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Tensioni principali e direzioni principali di tensione, Appunti di Scienza Delle Costruzioni. Università di Padova

Scienza Delle Costruzioni

Descrizione:  Tensioni principali e direzioni principali di tensione
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Universita: Università di Padova
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Peccato vengano utilizzati sempre troppi pochi disegni :-(!

19/12/11 20:39
Lezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali di tensione.nb

Lezione 10 - Tensioni principali e

direzioni principali [Ultima revisione: 11 dicembre 2008]

In questa lezione si studiera' cio' che avviene alla componente normale di tensione sn , al variare del piano P

su cui essa e' calcolata. Dopo aver espresso la tensione normale in funzione dei coseni direttori alla normale

n al piano P, la procedura standard per la ricerca dei punti di estremo di una funzione conduce ad un sem-

plice risultato analitico, secondo cui il vettore tn della tensione risulta diretto secondo la normale n. Cio'

implica che sui piani dove la tensione normale assume un valore estremo, non agisce tensione tangenziale.

Si deduce infine in questa lezione l'equazione secolare per la ricerca delle tensioni principali, assieme alle

corrispondenti direzioni principali.

Tensioni normali e tangenziali, rivisitate

Si riscriva ora il teorema di Cauchy-Poisson, alla nuova luce della simmetria della matrice delle tensioni,

ottenendo cosi' le componenti del vettore tensione tn in forma definitiva:

(1)tn1 = σ11 n1 + σ12 n2 + σ13 n3

(2)tn2 = σ12 n1 + σ22 n2 + σ23 n3

(3)tn3 = σ13 n1 + σ23 n2 + σ33 n3

La proiezione tnl di tn secondo una generica retta l si ottiene moltiplicando scalarmente il vettore tn per il

vettore contenente i coseni direttori della retta l. Indicando con l = Hl1, l2, l3L i coseni direttori suddetti, si ha:

(4)tnl = t l = tni li = σij li nj

Di particolare importanza e' il caso in cui l = n, ossia il caso in cui si vuol conoscere la componente di tn

secondo la normale n. Si ha:

(5) σn = tnn = t n = tni ni = σij ni nj =

σ11 n1 2 + σ22 n2

2 + σ33 n3 2 + 2 σ12 n1 n2 + 2 σ13 n1 n3 + 2 σ23 n2 n3

oppure, essendo:

(6)n1 2 + n2

2 + n3 2 = 1  n3

2 = 1 − n1 2 − n2

2

(7) σn = Hσ11 − σ33L n1

2 + Hσ22 − σ33L n2 2 +

σ33 + 2 σ12 n1 n2 + 2 Hσ13 n1 + σ23 n2L H1 − n1 2 − n2

2L 1ê2

Dovendo poi essere, (cfr. eqn(10) della Lezione 7):

(8)tn 2 = σn

2 + τ2

si puo' calcolare l'intensita' della tensione tangenziale:

(9)τ2 = tn1 2 + tn2

2 + tn3 2 − σn

2

La ricerca della massima e minima tensione normale

La tensione in un punto, come si e' visto, e' un insieme 8tn< di infiniti valori, funzione della normale n al

piano passante per P. Ha quindi senso chiedere qual'e' il piano per cui la tensione normale sn assume il suo

valore estremo, massimo o minimo.

Per rispondere a questa domanda occorre imporre le condizioni di stazionarieta':

(10) ∂σn ∂n1

= 0; ∂σn ∂n2

= 0; ∂σn ∂n3

= 0

Utilizzando la (7), si potra' scrivere:

(11)

∂σn ∂n1

= 2 Hσ11 − σ33L n1 + 2 σ12 n2 + 2 σ13 H1 − n1 2 − n2

2L 1ê2

+

2 Hσ13 n1 + σ23 n2L 1 2 H1 − n1

2 − n2 2L

−1ê2 H−2 n1L =

2 Hσ11 − σ33L n1 + 2 σ12 n2 + 2 σ13 n3 − 2 n1 n3

Hσ13 n1 + σ23 n2L =

2 Hσ11 n1 + σ12 n2 + σ13 n3L − 2 n1 n3

Hσ13 n1 + σ23 z n2 + σ33 n3L = 0

e quindi, in base al teorema di Cauchy-Poisson:

(12) tn1 n1

= tn3 n3

Del tutto analogamente dovra' anche essere:

(13) tn1 n1

= tn2 n2

; tn2 n2

= tn3 n3

e quindi, in definitiva, potra' porsi:

(14) tn1 n1

= tn2 n2

= tn3 n3

= σ

Dalla (4) sara' poi:

(15)σn = tn1 n1 + tn2 n2 + tn3 n3 = σ n1 2 + σ n2

2 + σ n3 2 = σ

e dalla (8) risulta immediato dedurre:

(16)τ = 0

In altri termini:

- un piano su cui la tensione normale e' massima, o minima, e' anche un piano su cui non agiscono tensioni

tangenziali.

Le tensioni principali

Si vogliono ora individuare i piani su cui la tensione normale raggiunge il suo valore massimo o minimo, o

meglio, si vogliono calcolare i coseni direttori della normale a tali piani.

