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Appunti matematica discreta 1, Appunti di Algebra

Appunti matematica discreta

Tipologia: Appunti

2015/2016

Caricato il 22/02/2016

federico_ciaffoni
federico_ciaffoni 🇮🇹

2 documenti

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Scarica Appunti matematica discreta 1 e più Appunti in PDF di Algebra solo su Docsity! Vettori Combinazione lineare: Un vettore y ∈ Rn si dice combinazione lineare dei vettori v1, ..., vk se esistono k moltiplicatori reali w1, ..., wk tali che v = ∑k i=1 wivi. Ovvero, un vettore è combinazione lineare di altri vettori se il vettore è il risultato della somma degli altri vettori, ognuno di questi moltiplicato per una costante qualsiasi. Vettori linearmente indipendenti: Un insieme di vettori è indipendente se è possibile ot- tenere il vettore nullo solamente con tutti i coefficienti wi uguali a 0. Esempio: {(1, 0), (0, 1)}. Vettori linearmente dipendenti: Un insieme di vettori è dipendente se è possibile ottenere il vettore nullo con almeno un coefficiente wi diverso da 0. Un insieme che contiene il vettore nullo è linearmente dipendente. Esempio: {(1, 1), (2, 2)}. Applicazioni lineari Una applicazione lineare o trasformazione lineare è: · una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, · ovvero una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare, · ovvero una trasformazione lineare che preserva le combinazioni lineari, · ovvero un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratter- izzano gli spazi vettoriali. Condizione di linearità: ∀α, β ∈ K e ∀v1, v2 ∈ V vale f(αv1 + βv2) = αf(v1) + βf(v2). Notazione matriciale: Siano il vettore v ∈ Rn e A = Mat(m,n,R), un’applicazione lineare f : Rn → Rm si indica con f(v) = Av. f(v) = f(x1, . . . , xn) = (a11x1 + · · ·+ a1nxn, . . . , am1x1 + · · ·+ amnxn) = Av =  a11x1 + · · ·+ a1nxn... am1x1 + · · ·+ amnxn  = a11 . . . a1n... . . . ... am1 . . . amn  x1... xn  . Dalla definizione ne deriva che: · il numero di righe è dato dal numero di variabili del dominio; · il numero di colonne è dato dal numero di variabili del codominio. Matrice canonica: Con f(e1) = ( a1 b1 ) , f(e2) = ( a2 b2 ) ed f(e3) = ( a3 b3 ) i vettori (linearmente indipendenti) della base canonica dell’applicazione lineare f : R3 → R2, allora se v = xy z  è il vettore generico di R3: f(v) = f xy z  = f(xe1 + ye2 + ze3) = xf(e1) + yf(e2) + zf(e3) = x(a1b1 ) + y ( a2 b2 ) + z ( a3 b3 ) = ( a1x+ a2y + a3z b1x+ b2y + b3z ) = ( a1 a2 a3 b1 b2 b3 )xy z  . La matrice A è detta matrice canonica di f , ed ha colonne ( f(e1) · · · f(en) ) . 1 Esempio: Sia f : R3 → R3 definita come segue: f(0, 1, 1) = (5, 2, 3); f(2, 0, 0) = (2, 2, 0); f(1, 1, 0) = (2, 1, 1); La matrice rappresentativa dell’applicazione lineare va espressa tramite la base canonica, che quindi va ricavata. f(1, 0, 0) = f(2, 0, 0)/2 = (2, 2, 0)/2 = (1, 1, 0); f(0, 1, 0) = f(1, 1, 0)− f(1, 0, 0) = (2, 1, 1)− (1, 1, 0) = (1, 0, 1); f(0, 0, 1) = f(0, 1, 1)− f(0, 1, 0) = (5, 2, 3)− (1, 0, 1) = (4, 2, 2). A questo punto la matrice rappresentativa è espressa con i vettori immagine in colonna. A = 1 1 41 0 2 0 1 2  . Esempio: La matrice rappresentativa (rispetto alle basi canoniche) dell’applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (2x+ 3y − z, 4x+ 27y − 5z) è A = ( 2 3 −1 4 27 −5 ) . Matrici Matrice triangolare superiore: La riduzione di una matrice a scala tramite il metodo di eliminazione di Gauss genera una matrice triangolare superiore con medesime soluzioni della matrice originale. È