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Tensioni principali e direzioni principali di tensione, Appunti di Scienza Delle Costruzioni. Università di Padova

Scienza Delle Costruzioni

Descrizione:  Tensioni principali e direzioni principali di tensione
Mostro le pagine  1  -  4  di  5
Lezione 10 - Tensioni principali e
direzioni principali
In questa lezione si studiera' cio' che avviene alla componente normale di tensione
s
n, al variare del piano P
su cui essa e' calcolata. Dopo aver espresso la tensione normale in funzione dei coseni direttori alla normale
n al piano P, la procedura standard per la ricerca dei punti di estremo di una funzione conduce ad un sem-
plice risultato analitico, secondo cui il vettore tn della tensione risulta diretto secondo la normale n. Cio'
implica che sui piani dove la tensione normale assume un valore estremo, non agisce tensione tangenziale.
Si deduce infine in questa lezione l'equazione secolare per la ricerca delle tensioni principali, assieme alle
corrispondenti direzioni principali.
Tensioni normali e tangenziali, rivisitate
Si riscriva ora il teorema di Cauchy-Poisson, alla nuova luce della simmetria della matrice delle tensioni,
ottenendo cosi' le componenti del vettore tensione tn in forma definitiva:
(1)tn1 = σ11 n1+ σ12 n2+ σ13 n3
(2)tn2 = σ12 n1+ σ22 n2+ σ23 n3
(3)tn3 = σ13 n1+ σ23 n2+ σ33 n3
La proiezione t
nl
di tnsecondo una generica retta l si ottiene moltiplicando scalarmente il vettore tn per il
vettore contenente i coseni direttori della retta l. Indicando con l
=
H
l
1
,
l
2
,
l
3
L
i coseni direttori suddetti, si ha:
(4)tnl =tl=tni li= σij li nj
Di particolare importanza e' il caso in cui l = n, ossia il caso in cui si vuol conoscere la componente di tn
secondo la normale n. Si ha:
(5)
σn=tnn =tn=tni ni= σij ni nj=
σ11 n
1
2+ σ22 n
2
2+ σ33 n
3
2+2σ12 n1 n2+2σ13 n1 n3+2σ23 n2 n3
oppure, essendo:
(6)
n
1
2
+n
2
2
+n
3
2
=1n
3
2
=1n
1
2
n
2
2
(7)
σn=
σ11 − σ33
n1
2
+
σ22 − σ33
n2
2
+
σ33 +2σ12 n1 n2+2
σ13 n1+ σ23 n2
1n
1
2n
2
2
1
ê
2
Dovendo poi essere, (cfr. eqn(10) della Lezione 7):
(8)
t
n
2
= σ
n
2
+ τ
2
si puo' calcolare l'intensita' della tensione tangenziale:
(9)
τ
2
=t
n1
2
+t
n2
2
+t
n3
2
− σ
n
2
La ricerca della massima e minima tensione normale
La tensione in un punto, come si e' visto, e' un insieme
8
tn
<
di infiniti valori, funzione della normale n al
piano passante per P. Ha quindi senso chiedere qual'e' il piano per cui la tensione normale
s
n assume il suo
valore estremo, massimo o minimo.
Per rispondere a questa domanda occorre imporre le condizioni di stazionarieta':
(10)
σ
n

1
=0;
σ
n

2
=0;
σ
n

3
=0
Utilizzando la (7), si potra' scrivere:
(11)
σ
n

n1
=2
σ11 − σ33
n1+2σ12 n2+2 σ13
1n1
2n2
2
1
ê
2+
2Hσ13 n1+ σ23 n2L 1

2 H1n1
2n2
2L1ê2 H2 n1L=
2
σ11 − σ33
n1+2σ12 n2+2 σ13 n32 n1

n3
σ13 n1+ σ23 n2
=
2
σ11 n1+ σ12 n2+ σ13 n3
2 n1

3
σ13 n1+ σ23 z n2+ σ33 n3
=0
e quindi, in base al teorema di Cauchy-Poisson:
(12)
n1

