Appunti su irradiazione ed antenne (235 pagg.), Appunti di Trasmissione Dei Segnali E Sistemi Di Telecomunicazioni

Scarica Appunti su irradiazione ed antenne (235 pagg.) e più Appunti in PDF di Trasmissione Dei Segnali E Sistemi Di Telecomunicazioni solo su Docsity! Politecnico di Torino Giuseppe Vecchi Paola Pirinoli Appunti su Irradiazione e Antenne Versione 2.1.0, A.A. 2000/2001 Queste sono note interne del corso ad uso didattico. Ne sono pertanto tassa- tivamente vietate la di usione, l'uso e la riproduzione al di fuori degli ambiti istituzionali dei corsi di Elettromagnetismo Applicato del Politecnico di Torino, e comunque non espressamente autorizzati dall'autore. Queste note interne NON possono essere distribuite SENZA questa copertina. 1 Queste note sono basate sugli appunti dalle lezioni sull'Irradiazione e la teoria elementare delle Antenne tenute al Politecnico di Torino dall'autore. Esse hanno l'obiettivo di fare da supporto alla didattica, ovvero di integrare gli appunti presi a lezione. Questa versione sostituisce completamente le versioni precedenti di questi appunti, che non dovrebbero piu venire usate e distribuite. RINGRAZIAMENTI Desideriamo ringraziare gli studenti che ci hanno aiutato nella stesura di queste note. Giuseppe Vecchi, Paola Pirinoli Febbraio 2001 versione 2.1.0 4 INDICE 3 L'antenna in trasmissione 59 3.1 Parametri fondamentali delle antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libero . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Direttivita e guadagno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Antenne con due morsetti e altezza ecace . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.3 Diagramma di irradiazione isotropico, direzionale e omnidirezionale . . . 66 3.2.4 Piani principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4 L'antenna in ricezione e reciprocita 69 4.1 Antenne in ricezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.1 Circuito equivalente e parametri caratteristici per un'antenna in ricezione 70 4.1.2 Potenza ricevuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2 Reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.1 Introduzione alla reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.2 Lemma di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2.3 Versione integrale del Lemma di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.4 Forma forte del teorema di reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.5 Equivalenza di un'antenna in RX e in TX . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5 Antenne lari 85 5.1 Introduzione alle antenne lari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2 Antenne a dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2.1 Linea di trasmissione biconica e dipolo a =2 . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2.2 Dipolo corto e dipolo a =2: confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6 Antenne ad apertura 105 6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2 Irradiazione da apertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.3 Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura rettangolare . . . . . . . . . . 113 6.3.1 Calcolo del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.3.2 Analisi del campo irradiato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.3.3 \Tapering" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.3.4 \Errore di fase" sull'apertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.3.5 Diagramma d'irradiazione e interferenza di fase . . . . . . . . . . . . . . 121 7 Schiere di antenne 127 7.1 Irradiazione da una schiera di antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.2 Schiera lineare uniforme a sfasamento costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2.1 Schiere broadside ed end re. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2.2 Grating lobes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.3 Lobi secondari e schiere non uniformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.4 Reti di alimentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.4.1 Alimentazione ad albero (corporate, equal-length) . . . . . . . . . . . . . 144 7.4.2 Alimentazione in cascata (Linea risonante) . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.5 Schiere planari: caso cartesiano separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.5.1 Esempio di rete di alimentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 versione 2.1.0 INDICE 5 7.5.2 Esempi di antenne equivalenti a schiere planari separabili . . . . . . . . 153 8 Bilancio energetico in un collegamento radio in spazio libero 155 8.1 Equazione della trasmissione (formula di Friis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.2 Adattamento di polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.2.1 Direzione di osservazione e incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.2.2 Polarizzazione non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.3 E etti del rumore in un collegamento radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.3.1 Rumore nel sistema di comunicazione via radio . . . . . . . . . . . . . . 161 8.3.2 Potenza di rumore in ingresso all'antenna . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.3.3 Bilancio energetico di tratta (link-budget) . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9 Collegamento radio in presenza di terreno piano 169 9.1 Ri essione da terreno conduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.1.1 Campo irradiato in presenza di terrreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.1.2 Ricezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 9.2 Terreno non conduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 10 Introduzione al radar 177 10.1 Il radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.1.1 Caratteristiche generali dei sistemi radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.1.2 Elementi costitutivi di un sistema radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 10.1.3 Cenni storici sulla nascita, lo sviluppo e l'evoluzione del radar . . . . . . 179 10.2 Tipologie fondamentali di radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 10.2.1 E etto Doppler e applicazioni radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 10.3 Le frequenze del radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.4 Equazione del radar e radar cross section (RCS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.5 Esempio di RCS: sfera conduttrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 11 Legame con le equazioni dei circuiti 189 11.1 Derivazione delle equazioni di Kirchho dalle equazioni di Maxwell . . . . . . . 189 11.2 Caratterizzazione di un N -polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 11.3 Bipoli e leggi circuitali ad alta frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 11.3.1 Strutture guidanti TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11.3.2 Antenna con due morsetti sici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 A Relazione tra i sistemi di coordinate cartesiano e sferico 207 B Un'introduzione al calcolo diadico 209 C Calcolo di g(z) con il metodo dei residui 213 D Calcolo della funzione di Green scalare 217 E Forma esplicita della funzione diadica di Green 221 E.1 Valutazione della funzione di Green tramite espressioni integro-di erenziali . . . 221 E.2 Valutazione mediante calcolo diretto (di erenziale) . . . . . . . . . . . . . . . . 