Scarica Appunti di Matematica: i limiti e più Appunti in PDF di Matematica solo su Docsity! Esercizi risolti Requisiti nocossari por affrontare gli csorcizi presentati di seguito: » conoscenza dei leoremi sulle operazioni tra limiti e sul limite di una funzione com- posi = continuità delle funzioni, in particolare delle funzioni elementari. =» conoscenza, dei limiti fondament. Queste brevi note riguardano lo tecniche di risoluzione di quei limiti che ad un primo approccio conducono a Terme di indelerminazione € che si possono traltare senza li conoscenza del teorema di De T/Hapital. Te diverse tipologia che si presentano si p. ricondurre a 4 forme principali che solo per comodità di scrittura e sanza aleun significato sono operalivo, verranno individuale nel seguilo come Ù D =, — ‘00, +00 n: A do Ad ogni modo tutte le volte che il calcolo dol limite conduce a delle forme indeterminato, si dovrà carcara di trasformare la funziona in modo adeguato senza ovviamente modificare il limite e allo « po di rimuovere, nalla nuova forma, l'indeterminazione. Per esempio il limita n} 28-92 lim TIE Toi x 2 dà luogo alla forma D/D. Difatti ricordando la continuità delle funzioni polinomiali, limy90% 2x% r|2= f(0)=00clim;sx 2=2 2=0. la [razione ai minimi Lermini, si ottiene se tuttavia riduciamo n° -2r2-x+2 n%r-2)-(a-2) _ sx 42, i >; 15 #2 1e che l'ultima espressione coincide con la funzione di partenza solo se x 7 2, jnc questa che permette « lim a a quindi risolvere l’indeterminazi me. n Esercizi risolii sulle forme indelerminaie 1, Limiti di funzioni razionali fratte Una funzione di questo tipa si indica. con Aa) B(x) 1 limiti di queste funzioni o sono immediati per la continuilà della [unzione fw), o in genera danno luogo alla forme (1/0, 00/00) I@)= con Al) e B{) polinomi. to tipo si hanno quando 2 tende ad un valore finito. T'indeterminazione done oi minimi termini. A tale scopo Limiti di qu viene eliminata ridue i scompone in il numoratoro che il denominatore c si semplificano i fattori comuni. prodotto di fattor Ad mpio si vaglia calcolare lm zo) In pae Poiché 4(2) — B(2) — Ola forma è indeterminata ma per lo stesso motiva, i due polinomi risultano divisibili per 2, cioè x — 2 è uno zera dei polinami A(x) e B(1). Scomponendo allora con il metodo di Ruffini si otliene DE-l _, 1 Sl lim (r-2)(w+3) 22043 1 TÉ rin di tal che di 2(7). In tal caso scomposti i due polinomi nei fattori Più in generale, quando il lima , vuol dire che z = & è uno zero sia di Alw) A)= (e - Que) Be) = a) (e) il limile originario diviene ._ A) eo) e)_ ua die) lim = lim —T——— = lim ’ 3 alla Ba) sta aa ea Va) a poiché il termine è tale che lim, ,,, 222 — 1 il Timite si riduce a. LU zE) & possiede un ordine di molteplicità maggioro di 1. we — Dad 4 bee! — 1360 + 1de—5= (e 1)°(°++5) la soluzione x — 1 possieda una malteplicità pari a 3. diment: Per esempio nel polinomio Afr) . TI limite rientra, nella forma. 0/0 per cui seompo- nendo numeratore e denominatore si trova È cura fur Vle - 3 q_ 8 lx a -a-6 ._ &+2)-3) w-3 _ = li oo. es Pai ia RA end 1) te Esercizi risolii sulle forme indelerminaie ti 2. Limiti di funzioni irrazivnali Tn bass al tipo di fumzione irrazionale, il limite può essere immediato © dare Iuogo alle forma di indeterminazione del tipo 0/0, 00/00 wnente risolti) (success 1 a 6 lm —T_"— ide risultano tutti indeterminati, 1 primi due riportano al caso 0/0, Îl Lerzo e il quinto & / + 00, il quarto a +c0 — so, mentre l'ultimo a D. cc. Si tenga prasente che tanto le funzioni razionali, quanto le irrazionali che, al limite, danno luogo a [orme indeterminate diverse dalle 0/0, v0/c4, — — 20, sì possono manipolare er ricondurle alle precedenti tre forme di indeterminazione. T'ultimo esempio infarti Li came può scrivera per 7 forma. che ci riconducs all’indeterminazione co/so. Fissiamo quindi