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Complementi di SdC- appunti Se il materiale è isotropo la matrice non cambia, altrimenti per un materiale non isotropo la matrice cambia in base alla direzione (dipende da come le fibre si orientano) Bulk moduls: Scomposizione spettrale del legame isotropo Se invertiamo ↑ i E E -E -Ti Ez = Ez = Es = -UEn - 2 -- - 1 - - - 1 -V-V000 Ti T = Gy - 1 -V 0 o O T2 G = E- 3Ey I 1 -V - -1 0 O c ↑ 2(1 +V) E E oWiz O 0 O O [12 Xz3 O O O O O [23 Wal O 000 [31 - -! - - 1 -+ 26 x t - En 2 = t ++ 2C t 52 --t 1 ++ 26 Es 1 = EU ↓ + v)(-Zu K = erl -> = Ev + 26 = Eve + 26(e + E = (1 +2G)Er E + 26 = KEv + 26e 1 i = 1 iy = K Ekk Siz Siz Ekk = Eke Skl 0 i +3 in = 3kbij Sk(k + 26(diy - #EkkSi =3kbij SklEkl + 26 (Figkl -Sij Sk2) Ekl - - Jijkl Kijkl Fire+ 26 KijkeJ Ske Lijkl Lijke : - 1 ijkl = 1 Jijkl t 1 Kijkl vale se Lijke "ispa = :Pa 3K 2G 3 Si dice che “J estrae la parte sferica” di un tensore del secondo ordine mentre “K ne estrae la parte deviatorica” EPT per continuo di Cauchy in presenza di distorsioni termiche Sul continuo di Cauchy se sono presenti distorsioni termiche Lo sforzo è associato alla deformazione elastica perciò Nascono sforzi dovuti alle deformazioni termiche se il campo degli spostamenti non è congruente DIMOSTRAZIONE 4 Metodi generali per rendere stazionario un funzionale L’EPT si può minimizzare in due modi: • INDIRETTO: tramite tecnica formale di calcolo delle variazioni si trasforma il problema nell’integrazione di un’equazione (o sistema di equazioni) differenziale (alle derivate parziali se non è monodimensionale • DIRETTO: si discretizza il funzionale cercando tra le funzioni ammissibili, la migliore approssimazione della soluzione vera: Rayleigh-Ritz, Elementi finiti. Metodo indiretto: definizione di funzionale e stazionarietà, condizioni al contorno naturali e essenziali ed equazioni di Eulero-Lagrange Problema monodimensionale. Il funzionale ha un solo campo nel monodimensionale, c’è quindi una solo funzione scalare rispetto a cui porre la stazionarietà: Bisogna renderlo stazionario (Spazio vettoriale di dimensione infinita) Sia minimo di I(x) rispetto ai suoi estremi: Condizioni al contorno ESSENZIALI Se è minimo allora: 1) sufficientemente regolare con si ha: (Definizione variazione prima del funzionale) 2) Vale l’eq di Eulero-Lagrange: Con le condizioni al contorno NATURALI: 5 Notazione con “concetto” (riscriviamo lo stesso funzionale ma con notazione diversa) La variazione prima si I rispetto a può essere scritta: Aggiungendo l’ipotesi <<1 si può troncare il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor Le operazioni di derivazione e variazione sono commutative: Considerando che e le condizioni al contorno naturali: otteniamo: Equazione Eulero Lagrange 8 Stazionarietà dell’EPT per il continuo di Cauchy Applico la stazionarietà minimizzando perché so che è un minimo: Dimostrazione della trasformazione del primo integrale dell’EPT nel primo integrale di Integrando per parti: (Perché su Su u è noto e vale zero per la cc essenziale) E quindi ottengo: Equazione di Eulero-Lagrange Condizione al contorno naturale Questo dimostra che quando rendiamo stazionario l’EPT, soddisfiamo le equazioni di equilibrio: 9 Confronto tra stazionarietà EPT e PLV Seer= fi Uwe SMoy — fpisue dV - fe SU: dA fio Une Sugy dV = 5 bi SU: dVy {E Sue dA vada av Se vale Vu conquumke Baar I è autorqulitrato , EQUILIBRIO IN FORMA DEGOLE Mentre il ev vale por S comquente e T ouoegulQralo fa Ea dV = S bce sù: dv + fb sa: dh + {60 My ui dA Vira + be = © ml E = 1 (es +e ]im ge Ni my = Lî su SF Ucslti nu fu & e 2) 10 TEORIE STRUTTURALI PER TRAVI PIANE Ipotesi sulla cinematica Si consideri un tratto di trave Supponiamo che la sezione ruoti di un angolo Siamo in un problema piano, a noi interessa gli spostamenti Con l’ipotesi di piccole deformazioni ,allora: Facciamo problema piano negli sforzi: La rotazione effettiva della sezione considerando la deformabilità a taglio: (scorrimento angolare medio) Non considerando