ = (Eq. 3.15)

In particolare durante la fase di deposizione del materiale, tale coefficiente rimane costan- te al variare della tensione efficace verticale raggiunta e dipende solo dalla natura del ter- reno. In una situazione di questo genere, in cui la tensione efficace verticale geostatica, σ’v0, coincide con la tensione efficace verticale massima sopportata dal deposito in quel punto durante la sua storia, si parla di terreno normalconsolidato (o normalmente conso- lidato, indicato con il simbolo NC). Supponiamo ora che alla fase di sedimentazione segua una fase di erosione (Figura 3.6a), e conseguentemente il deposito nel punto P, raggiunta la situazione rappresentata dal pun- to C in Figura 3.5b, subisca uno scarico tensionale con riduzione della tensione efficace verticale, fino al valore σ’v(D), e conseguente incremento dell’indice dei vuoti.

P

e

σ’ (log) v

D C

E

a) b)

(C)

(D)

(E)

Figura 3.6 - Fase di erosione e sedimentazione (a) e linea di scarico e ricarico (b)

Riportando i valori di tensioni efficaci verticali raggiunti in funzione dell’indice dei vuoti (Figura 3.6b) si osserva che lo scarico non avviene sulla stessa linea di compressione ver- gine (corrispondente alla fase di sedimentazione), ma su una retta di pendenza notevol- mente inferiore (linea di scarico), dove a parità di tensione efficace verticale raggiunta, il terreno presenta, rispetto alla fase di sedimentazione, una struttura più stabile, caratteriz- zata da una maggiore resistenza al taglio e da una minore compressibilità (fenomeno di preconsolidazione). In una situazione di questo genere in cui la tensione efficace verticale massima subita dal deposito nel punto considerato, σ’v(C), detta pressione di preconsoli- dazione ed indicata con σ’p, è maggiore della tensione efficace verticale geostatica, il ter- reno si definisce sovraconsolidato (indicato con il simbolo OC) e l’entità della sovracon- solidazione, legata all’ampiezza dello scarico e quindi al valore della tensione efficace verticale raggiunta, σ’v(D), è rappresentata dal grado di sovraconsolidazione, OCR (O- verConsolidation Ratio):

0v

p

' '

OCR σ σ

= (Eq. 3.16)

Capitolo 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

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dove la pressione di preconsolidazione σ’p è usualmente determinata da prove di laborato- rio su campioni indisturbati5. Al procedere dello scarico tensionale anche la tensione efficace orizzontale con la diffe- renza che ora il coefficiente di spinta a riposo, che si indica col simbolo K0(OC), aumenta al diminuire della tensione efficace verticale raggiunta (e quindi all’aumentare di OCR). Infine se il deposito è soggetto a una nuova fase di deposizione, con conseguente incre- mento delle tensioni efficaci verticali a partire dal punto indicato con D in Figura 3.6, il terreno si muove su una linea pressoché parallela a quella di scarico (linea di ricarico) fi- no al raggiungimento della pressione di preconsolidazione, σ’v(C), raggiunta la quale il terreno ritorna a comportarsi come un terreno normalconsolidato e a ripercorrere la linea di compressione inziale. Il coefficiente Ko, può essere valutato a partire dai risultati di alcune prove in sito (che ve- dremo nei capitoli seguenti); frequentemente viene stimato per mezzo di relazioni empiri- che a partire da parametri di più semplice determinazione (p. es. dalla densità relativa per i terreni a grana grossa o dall’indice di plasticità per terreni a grana fine). Ko per i terreni normalconsolidati (solitamente indicato col simbolo K0(NC)) varia gene- ralmente tra 0.4 e 0.8; in genere si hanno valori più bassi per terreni granulari, più alti per limi e argille.

Per terreni coesivi NC, le relazioni em- piriche esistenti in letteratura legano generalmente Ko a Ip, con Ko linear- mente crescente con Ip. Un esempio è riportato in Figura 3.7. Per terreni incoerenti NC esistono in letteratura correlazioni tra Ko e DR, nel- le quali Ko decresce al crescere di DR. Un esempio è riportato in Figura 3.8. In generale, per tutti i tipi di terreno, viene spesso utilizzata la seguente rela- zione di Jaky semplificata:

dove φ è l’angolo di resistenza al ta- glio (parametro che verrà definito nel capitolo relativo alla resistenza). Per terreni sovraconsolidati, Ko può

raggiungere valori anche maggiori di 1, e può essere stimato a partire dal valore di Ko del medesimo terreno normalconsolidato, mediante una relazione del tipo: Ko (OC) = Ko (NC) OCRα (Eq. 3.18)

dove α è un coefficiente empirico legato alla natura del terreno.