224 versione 2.1.0 6 INDICE F Potenza di segnali stazionari in senso lato 227 G Brillanza 229 H Termini tecnici 233 versione 2.1.0 1.2 { Tipi di antenne 9 Porta d’accesso in guida Apertura Figura 1.2. Esempio di antenna ad apertura: antenna a tromba. dal ri ettore e spesso indicato come campo secondario. Esistono anche dei sistemi d'antenna che impiegano due (o piu) ri ettori, dette antenne a doppio ri ettore con caratteristiche di maggiore ecienza e prestazioni. Riflettore Illuminatore Figura 1.3. Esempio di antenna a ri ettore. 1.2.4 Antenne stampate Sono antenne di sviluppo relativamente recente, divenute comuni a partire dagli anni 70. Sono caratterizzate da una struttura metallica irradiante (patch) separata da un piano di massa tramite uno o piu strati dielettrici, detti substrati, ed eventualmente da un ulteriore strato di copertura posto al di sopra (detto superstrato). La forma del patch impiegata varia a seconda delle applicazioni; tra le forme piu comuni (in particolare nelle prime applicazioni) vi e la forma quadrata o rettangolare, ma si incontrano anche elementi circolari, anulari o altro ancora. Sono antenne di facile fabbricazione e basso costo, inoltre sono adattabili a super ci planari e non; tuttavia, specie per le applicazioni piu complesse, sono di dicile progettazione. versione 2.1.0 10 Introduzione Figura 1.4. Esempio di antenna in microstriscia. 1.2.5 Antenne a schiera Si de nisce schiera un insieme di radiatori disposti nello spazio con un certo ordine, al ne di avere un sistema irradiante con forte direttivita o con particolari caratteristiche del diagramma d'irradiazione. Si possono avere schiere a una, due o tre dimensioni a seconda che i radiatori siano disposti lungo una linea, su una super cie, od in un volume. z x y Figura 1.5. Esempio di schiera: schiera di antenne a dipolo elettrico. 1.2.6 Antenne a lente Le lenti sono impiegate specialmente per collimare un campo elettromagnetico incidente di- vergente per impedirne la di usione in direzioni indesiderate. Scegliendo opportunamente la con gurazione geometrica ed adottando dei materiali opportuni, le antenne a lente permettono di trasformare un campo incidente divergente in un'onda piana. Sono antenne impiegate a frequenze elevate perche le loro dimensioni e peso divengono eccessivi a frequenze basse. versione 2.1.0 1.3 { Generazione nello spazio libero e teorema di equivalenza 11 1.3 Generazione nello spazio libero e teorema di equiva- lenza L'analisi del problema elettromagnetico e basata sulla soluzione delle equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza, con opportune sorgenti e condizioni al contorno. Queste ultime do- vrebbero in teoria tenere conto di ogni singolo oggetto che puo in uenzare la propagazione, ma cio in pratica non e realizzabile a causa del grandissimo numero di elementi che si frappongono sulla linea del collegamento. Per sempli care il problema si puo tenere conto del fatto che tutte le distanze, per come sono formulate le equazioni, vengono misurate in lunghezze d'onda; tutto cio che dista dall'antenna diversi multipli della lunghezza d'onda in uisce in modo trascurabile sul dispositivo (tipicamente un'antenna) che genera il campo (quindi per esempio lavorando ad una frequenza di 10 GHz la lunghezza d'onda risulta 3 cm e tutto cio che si trova oltre una tren- tina di centimetri dalla sorgente risulta pertanto trascurabile nel senso detto). E quindi usuale sempli care il problema considerando che la generazione dell'onda elettromagnetica avvenga nello spazio libero o vuoto (free space) e che gli eventuali oggetti che si trovano sul percorso di propagazione diano origine a fenomeni di ri essione, rifrazione e di razione delle onde cos generate che vengono considerati durante la ricezione del segnale. Operando in questo modo, in pratica, le condizioni al contorno \spariscono" dal problema (o piu correttamente vengono rimosse all'in nito). La generazione dell'onda elettromagnetica avviene tramite delle sorgenti da cui si ricava il campo, mentre il problema della ricezione e piu complicato, ma verra trattato in maniera del tutto simmetrica grazie al teorema di reciprocita. Rimane da trattare il proble- ma di cosa siano le sorgenti da impiegare nelle equazioni di Maxwell. L'elemento preposto alla ricezione ed alla trasmissione delle onde radio e l'antenna; essa e un oggetto di interfaccia in quanto fa da tramite tra lo spazio libero e la circuiteria che lo alimenta o ne ricava il segnale: l'antenna e l'interfaccia tra la propagazione libera e la propagazione guidata. La \sorgente" e in pratica rappresentata da un generatore di tensione o di corrente posto ai morsetti di in- gresso dell'antenna di cui si conosce l'impedenza d'ingresso. Nelle equazioni di Maxwell pero non appaiono ne generatori, ne tantomeno si prende in considerazione l'impedenza d'ingresso dell'antenna; inoltre, l'antenna stessa e un oggetto materiale su cui dovrebbero essere imposte condizioni al contorno. Risulta pertanto di fondamentale importanza il teorema di equivalenza grazie al quale si riuscira a mettere in relazione il generatore sico con i termini di sorgente Jes e Jms che compaiono nelle equazioni di Maxwell. Consideriamo una struttura arbitrariamente complicata e una super cie arbitraria  che racchiuda la struttura, sostituiamo tutto cio che e interno ad essa con delle sorgenti super ciali equivalenti poste sulla super cie stessa (Fig. 1.6). Specializzato al nostro caso, il teorema di equivalenza1 a erma appunto che il campo elettromagnetico in un generico punto esterno a  non cambia se si rimuove cio che e interno alla super cie (ovvero lo si sostituisce con il vuoto) e si pongono delle correnti super ciali su  de nite da: 8><>: Jes = n̂ Hj Jms = n̂ Ej (1.1) 1Consultare anche P.Savi, R.Zich., Appunti di Campi Elettromagnetici, Politecnico di Torino, 1998 - 1999, cap 2.5 . versione 2.1.0 14 Introduzione Una volta note Jes e Jms il problema fondamentale da risolvere e dunque quello del campo generato da esse, ovvero la soluzione delle equazioni di Maxwell in spazio libero con sorgenti assegnate 8><>: rH = j!E + J e r E = j!H + Jm (1.4) in cui  ed  non hanno natura ne diadica ne vettoriale, ma sono delle costanti in quanto il mezzo in cui avviene la propagazione e lineare2. La tecnica di soluzione e basata sulla presenza di un mezzo omogeneo invariante per traslazione e in nitamente esteso; si useranno quindi le trasformate di Fourier per algebrizzare le derivate (spaziali) che compaiono nelle ( 1.4). Questo si chiama abitualmente problema dell0irradiazione che verra a rontato nel Cap. 2. 1.4 Principale utilizzo delle bande in frequenza Nella tabella in Fig. 1.1. vengono riassunte le principali de nizioni delle bande in frequenza che vengono comunemente utilizzate e il servizio che tipicamente viene fornito lavorando in tali bande. Le microonde coprono un intervallo compreso tra 500 MHz no ad oltre 40 GHz. Questo intervallo e suddiviso in diverse bande de nite tramite delle lettere. Nella tabella in Fig. 1.2 vengono elencate le de nizioni di tali bande. Da notare che la vecchia designazione delle lettere non coincide con quella nuova: quella piu vecchia fu stabilita durante la meta degli anni 40 ed e ancor oggi in uso. 2Sulla natura di  ed  consultare P.Savi, R.Zich, Appunti di Campi Elettromagnetici, Politecnico di Torino, 1998 - 1999, Cap 4. versione 2.1.0 1.4 { Principale utilizzo delle bande in frequenza 15 Frequenza Definizione Utilizzo tipico 3 – 30 kHz 30 – 300 kHz 300 – 3000 kHz 3 – 30 MHz 30 – 300 MHz 300 – 3000 MHz 3 – 30 GHz 30 – 300 GHZ Very Low Frequency (VLF) Low Frequency (LF) Medium Frequency (MF) High Frequency (HF) Very High Frequency (VHF) Ultrahigh Frequency (UHF) Superhigh Frequency (SHF) Extremely High Frequency (EHF) Navigazione, sonar Segnali radio, soccorso navale Trasmissioni radio AM, comunicazioni navali, comunicazioni della Guardia costiera, orientamento Comunicazioni internazionali ad onde corte; radio