la deformabilità a taglio (Eulero Bernoulli): La rotazione torna un attimo indietro a causa di Tenendo conto della deformabilità a taglio la sezione ruota meno 13 Guardando il concio infinitesimo: In accordo con la teoria di Jouravski la deformata qualitativa ha un ingobbamento. Gli angoli restano retti quindi nelle fibre superiori e inferiori gli scorrimenti angolari restano nulli. Ho maggior scorrimento angolare in corrispondenza dell’asse neutro Voglio che l’abbassamento che subisce la trave sia pari a Approssimando con la teoria strutturale visto che le sezioni restano piane e ho scorrimento angolare medio, l’ingobbamento non lo considero, perciò la deformata sarà: La deformata dovuta a M: La deformata dovuta al taglio: Dobbiamo fare in modo che la rigidezza che usiamo nella teoria strutturale sia tale per cui la cinematica della deformata approssimata, a parità di taglio, permette di ottenere lo stesso scorrimento angolare. Voglio stimare gli spostamenti il più possibilmente simili a quelli reali. Si mette in piedi un criterio energetico per determinare la rigidezza a taglio imponendo che il lavoro compiuto dal taglio sia uguale a quello degli sforzi interni che di determina con Jourawski. Abbiamo che a uno spostamento dx positivo verso il basso corrisponde una rotazione negativa antioraria Ecco del perché la sezione ruota meno 14 Determinazione area di taglio per sezione rettangolare (mediante criterio energetico) Consideriamo il concio infinitesimo Ci sono solo tensioni tangenziali dovute al taglio poiché l’ingobbamento è consentito: Adesso scegliamo il legame costitutivo per il taglio: Sia Allora l’espressione diventa: Il lavoro dovuto al taglio: Sia , allora: Quindi determinando le tensioni tangenziali con Jourawski e inserendole in questa formula posso trovare la rigidezza a taglio Definiamo inoltre il fattore di taglio Esempio: sezione rettangolare 15 Riprendendo la densità di energia: Con la cinematica scelta devono essere verificate nella verifica di resistenza al taglio e restano nella deformazione del fattore di taglio. (Densità di energia elastica nella trave) Trave con carico radiale Dobbiamo minimizzare l’EPT Faccio la stazionarietà: • variazione rispetto a u L’equazione di Eulero-Lagrange: la verifica si fa così: e la condizione al contorno naturale: 18 • La variazione rispetto a v: Eulero-Lagrange: Condizione naturale Verifica: • la variazione rispetto a Eulero-Lagrange: Verifica: Condizione al contorno: 19 Esempio: struttura 3 volte iperstatica Determinare azioni interne e campo di spostamenti L’unico parametro incognito è lo spostamento v della cerniera. Minimizzando rispetto a v l’EPT troviamo v. Per una biella: Scrivo l’EPT in funzione di uno scalare, non è una funzione, l’integrale l’ho già fatto in forma esatta 20 Travi laminate Sono travi composite in cui strati di materiale omogeneo sono disposti parallelamente all’asse della trave. Sono progettate per portare elevate sollecitazioni ed essere leggere allo stesso tempo. La teoria è basata sull’ipotesi di Bernoulli Navier, si tiene conto della deformabilità a taglio. I modelli di Timoshenko e Ressner-Mimdlin vengono identificati con FOSD. Modo più semplice per tenere conto della deformabilità a taglio in teorie strutturali in cui spesso è necessario utilizzare tecniche più complesse. Oss: È una piastra. Se il panello si inflette solo lungo una direzione “inflessione cilindrica” Il comportamento è come quello della trave, sostituendo E con Azione assiale Consideriamo con una sezione rettangolare, costituito da 3 strati (fig 1) Fig 1 Fig 2 I materiali non devono essere necessariamente isotropi, l’unica cosa che mi interessa: Dobbiamo stabilire quanto vale g. L’asse z voglio definirlo come asse neutro per flessione retta. Guardando la trave di lato (fig 2), considero una deformata puramente assiale sotto l’ipotesi di Bernoulli-Navier, dovuta a N. L’asse neutro lo definisco in modo che gli sforzi siano staticamente equivalente a N. Considero la distribuzione degli sforzi, vale