5 Nel caso in cui la sovraconsolidazione sia di origine meccanica (dovuta cioè a fenomeni di erosione o di innalzamento del livello di falda) il grado di sovraconsolidazione risulta massimo in prossimità della super- ficie del deposito e tende all’unità all’aumentare della profondità.

Indice di plasticità, I p

Indisturbato

Disturbato o ricostituito in laboratorio

C oe

ffi ci

en te

d i s

pi nt

a a

rip os

o, K

0

Figura 3.7 – Correlazione tra il coefficiente di spin- taa riposo, K0, ottenuto da prove di laboratorio, e l’indice di plasticità, Ip (Massarsch, 1979 mod.)

Ko 1- sin φ(Eq. 3.17)

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Per terreni coesivi viene spesso as- sunto α ≅ 0.5; esistono in letteratu- ra correlazioni che lo legano a Ip, del tipo α = a Ip-b , in cui α risulta una funzione decrescente di Ip. Per terreni incoerenti la determina- zione sperimentale di OCR, che ri- chiede il prelievo di campioni indi- sturbati, non è generalmente possi- bile. Perciò, anche se esistono al- cune relazioni empiriche di lettera- tura tra α e DR (un esempio è ripor- tato in Figura 3.9), il coefficiente di spinta a riposo in depositi OC di terreno incoerente, viene più op- portunamente determinato median- te prove in sito.

In conclusione, in un qualunque punto del deposito, noto il valore della pressione verticale efficace litostatica, σ’vo, e noto il coefficiente di spinta a riposo, Ko, il valo- re della pressione orizzontale efficace li- tostatica, σ’ho, può essere ricavato me- diante la relazione:

per definizione stessa di Ko. Dal valore della pressione orizzontale ef- ficace è possibile poi ricavare il valore della pressione orizzontale totale, sfrut- tando di nuovo la formulazione del prin- cipio delle pressioni efficaci e sommando il valore di u (già calcolato, essendo, co-

me sottolineato in precedenza, la pressione dell’acqua un tensore sferico, isotropo) a σ’ho, ovvero:

Riassumendo, sotto opportune ipotesi semplificative iniziali, noti: - il peso di volume sopra e sotto falda, - la posizione della superficie piezometrica, - il coefficiente di spinta a riposo, è possibile definire completamente lo stato tensionale geostatico all’interno di un deposi- to, che normalmente coincide con lo stato tensionale iniziale, la cui conoscenza, è, come già osservato, un punto di partenza indispensabile per la soluzione di qualunque problema geotecnico.

3.2.3 Influenza dell’oscillazione del livello di falda sulle tensioni efficaci

Si consideri un deposito, ipotizzato per semplicità omogeneo, caratterizzato da un peso di volume umido γ , sopra falda, e da un peso di volume saturo, γsat, sotto falda.

Figura 3.8 – Correlazione tra il coefficiente di spinta a riposo per terreni normalconsolidati, K0(NC),e la densi- tà relativa, Dr (Bellotti et al., 1985)

Figura 3.9 – Variazione dell’esponente α con la densità relativa, Dr (Bellotti et al., 1985)

σ’ho = Ko⋅σ’vo (Eq. 3.19)

σ ho = σ’ho + u (Eq. 3.20)

Capitolo 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

40

a) Supponiamo inizialmente la falda ad una profondità zw1 dal piano di campagna, e de- terminiamo l’andamento delle tensioni totali, efficaci e delle pressioni neutre con la pro- fondità (Figura 3.10a). In particolare utilizzando la (3.7) si ottiene l’andamento delle ten- sioni verticali totali (nell’ipotesi che il terreno non sia completamente saturo al di sopra della falda):

  

≥⋅+−⋅= <⋅=

1w1w1wsat1v

1w1v

zzperz)zz( zzperz

γγσ γσ

mentre dalla (3.10) si ottiene l’andamento delle pressioni neutre:

  

≥−⋅= <=

1w1ww1

1w1

zzper)zz(u zzper0u

γ

Infine, per differenza, (3.3), si ottiene l’andamento delle tensioni efficaci:

 

 