l’attenzione, nel caso i limiti di funzioni irrazionali, sullo 3 forme 0/0, so/ce, | co ce. Si tratta sempre di eliminare l’indeterminazione cambiando la funzione in un'altra avente le stessa limite. Tale scopo si può raggiungere in tre modi: 1. mediante razionalizzazione del numeratore, o del denominatore, o di entrambi, iante opportuno scomposizioni, 8. mediante particolari artifici. isorcizio 0 lim dA Talo limito vorrà riselto in due modi diversi: ui sazionalizzione il numeratore dolla:funzione: AI x1 wi vl Go nr Ne senne dhe Ò fa 1 . muoi È 1 T 1 limi an ia T3 può pure scomporre il denominatore considerandolo una differenza di quadrati osicché lim E im 1 im 1 abi lo aci(va- Da DO sH4ya +1 1-1 1 =F 8 Esercizi risolii sulle forme indelerminaie . Razionalizzando sia il numeratore che il donomina- Esercizio 10 lim tore discende va=2- vr Va +t2+ Pr va_-2 Da) va 2 vel2Iv2r va-2 (a D(va 21 v2rì 2)vi . (2) (Va -7+ vInì” gue pertanto vel? v2x | &@ ye 2 . va 2 0 lim SV lim _ — - lim = - 0. a2 va 222 (e 2)ive 121 Ba) #00 ve 121 va 242 DA 4 I cu Lose cn x 77 Pure tale limite verrà risolto in due modi divorsi: Esercizio 11° lim & ricordando che a* + 6° = (e +b)(a? — ab — 52) razionalizziamo il numeratore: 1 1 SII lim SEL tim VEL E VEN s2-1 r-| e3-1 +1 - Y7 41 si I I E 10 componendo in fa e imma, di cubi si ha s+1- (QE+ DA E -1 wE+1 I lim È = lim = + = lin 3_5 551 x OSE + DV a+ VE 1 r+1-2V7 po Si tratta di cercare di fattorizzare un termine che si 7 annulli per » — |. Allora è. rezionalizzando il numeratero considerato come la difforenza di duc termini © | 1 27 = (+1) 2VE fim ET 2VE ++ ; (a+ 1 — de sul (a_ 1) (a+1)+2v£ e-1(2-1)?(r+1+2v9) (e- 1) D*+1+2v%) 1 1 “lim ——-1 e-lx+1+2V1 A Esercizi risolii sulle forme indelerminaie T mponendo invece in fattori nel modo seguente a +1— 2vT — (ya — 1° è (® D°= (Vr De D'=( E 1D°VE Di siha c+1-2VE | (vE- DÌ N 1 1 1 7 ao slim ore galm_— el (e-1)? el (Ve+ 1) (ve 1) e! (vr+1 A+? 4° Anche in questo case si procede coma per le funzioni razionali frate, cicà l'indetermina- zione viene eliminata, in generale, mettendo in cvidenza sia al numeratore che al donomi- natore la potenza di 2 con esponente massimo. Occorre però porre attenzione sul lalto che: di infarti che 4/79 _ am». n pari una pobenza di w, compare il valore 2 75 assoluto. ai, va 2 e Ndr (che è un polinomi la forma indeterminata =cc — so. Tn tal caso questo limite è sempre infinito e va trattato con i metodi già visti. Infatti icand: razionale) por x. > cc può talvolta presontarsi lim Ale) — Tim age ana. +an 18+0n eso 0 elio du . 7 = lim e/o | abs | @RI e îl segno di questo limite infinito dipende dalla. » (x + +60) e dal coefficiente a. Pe nel : il limite per £ — ce di un polinomia razionale dà luogo ad una somma algebrica di termini ciascuno con limite infinito. Fra ossi prevale quello di ordine massimo (potenza di w con esponente massimo). Pertanto nel calcolo si possono “Urascurare” le potenze di a inferiori a1 grado del polinomio inferiore ia, come si suol dire, gli infiniti di ordine s I yE Raccogliendo la potenza massima o edy8_ Uta) | FE OIIO. im EL lim lim £ I sato Ie ta seotoe (1+ sone 14 140 TI limite, come si può notare, è ancora, dato dal rapporto dei coefficienti di grado mai In alternativa, posto /# — t il limite assegnato si riserive come te. + | im ——— = lim Sto 2/r +e 03400 24442 in modo da poter applicare la reoria dei limiti di fimzioni razionali fratte al tend infinito della variabile in lente. In tal caso, avendo il medosimo grado i polinomi a numerstore e denominalere, il limite è pari al rapporto dei coefficienti di grado massimo ia 1/I- I 10 Esercizi risolii sulle forme indelerminaie ell 2 1 lim Il limite porta ad una forma indeterminata di 0/D. Per risolverlo razional il numeratore che il denominatore in modo da fattoriz- zare un termine del