la relazione (equilibrio alla traslazione): rigidezza assiale Assumiamo che valga l’ipotesi di sezioni piane e quindi il postulato di Saint Venant. Facendo ora l’equilibrio dei momenti, rispetto all’asse Z0, così trovo la posizione di esso (g): 23 Divido per N= Taglio Sforzi e rigidezza basati sull’ipotesi cinematica di Bernoulli-Navier. Le sezioni restano piane a deformazione avvenuta. Ho uno scorrimento angolare . Per ottenere la rigidezza a taglio: = rigidezza a taglio = Sv In Eulero-Bernoulli S non è definibile perché non riusciamo tramite la cinematica a definire gli sforzi sulla sezione, solo con Jourawski, qua abbiamo e quindi possiamo determinarla. In Eulero-Bernoulli: Perchè la rigidezza a taglio è considerata grande quindi , perciò Nella trave laminata la rigidezza Sv è elevata perché in realtà le sezioni si ingobbiano, bisogna determinare la rigidezza a taglio diversamente. (Guardare paragrafo dopo la flessione) Flessione Il momento è definito: 24 = rigidezza flessionale = D Modulo di young pesato sul momento di inerzia Perciò: Per le travi laminate Come migliorare la stima di Sv Come nel caso omogeneo bisogna usare Jourawski. Considero Sandwich simmetrici con pelli (strati esterni sottili) identiche: Consideriamo il concio arancione, esso è sottoposto a sforzi di trazione Equilibrio lungo x: Perciò, nelle pelli 25 Quando abbiamo questa rigidezza, immaginiamo di considerare uno strato omogeneo al posto dei connettori con un modulo di elasticità G2 che dia lo stesso spostamento relativo per la stessa forza Es connettori La connessione risulta molto deformabile Si introduce un’altra ipotesi: ipotesi fondamentale sulla cinematica Ipotesi fondamentale sulla cinematica Gli strati esterni si comportano come travi di Eulero-Bernoulli, la connessione incassa tutta la deformabilità a taglio. Si trascurano gli sforzi sviluppati dallo strato intermedio: E2=0 Considero la sezione della trave, fisso xy e disegno la deformata Devo cercare delle variabili strutturali che descrivano la cinematica. Disegno le configurazioni deformate delle sezioni considerando lo spostamento baricentrico u3 1 e 3 sono paralleli Le sezioni ruotano di v’ perché analoghe alle travi di Eulero-Bernoulli Se conosco u3(x) e v’(x) trovo uimf, con u1(x) e v’ trovo usup. Facendo la differenza tra usup e uimf e dividendo per h2 trovo la rotazione , ovvero la rotazione dello strato intermedio che quindi è indipendente. 28 • lo spostamento assiale nel legno: • lo spostamento assiale nel cls: • lo spostamento nello strato intermedio (connessione): Ora che abbiamo gli spostamenti calcoliamo le deformazioni (EPT): • legno: • cls: 29 • connessione: Non serve perché E2=0 e quindi non fornisce energia Le deformazioni angolari nel legno e cls devono essere nulle essendo travi di Eulero-Bernoulli Nella connessione invece: Di conseguenza Considero la trave semplicemente appoggiata: • la variazione rispetto a u1 dell’EPT: Equazione Eulero-Lagrange c.c. naturale: • la variazione rispetto a u2 è analogo a u1: equazione di Eulero-Lagrange • la variazione rispetto a v: (1) (2) 30 che è la (3) Particolarizzazioni equazioni di Eulero-Lagrange Caso 1: Supponiamo che la connessione non lavori, non riesca quindi a trasmettere taglio, abbiamo quindi la connessione perfettamente cedevole. Otteniamo: sono equazioni della linea elastica assiali per 2 travi separate equazione della linea elastica alle derivate quarte in cui la rigidezza flessionale è data dalla somma delle rigidezze I due strati lavorano separatamente e il momento flettente si ripartisce sui due strati in funzione delle rigidezze Abbiamo come vincolo che gli strati devono subire lo stesso spostamento trasversale, p si ripartisce sui due strati in funzione delle rigidezze (1) (2) (3) 33 Il momento applicato si divide in base alle rigidezze flessionali sui due strati che lavorano come due travi separate. L’unica condizione che abbiamo per ottenere questa soluzione è che lo spostamento trasversale sia identico. Caso 2: La connessione è