utile per: · risolvere sistemi lineari del tipo Ax = b; · determinare il rango di una matrice (contando gli elementi di pivot non nulli). Determinante: Se il determinante di una matrice di vettori è diverso da 0 allora i vettori sono linearmente indipendenti. Rango di una matrice: Si definisce rango di una matrice il massimo numero di vettori riga linearmente indipendenti tra loro o, equivalentemente, il massimo numero di vettori colonna linearmente indipendenti. Rango massimo: Una matrice di m righe per n colonne può avere rango al massimo uguale a min(m,n). Se il rango coincide con min(m,n) allora è massimo. Matrice invertibile: Una matrice è invertibile se e solo se ha rango massimo, quindi deter- minante diverso da 0. [HOWTO] Calcolo del rango: È possibili determinare il rango di una matrice tramite: · il criterio dei minori; · il metodo di eliminazione di Gauss. Minori di ordine j: Data una matrice di m righe per n colonne, un suo minore di ordine j è una qualsiasi sottomatrice quadrata di ordine j, con 1 ≤ j ≤ min(m,n). [HOWTO] Criterio dei minori: ji in prima istanza è min(m,n). Se c’è almeno un minore di ordine ji con determinante diverso da 0 allora il rango della matrice originale è ji. Se tutti i minori di ordine ji hanno determinante uguale a 0 allora il rango della matrice è dato da ji+1. L’i-esimo minore ji, tranne il primo, ha ordine ji−1 − 1. [HOWTO] Eliminazione di Gauss: Ri = Ri − ai ap Rp dove i è la riga corrente e p è la riga di pivot. Se ai è 0 si salta la riga essendo già a scalino e si procede con la successiva. Se l’elemento di pivot ap è 0 si scambia la riga con un’altra il cui elemento di pivot è diverso da 0. 2 [HOWTO] Come calcolare dim(Im(F )): I vettori che costituiscono la matrice rappresenta- tiva di un’applicazione lineare, indipendentemente dalla base a cui essi sono riferiti, costituiscono un sistema di generatori. Per calcolare dim(Im(F )) si può: · estrarre una base da un suo sistema di generatori e determinarne la dimensione; · calcolare il rango di un suo sistema di generatori. Nucleo o kernel Sia F : Dominio → Codominio un’applicazione lineare definita tra spazi vettoriali su un campo K (ad esempio R), definiamo il nucleo di F : Ker(F ) = {v ∈ D | F (v) = 0 ∈ C} Ovvero è l’insieme degli elementi del dominio che hanno immagine 0 mediante un’applicazione lineare definita su spazi vettoriali su un campo. Esempio: Sia F : R4 → R2 definita da A = ( a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 ) , allora Ker(F ) ⊂ R4 ed è il sottoinsieme di vettori x soluzione del sistema omogeneo Ax = 0. [HOWTO] Calcolo di dim(Ker(F )): SiaA la matrice associata all’applicazione lineare F , per calcolare dim(Ker(F )) è sufficiente trovare i vettori soluzione del sistema di equazioni Ax = 0. I vettori soluzione (anche solo uno) costituiscono una base del nucleo e la dimensione di questa base è la dimensione del nucleo. Dimensione: Essendo il nucleo un sottospazio del dominio, ne deriva che 0 ≤ dim(Ker(F )) ≤ dim(D). · Se dim(Ker(F )) = 0, allora l’unico elemento del nucleo è 0. · Se dim(Ker(F ))) = dim(D), allora Ker(F ) = D ed F è l’applicazione lineare che associa ad ogni elemento di D lo zero di C. Teorema dell’iniettività: F è iniettiva se e solo se Ker(F ) = {0}, ovvero se e solo se F ha nucleo banale. Teorema di nullità più rango (o teorema del rango o teorema della dimensione): dim(D) = dim(Ker(F )) + dim(Im(F )) Equazioni diofantee Minimo comune multiplo (mcm): a× b MCD(a, b) . Massimo comune divisore (MCD) (algoritmo di Euclide): a = qb+ r. MCD(N,n): N = n * q1 + r1 n = r1 * q2 + r2 r1 = r2 * q3 + r3 . . . = . . . * . . . + . . . rh = rh+1 * qh+2 + rh+2 rh+1 = rh+2 * rh+1 + 0 =⇒ rh+2. Teorema di Bézout: Se a, b sono interi e (a, b) è il loro massimo comune divisore, allora esistono interi h, k tali che ha+ kb = (a, b). Esempio: 132h+ 51k = 3 5 MCD(132, 51): 132 = 51 * 2 + 30 ; 51 = 30 * 1 + 21 ; 30 = 21 * 1 + 9 ; 21 = 9 * 2 + 3 ; 9 = 3 * 3 + 0 ; =⇒ 3 = 21− 2 · 9 = 21− 2(30− 21) = −2 · 30 + 3 · 21 = −2 · 30 + 3(51− 30) = 3 · 51− 5 · 30 = 3 · 51− 5(132− 2 · 51) = 13 · 51− 5 · 132. Permutazioni Con Sn si intende l’insieme di permutazioni composte dai numeri che vannno da 1 a n. Se in una permutazione non compare un numero, questo vuol dire che va in se stesso. Numeri complessi Forma cartesiana : z = x+ iy dove Re(z) = x, Im(z) = y. Forma esponenziale: z = |z| (cosθ + i sinθ) Dove x = Re(z) = |z|cosθ e y = Im(z) = |z|sinθ. Modulo: r = |z| = √ x2 + y2. Argomento: θ = Arg(z) ∈ (−π,+π] =  arccos ( x |z| ) se y ≥ 0 − arccos ( x |z| ) se y < 0 =  π 2 se x = 0, y > 0 −π2 se x = 0, y < 0 non definito se x = 0, y = 0 arctan ( y x ) se x > 0, y qualsiasi arctan ( y x ) + π se x < 0, y ≥ 0 arctan ( y x ) − π se x < 0, y < 0 θ = Arg(z) ∈ [0, 2π) =  π 2 se x = 0, y > 0 3π 2 se x = 0, y < 0 non definito se x = 0, y = 0 arctan ( y x ) se x > 0, y ≥ 0 arctan ( y x ) + 2π se x > 0, y < 0 TODO: manca una condizione Calcolo delle radici di un numero complesso 6 Gruppi Un gruppo (G, ∗) è una coppia composta da un insieme G ed un’operazione ∗ su G che: · risulti essere associativa, ovvero (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c); · ammetta un elemento neutro i, ovvero g ∗ i = i ∗ g = g ∀g ∈ G; · rispetto alla quale ogni elemento di G risulti invertibile, ovvero a ∗ ainv = i. Un gruppo la cui operazione è commutativa è detto gruppo abeliano. Un sottogruppo di un gruppo deve godere delle stesse proprietà del gruppo, più: ∀a, b ∈ S ⊆ G a ∗ b ∈ S Anelli Un insieme (A,+,×) dotato di due operazioni, dette somma e prodotto, è detto anello se: · (A,+) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0A; · × è associativa con elemento neutro 1A; · vale la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma: ∀a, b, c ∈ A a × (b + c) = a× b+ a× c e (b+ c)× a = b× a+ c× a; · 0A 6= 1A. Campi Un insieme (C,+,×) dotato di due operazioni, dette somma e prodotto, è detto campo se: · (C,+) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0C ; · (C,×)\{0C} è un gruppo abeliano con elemento neutro 1C ; · vale la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma: ∀a, b, c ∈ C a(b + c) = ab + ac e (b+ c)a = ba+ ca. Omomorfismi Dati due gruppi G e G’, un omomorfismo è una funzione f : G→ G′ tale che f(ab) = f(a)f(b). Dati due gruppi (G,+) e (G′,×), un omomorfismo di gruppi è una funzione f : G→ G′ tale che ∀a, b ∈ G f(a+ b) = f(a)× f(b). Dati due anelli (A,+,×) e (A′,+′,×′), un omomorfismo di anelli è una funzione f : A→ A′ tale che ∀a, b ∈ A f(a+ b) = f(a) +′ f(b), f(a× b) = f(a)×′ f(b). Se loperazione di prodotto definita in A gode della proprietà commutativa diremo che A è un anello commutativo. Isomorfismi: Un isomorfismo è un omomorfismo biettivo. Un esempio sono le matrici triangolari superiori. Teorema fondamentale dell’isomorfismo: Dati due gruppi G,G′, un sottogruppo normale N di G ed un omomorfismo f : G → G′ con nucleo Ker(f) = N , esiste un unico isomorfismo f : G/N → f(g) | f = f(π(x)). In particolare l’immagine di f è un gruppo isomorfo a G/N . 7
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