≥⋅+−=⋅+−−= −−⋅+−=

<⋅=

1w1w1w1w1wwsat

1ww1w1wsat1v

1w1v

zzperz)zz('z)zz)(( )zz(z)zz('

zzperz'

γγγγγ γγγσ

γσ

p.c

(a)

(a)

(a)( a)

(b)

(b) (b) (b)

zw1

z

σv

zw2

z

u σ’v

z

Figura 3.10 – Effetto dell’abbassamento della falda, al di sotto del piano di campagna, sulle tensioni efficaci

Supponendo che la falda si abbassi ad un livello zw2 > zw1, l’andamento delle tensioni to- tali, delle pressioni neutre e delle tensioni efficaci risulta così modificato (Figura 3.10 b):

  

≥⋅+−⋅= <⋅=

2w2w2wsat2v

2w2v

zzperz)zz( zzperz

γγσ γσ

  

≥−⋅= <=

2w2ww2

2w2

zzper)zz(u zzper0u

γ

  

≥⋅+−= <⋅=

2w2w2w2v

2w2v

zzperz)zz('' zzperz'

γγσ γσ

Supponendo che il peso di volume del terreno sopra falda sia lo stesso per le due condi- zioni esaminate, la variazione corrispondente delle pressioni totali efficaci e neutre è data da:

 

 

≥−⋅−=−=∆ <<−⋅−=−=∆

<=−=∆

2w2w1wsat1v2vv

2w1w1wsat1v2vv

1w1v2vv

zzper)zz()( zzzper)zz()(

zzper0

γγσσσ γγσσσ

σσσ

Capitolo 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

41

 

 

≥−⋅=−=∆ <<−⋅=−=∆

<=−=∆

2w2w1ww12

2w1w1ww12

1w12

zzper)zz(uuu zzzper)zz(uuu

zzper0uuu

γ γ

 

 

≥−⋅−=−=∆ <<−⋅−−=−=∆

<=−=∆

2w1w2w1v2vv

2w1w1w1v2vv

1w1v2vv

zzper)zz()'(''' zzzper)zz()'('''

zzper0'''

γγσσσ γγσσσ

σσσ

Dalle relazioni precedenti si osserva che, essendo zw2 > zw1 e γsat > γ > γ’, le tensioni totali e le pressioni neutre, tranne che nello strato al di sopra del livello di falda iniziale dove rimangono invariate, diminuiscono; la variazione, di entità differente nei due casi, è co- stante con la profondità al di sotto del livello finale della falda. Conseguentemente le ten- sioni efficaci aumentano provocando nel terreno un incremento delle caratteristiche di re- sistenza ed una compressione che ne determina un cedimento. b) Supponiamo ora che la variazione del livello di falda avvenga al di sopra del piano di campagna (Figura 3.11), cioè che la falda si abbassi da una quota h1 rispetto al piano di campagna ad una quota h2 < h1, mantenendosi sempre al disopra del piano di campagna. L’andamento delle tensioni totali, efficaci e delle pressioni neutre all’interno del deposito, prima (Figura 3.11a) e dopo l’abbassamento (Figura 3.11b), risulta il seguente:

1wsat1v hz ⋅+⋅= γγσ )hz(u 1w1 +⋅= γ

z'' 1v γσ =

2wsat2v hz ⋅+⋅= γγσ )hz(u 2w2 +⋅= γ

z'' 2v γσ =

p.c

(a)

(a)

(a)

(a)=(b)

(b)

(b) (b)

h 2

z

σ v

h 1

z

u σ’ v

z

Figura 3.11 – Effetto dell’abbassamento della falda, al di sopra del piano di campagna, sulle ten- sioni efficaci

Capitolo 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

42

Quindi la variazione corrispondente delle pressioni totali efficaci e neutre è pari a : )hh( 121v2vv w −⋅=−=∆ γσσσ

)hh(uuu 1212 w −⋅=−=∆ γ 0''' 1v2vv =−=∆ σσσ

Da cui si osserva che la diminuzione delle tensioni totali è sempre uguale alla variazione delle pressioni neutre e, a parte il primo tratto compreso tra la quota iniziale e finale della falda dove cresce linearmente con la profondità, è sempre costante. Conseguentemente la variazione delle tensioni efficaci è sempre nulla, ciò significa che l’abbassamento della falda in questo caso provoca una diminuzione delle tensioni totali che si scarica intera- mente sul campo fluido e non modifica il regime delle tensioni efficaci e quindi le caratte- ristiche di resistenza del terreno.

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