infinitamente rigida. Le sezioni si manterranno piane perché non è consentito alcun scorrimento angolare nella connessione. Visto che la connessione è infinitamente rigida allora , perciò: ottengo una trave di Eulero-Bernoulli (rotazione degli strati esterni) Nonostante la non è nulla. Le equazioni (1) e (2) diventano: sommandole: integrando: integrando di nuovo sia e inserendo u3 in 34 e quindi Analogamente: Adesso riprendo la (1) semplificata: inserisco u1 e la derivo per ottenere La (3): Sostituisco il valore di trovato dentro e ottengo: massima rigidezza che possiamo avere nel caso di perfetta collaborazione Equazione linea elastica alle derivate quarte di Eulero-Bernoulli Andamento sforzi: Caso reale: connessione con rigidezza finita (equazione di Newmark) 35 Da aggiungere alla soluzione omogenea: Imponendo le condizioni al contorno si ottiene: Una volta ricavata v integrando Newmark, la si sostituisce in u’1 e u’3 che vanno integrate imponendo le condizioni al contorno essenziali. Per ottenere gli sforzi tangenziali negli strati 1 e 3 si applica l’idea di Jourawski al modello con ingobbamento. Nello strato 3 Nello strato 1: 38 MINIMIZZAZIONE DIRETTA EPT: METODI NUMERICI • metodo Rayleigh-Ritz • metodo degli elementi finiti Metodo Rayleigh-Ritz Consideriamo il campo Cerchiamo il minimo di Si cerca la funzione incognita esprimendola in funzione della sua approssimazione. Si approssima I con Scrivo il funzionale approssimato, funzione del vettore Si determinano i coefficienti imponendo la stazionarietà: Si dice che: A) il procedimento converge quando al limite per N la tende alla soluzione esatta B) la è una discretizzazione della Criteri di convergenza 1) 2) W0(x) soddisfa le condizioni al contorno essenziali (non omogenee) soddisfa le condizioni al contorno essenziali rese omogenee 3) COMPLETEZZA: la successione Wi(x) deve essere completa, cioè detta f(x) una qualsiasi funzione appartenente a KOMO si deve avere: Convergenza in media quadratica Le devono per N—. tendere a una delle qualsiasi infinite funzioni appartenente all’insieme delle funzioni ammissibili con c.c. omogenee. 39 Note • possibili successioni di funzioni complete sono potenze in cui non si saltino esponenti e serie di Fourier in cui non si saltino armoniche • se possibile, è bene che le funzioni della successione siano tra di loro ortogonali: • è lineare se è quadratico • il rispetto dei criteri di convergenza assicura che • il modello discretizzato è “più rigido” perché rispetto alla soluzione unica vera è vincolato a minimizzare I lungo le coordinare lagrangiane • La discretizzazione può essere equiparata alle ipotesi sulla cinematica che si fanno per ottenere modelli strutturali partendo dal continuo di Cauchy • N.B. La velocità di convergenza si deteriora con l’ordine di derivazione di • N.B. La convergenza puntuale non è assicurata per tutte le grandezze di interesse. Addirittura in problemi 2D, 3D non lo è per la , mentre nel monodimensionale I converge puntualmente anche se non monotonamente. • in elasticità la matrice del sistema è simmetrica 40 Sono N equazioni disaccoppiate per l’ortogonalitá, la matrice K è diagonale Invertendola: soluzione in forma chiusa del problema Faccio la stazionarietà: N.B. La sommatoria sparisce perché quando faccio la stazionarietà rispetto al coefficiente j-esimo, derivo rispetto a quel coefficiente, perciò tutti gli altri spariscono Allora: • guardiamo la convergenza sulla freccia: CASO 1 43 • • faccio una sorta di verifica adesso trovando q(x) Non può convergere puntualmente dato che q(0)=q(l)=0 se valutiamo: 44 CASO 2 Dato che il carico concentrato dà un salto nel taglio, esso non converge puntualmente, infatti: Derivando ulteriormente non c’è proprio convergenza 45 Questo problema lo studieremo secondo il modello: 1_ Eulero-Bernoulli 2_ Timoshenko 1) Eulero-Bernoulli c.c. essenziali: v(0)=v’(0)=0 rendono difficili l’uso delle serie di Fourier. Uso la successione di potenza completa: eq linea elastica: Perciò: Mensola rastremata 48 