amatori; comunicazioni nave-costa, nave-velivoli Televisione, trasmissioni radio FM, controllo del traffico aereo, polizia, soccorso navale Televisione, comunicazioni satellitari, radiosonde, radar di sorveglianza, soccorso navale; comunicazioni mobili (GSM, etc.) Radar per aviotrasporti, collegamenti a microonde, comunicazioni satellitari Radar, esperimenti Tabella 1.1. Nomi convenzionali delle bande di frequenza Frequenza Vecchia designazione Nuova designazione 500 – 1000 MHz 1 – 2 GHz 2 – 3 GHz 3 – 4 GHz 4 – 6 GHz 6 – 8 GHz 8 –10 GHz 10 – 12.4 GHz 12.4 –18 GHz 18 – 20 GHz 20 – 26.5 GHz 26.5 – 40 GHz VHF L S S C C X X Ku K K Ka C D E F G H I J J J K K Tabella 1.2. Classi cazione delle bande di frequenza versione 2.1.0 16 Introduzione versione 2.1.0 2.2 { Il problema dell'irradiazione nello spazio libero 19 dove la matrice [G(z)], che chiamiamo funzione di Green, generalizza il concetto di risposta all'impulso nello spazio. Per quanto riguarda la forma esplicita della funzione di Green, notiamo che la sua trasformata dipende dal termine ~g0( ) = 1 2 k2 (2.16) E utile allora introdurre anche la sua antitrasformata g0(z) = FT 1f ~g0( )g = 1 2 Z +1 1 d 1 2 k2 e j z (2.17) La funzione ~g0( ) presenta due poli, in = k e = +k, con k = 0 j . Si tratta dei due valori della variabile spettrale per cui l'uscita ha un valore nito se la sorgente tende a zero, cioe si autosostiene: essi corrispondono dunque alle soluzioni libere dell'equazione. Calcolando l'integrale (2.17) otteniamo (vedi App. C) g0(z) = ejkjzj 2jk (2.18) Inoltre ~G11( ) = ~G22( ) = j 1 2 k2 ) G11(z) = G22(z) = d dz g0(z) (2.19) e dunque, in forma matriciale [G(z)] = 1 2 ejkjzj " sgn(z) Z1 Y1 sgn(z) # (2.20) Osserviamo che la (2.18) rappresenta un'onda che si allontana dalla sorgente in entrambe le direzioni z > 0 e z < 0; dunque la sorgente e il centro della perturbazione ondosa, e le carat- teristiche propagative sono legate ai poli della funzione di Green spettrale, ovvero ai poli della funzione g0(z). Tenendo conto delle perdite, k = j , la (2.18) rappresenta correttamente un'onda che si attenua allontanandosi dalla sorgente (z = 0). Notiamo che il caso senza perdite ( = 0) va ottenuto come limite ( ! 0) della soluzione generale; la presenza di perdite e essenziale, dal punto di vista matematico, in quanto per = 0 i poli, nell'integrale che de nisce g0, sono sull'asse immaginario e la deformazione del cammino di integrazione (vedi App. C) non e de nita. Notiamo che non abbiamo imposto esplicitamente condizioni al contorno (che sareb- bero condizioni al contorno all'in nito); queste risultano \intrinseche" alla forma di soluzione cercata, purche si consideri un mezzo con perdite (sia pur piccole). 2.2 Il problema dell'irradiazione nello spazio libero A rontiamo ora il problema dell'irradiazione nello spazio libero (mezzo omogeneo e isotropo), cioe della soluzione delle equazioni di Maxwell in presenza di sorgenti+8><>: rH = j!E + Je r E = j!H + Jm (2.21) versione 2.1.0 20 Irradiazione nello spazio libero Anche qui non imporremo esplicitamente le condizioni al contorno all'in nito, considerando poi che la soluzione ottenuta sia sica. Come nel problema guida, adotteremo una tecnica spettrale, cioe basata sulla funzione di trasferimento. Il punto di forza della trasformata di Fourier sta nel rendere algebrico l'operatore di derivata (esempio d dz ! j ); avendo qui a che fare con 3 derivate spaziali (r, ad esempio @ @x , @ @y , @ @z ) dovremo considerare una tripla trasformata di Fourier. Per de nire tale trasformata dei campi vettoriali, cominciamo a notare che un generico campo A(r) viene univocamente determinato dai versori coordinati ûi e dalle componenti del campo Ai rispetto al particolare sistema di riferimento, cioe A(r)  3X i=1 Ai(r) ûi (2.22) (cambiando il sistema di riferimento cambiano le componenti Ai). Per semplicita consideriamo un sistema cartesiano (x1;x2;x3), che ha il vantaggio di avere dei versori coordinati ûi = x̂i che non dipendono dalla posizione nello spazio. De niamo la trasformata tripla scalare della generica componente Ai(r) come ~Ai = FT 3 fAi(r)g = ~Ai(k) = Z R dx1e jk1x1 Z R dx2e jk2x2 Z R dx3e jk3x3 Ai(x1;x2;x3) (2.23) Indichiamo con d3r l'elemento di volume dx1dx2dx3 nello spazio r e riscriviamo la (2.23) in forma piu compatta insieme alla trasformata inversa, introducendo un vettore k = k1x̂1+ k2x̂2+ k3x̂3 che chiamiamo variabile spettrale. ~Ai(k) = Z R3 d3r Ai(r) e jk
r ; Ai(r) = 1 (2)3 Z R3 d3k ~Ai(k) e jk
r (2.24) Avendo trasformato le singole componenti scriviamo quindi ~A(k)  3X i=1 ~Ai(k) x̂i (2.25) e dunque, compattamente ~A(k) = Z R3 d3r A(r) ejk
r ; A(r) = 1 (2)3 Z R3 d3k ~A(k) ejk
r (2.26) sottintendendo il passaggio nella base cartesiana per il calcolo esplicito della trasformata di Fourier. Un campo viene in questo modo espresso come espansione in onde piane. Ad una singola onda piana e associata una densita di potenza costante, e dunque un'energia in nita; quindi le onde piane non possono sussistere singolarmente ma, come abbiamo visto, riescono a descrivere l'andamento di un campo se sovrapposte opportunamente in forma integrale. Il discorso e analogo a quello dei segnali nel tempo, che possono essere espressi come somma (integrale) di segnali armonici, i quali tuttavia non possono esistere da soli perche non sono segnali ad energia nita. Dato che rejk
r = jkejk
r (2.27) versione 2.1.0 2.2 { Il problema dell'irradiazione nello spazio libero 21 le equazioni di Maxwell nel dominio spettrale k diventano8><>: jk  ~H = j! ~E + ~Je jk  ~E = j! ~H + ~Jm (2.28) Il sistema (2.28) puo essere scritto compattamente in forma matriciale se introduciamo degli \oggetti" che rappresentino, in forma indipendente dalle coordinate, le trasformazioni lineari (omogenee) tra vettori. Tali \oggetti" sono le diadi (diadiche), descritte nell'App. B. Per esempio possiamo scrivere k  ~H = k   I
~H  =  k  I 
~H (2.29) dove D  k I e una diade che esprime la trasformazione lineare ~H ! k ~H. Possiamo allora riscrivere la (2.28) come 264 j! I jk  I jk  I j! I 375
" ~E~H # = " ~Je ~Jm # (2.30) ovvero anche h L i
" ~E ~H # = " ~J e ~Jm # (2.31) dove h L i  264 j!I jk  I jk  I j!I 375 (2.32) Formalmente allora, il problema e risolto nel dominio spettrale dalla funzione di Green spettraleh ~G(k) i = h L i1 (2.33) ed campi nello spazio saranno ricavati a partire dalle antitrasformate della soluzione spettrale. 2.2.1 Calcolo della funzione di Green spettrale Per rendere esplicita l'operazione formale di inversione h ~G(k) i = h L i1 de niamo tale opera- zione: h L i
h ~G(k) i = h I i (2.34) dove h I i e l'elemento identico de nito da h I i
" ~E ~H # = " ~E ~H # (2.35) e quindi h I i = " I 0 0 I # (2.36) versione 2.1.0 24 Irradiazione nello spazio libero Dato che Q
~G 11 = j! I (2.52) si ha ~G 11 = Q1
j!I = j!Q1