tipo x 1 responsabile della indoterminazione. Allora dive lix x - 1) (Va7+3+2) n FETI . vato lim ———____- solfa Dive 1lIxv2 vA+2 n 2(v2+ v9) ini «3 gr (ae E > Esercizi lim —=. In questo caso, dato che (#3)" — 7, conviene porre TT 19- fr = WE è quindi, notate che lim, ,g1 ! = 3, ricondurre il limite delle, funzione irrazionale a quello di una funzione razionale 3. Limiti indeterminati coinvolgenti funzioni goniometriche lessi di forme indeLerminate per limiti coinvolgenti le funzioni goniometriche si affrontano generalmente trasformando la funzione f(x) di cui si vuole il limite mediante le identità isfatto dalle funzioni clementazi ccinvolte, in medo tale da giungere, in genere, al limite londamentale lim "* = 104 limiti da questo dedotti. II ipo di trasformazione da effettuare viene, volta per volta, suggerito dal particolare limite ma la vastissima gamma dei limiti non permette di indi particolare trasformazione ad un particolare limile. Va tenuro ben presente inoltre che il limite fondamentale ha valore 1/180 nel c. goniometricho so care un metodo per associare una a che la sony 31-32, Y Esercizi risolii sulle forme indelerminaie 11 in cui si deve notare che limy_,0 y — D. Tale limita può assere asteso, patendosi dimostrare in tutta. generalità che ._ senmar lim EMI ma 0 n 1- cosù cu E Questo limit: larmente importante, € verrà risollo în due modi diversi: a. moltiplicando numeratora e denominatera per il fattore 1 — cos 7, sercizio 24 lim presenta nolla forma 0/0, risulta partico e dove si è considerato il limite fondamentale. b. il limite praposte si può ricondurre più dir ozione 1 cose = 2sen? £. Sostituendo questa idontità si tramente al limite fondamentale utiliz- zando la formula di ha, — co: 22 } 2A 4; 1 /seny e dove, analogamente al precedente esempio, si è considerato che y — 5 en br 5 . Limiti di questo goncre si riconducono facilmente al limite x 5 lim isercizio fondamentale con l'accersimento di moltiplicare « per la variabile x. Difatti il numeratore che il denominatore sen dr x seni 2x1 ad E sen 2y be sen2re 2 Generalizzando si ha ._ seno p lim — _-. e—d sen gr 7 sercizio 26 lim xscn-. Questo limite si ricenduce facilmente a quello fondamen- x talo sc si riscrivo la funzione come . 1 . lim esen- lim eto0 To anta 1/a Mtrodotta il cambie di variabile £ — 1/7 tale che lim, sto: 1/0 — 0- il limita diventa, 12 Esercizi risolii sulle forme indelerminaie . 1 ._ Bent lim rsen-— lim 1 sos ® dt L » . ione sen senta coua Esercizio 27 lim ——____ Il limite è nella forma { cia r-a mite fondamentale trasformiamo in prodotto, con le formule di prostaferesi, la differenza ‘atore, Allora Per ricendurlo al li- ell’annullarsi del numa ma responsabile {nr + sena) — lim (senz + sena); 3 posto x — a — 26 notata che lim,_a y — 0, il limite diventa seni , lim SY costy | @) -[sen(2y | a) | sen ‘2sona = son2a. #0 tichozza con a importante acquisire dir Dagli esempi finora prosentati omergo cor le molleplici forme che possono assumere i limiti onde riconoscere, su tale base, la Lra- sformazione più opportuna. Esercizio 28 lim Il limite preposto ricntra, nelle, forma indetermi- nata 0/0 e per la sua soluzione sì possono seguire slrade diverse, Ci si deve però rendere conte che per 2 — 0 è il seno (o la rangente) a diventare zero e non il coseno. Quindi bisogna trasformare in modo da ottenere come fattor al numeratore che al denomi- natore, un seno fo una langente). {1- cosr=2sen2£ (bisezione) Ricordando ullora che / fr si he \ senz =2 02 (duplicazione) . le I sona lim —_—_———_______ - a-01— cost sea i usino le formule re c al denominato al numerai Se si vuole la tangente come fattor che esprimono il sano e il coseno în termini di tg $ — to 1-4 fim Esercizi risolii sulle forme indelerminaie 15 Poiché lime_.r4 2/ gen — +00 mentre limer= VI — senz + VI sona — fr) - 2ai ottiene VI sone VI sona lim — Too. aurt sentir ii ; x ; . 