Applico il METODO RITZ: N de = 2 as (x) e s=2 d' = L È 3 (3-4) (* a)" L az Ta N Kez N mar: feet (2& 0-119")(È E ()] È ° 2 » 32, (ke = £ Elo Qy 2- (® 2) dre = pie Z,0a (353) 2,0% (6 2) (3) (2) der (a) =0 = Elo (3° -3) Z ae» 4 (45 32-24 _ 38, t\&0 das Da HKR3 dazi DER DAR) Sil — mabria di vigilema K puma N32 -a,= 5 È = È uri = 3,2% 124 Edo _ No) = -Elo (2- x) Ut (2- x)"0,0306% PL L L du a 429 < 4 SL approvrimata M 2 vera 9,08 XL ‘ > _î mon darivo MI per determinante | volo re E3 cotaml, mo. Mriamo Ico) Quindi: i no ' ' 3 T=-E(Im) 1" )) = Mt) = (2-=) e e LI 34 2,53 4 0,323 d 49 coi polinomi la convergenza è più bassa che con le serie trigonometriche 2) Timoshenko Possiamo scegliere come funzioni approssimanti per I e v funzioni che partono dai termini lineari: 50 Ottengo: Si può notare che il primo termine è esattamente quello che otteniamo nel caso E-B discretizzato con un solo termine , in questo caso se si trascura la deformabilità a taglio quindi è giusto 0,04032 nel modello Eulero-Bernoulli, perchè in quel caso è come se avessi snellezza infinita con scorrimento angolare nullo, quindi ottengo il problema modellato con 1 termine (N=2) uguale al modello di Bernoulli discretizzato con un solo termine N.B. Con Timoshenko si può notare un notevole miglioramento. La differenza è dovuta al fatto che in Eulero-Bernoulli l’unica equazione costitutiva che abbiamo a disposizione è M= -EJ v’’, il taglio è la derivata del momento ed essendo il momento derivato 2 volte, il taglio fa molta fatica a convergere. In Timoshenko abbiamo 2 legami costitutivi a disposizione ed entrambi dipendono dalle derivate prime e quindi convergono alla stessa velocità più o meno. L’equilibrio T=M’ non è imposta in forma a differenza di E-B ma è ottenuta esattamente solo a convergenza raggiunta. 53 Metodo degli elementi finiti Consideriamo la trave di Timoshenko Con Rayleigh-Ritz: dobbiamo trovare delle approssimazioni per Con gli elementi finiti suddivido il dominio in porzioni che ammettono un certo tipo di spostamento Il vantaggio degli elementi finiti è quando passiamo sui domini 2D e 3D. Facendo riferimento a un problema generico bidimensionale, il funzionale: Con Rayleigh-Ritz avremmo: Invece con gli elementi finiti si suddivide il dominio R con M sotto domini Re e ogni sottodominio chiamato elemento finito ha un campo di I ammesso, pesato da parametri nodali La discretizzazione spaziale in elementi finiti è detta reticolo o griglia o mesh. Su xy abbiamo il dominio suddiviso in elementi finiti Re. La soluzione la determino in funzione del valore di parametri che è il valore di I (x,y) in ogni nodo dell’elemento finito. numero di nodi dell’elemento finito (in questo caso 3) 54 dove N(x,y)= vettore contenente le funzioni di forma dell’elemento finito Ho M elementi finiti ognuno di re variabili nodali, le quali complessive sono meno perché “finiscono” nello stesso nodo, quindi il problema discretizzato a elementi finiti, nel suo complesso ha N variabili nodali nel vettore Sicuramente N in ogni nodo avremo un valore della v e I N=4 (conto i gradi di libertà) L’obiettivo è discretizzare il funzionale facendo modo che diventi funzione di dei parametri nodali dell’intero sistema per poi renderlo stazionario. Possiamo scrivere il funzionale discretizzato per il singolo elemento finito: Questa operazione è vera se gli elementi finiti soddisfano il requisito di conformità/compatibilità/ congruenza Dobbiamo scrivere: Nel caso, per esempio, della trave di Timoshenko con elementi a 2 nodi 55 ESEMPI 1) Continuo di Cauchy piano Si ipotizzi che le 2 componenti di spostamento risultino equivalentemente approssimate da: 6 parametri indipendenti Questa approssimazione potrebbe sistemare la conformità di un EF a 3 nodi: ma non, per esempio, per un quadrilatero articolato a 4 nodi che avrebbe bisogno di 8 parametri indipendenti. Questa discretizzazione assicura la completezza: • traslazioni rigide lungo • rotazione rigida: 2) Trave di Eulero Bernoulli Ipotizziamo Assicura la completezza perché: • traslazione rigida • rotazione rigida • curvatura costante Però approssimazione non consente di rispettare la conformità dato che l’elemento finito più semplice di Eulero-Bernoulli è quello a 2 nodi, per cui sono necessari 4 parametri indipendenti per specificare spostamenti e rotazioni. 