I = = j! " 1 !2 k̂k̂ + 1 !2 k2 ( ̂ ̂ + ̂ ̂) # = = j " 1 ! k̂k̂ + ! !2 k2 ( ̂ ̂ + ̂ ̂) # (2.53) Dalla coppia di sistemi (2.39) e (2.40) si ricavano ~G 12 , ~G 21 , ~G 22 , e dunque abbiamo completa- mente determinato la matrice di diadi h ~G i . 2.2.2 Calcolo della funzione di Green spaziale Il problema successivo e il ritorno al dominio spaziale dal dominio spettrale. Iniziamo con il de nire due grandezze nel dominio spettrale ~G(k) = Q1 ; ~ (k) = 1 k2 !2 = ~ (k) (2.54) Riscriviamo allora l'espressione di ~G(k) tenendo conto che k̂k̂ = k k k2 = (jk)(jk)  1 k2  (2.55) Otteniamo la seguente espressione: ~G(k) = 1 k2 !2 I + 1 !2 k2 1 !2 ! k̂k̂ = = ~ (k) I k 2 !2 k̂k̂ ! = " I + 1 !2 (jk)(jk) # ~ (k) (2.56) Questa manipolazione ci consente di calcolare l'antitrasformata ~G(k) in forma chiusa. Dato che FT3f I g = I ; jk FT 3 !r (2.57) si ottiene infatti la seguente espressione formale G(r) = FT3 n ~G(k) o = I + rr !2 ! (r) (2.58) essendo (r) = FT3f ~ (k) g (2.59) versione 2.1.0 2.2 { Il problema dell'irradiazione nello spazio libero 25 Alla diade G(r) diamo il nome di funzione diadica di Green. Si ottiene allora, partendo dalla forma spettrale h ~G(k) i = 264 j! ~G jk  ~G jk  ~G j! ~G 375 (2.60) il seguente risultato nel dominio spaziale: h G(r) i = 264 j!G rG rG j!G 375 (2.61) La soluzione e dunque formalmente ricavata, ma e possibile sempli carla eliminando il rotore di G. Infatti se poniamo ~G 0 = jk  ~G (2.62) notiamo che e possibile scrivere ~G 0(k) = jk  " I + 1 !2 (jk)(jk) # ~ (k) (2.63) Si puo ora notare che (jk) (jk)(jk) = [ (jk) (jk) ] (jk) = 0 (2.64) e quindi si sempli ca l'espressione di ~G 0(k) nel modo seguente: ~G 0(k) = jk  I ~ (k) = jk ~ (k) I (2.65) cioe, antitrasformando G 0(r) = r (r) I (2.66) 2.2.3 Funzione di Helmholtz e onde sferiche La funzione (r); nota come funzione di Green scalare o funzione di Helmholtz, e l'antitrasfor- mata di Fourier di ~ (k), cioe (r) = 1 (2)3 Z R3 d3k ~ (k) ejk
r (2.67) Come riportato in App. D si ottiene (r) = 1 4r ejk0r = (r) (2.68) con k20  !2. Osserviamo che la funzione di Helmholtz risulta funzione non del vettore di osservazione, bens solo del suo modulo, cioe della distanza di osservazione. La funzione di trasferimento spettrale ~ (k) ha un polo per k
k = k20 : questa relazione e gia nota, trattandosi della relazione di dispersione di un'onda piana. Questo ci consente di dire che le onde piane sono possibili modi del nostro sistema, cioe sono soluzioni libere, che si autosostengono a sorgenti versione 2.1.0 26 Irradiazione nello spazio libero nulle, come gia visto altrimenti. Possiamo aggiungere che i poli si trovano su una super cie sferica di raggio k0 nello spazio k, e che il vettore k ha solo il modulo ssato dalla relazione di dispersione, non la direzione; quindi sono possibili onde piane in qualunque direzione, anche se in realta le onde piane non sono oggetti sici, come abbiamo gia discusso in precedenza. In presenza di perdite, le quali garantiscono l'univocita del risultato, si ha k20 2 C, quindi i poli non sono sull'asse reale e non ci sono ambiguita nel calcolo della funzione di Helmholtz con il lemma di Jordan. Il caso senza perdite, per cui k20 2 R, va invece trattato come caso limite del caso con perdite, quando la parte immaginaria di k20 e molto piccola: in tal caso l'esponenziale della funzione di Helmholtz tende ad essere un esponenziale puramente di fase. La presenza di tale esponenziale dice che la funzione di Helmholtz (r) rappresenta un'onda; le super ci a fase costante e ad ampiezza costante sono date rispettivamente da k0r = cost ) r = cost (2.69) j j = cost ) 1 4r = cost ) r = cost (2.70) Trattandosi di super ci sferiche possiamo concludere che (r) e un'onda sferica. In e etti in- tuitivamente se pensiamo al campo generato da una sorgente concentrata in un punto possiamo immaginare che la perturbazione abbia un andamento di tipo sferico (si pensi ad un sasso che cade in acqua: la perturbazione e circolare perche in due dimensioni). Per convincerci che (r) si espande nel tempo sfericamente possiamo esaminarla nel dominio del tempo. Consideriamo un segnale del tipo X(r;!) = A(!) 1 4r ej ! c r (2.71) (k0 = ! c , essendo c la velocita della luce nel vuoto) dove A(!) indica l'ampiezza della trasformata del nostro segnale. Chiamando a(t) l'antitrasformata di A(!), si ha x(t) = F1fX(!)g = 1 2 Z +1 1 d! A(!) 4r ej ! c r ej!t = = 1 4r a  t r c  (2.72) Fissando un istante di tempo e evidente che i punti spaziali alla stessa ampiezza sono sulla sfera descritta da r = ct, con l'altrettanto evidente espansione del raggio di tale sfera al trascorrere del tempo. Anche in assenza di perdite si ha comunque una diminuzione della densita di potenza come 1 r2 all'aumentare della distanza r dalla sorgente in ogni punto: cio e semplicemente dovuto al fatto che l'onda si allarga e quindi la potenza totale irradiata deve rimanere costante, ma su uno spazio sempre maggiore, cioe l'energia si ridistribuisce su una super cie sempre piu grande (torneremo su questo aspetto parlando dell'irradiazione di un dipolo elementare in campo lontano). Per dimostrare che e ettivamente la funzione di Helmholtz rappresenta un'onda dobbiamo comunque provare che essa soddisfa ad una equazione d'onda. Partendo dalla de nizione ~ (k) = 1 k
k !2 (2.73) versione 2.1.0 2.3 { Dalle equazioni di campo vicino alle equazioni di campo quasi-statico 29 e quindi possiamo antitrasformare ottenendo l'usuale prodotto di convoluzione Ex =  G 11 (r)  xx  Jex(r) +  G 12 (r)  xx  Jmx(r) (2.93) E allora chiaro che raggruppando le componenti si ottiene E(r) = Z R3 d3r0 G 11 (r r0)
Je(r0) + Z R3 d3r0 G 12 (r r0)
Jm(r0) (2.94) H(r) = Z R3 d3r0 G 21 (r r0)
Je(r0) + Z R3 d3r0 G 22 (r r0)
Jm(r0) (2.95) che si chiamano integrali di irradiazione e si possono compattare introducendo un prodotto di convoluzione rispetto al prodotto scalare, indicato con il simbolo \" (siccome non useremo mai il prodotto di convoluzione per il prodotto esterno non c'e rischio di ambiguita), sicche8><>: E(r) = G 11 (r)  Je(r) + G12(r)  Jm(r) H(r) = G 21 (r)  Je(r) + G22(r)  Jm(r) (2.96) ovvero, in una forma ancora piu compatta:" E H # = h G(r) i  " Je Jm # (2.97) E evidente che gli integrali di irradiazione sono in generale complicati da risolvere, ma vedremo dei casi in cui si possono fare delle utili sempli cazioni. 2.3 Dalle equazioni di campo vicino alle equazioni di campo quasi-statico Supponiamo di essere nella condizione di campo vicino, cioe k0r  1, e supponiamo anche di non avere sorgenti di tipo magnetico, cioe Jm = 0. Come abbiamo appena visto il campo elettrico e il campo magnetico sono esprimibili in termini di integrali di irradiazione. Si puo dunque scrivere: 8>>>><>>>>: E(r) = j! Z R3 d3r0G(r r0) Je(r0) H(r) = Z R3 d3r0G0(r r0) Je(r0) (2.98) dove, essendo k0r  1 e quindi 1 k0r  1, le espressioni A(k0r), B(k0r) e C(k0r) assumono asintoticamente la seguente forma: A(k0r) ' 2 (k0r)2 ; B(k0r) ' 1 (k0r)2 ; C(k0r) ' j k0r (2.99) come si ottiene facilmente a partire dalle espressioni generali delle tre quantita. Vogliamo adesso vedere se e come le espressioni trovate si riducono a quelle statiche (o quasi-statiche) versione 2.1.0 30 Irradiazione nello spazio libero note dal Corso di Fisica II. Analizzeremo quindi il caso k0r 1 ed esamineremo anche il limite piu propriamente statico, cioe ! ! 0. Nel fare cio assumeremo Jm = 0, riconducendoci cos al caso statico usuale. Iniziamo con la determinazione del campo magnetico, la quale non da grandi problemi; per semplicita consideriamo una corrente rettilinea con Je k ẑ. Sotto questa ipotesi si ha G 0(r)
ẑ = jk0C(k0r) (r) (̂̂ ̂̂)
ẑ = = jk0C(k0r) (r) h ̂ (̂
ẑ) ̂ (̂
ẑ) i (2.100) Siccome ̂
ẑ = sin  e ̂
ẑ = 0 possiamo scrivere G 0(r)
ẑ = jk0C(k0r) (r) sin  ̂ (2.101) Si puo notare che il campo magnetico e sempre diretto lungo ̂, 8(k0r), come nel caso magne- tostatico gia noto. Vogliamo adesso ottenere il risultato del campo magnetostatico per una geometria generale di lo percorso da corrente, a partire dalle relazioni che abbiamo sinora ottenuto tramite un processo al limite, cioe considerando la frequenza tendente a zero. Supponiamo quindi di avere un lo generico su cui sia impressa una corrente Je, caratterizzato dall'ascissa curvilinea s, dalla curva speci cata da r = r (s) e dal versore tangente ŝ in ogni punto, avente inoltre dimensione trasversale caratteristica a e lunghezza totale L (vedi Fig. 2.3), con a  L. L a Figura 2.2. Filo generico (a L). Scriviamo la Je per tale lo iniziando a considerare il caso piu semplice, un lo rettilineo con Je k ẑ, cioe J e(x;y;z) = (x)(y)I(z)ẑ, dove I(z) = Z t d ẑ
Je (2.102) essendo t la sezione trasversale del lo. Cio si estende al caso generale scrivendo Je(r) = (r r )I(s)ŝ, dove I(s) = Z t d ŝ