2 Esercizio 35 lim Ts Il fattore che annulla il denominatore è certamente eno tigz — sens sen per cui conviene lattorizzarlo. A tal fine il limile si riserive È sì . Fao lim — dim E. e-0 senr (27 — 2-0 sene(l — cos per giungere a dei limiti noti basta Lrasporlare opportunamente #° al denominatore . cost . lim = lim EGG cose) sd Esercizio 86 lim lie — In sen2 0 Difatti che, in basa alle proprietà dei logaritmi, facilmente si può ricondurre alla { n = lim 1 lim In a+ a+ La funzione sì può interpretare como comp Ne segue che, nolalo come sia lim, ,p| y = 1, il Limite assume la forma tim In (1 — lim — In2y— — In(2.1)— — In2. gi ly 2 gol ° Esercizio 87 lim tgel(1 nr). Le forma indeterminata coinvolta è la 0. co. Ri portata quindi la funzione nella forma in cui l'indeterminazione sia la ( riscrivendo la tgr, {© 00/50) . sene(1- senz) lim ————_—_- -, ct COSE è rivordando che il coseno si annulla u 7/2, l’obiettivo da perseguire sarà quello di [attoriz= ore che al denominatore un tale termine. A tale scopo moltiplichiamo a dividiamo per 1+ senz, sente( — sene)(1 sense) _ ji Senecoste sene(l — sene)(1 = sen) jim cosx(1+sena) "55 cest(l + senz) lim L S@MUCOsT — lim 120 2-5 1+sena +1 16 Esercizi risolii sulle forme indelerminaie ce. Utilizzando Esercizio 38 lim (1- tgx)tg2x. La forma cui si giunge è ancora la i) la fermula di duplicazione per la tangente, riportiamo tutto alla tg a: 2igr Lo . 2iga lim (i tea) — ST cer sE ten Ten ua E Aso - ica) . Dig 2 — lim ——--—-.1. s-sl+ige 141 atare si è fartorizzato al denominatore il termine (1—tg7) responsabile leterminazione. Comesi può co del uo annullamento per a — 7, rimuovendo in tal modo 4. Limiti di funzioni esponenziali c logaritmiche mrati finora riman- Nel casa dalla funzioni derivanti da quella esponenziale i matedi pr gono validi in particola c a funzioni composte dove una delle funzioni componenti risulta un esponenziale o un logaritmo. È d'altra , in tutti quei casì in cui ci si può riport parte necessario conoscare il limite fondamentale ; x® 7 lim {1+= SAL) al quale spesso ci si dovrà riportare per rimuovere le indeterminazioni. Esercizi lim, In(va°-1-5). La funzione si può considerare come una fun- / zione composta, Hot] con l'argomento gie) = va?+1- Quest” ulti limo per # + 00 presenta una indeterminazione del tipo —c0 — s0, per cui il limite a si potrà de- o se si risolve questa indeterminazione. Con i metedi già visti, conviene terminar: procedere ad una razionalizzazione va +41+a Vella Portonto tun In: e < . 1 3 Anche questo limite può essere affrontato conside- x ne — rando la funzione ad argomento come una funzione composta dalle ie Infa 2 a)-e' e t- TT. ' Ine-2 Inr-2 lim — = a+ Ina 2 Esercizi risolii sulle forme indelerminaie 17 in quanto limy_,p+ Ing — — se, lim: f&; — © Ne segue che Inte 2 mr 2 =, lim e°=0 Jun. exp . TI limite si presenta nella forma 0/0, Per poter ottanere Esercizio 41 lim ——— aaa St Sie (1a) il limite fondamentale sì porta la x al denominatore . 1 . 1 imp——-im——. 120 Plegfl +e) so0lg,(1 +9) vii posto y — (1 + »)1/® si tratta di risolvere il limite lim (+2). a rientra. nell'elenco dei limi Qu importanti essendo riconducibile immediatamente al limite fondamentale con la sostituzione è — +. Poiché limy_.0t — so vala pertanto ; 4 ul yi VINI 1 lim(1-x)*— limil-7) e, ano 1350 | per cui x 1 li im———-- lim ent lg, (142) ue le, y af 1 L' Inoltre lim, ,0 4 — 0 per cui sostituendo Esercizio 42 lim leterminazione 1/0 si risalve ponende y — af — 1 da cui 7 discende x — lg, (1+v). ottiene v lim— oo6lgy(1 19) che in base alle considerazioni viste nell’asercizia precedente implica Tim —__ und leg (1+ — Ina lege Interessante ed importante risulta. il caso particolare per a = e di questo limite che assume la forma 0 =1.1=1 #6 songo & 6 x sonT