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Test chi quadro, Dispense di Statistica. Università di Siena

Statistica

Descrizione: Spiegazione del concetto di chi quadro, con dimostrazioni del calcolo del test chi quadro.
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Il test di chi-quadro
Germano Rossi
18 novembre 2004
vers. 0.6
Indice
Indice 1
1 Il test di chi-quadro [0.6] 2
1.1 Introduzione....................................... 2
1.2 Terminologia ...................................... 4
1.3 La formula di chi-quadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Ivaloriteorici...................................... 6
1.5 La distribuzione chi-quadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 I gradi di libert`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Linferenza ....................................... 9
1.8 Correzione di Yates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Verifica di un modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.10Riepilogo ........................................ 12
1.11Fonti........................................... 13
Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Questa dispensa `e un capitolo di un lavoro pi`u vasto intitolato Elementi di ragionamento statistico: per
psicologia e scienze dell’educazione da cui `e tratto.
Universit`a degli Studi di Milano-Bicocca, Dipartimento di Psicologia (germano.rossi@unimib.it)
1
2CAPITOLO 1. IL TEST DI CHI-QUADRO [0.6]
1 Il test di chi-quadro [0.6]
1.1 Introduzione
Il test di chi-quadro (χ2) `e una tecnica di inferenza statistica che si basa sulla statistica di chi-
quadro e sulla relativa distribuzione di probabilit`a1. Si pu`o usare con variabili a livello di scala
nominale e/o ordinale, generalmente disposte in forma di tabelle di contingenza.
Lo scopo principale di questa statistica `e di verificare le differenze tra valori osservati e valori
teorici (generalmente chiamati “attesi”) e di effettuare un’inferenza sul grado di scostamento
fra i due. Praticamente la tecnica viene usata con 3 diversi obiettivi, tutti basati sullo stesso
principio fondamentale:
a) la casualit`a della distribuzione di una variabile categoriale;
b) l’indipendenza di due variabili qualitative (nominali o ordinali);
c) le differenze con un modello teorico.
Per lo scopo del punto b), l’indice statistico di chi-quadro pu`o essere considerato come una
statistica di associazione.
1.1.1 Casualit`a della distribuzione di una variabile
Per ora, ci limiteremo a considerare il primo aspetto (ovvero il punto a), utilizzando una ipotesi
di lavoro della psichiatria, di qualche anno fa.
Per diversi anni, gli psichiatri hanno avanzato l’ipotesi che i pazienti affetti da schizofrenia
nascano prevalentemente nei periodi invernali (Bradbury & Miller, 1985). Vogliamo vedere se
anche i dati in nostro possesso ci portano a conclusioni analoghe. A questo scopo, usando le
cartelle cliniche (del tutto inventate), raccogliamo le informazioni relative alla data di nascita
di un certo numero di pazienti schizofrenici e li suddividiamo in categorie corrispondenti alle 4
stagioni dell’anno:
Tabella 1: Numero di schizofrenici nati nelle singole stagioni (Dati fittizi)
Primavera Estate Autunno Inverno Totale
Soggetti schizofrenici 125 130 153 153 636
Se formulassimo un’ipotesi di assoluta uniformit`a, cio`e che la stagione di nascita non ha nulla
a che fare con il fatto di manifestare successivamente un patologia schizofrenica, dovremmo
aspettarci che ogni cella contenga pi`u o meno la stessa percentuale di nati (poice ci sono 4
celle, il 25% circa, cio`e 159). In pratica quello che faremmo `e utilizzare un’ipotesi nulla di
equiprobabilit`a:
H0:P(P) = P(E) = P(A) = P(I) = 0.25
contro un’ipotesi alternativa non equiprobabile
H1:P(P)6=P(E)6=P(A)6=P(I)6= 0.25
e di usare l’ipotesi nulla per generare le frequenze teoriche.
1Il termine “chi-quadro” si usa per indicare contemporaneamente la distribuzione di probabilit`a, una parti-
colare tecnica di inferenza statistica e un indice statistico. Alcuni autori usano il simbolo χ2(chi greca minuscola)
per indicare la distribuzione di probabilit`a e X2(chi greca maiuscola) per indicare la statistica. In questa sede,
per`o, non faremo questa distinzione.
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Informazioni sul documento
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Indirizzo: Matematica
Universita: Università di Siena
Materia: Statistica
Data di caricamento: 01/06/2012
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