Je (2.103) versione 2.1.0 2.3 { Dalle equazioni di campo vicino alle equazioni di campo quasi-statico 31 L a s γ Jc s^ rγ O Figura 2.3. Calcolo del campo generato da una corrente che uisce lungo un lo. e dove la  di linea (r r ) e de nita dal fatto di \campionare" solo lungo i punti della curva , trasformando un integrale di volume in uno di linea; matematicamente diremo cheZ d3r f(r) (r r (s)) = Z ds f(r (s)) (2.104) da cui e chiaro che le dimensioni di (r r ) sono [m2]. Si noti che nel caso esattamente statico deve essere I(s) = cost. Usando la seconda equazione delle (2.98) e l'espressione di Je possiamo scrivere il campo magnetico come H(r) = Z R3 d3r0G 0(r r0)
ŝ (r0 r (s)) I(s) = = Z L 0 dsG 0(r r (s)) I(s) ŝ = = Z L 0 ds h r (r) I i I(s) ŝ = = Z L 0 ds [r (r) ŝ ] I(s) = = Z L 0 ds h g(r r ) ŝ i I(s) (2.105) avendo posto r (r) = g(r). Passando al limite per ! ! 0, cioe per k0 ! 0 (k0 = ! c ) si ottiene g 0 (r) = lim !!0 g(r) = lim k0!0 r̂ d dr = r̂ 4r2 (2.106) Il campo magnetico quasi-statico e dato allora da H0(r) = lim k0!0 H(r) = Z L 0 ds g 0 (r r ) ŝ I(s) (2.107) versione 2.1.0 34 Irradiazione nello spazio libero 2.4 Formulazione del campo elettromagnetico in termini di potenziali Dunque abbiamo visto come le relazioni che si ottengono in campo vicino sono perfettamente coerenti con le equazioni del campo statico quando ! ! 0, cioe nel caso di campo quasi-statico. Dall'analisi delle (2.114) e (2.115) notiamo che in generale il campo elettrico ha sempre, 8!, un termine irrotazionale (il termine di gradiente nella (2.115)) e che e presente un ulteriore termine che compare a frequenza non nulla; scriviamo allora E(r) = j!A(r) r(r) (2.121) dove (r)  1  Z R3 d3r0 (r r0) q(r0) ; ~(k)  1  ~ (k) ~q(k) (2.122) e A(r)   Z R3 d3r0 (r r0) J e(r0) ; ~A(k) =  ~ (k) ~Je(k) (2.123) Il termine non irrotazionale A(r) nella (2.121) e intimamente legato al campo magnetico H, cioe agli e etti elettromagnetici propri dei campi dinamici. Infatti dalla (2.60) e dalla seconda delle (2.91) abbiamo ~H(k) =  jk  ~G 
~Je(k) = ~G 0(k)
~Je(k) = = jk  I ~ (k)
~Je(k) = jk  ~Je(k) ~ (k) (2.124) ovvero, per confronto con la (2.123) ~H(k) = 1   jk  ~A(k)  (2.125) In analogia al potenziale elettrico nel caso elettrostatico il vettore A(r) prende il nome di potenziale vettore. In generale dunque si puo concludere che8>>><>>>: E(r) = j!A(r) r(r) H(r) = 1  r A(r) (2.126) Come noto il potenziale scalare (r) non e de nito in modo univoco e si puo vedere che tale non univocita sussiste anche per il potenziale vettore. Infatti considerando un potenziale vettore A0 = A + rU si ha H 0 = H ma ancora E 0 6= E; pero se si pone 0 =  j!U , allora si ha e ettivamente anche E 0 = E. Cio e una diretta conseguenza del fatto che due vettori che di eriscono per un gradiente hanno lo stesso rotore, e due scalari che di eriscono per una quantita costante hanno lo stesso gradiente. Ogni particolare scelta che si puo fare sui termini da aggiungere ai due potenziali e detta gauge, e la scelta piu usuale nei problemi di irradiazione e detta gauge di Lorentz, vale a dire la seguente: r
A + j!() = 0 (2.127) versione 2.1.0 2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa 35 Con il gauge di Lorentz si dimostra che le equazioni d'onda di Maxwell equivalgono a due equazioni di Helmholtz del tipo8>><>>>:  r2 + k20  (r) = 1  q(r)  r2 + k20  A(r) =  Je(r) (2.128) Si tratta di due equazioni che in spazio libero (dove non si considerano le condizioni al contor- no) sono disaccoppiate, e che costituiscono lo stesso risultato che si era ottenuto mediante la rappresentazione spettrale. Notiamo che mettendo insieme potenziale scalare e potenziale vettore si ottengono quattro grandezze scalari: si parla di quadripotenziale. Uno dei modi di risolvere le equazioni di Maxwell e proprio quello che presuppone la formulazione del campo elettromagnetico in termini di potenziali, strada che noi non abbiamo seguito, preferendo il metodo della funzione di Green. Il gauge di Lorentz permette allora di ottenere esattamente i potenziali che avevamo ottenuto in precedenza, mentre i campi sono comunque gli stessi per il noto teorema di unicita. Ricordiamo che questa formulazione con i potenziali e stata fatta nel caso Jm = 0. Quando tale non sia il caso e necessario introdurre opportuni potenziali duali (uno scalare per le carat- teristiche elettriche e uno vettoriale per le caratteristiche magnetiche). Sottolineiamo in ne che la funzione di Helmholtz compare negli integrali che esprimono i po- tenziali, dunque assume, fra l'altro, il ruolo di funzione di Green per i potenziali: cio giusti ca il nome di \funzione di Green scalare" che le avevamo attribuito. 2.5 Forme approssimate del campo di una sorgente este- sa 2.5.1 Irradiazione di una sorgente generica e regione di Fraunhofer Consideriamo ora il campo irradiato da una sorgente di dimensioni nite, a \grande" distanza dalla sorgente stessa; i criteri per valutare questa distanza sono legati alle dimensioni carat- teristiche della sorgente e alle approssimazioni che si vogliono fare sulla funzione di Green. Supponiamo dunque di avere una regione , avente centroide 0 e dimensione caratteristica h, in cui sono racchiuse le sorgenti Je e Jm del campo; h e cioe il diametro della sfera minima, avente centro 0, che contiene tutte le sorgenti: h 2 = max r02 jr0j (2.129) Supponiamo di voler valutare il campo in un punto P individuato dal vettore r = PO rispetto all'origine 0 del riferimento, come in Fig. 2.5. L'espressione esatta del campo elettrico irradiato dalla sorgente ed osservato nel punto r e data da E(r) = j! Z d3r0G(r r0)
Je(r0) Z d3r0G 0(r r0)
Jm(r0) (2.130) Sfruttando l'ipotesi di essere a grande distanza dalla sorgente ovvero ad una distanza d  h, possiamo introdurre delle approssimazioni sulla funzione diadica G. Ciascuno dei due integrali versione 2.1.0 36 Irradiazione nello spazio libero Ω h P rr′ r-r’ = d Je O Jm Figura 2.5. Volume racchiudente le sorgenti. di irradiazione puo essere visto come la somma di molti contributi elementari, ciascuno dovuto ad una sorgente elementare d3r0 Je(r 0), come nel primo integrale della (2.130), avente le dimen- sioni di un momento elettrico (infatti d3r0 si misura in m3 e Je(r 0) in A m2), oppure di un momento magnetico, come nel secondo integrale della (2.130). Tali contributi sono in funzione del vettored = r r0, che indica la posizione dell'osservatore vista dal punto Q = O + r0 detto punto di sorgente (o anche punto potenziante) mentre P = O + r e il punto di osservazione (anche detto punto potenziato). Come mostrato in Fig. 2.6, la diadica di Green nella (2.130) e quindi G(r r0) = G(d). Cerchiamo ora come estrarla dal segno di integrale per sempli care quest'ultimo. La diadica data dalla (2.84) ha qui espressione: G(d) = h A(k0d)d̂d̂ + B(k0d)(̂d̂d + ̂d̂d) i (d) (2.131) dove le funzioni A(k0d) e B(k0d) sono date dalla (2.85) e (d) dalla (2.68). Introduciamo ora un'approssimazione di tipo geometrico: allontanandosi dalla sorgente in mo- do da poterla considerare puntiforme, cioe in modo tale che l'angolo solido sotto cui e vista dal punto di osservazione P sia molto piccolo, si nota che l'angolo  che discrimina le dire- zioni r e d tende ad annullarsi, come si puo notare dalla Fig. 2.7. Essendo h 2 = maxr02 jr0j, P O r dr’ x y z ^ ^ ^ Q Figura 2.6. Sistema di riferimento centrato nel punto di sorgente Q = O + r0. avremo d̂ = r̂ +O(h=2 r ) (infatti l'errore e proporzionale alla tan  ). L'entita dell'errore dipen- de quindi dalla distanza del punto di osservazione r e per r h si ha d̂ ' r̂, possiamo quindi approssimare i versori d̂, ̂d e ̂d contenuti nella diade G con r̂, ̂ e ̂, ossia d̂ ' r̂ versione 2.1.0 2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa 39 Arrestando lo sviluppo al termine quadratico per l'errore di approssimazione cos compiuto possiamo scrivere d ' r + 1 2 r 24 r0 r !2 2(r̂