3) Trave di Timoshenko Rispetta la conformità a 2 nodi perché si hanno 4 parametri indipendenti: 58 Invece la completezza non è rispettata, ma questo EF è utilizzato lo stesso con accorgimenti (di integrazione numerica) • traslazione rigida: • rotazione rigida: • curvatura costante: • scorrimento angolare uniforme: C’è un problema, per aste snelle: dobbiamo avere che ma così avremo che ed è sbagliato (irrigidimento dell’EF)) Questo problema è evidente se si pensa al minimo dell’EPT: la definizione di asta snella implica Questo problema sulla completezza dovuto alla mancata indipendenza dei parametri liberi per aste non troppo tozze si traduce nel locking. Per assicurare la convergenza monotona del funzionale Bisogna che ogni infittimento della mesh contenga il precedente 59 Formulazione generalizzata dell’EPT deformazione anaelastica (qui termica) deformazione totale matrice di operatori differenziali la trascuro perché è una costante inutile Scrivo l’EPT 1) CONTINUO DI CAUCHY 3D Abbiamo: Se scrivo: noto che come 2) Trave di Eulero-Bernoulli 60 Discretizzazione degli elementi finiti dell’EPT La relazione fondamentale sul campo di spostamenti: da inserire nella relazione: c = numero di campi dell’EPT d = numero di componenti di deformazione che entrano nell’EPT otteniamo: Sostituendo nell’EPT: Faccio la,stazionarietà: parte termica forze di volume forze di superficie Da mettere nelle formule dell’assemblaggio, con la quale si ha con 63 Elemento finito di biella a 2 nodi Il campo di spostamenti: Abbiamo due parametri, sufficienti per avere conformità e completezza (un parametro libero per ogni nodo, una traslazione assiale rigida e una deformazione assiale rigida) Dimostrazione del calcolo in fondo al paragrafo. Proseguendo: Le matrici K sono sempre singolari a causa dei moti rigidi agli elementi finiti, infatti se ho un moto rigido a cui non devono essere associate forze nodali (ha rango 1). Se si applica ok perché è la forza che devo dare alla biella per avere un accorciamento unitario Analogamente per Guardiamo ora i vettori delle forze nodali equivalenti: 64 Calcolo “meccanicamente” non serve perché ci sono carichi concentrati ai nodi ESEMPIO spostamenti nei carichi applicati Usiamo 4 EF lineari e quindi sappiamo che: Dobbiamo risolvere Dobbiamo assemblare Adesso prendo uno alla volta i gradi di libertà globali e li rendo unitari, bloccando gli altri e guardo la deformata 65 Elemento finito di biella a 3 nodi Il campo di spostamenti dovrà essere un polinomio di secondo grado — 3 condizioni arbitrarie Compatibilità e completezza vanno bene Se applichiamo non collima con lo schema statico preso dal metodo degli spostamenti 68 ESEMPIO Discretizzazione: Valutiamo le azioni interne sull’asta pesante Facendo la verifica otteniamo: 69 Elemento finito cubico (2 nodi) di trave di Eulero-Bernoulli Per avere completezza e compatibilità bisogna avere due gradi di libertà per nodo Singolarità: l’elemento finito deve consentire 2 moti rigidi indipendenti, per cui ha rango 2 Adesso prendo i gradi di libertà e li rendo unitari (faccio solo i primi due casi perché gli altri due sono uguali) corrisponde al problema: corrisponde a 70 Elemento finito di trave di Timoshenko a 2 nodi lineare In un nodo bisogna avere una e v quindi 2 gdl per nodo che fanno riferimento a due campi diversi Bisogna valutare il rango, se è 2 deve valere: Ora valutiamo i coefficienti di K usando cedimenti vincolari. Se diamo uno spostamento unitario all’EF: 73 Se applichiamo una rotazione unitaria: ESEMPIO Sezione rettangolare di altezza H, snellezza Discretizzazione con 1 EF Gdl globali: Gdl locali: 74 Procedura semplificata: Infine risolvo il sistema La freccia approssimata risulta abbiamo un risultato