Scarica Appunti di Matematica di base e più Appunti in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti I Equazioni e disequazioni algebriche 3 1 Esercizi sui polimoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . 3 3 Esercizi sulle disequazioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . 6 5 Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto . . . . . . . . 7 II Equazioni e disequazioni trascendenti 11 1 Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . 13 i ii Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti Esercizi sulle disequazioni razionali: esercizi proposti 5 (d) x2 − 5x + 6 x2 − 3x + 10 > 0 [x < 2, x > 3] (e) x2 + 10x + 16 x− 1 > 10 [x > 1] (f) 2(x2 − 5)(x2 + 4) < 0 [ x < − √ 5, x > √ 5 ] (g) (−2x2 + 7x− 5)3(x + 1)(4− x2)4 ≤ 0 [ x = −2 ,−1 ≤ x ≤ 1 , x = 2 , x ≥ 5 2 ] (h) 1 (1 + x2)2 − 4 (16 + x2)2 < 0. [ x < − √ 14 , x > √ 14 ] Esercizio 2. Sia P (x) un polinomio. Sapendo che la soluzione della disequazione P (x) > 0 è data da x < −1 , 0 < x < 1 , x > 9 , determinare le soluzioni delle seguenti disequazioni: P (−x) > 0 , P (√ x ) > 0 , P ( x2 ) > 0 , P (3x) > 0 , P ( 1 3 x ) > 0 , 1 P (x) > 0 , P (x) P (−x) > 0 .  P (−x) > 0 =⇒ x < −9 , −1 < x < 0 , x > 1 , P (√ x ) > 0 =⇒ 0 < x < 1 , x > 81 , P ( x2 ) > 0 =⇒ x < −3 , −1 < x < 0 , 0 < x < 1 , x > 3 , P (3x) > 0 =⇒ x < −1 3 , 0 < x < 1 3 , x > 3 , P ( 1 3 x ) > 0 =⇒ x < −3 , 0 < x < 3 , x > 27 , 1 P (x) > 0 =⇒ x < −1 , 0 < x < 1 , x > 9 , P (x) P (−x) > 0 =⇒ x < −9 , x > 9 ,  6 Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti 4 Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni: (a) − √ x3 − 4 √ x + 4x + 1 = 0 [ 1; 7± 3 √ 5 2 ] (b) 2 √ x2 − 1 + x √ 4− x2 = 0 [ − √ 2 ] (c) 2 + 1 (x + 1) √ −(x + 1) = 0 [ −1− 2− 2 3 ] (d) 2x (4− x2) 3 2 − 1 (x2 − 1) 3 2 = 0 [√ 2 ] (e) 4− x 2 3 ( 1− x 1 3 )2 = 0. [−1; 8] Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) x + 3 > √ 3x2 + 10x + 3 [ −1 3 ≤ x < 1 ] (b) √ x2 − 3x + 2 ≥ √ −x2 − x + 6 [−3 ≤ x ≤ −1 , x = 2] (c) 2x + 1 > 4 √ 16x4 + 32x3 + 24x2 [ x > −1 8 ] (d) 2 √ 6x3 + 7x2 − 9x + 2 ≥ −x2 [ −2 ≤ x ≤ 1 3 , x ≥ 1 2 ] (e) 3x √ 1 + x2 + 2 ≥ 0 [ x ≥ − √ 3 3 ] (f) √ x− 2 x− 1 > 2 [ 2 3 < x < 1 ] (g) 10− x2 + 3x √ 5− x2 ≥ 0 [ − √ 5 ≤ x ≤ −2 , − √ 5 2 ≤ x ≤ √ 5 ] 5. Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto 7 (h) x2 √ 2− x2 > 10 [6 ∃x ∈ R] (i) 16− 3x− 8 √ 4− x ≥ 0 [ x ≤ 0 , 32 9 ≤ x ≤ 4 ] (l) 4x √ x− 3x− 1 4x(x + 1)2 √ x ≥ 0 [x ≥ 1] (m) x (4− x2) 3 2 + 1 x2 ≤ 0 [ −2 < x ≤ √ 2 ] (n) √ 7− 2x ≥ x− 3 [ x ≤ 2 + √ 2 ] (o) √ x + 1 < 2− x [ −1 ≤ x < 5− √ 13 2 ] (p) √ (x− 1)(3− x) > −2x + 3 [ 6 5 < x < 3 ] (q) √ 3− 2x− x2 > 0. [−3 < x < 1] 5 Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore asso- luto Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni: (a) |x− 1| = |1− x| [∀x ∈ R] (b) |6x− 5| = |3− 2x| [ 1 2 , 1 ] (c) |x2 − 2| = 3− |x|. [ ± √ 21− 1 2 ] Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) |x|+ | − x| ≤ 2 [−1 ≤ x ≤ 1] 10 Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti 1 Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni: (a) (log x− 1) 2 3 = 1 3 [ e1± √ 3 9 ] (b) log (2x + 3)− log (x + 2) = log (1− x) [ −3 + √ 5 2 ] (c) log x + 2 x− 2 − log x = 0. [ 3 + √ 17 2 ] Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) log 1 2 (x2 + 3x + 2) < log 1 2 (x2 + x− 2) [x > 2] (b) log ( 2x− 3 √ 4x + 1 ) ≤ log (x2 − 4x + 3) [ x > 9 + 6 √ 15 2 ] (c) log x− 2 log (√ 2 ) < log (3x2 − 1) [ x > 2 3 ] (d) logx (2− x2) ≥ 0 [6 ∃x ∈ R] 11 12 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti (e) log 1 3 √ x + 1 < log 1 3 √ 4− x2 + 1 [√ 61− 9 2 < x < 2 ] (f) log (|x| − 1) x < 0 [x < −2 , 1 < x < 2] (g) log (−x) 1− x < 0 [−1 < x < 0] (h) | log x| (log x− 1)2 ≤ 1 2 [ 0 < x ≤ e2− √ 3 , x ≥ e2+ √ 3 ] (i) logx2+2 (x + 1) ≤ 1 2 . [ −1 < x ≤ 1 2 ] Esercizio 3. Rappresentare nel piano cartesiano (O, x, y) le soluzioni delle seguenti equazioni: (a) log (xy) = 0 [ y = 1 x ] (b) log x + log y = 0 [ y = 1 x , x > 0 ] (c) log |x|+ log |y| = 0 [ y = ±1 x ] (d) log x + log y = 1 [ y = e x , x > 0 ] (e) log (−x)− log y = log 2. [y = −2x , x < 0] 2 Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni: (a) 2 · 42x − 3 · 4x − 1 = 0 [ log4 3 + √ 17 4 ] (b) x √ 58−3x 2−x√52x = 3−x √ 5x+5 [1] (c) 9x + 3x+1 − 4 = 0. [0]