r̂0)r 0 r 35 r 8 24 r0 r !2 2(r̂
r̂0)r 0 r 352 = = r + 1 2 r r0 r !2 (r̂
r̂0) r0 r 8 24 r0 r !4 + 4(r̂
r̂0)2 r0 r !2 4 r0 r !3 (r̂
r̂0) 35 = = r r̂
r0 + 1 2 r h 1 (r̂
r̂0)2 i r0 r !2 +O h r !3 (2.145) Se inoltre poniamo
r = r 1 2 r0 r !2 h 1 (r̂
r̂0)2 i (2.146) otteniamo la seguente espressione per k0d: k0d = k0r k0r̂
r0 + k0
r +O h r !3 (2.147) Arrestandoci al termine lineare otteniamo la nuova approssimazione per d d ' r r̂
r0 (2.148) Imponiamo, in ne, una limitazione all'errore
 che si commette con la (2.148) imponendo
 = k0
r   (dove  e un numero piccolo), e dunque
 = 2 0 1 2 r r0 r !2 h 1 (r̂
r̂0)2 i (2.149) Sapendo che r0  h 2 e che r̂
r̂0  1 ovvero [1 (r̂
r̂0)2]  1 abbiamo
  2 0 1 2 h2=4 r   ) h 2 0r  4 (2.150) La scelta convenzionale che si fa per  e  = 1 8 , cioe
   8 e quindi h2 0r  1 2 , ovvero 2h2 0r  1 ) r  2h 2 0 (2.151) La distanza rmin = 2h2 0 viene detta distanza di Fraunhofer e la regione r > rmin regione di Fraunhofer. Si noti che la scelta  =  8 e un limite superiore all'errore di fase, in quanto gli versione 2.1.0 40 Irradiazione nello spazio libero errori di fase tendono comunque, in genere, a cancellarsi. Se e quindi veri cata la condizione (2.151) e valida la seguente relazione asintotica: ejk0D ' ejk0 r̂
r0 (2.152) e quindi possiamo scrivere E(r) = j!G(r) Z d3r0 ejk0r̂
r 0
Je(r0) (2.153) Il discorso fatto si puo ripetere per le sorgenti magnetiche e possiamo quindi generalizzare a tutti i termini della formula: E(r) ' j!G(r) Z d3r0 ejk0r̂
r 0 Je(r 0) G(r)0
Z d3r0 ejk0r̂
r 0 Jm(r 0) (2.154) H(r) ' j!G(r) Z d3r0 ejk0 r̂
r 0 Jm(r 0) + G(r) 0
Z d3r0 ejk0 r̂
r 0 Je(r 0) (2.155) Si noti che i termini di sorgente sono presenti sotto il segno di integrale nella formaZ d3r0 ejk0 r̂
r 0 J (r 0) (2.156) dove puo essere il pedice e oppure il pedice m. Il dominio di integrazione puo essere esteso indi erentemente da a tutto lo spazio, in quanto le sorgenti sono comunque limitate in , quindi Z R3 d3r0 e+jk0r̂
r 0 J (r 0) = FT3 fJ g k=k0r̂ = ~J (k0r̂) (2.157) Quindi e possibile legare le proprieta del campo irradiato a quelle della trasformata di Fourier delle sorgenti calcolate in k0r̂. 2.5.2 Campo lontano Alla luce di quanto detto sopra possiamo dare un'ulteriore riscrittura del campo come E(r) ' j!G(r)
~Je(k0r̂)G0(r)
~Jm(k0r̂) (2.158) H(r) ' j!G(r)
~Jm(k0r̂) +G0(r)
~J e(k0r̂) (2.159) dove ~Je(k0r̂) = Z R3 d3r0 ejk0r̂
r 0 J e(r 0) (2.160) ~Jm(k0r̂) = Z R3 d3r0 ejk0r̂
r 0 Jm(r 0) (2.161) Assumiamo adesso che d  (campo lontano) e quindi k0d 1, il che implicaG (r) ' I tr̂ (r) e G 0(r) ' jk0r̂  I (r), avendo trascurato i termini 1 k0r . Introducendo le notazioni G a (r)  (r) I tr̂ ; G0 a (r)  jk0r̂  I (r) (2.162) possiamo riscrivere le (2.158) e (2.159) come segue E(r) ' j!G a (r)
~Je(k0r̂)G0a(r)
~Jm(k0r̂) (2.163) H(r) ' j!G a (r)
~Jm(k0r̂) +G0a(r)
~J e(k0r̂) (2.164) espressione del campo elettrico e magnetico in condizione di campo lontano. versione 2.1.0 2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa 41 2.5.3 Sorgente piccola e dipolo elementare Vogliamo adesso specializzare le conclusioni generali nora ricavate nel contesto di situazioni particolari sempre piu complesse, al ne di introdurre lo studio delle antenne. Iniziamo con il caso piu semplice possibile considerando un'antenna le cui dimensioni sono piccole rispetto alla lunghezza d'onda h  0. Questa caratteristica sempli ca i calcoli nel- l'integrale di irradiazione. Il campo elettrico e quello magnetico sono espressi rispettivamente dalla (2.158) e dalla (2.159). Dato che h 0 il termine ejk0r̂
r 0 che compare nell'espressione di ~Je(k0r̂) e ~Jm(k0r̂) puo essere trascurato. Infatti sotto questa ipotesi k0r̂
r0  k0 h 2 = 2 0 h 2  1 =) ejk0r̂
r0 ' 1 (2.165) Le sorgenti equivalenti, date dalla (2.160) e dalla (2.161), diventano ~J e(k0r̂) ' Z R3 d3r0Je(r 0) =M e (2.166) ~Jm(k0r̂) ' Z R3 d3r0Jm(r 0) =Mm (2.167) avendo de nito i vettori M e = Z d3r0 Je(r 0) (2.168) Mm = Z d3r0 Jm(r 0) (2.169) detti rispettivamente momento elettrico, che ha evidentemente le dimensioni siche di A
m, e momento magnetico, con le dimensioni siche di V
m. Dunque in luogo delle trasformate si hanno i momenti elettrico e magnetico ordinari. Per tale ragione, in virtu del termine \di peso" ejk0 r̂
r 0 nelle ~Je , ~Jm in (2.160) e in (2.161), questi ultimi si possono considerare momenti elettrico e magnetico \generalizzati". Se consideriamo, ad esempio, Jm = 0, il campo elettrico e magnetico diventano E(r) ' j!G(r)
M e H(r) ' G 0(r)
M e Per semplicita abbiamo considerato un'antenna centrata, cioe abbiamo considerato un sistema di riferimento centrato nel centroide O della regione che contiene la struttura. Se quest'ultima non e centrata, cioe si sceglie, ad esempio, l'origine del riferimento in un punto O0 = O + r0 all'esterno della regione che contiene l'antenna si ottengono le formule8><>: E(r) ' j!G(r r0)
M e H(r) ' G 0(r r0)
M e (2.170) dove r0 e il vettore posizione del centroide O 0 della regione rispetto al nuovo riferimento. Ricordando inoltre che (nel caso di Jm = 0 nelle (2.158) e (2.159)) E(r) = j!G(r)  J e(r) e H(r) = G0(r)  Je(r), si conclude che un'antenna le cui dimensioni sono piccole rispetto alla lunghezza d'onda, produce lo stesso campo di una sorgente matematicamente puntiforme, versione 2.1.0 44 Irradiazione nello spazio libero Ora, dal momento che nel dipolo e stata riscontrata la validita della relazione di impedenza che lega E e H, possiamo pensare che tale relazione valga anche per le sorgenti estese. Usan- do l'espressione del campo nella forma (2.173) e sapendo che (r) = ejk0r 4r possiamo dunque scrivere r̂  E(r) = n j! r̂  I tr̂
~Je(k0r̂) + r̂  h jk0r̂  ~Jm(k0r̂) io (r) (2.183) Separando i due termini abbiamo r̂  I tr̂
~Je(k0r̂) = r̂  I
~Je(k0r̂) = r̂  ~J e(k0r̂) (2.184) r̂  (r̂  ~Jm) = r̂  (r̂  I)
~Jm = h (r̂
I) r̂ (r̂
r̂) I i
~Jm(k0r̂) = = h r̂r̂ I i
~Jm(k0r̂) = I tr̂
~Jm(k0r̂) (2.185) La (2.183) puo allora essere scritta nel modo seguente: r̂  E(r) = n j! (r̂ I)
~Je(k0r̂) jk0I tr̂
~Jm(k0r̂) o (r) = = j! ( (r̂  I)
~Je(k0r̂) + k0 ! I tr̂
~Jm(k0r̂) ) (r) (2.186) Per ricondurci alla forma del campo magnetico vista in (2.174) dividiamo ambo i membri dell'equazione precedente per Z0, quindi 1 Z0 r̂  E(r) = j! Z0 (r)  (r̂  I)
~Je(k0r̂) + 1 Z0 I tr̂
~Jm(k0r̂)  ) (2.187) ) Y0 r̂  E(r) = j (r) ( k0(r̂  I)
~Je(k0r̂) + k0 Z0 I tr̂
~Jm(k0r̂) ) (2.188) In ne, poiche k0 Z0 = ! p q = = ! perveniamo all'espressione del campo magnetico Y0r̂  E(r) = (r) n j! I tr̂
~Jm(k0r̂) jk0(r̂  I)
~Je(k0r̂) o = H(r) (2.189) cioe H(r) = 1 Z0 r̂  E(r) (2.190) Passiamo adesso a considerare la descrizione degli aspetti energetici dell' irradiazione in campo lontano, e quindi consideriamo il vettore di Poynting complesso S = E H =  j Z0 2r0 ejk0rP e(r̂)    j Y0 2r0 ejk0rPm(r̂)  (2.191) cioe S = 1 4r220 [P e(r̂) P m(r̂)] (2.192) versione 2.1.0 2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa 45 Dal momento che Pm(r̂) = Z0r̂  P e(r̂) possiamo scrivere S = 1 4r220 Z0 [P e(r̂) r̂  P e(r̂)] = = 1 4r220 Z0 f [P e(r̂)
P e(r̂)] r̂ [P e(r̂)
r̂]P e(r̂) g = = Z0 4r220 jP e(r̂)j2 r̂ (2.193) Al variare della direzione di osservazione si ha una variazione del usso di energia che dipende dal quadrato del modulo del vettore di irradiazione P e. 2.5.6 Approssimazione locale del campo irradiato Consideriamo adesso il campo irradiato da una sorgente, localizzata nell'origine del nostro sistema di riferimento, nella regione
 individuata dalla direzione r̂ e descritta dall'angolo solido
, come in Fig. 2.8. Abbiamo x z y ∆Σ ∆Ω Figura 2.8. Campo irradiato nella regione
.