pessimo perché se scegliessi per esempio: L’elemento finito è troppo rigido. Con più elementi finiti lineari non si va molto meglio in quanto si ha sempre 75 Coordinate intrinseche I problemi che si sono osservati con la formulazione diretta degli elementi finiti di Timoshenko e piano di Cauchy scrivendo le funzioni di forma sugli elementi reali possono essere superati introducendo le coordinate intrinseche per descrivere la geometria dell’EF. Per si definiscono le funzioni di interpolazione: è una “definizione” della geometria Le coordinate intrinseche sono definite sull’ELEMENTO GENITORE mentre x,y,z sono definite sull’elemento reale ESEMPI In caso di elementi finiti distorti: Se il nodo 3 sta nel messo dell’elemento reale: Ipotizzando 78 Funzioni di interpolazione Le funzioni di interpolazione devono essere tali che i risultati siano indipendenti da traslazioni del sistema di riferimento deve essere soddisfatta (Proprietà fondamentale) Le funzioni di interpolazione sono i seguenti polinomi di Lagrange: p= numero di nodi j= nodo a cui si riferisce Elementi finiti piani Consideriamo un elemento finito piano a 9 nodi Nel piano intrinseco NB: deve essere regolare Le funzioni di interpolazione: NEL CASO BILINEARE CI SONO 4 NODI NEL CASO BILINEARE NON ESISTE NEL CASO BILINEARE NON ESISTE Il nodo 9 serve a poco per cui, senza il nodo centrale è “biquadratico incompleto” Elemento finito isoparametrico Si definiscono Elementi finiti isoparametrici quelli in cui le funzioni di forma sono coincidenti con le funzioni di interpolazione: Questo è possibile quando l’EPT ha massimo ordine di derivazione pari a m=1, cioè: continuo di Cauchy, trave di Timoshenko, biella. Non può essere isoparametrico l’EF di Eulero-Bernoulli che è di classe m=2. 79 La capacità di descrivere efficientemente la soluzione esatta del problema dipende dalla completezza delle N (r,s,t), definita come il grado del polinomio completo compreso nelle N La si valuta facilmente utilizzando il triangolo di Pascal (per il 2D). EF bilineare: polinomi completi di grado 1 EF biquadratico: polinomio completo di grado 2 Biquadratico incompleto Bicubici: polinomio completo di grado 3 Negli elementi finiti i criteri di convergenza sono facilmente verificabili: • COMPLETEZZA: nel continuo di Cauchy 3D è verificata se ci consente di avere 3 traslazioni rigide, 3 rotazioni rigide e 6 componenti di deformazione utilizzo la definizione di funzione di interpolazione: • CONFORMITÀ: nei problemi con m=1 è automatica Che problemi bisogna affrontare per utilizzare le coordinate intrinseche? La cinematica dell’elemento finito l’abbiamo definita cosi: La matrice di congruenza dell’EF È un problema perché bisogna poter invertire Se riusciamo a scrivere l’integrale sull’EF genitore, e invertire x,y,z possiamo automatizzare il calcolo 80 Elemento finito piano distorto e mi calcolo L’integrazione è non automatizzabile con l’integrazione analitica, quindi si passa all’integrazione numerica Integrazione numerica Se integriamo sul dominio dell’EF genitore riusciamo a standardizzare la procedura ma se abbiamo un elemento distorto non riusciamo a farlo analiticamente. Il primo passaggio da fare fondamentale è passare all’elemento genitore che ha coordinate che vanno da -1 a 1. L’integrazione numerica può essere fatta in modo tale che la funzione integranda sia sottintegrata. Ciò ci permette di risparmiare tempo computazionale e di risolvere in certi casi il problema del locking come per esempio quello dovuto alla mancanza di completezza nell’EF di trave di Timoshenko. REGOLA DI INTEGRAZIONE: quadratura di gauss 83 Questa regola ottimizza sia rispetto a wi che a ri — 2n parametri— si integra esattamente un polinomio di grado 2n-1 punti di gauss: si determinano degli zeri del polinomio di Legendre di grado n: I pesi si ottengono integrando i polinomi di Lagrange: ESEMPI: (perché devo annullare il polinomio di Legendre) (deve valere 1 in r1=0 e mai annullarsi perché non ci sono altri punti di Gauss) integra esattamente