n
1
=
n3

3
Del tutto analogamente dovra' anche essere:
(13)
n1

n
1
=
n2

2
;
n2

2
=
n3

3
e quindi, in definitiva, potra' porsi:
(14)
n1

n
1
=
n2

2
=
n3

3
= σ
Dalla (4) sara' poi:
(15)
σn=tn1 n1+tn2 n2+tn3 n3= σ n
1
2
+ σ n
2
2
+ σ n
3
2
= σ
e dalla (8) risulta immediato dedurre:
(16)τ = 0
In altri termini:
- un piano su cui la tensione normale e' massima, o minima, e' anche un piano su cui non agiscono tensioni
tangenziali.
Le tensioni principali
Si vogliono ora individuare i piani su cui la tensione normale raggiunge il suo valore massimo o minimo, o
meglio, si vogliono calcolare i coseni direttori della normale a tali piani.
61 Lezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali di tensione.nb
In base alla (16), cio' equivale ad individuare i piani per cui le tensioni tangenziali si annullano. In altri
termini, quali sono i piani passanti per il punto P, per cui la tensione tn e' diretta proprio lungo la normale,
come illustrato in Figura 1?
P
P
t
n
s
t
s
n
n
P
P
t
n
= s n
n
a
L
b
L
Figura 1 - a) Il caso usuale, con la tensione tn e le sue componenti normale e tangenziale. b) Il caso in cui la
componente tangenziale si annulla, ed n e' direzione principale.
Se tn e' orientata secondo la normale n, allora si avra', come si osserva dalla Figura 2, e come confermato
dalla (14):
(17)tn1 = σ n1; tn2 = σ n2; tn3 = σ n3
P
P
t
n
= s n
t
n1
t
n2
n
x
y
Figura 2 - Le componenti della tensione principale tn.
D'altro canto, secondo il teorema di Cauchy-Poisson:
(18)
tn1 = σ11 n1+ σ12 n2+ σ13 n3
tn2 = σ12 n1+ σ22 n2+ σ23 n3
tn3 = σ13 n1+ σ23 n2+ σ33 n3
Lezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali di tensione.nb 62
e quindi dovra' essere:
(19)
σ11 − σ
n1+ σ12 n2+ σ13 n3=0
σ12 n1+
σ22 − σ
n2+ σ23 n3=0
σ13 n1+ σ23 n2+
σ33 − σ
n3=0
E' questo un sistema di tre equazioni omogenee nelle tre incognite n
1
, n
2
, n
3
la cui soluzione banale n
1
= n
2
=
n
3
= 0 non ha significato fisico. Ed infatti le n
1
, n
2
ed n
3
sono i coseni direttori della normale al piano P.
Occorre allora calcolare le soluzioni non banali, e definite a meno di costanti, imponendo che sia nullo il
determinante dei coefficienti del sistema (19):
(20)
det
σ
11
σ
σ
12
σ
13
σ12 σ22 − σ σ23
σ
13
σ
23
σ
33
− σ
=0
e svolgendo i calcoli si ha l'equazione cubica in s:
(21)
− σ
3
+I1σ
2
I2σ + I3=0
con:
(22)I1=Traccia S= σ11 + σ22 + σ33
(23)
I2= σ11 σ22 + σ11 σ33 + σ22 σ33 − σ
12
2
− σ
13
2
− σ
23
2
(24)
I3=Det S=det
σ
11
σ
12
σ
13
σ12 σ22 σ23
σ
13
σ
23
σ
33
Nota - L'equazione (21) si chiama equazione secolare, mentre le tre quantita' I
1
, I
2
ed I
3
prendono il nome di
invariante lineare, quadratico e cubico di tensione, ad indicare che il loro valore non cambia al ruotare del
sistema di riferimento adottato.
Le direzioni principali di tensione
Si puo' dimostrare che l'equazione cubica in s ammette tre radici reali
s
1
¥
s
2
¥
s
3
, dette tensioni princi-
pali. In corrispondenza di ciascuno di questi valori il sistema (19) diviene indeterminato, ed ammette una
infinita' di soluzioni non nulle. Tuttavia questa indeterminazione si puo' eliminare considerando che dovra'
comunque essere:
(25)
n
1
2
+n
2
2
+n
3
2
=1
Sia n
1
=
H
n
11
,
n
21
,
n
31
L
la soluzione che si ottiene in corrispondenza di s =
s
1
, n
2
=
H
n
12
,
n
22
,
n
32
L
la
soluzione che si ottiene in corrispondenza di s =
s
2
, ed infine n
3
=
H
n
13
,n
23
,n
33
L
la soluzione che si ottiene
in corrispondenza di s =
s
3
.
Si puo' dimostrare anche che queste tre direzioni n
1
, n
2
e n
3
, dette direzioni principali di tensione, sono tra
loro ortogonali, sicche', ad esempio:
(26)
n1n2=n11 n12 +n21 n22 +n31 n32 =0
I piani identificati dalle direzioni principali, detti piani principali, sono anch'essi mutuamente ortogonali, ed
un elemento rettangolare, contenente il punto P in studio, le cui facce vengano a coincidere coi piani princi-
pali, sara' sollecitato da sole tensioni normali, pari alle tensioni principali.
63 Lezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali di tensione.nb
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Universita: Università di Padova
Data di caricamento: 10/12/2010
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tetooo - Università Roma Tre

Peccato vengano utilizzati sempre troppi pochi disegni :-(!

19/12/11 20:39
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