=
 r2  1 (2.194) E ragionevole supporre che il versore r̂ sia uguale per tutti i punti della regione
. Questa assunzione permette di a ermare che il termine P e(r̂) e costante in tutta la regione
, ovvero che se anche il campo non e globalmente un'onda sferica, lo e localmente attorno ad una data direzione. Ma cio puo risultare addirittura restrittivo: se all'interno della regione
 si considera il disco de nito da 1 r ' cost, come in Fig. 2.9. allora il campo diventa approssimabile ad un'onda piana con vettore di propagazione k = k0r̂, valendo le relazioni d'impedenza e di trasversalita dei campi elettrico e magnetico, nonche la relazione di dispersione jkj = k0. Abbiamo gia avuto occasione di precisare che le onde piane non sono sicamente realizzabili singolarmente, tuttavia abbiamo anche appena scoperto che in una regione limitata dello spazio, se r̂, jP e(r̂)j e 1 r sono approssimativamente costanti, l'onda piana riesce da sola a descrivere il campo con una certa accuratezza, quando ci si trovi nella regione di Fraunhofer. versione 2.1.0 46 Irradiazione nello spazio libero r Figura 2.9. Disco 1 r ' cost. 2.5.7 Diagramma di irradiazione e polarizzazione del campo Avendo scomposto il campo irradiato in un termine di onda sferica ed uno dipendente solo dalla direzione di osservazione e lecito chiedersi quali siano le super ci ad ampiezza costante e come queste vengano in uenzate dal termine direzionale P e(r̂). Ponendo jE(r)j = cost (2.195) si perviene all'equazione 1 r jP e(r̂)j = 1 r jP e(;)j = cost (2.196) e quindi le super ci ad ampiezza costante SA sono individuate dall'equazione SA : r(;) = cost jP e(r̂)j (2.197) Risulta conveniente tracciare tali super ci in un sistema di coordinate sferiche, e i diagrammi cos ottenuti sono detti diagrammi di irradiazione in forma polare. Essi danno le informazioni globali piu evidenti e, per avere un'idea quantitativa, si e ettuano dei tagli del tipo  = cost e  = cost sulle super ci jP e(;)j2 o jP e(;)j. Si noti che, ssata la direzione di osservazione, cioe  e ,la dipendenza del campo dalla distanza e jE(r)j / 1 r , cioe il campo si comporta come un'onda sferica. Il diagramma di irradiazione di una antenna e in genere spazialmente illimitato. Questo e dovuto al fatto che l'espressione del campo e data dalla trasformata di Fourier (spaziale) della distribuzione di sorgente che usualmente e spazialmente con nata (e che non ha tutte le derivate continue al bordo), per cui quello che otteniamo e la trasformata convoluta con la trasformata di una porta che come noto ha un andamento oscillante. Il diagramma di irradiazione riferito a  avra quindi una forma come quella mostrata in Fig. 2.10. La regione angolare tra il massimo e il primo zero (o minimo) e detta lobo principale, mentre le altre sono dette lobi secondari. Concludiamo il discorso sull'irradiazione in campo lontano richiamando il noto concetto di polarizzazione del campo elettromagnetico. La polarizzazione e la corrispondenza tra il fasore del campo e la sua rappresentazione istantanea nel dominio del tempo, e rappresenta pertanto una caratteristica puntuale del campo stesso. La polarizzazione si puo studiare in generale, e non necessariamente per campi trasversali rispetto alla direzione di propagazione. Nel nostro caso e inoltre valida la relazione di impedenza ed e dunque indi erente se lo studio viene fatto a partire dal campo elettrico o magnetico. Generalmente si considera il campo elettrico, il cui fasore viene scomposto nelle sue componenti reale ed immaginaria E = E 0 + jE 00 (2.198) versione 2.1.0 2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa 49 2.5.8 Riassunto dei risultati ottenuti nei paragra 2.5 Con riferimento alla Fig. 2.5 l'espressione esatta del campo elettrico irradiato dalla sorgente ed osservato nel punto r e data da E(r) = j! Z d3r0G(r r0)
Je(r0) Z d3r0G 0(r r0)
Jm(r0) (2.209) in cui essendo d   (che implica G (d) ' I td̂ (d) e G 0(d) ' jk0d̂  I (d) ) il primo integrale della 2.209 risulta: I = Z d3r0G(d)
Je(r0) ' Z d3r0 I td̂
Je(r0) ejk0d 4d (2.210) dove I td̂ = ̂d̂d + ̂d̂d. Utilizzando l'approssimazione d = r si ottiene un errore di fase che non dipende dalla distanza e quindi non si puo introdurre una limitazione per questo termine. Sfruttando invece l'approssimazione: d ' r r̂
r0 (2.211) si ottiene che per avere un errore di fase
   8 (convenzionale) si deve avere r > rmin = 2h2 0 detta regione di Fraunhofer. In tale regione le formulazioni del campo elettrico e del campo magnetico risultano: E(r) ' j! (r) I tr̂
Z d3r0 ejk0r̂
r 0 J e(r 0) + jk0r̂  I (r)
Z d3r0 ejk0 r̂
r 0 Jm(r 0) (2.212) H(r) ' j! (r) I tr̂
Z d3r0 ejk0r̂
r 0 Jm(r 0) jk0r̂  I (r)
Z d3r0 ejk0 r̂
r 0 Je(r 0) (2.213) che possono essere riscritte come : E(r) ' j!G a (r)
~Je(k0r̂)G0a(r)
~Jm(k0r̂) (2.214) H(r) ' j!G a (r)
~Jm(k0r̂) +G0a(r)
~Je(k0r̂) (2.215) dove G a (r)  (r) I tr̂ ; G0 a (r)  jk0r̂  I (r) (2.216) Per i termini di sorgente si ha: ~Je(k0r̂) = Z R3 d3r0 ejk0r̂
r 0 Je(r 0) ' Z R3 d3r0 Je(r 0) (2.217) ~Jm(k0r̂) = Z R3 d3r0 ejk0r̂
r 0 Jm(r 0) ' Z R3 d3r0 Jm(r 0) (2.218) Poiche i termini ~Je(k0r̂) e ~Jm(k0r̂) dipendono evidentemente dalla direzione di osservazione (cioe da r̂) si ricava la proprieta di direttivita: l'intensita del campo irradiato a distanza ssa dalla sorgente puo essere marcatamente diversa da una direzione all'altra. Volendo isolare nell'espressione del campo elettromagnetico il termine dipendente dalla direzione si ottiene: E(r) = j Z0 2r0 ejk0r P e(r̂) (2.219) versione 2.1.0 50 Irradiazione nello spazio libero H(r) = j Y0 2r0 ejk0rPm(r̂) (2.220) avendo posto P e(r̂) = I tr̂
~Je(k0r̂) 1 Z0 (r̂  I)
~Jm(k0r̂) (2.221) Pm(r̂) = I tr̂
~Jm(k0r̂) + Z0 r̂  I
~Je(k0r̂) (2.222) I vettori P e e Pm sono i vettori di irradiazione o vettori di Schelkuno e sono legati tra loro dalla relazione: Pm(r̂) = Z0 r̂  P e(r̂) (2.223) Poiche si e dimostrato che vale la relazione di impedenza: H(r) = 1 Z0 r̂  E(r) (2.224) il vettore di Poynting complesso puo essere scritto come: S = E H = Z0 4r220 jP e(r̂)j2 r̂ (2.225) In ne considerando una super cie piana per cui 1 r ' cost il campo puo essere approssimato con un'onda piana con vettore di propagazione k = k0r̂, valendo le relazioni d'impedenza e di trasversalita dei campi elettrico e magnetico, nonche la relazione di dispersione jkj = k0. 2.6 Irradiazione di un dipolo elettrico elementare e re- lative questioni energetiche Nella sua forma tipica, il dipolo elettrico elementare, consta di due conduttori elettrici, racchiusi in un volume avente dimensione caratteristica