61 Lezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali di tensione.nb

In base alla (16), cio' equivale ad individuare i piani per cui le tensioni tangenziali si annullano. In altri

termini, quali sono i piani passanti per il punto P, per cui la tensione tn e' diretta proprio lungo la normale,

come illustrato in Figura 1?

P

P

tn

st

sn

n

P

P

tn= s n

n

aL bL

Figura 1 - a) Il caso usuale, con la tensione tn e le sue componenti normale e tangenziale. b) Il caso in cui la

componente tangenziale si annulla, ed n e' direzione principale.

Se tn e' orientata secondo la normale n, allora si avra', come si osserva dalla Figura 2, e come confermato

dalla (14):

(17)tn1 = σ n1; tn2 = σ n2; tn3 = σ n3

P

P

tn = s n

tn1

tn2

n

x

y

Figura 2 - Le componenti della tensione principale tn .

D'altro canto, secondo il teorema di Cauchy-Poisson:

(18)

tn1 = σ11 n1 + σ12 n2 + σ13 n3

tn2 = σ12 n1 + σ22 n2 + σ23 n3

tn3 = σ13 n1 + σ23 n2 + σ33 n3

Lezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali di tensione.nb 62

e quindi dovra' essere:

(19)

Hσ11 − σL n1 + σ12 n2 + σ13 n3 = 0

σ12 n1 + Hσ22 − σL n2 + σ23 n3 = 0

σ13 n1 + σ23 n2 + Hσ33 − σL n3 = 0

E' questo un sistema di tre equazioni omogenee nelle tre incognite n1, n2 , n3 la cui soluzione banale n1 = n2 =

n3 = 0 non ha significato fisico. Ed infatti le n1 , n2 ed n3 sono i coseni direttori della normale al piano P.

Occorre allora calcolare le soluzioni non banali, e definite a meno di costanti, imponendo che sia nullo il

determinante dei coefficienti del sistema (19):

(20)det i

k

jjjjj

σ11 − σ σ12 σ13

σ12 σ22 − σ σ23

σ13 σ23 σ33 − σ

y

{

zzzzz = 0

e svolgendo i calcoli si ha l'equazione cubica in s:

(21)− σ3 + I1 σ 2 − I2 σ + I3 = 0

con:

(22)I1 = Traccia S = σ11 + σ22 + σ33

(23)I2 = σ11 σ22 + σ11 σ33 + σ22 σ33 − σ12 2 − σ13

2 − σ23 2

(24)I3 = Det S = det i

k

jjjjj

σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23

σ13 σ23 σ33

y

{

zzzzz

Nota - L'equazione (21) si chiama equazione secolare, mentre le tre quantita' I1 , I2 ed I3 prendono il nome di

invariante lineare, quadratico e cubico di tensione, ad indicare che il loro valore non cambia al ruotare del

sistema di riferimento adottato.

Le direzioni principali di tensione

Si puo' dimostrare che l'equazione cubica in s ammette tre radici reali s1¥ s2 ¥ s3 , dette tensioni princi-

pali. In corrispondenza di ciascuno di questi valori il sistema (19) diviene indeterminato, ed ammette una

infinita' di soluzioni non nulle. Tuttavia questa indeterminazione si puo' eliminare considerando che dovra'

comunque essere:

(25)n1 2 + n2

2 + n3 2 = 1

Sia n1 = Hn11, n21, n31L la soluzione che si ottiene in corrispondenza di s = s1 , n2 = Hn12, n22, n32L la

soluzione che si ottiene in corrispondenza di s = s2 , ed infine n3 = Hn13, n23, n33L la soluzione che si ottiene

in corrispondenza di s = s3 .

Si puo' dimostrare anche che queste tre direzioni n1 , n2 e n3 , dette direzioni principali di tensione, sono tra

loro ortogonali, sicche', ad esempio:

(26)n1 ◊ n2 = n11 n12 + n21 n22 + n31 n32 = 0

I piani identificati dalle direzioni principali, detti piani principali, sono anch'essi mutuamente ortogonali, ed

un elemento rettangolare, contenente il punto P in studio, le cui facce vengano a coincidere coi piani princi-

pali, sara' sollecitato da sole tensioni normali, pari alle tensioni principali.

63 Lezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali di tensione.nb

1

2

3

σ2

σ2

σ3

σ3

σ1

σ1

E

A

B

C

G

D

F

H

Figura 3 - L'elemento rettangolare orientato secondo gli assi principali, e quindi soggetto alle sole tensioni normali

Ne segue che se il sistema di riferimento (0, X1, X2, X3 ) viene ruotato fino a portarlo a coincidere col

sistema principale (0,1,2,3), la matrice delle tensioni assumera' l'aspetto diagonale:

(27)S =

i

k

jjjjjj

σ1 0 0

0 σ2 0

0 0 σ3

y

{

zzzzzz

ed i tre invarianti saranno forniti da:

(28)I1 = Traccia S = σ1 + σ2 + σ3

(29)I2 = σ1 σ2 + σ1 σ3 + σ2 σ3

(30)I3 = Det S = σ1 σ2 σ3

Lezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali di tensione.nb 64

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