l’equazione di una retta integra esattamente un polinomio di grado 5 84 L’estensione a 2D-3D non prevede ulteriori ottimizzazioni: cioè si usa la regola 1D integrando lungo una coordinata per volta Per ciascuna sommatoria si usa la regola del 1D Elemento Finito n punti gauss per lato grado polinomio 2n-1 coordinate r , s valore pesi w INTEGRAZIONE RIDOTTA PER EF BILINEARE (4 NODI) INTEGRAZIONE • completa EF bilineare • ridotta per biquadratico Integrazione completa per EF biquadratico L’integrazione si dice completa quando si integrano esattamente tutte le quantità rilevanti sull’elemento finito non distorto. In buona sostanza si integra esattamente è costante e le componenti dell’integranda sono polinomi EF di biella a 3 nodi 85 La soluzione esatta: La freccia approssimata con • 1 EF • 2 EF Tende a convergere alla soluzione esatta 88 STABILITÀ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO IP base: equilibrio configurazione deformata Abbasso l’estremo libero (a SdC no perché avevamo ipotesi di piccoli spostamenti e deformazioni) Senza azioni oltre al carico P, si ottengono biforcazioni dell’equilibrio. Con altre azioni oltre a P si ottiene comportamento asintotico Entrambi i modelli sono limitati a materiale elastico lineare Biforcazione dell’equilibrio: fino al valore P la freccia è nulla e quando arriviamo al primo valore del carico critico qualsiasi valore è buono. Quando superiamo il carico critico la freccia torna a essere nulla fino al secondo valore del carico critico Comportamento asintotico: la freccia è piccolissima fino al carico critico e poi tende a infinito. In SdC: Con l’approccio energetico bisogna tenere conto di uP perché bisogna considerare il suo lavoro. Per usare l’EPT bisogna troncare lo sviluppo in serie del coseno al II ordine cioè: Per questo motivo la teoria euleriana per determinare il carico critico viene definita teoria del II ordine. 89 Stazionarietà: Eulero-Lagrange c.c. naturali Dato che il legame costitutivo fornisce Possiamo riscriverla (Senza P si ottiene la linea elastica con ipotesi completa di piccoli spostamenti) Da SdC: Per comprendere a pieno l’equazione di Eulero-Lagrange bisogna imporre l’equilibrio sul concio infinitesimo di trave: Facendo l’equilibrio delle forze verticali: Significato fisico equazioni di Eulero Lagrange V(x)= azione interna coniugata con v(x) V non è il taglio 90 Approcci numerici P deve essere inferiore al carico critico per dare contributo all’inflessione ed è così Calcoliamo alfa: Di conseguenza la freccia: Il momento all’incastro (aumenta del 50% in più rispetto alla teoria lineare) Inizio a discretizzare con il metodo Rayleigh-Ritz: Il polinomio più semplice che soddisfa le c.c. essenziali è Stazionarietà dell’EPT: Possiamo stimare il valore del carico critico con questa discretizzazione: Maggiore del carico critico “normale”. La freccia invece: Adesso dobbiamo verificare l’equilibrio sul momento all’incastro che si può fare in due modi: Dato il valore diverso dei due risultati, l’equilibrio non è soddisfatto perché non siamo arrivati a convergenza METODO RAYLEIGH-RITZ 93 Dobbiamo perciò migliorare la discretizzazione Applico la stazionarietà e ottengo il sistema: Il carico critico per la discretizzazione lo ottengo rendendo singolare la matrice k, quindi: Si cerca l’autovalore più piccolo Sostituisco nel sistema di prima Di conseguenza il valore approssimato per la freccia risulta: Verifica equilibrio: Abbiamo perciò ottenuto un risultato migliore rispetto al caso precedente METODO DEGLI ELEMENTI FINITI Facciamo l’EF di Eulero Bernoulli a 2 nodi, formulato direttamente su quello reale e integrato analiticamente Assemblando: 94 Con le solite cubiche per l’EF a 2 nodi si ottiene: Discretizzazione con 1 EF Otteniamo Pcr come con Ritz cubico perché l’EF ha un campo di spostamenti che è una cubica Con 2 elementi finiti invece Verifica equilibrio: Va bene perché i 2 numeri tendono ad avvicinarsi Otteniamo il carico critico approssimato ponendo il determinante uguale a 0 95