l  0, sui quali viene forzata una corrente (tempo-variante). Un esempio tipico, che e stato uno dei primi oggetti adoperati come antenne, e costituito da una coppia di barre conduttrici poste ad una distanza   0 l'una dall'altra, e un'altra con gurazione e quella che uso Hertz (vedi Fig. 2.11). Nel paragrafo 2.5.3 abbiamo visto che il campo, elettrico e magnetico, prodotto da un dipolo elettrico elementare e funzione del vettore momento elettrico di dipolo de nito dalla (2.168) (essendo nulle le correnti magnetiche). Vediamo ora l'espressione del campo vicino e del campo lontano per questo tipo di antenna. 2.6.1 Campo vicino per un dipolo elementare La condizione che determina la situazione di campo vicino e data, come e gia stato detto, da r 0 cioe k0r 1 e quindi da 1 k0r  1. Iniziamo con l'approssimazione del campo elettrico, notando che A(k0r) = 2 j k0r + 1 (k0r)2 ! ' 2 (k0r)2 (2.226) versione 2.1.0 2.6 { Irradiazione di un dipolo elementare e questioni energetiche 51 Zg g ∆l δ<<∆l (a) (b) Figura 2.11. Due con gurazioni possibili di dipolo elementare: (a) coppia di barre conduttrici; (b) dipolo hertziano. B(k0r) = 1 A(k0r) 2 ' 1 (k0r)2 (2.227) Da cio si ottiene G(r) ' G NF (r) = " 2 (k0r)2 r̂r̂ 1 (k0r)2  ̂̂ + ̂̂ # 1 4r (2.228) dove il pedice NF sta per near eld (campo vicino) e in cui l'esponenziale e approssimato con 1, date le ipotesi. Siccome abbiamo visto che E(r) ' j!G(r)
M e (2.229) supponendo che il dipolo sia centrato, e ponendo M e = ûM possiamo scrivere E(r) ' j! 1 (k0r)2 n 2r̂ (r̂
û) ̂ (̂
û) ̂ (̂
û) o 1 4r M (2.230) Dal momento che (k0r) 2 = !2r2 si ha E(r) = j ! M 4r3 e(r̂) = 1 j! M 4r3 e(r̂) (2.231) dove e(r̂) = n 2r̂ (r̂
û) ̂ (̂
û) ̂ (̂
û) o (2.232) Il fatto che si possa introdurre il termine e(r̂), dipendente unicamente dalla direzione individuata dal versore r̂ e non dalla distanza r cioe solo da (;), e una conseguenza del fatto che in un sistema di riferimento sferico le direzioni ̂ e ̂ sono univocamente determinate a partire dalla conoscenza della direzione r̂ . Ad esempio se û = ẑ si ha: r̂
û = r̂
ẑ = cos  , ̂
û = ̂
ẑ = sin  , ̂
û = ̂
ẑ = 0 . Si puo allora scrivere E(r;;) = a(r;!) e(;) = a(r;!)e (r̂); a(r;!) = 1 |! M 42r3 (2.233) versione 2.1.0 54 Irradiazione nello spazio libero ampiezza 1 k0r e circa costante in un volume attorno ad r di dimensione caratteristica
r  r. Inoltre il vettore di Poynting e dato da S = E H = E   1 Z0 r̂  E  = = 1 Z0 [(E
E) r̂ (r̂
E)E] ' r̂ jEj2 1 Z0 (2.252) in quanto r̂
E ' 0 perche E = I tr̂
M e (r) e Z0 2 R nel vuoto e in tutti i mezzi senza perdite. Tutto cio ci porta a concludere che r̂ puo essere interpretata come la direzione di propagazione dell'onda, in quanto e la direzione del usso energetico, la direzione lungo cui decresce la fase dei campi elettrico e magnetico, la direzione ssata la quale il campo decresce in ampiezza come 1 r all'aumentare della distanza r dalle sorgenti ed e in ne un versore trasversale al campo. Se localmente e un'onda piana, di che tipo di onda si tratta globalmente? Ponendo M e = ûM si puo scrivere E(r) = j!  ̂̂ + ̂̂ 
ûM (r). Senza perdere in generalita, se si orienta l'asse polare lungo l'asse del dipolo, cioe û = ẑ, si ottiene ̂(̂
ẑ) + ̂(̂
ẑ) = ( sin ) ̂, e quindi (Fig. 2.12) E(r;;) ' j!M e jk0r 4r ( sin ) ̂ (2.253) Il fattore sin  prende il nome di fattore di obliquita e la sua presenza fa s che in alcune direzioni, a parita di distanza r, il campo sia piu intenso che in altre, e che le super ci ad ampiezza costante del campo non siano sferiche. Il campo dunque non e globalmente un'onda sferica, perche le super ci ad ampiezza costante sono invece date da jEj = cost ) j sin j r = cost ) r = r() = cost j sin j 8 (2.254) z xE ° ° Figura 2.12. Campo elettrico per il dipolo, ssato r. che rappresenta un toro degenere, cioe la super cie ottenuta per rotazione intorno all'asse z del cerchio di Fig. 2.13, giacente sul piano (x;z) (per ssare le idee). versione 2.1.0 2.6 { Irradiazione di un dipolo elementare e questioni energetiche 55 r(θ) x z Figura 2.13. Taglio sul piano (x;z) del toro degenere. 2.6.3 Considerazioni energetiche Eseguendo il prodotto esterno nel vettore di Poynting S = EH si puo facilmente vedere, dalle (2.231) e (2.237), che in campo vicino esso e puramente immaginario, e sembrerebbe quindi che al campo non sia associato alcun trasporto di potenza attiva. D'altro canto, abbiamo gia visto che in campo lontano il vettore di Poynting e dato da S ' r̂ jEj2 1 Z0 (2.255) e quindi e puramente reale, ovvero in campo lontano si veri ca un trasporto di potenza attiva associato al campo elettromagnetico. Dunque l'assenza di trasporto energetico riscontrata in campo vicino e evidentemente un e etto delle approssimazioni fatte; l Im(S)  Re(S), e la parte reale e associata alla componente di campo che abbiamo trascurato perche piccola. Vediamo dunque il calcolo completo. In generale la potenza complessa si puo scrivere nella forma ~P = Pirr + jQ (2.256) dove Pirr e la potenza attiva netta irradiata dal dipolo e Q e la potenza reattiva. Supponiamo che il dipolo abbia momento elettrico M e = Mẑ e che sia centrato nell'origine 0 del nostro sistema di riferimento, il che non e restrittivo. Allora d ~P d n̂ = 1 2 n̂
S ; dPirr d n̂ = 1 2 Re (n̂
S) (2.257) dove n̂ e il versore normale uscente dalla super cie  che si considera. Per una super cie sferica centrata in 0 si ha n̂ = r̂, e d ~P d r̂ = 1 2 r̂
S ) 2 ~P = Z  d r̂
S = Z  d r̂
E H (2.258) versione 2.1.0 56 Irradiazione nello spazio libero Determiniamo allora l'espressione di E. E(r) = j!G(r)
M e = = j! h A(k0r) r̂r̂ +B(k0r) (̂̂ + ̂̂) i
ẑ M (r) = = j! h A(k0r) r̂ (r̂
ẑ) +B(k0r)  ̂ (̂
ẑ) + ̂ (̂
ẑ) i M (r) = = j! h A(k0r) r̂ cos  B(k0r) ̂ sin  i M (r) (2.259) perche r̂
ẑ = cos  ; ̂
ẑ = sin  ; ̂
ẑ = 0 (2.260) Determiniamo ora l'espressione di H. H = G 0
M e = jk0r̂ C(k0r)M ẑ (r) (2.261) e quindi, essendo r̂  ẑ = ̂ sin  , si ottiene r̂
S = r̂
E H = r̂ h Ê + Err̂   H  ̂ i = EH   = = j! sin M B (jk0C sin M )  = !k0 sin 2  jM j2 j j2BC (2.262) Siccome j j2 = 1 (4)2r2 si ottiene ancora r̂
S = !k0 sin2  jM j2 1 (4)2r2 B C (2.263) Per quanto riguarda la potenza scriviamo allora 2 ~P = Z  r2 sin  d d!k0 sin 2  jM j2 1 (4)2r2 B C = = !k0 jM j2 B C (4)2 Z  0 d sin3  Z 2 0 d = = !k0 jM j2 2 (4)2 4 3 B C (2.264) dove Z  0 d sin3  = 4 3 (2.265) Essendo B(k0r) = 1 j k0r 1 (k0r)2 ; C(k0r) = 1 j k0r (2.266) Si ha dunque BC = 1 j k0r 1 (k0r)2 !  1 + j k0r  = 1 j (k0r)3 (2.267) e quindi ~P = 1 2 !k0 jM j2 1 6 " 1 j (k0r)3 # (2.268) versione 2.1.0 3 L'antenna in trasmissione 3.1 Parametri fondamentali delle antenne Per descrivere completamente un'antenna e necessario introdurre alcune de nizioni e vari pa- rametri. In generale non tutti i parametri sono scorrelati e sovente non e necessario speci carli tutti per una completa descrizione delle prestazioni di un'antenna, qui introdurremo solo i parametri piu signi cativi 1. 3.2 Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libe- ro Abbiamo detto che un'antenna e l'interfaccia tra una parte circuitale e lo spazio libero: quindi essa va caratterizzata relativamente a questi due sistemi. Dobbiamo cioe considerare le sue caratteristiche sia verso il circuito di alimentazione, rispettivamente nel caso della trasmissione e della ricezione, sia verso lo spazio libero. In questo paragrafo vogliamo caratterizzare un'antenna verso lo spazio libero, basandoci sulle proprieta del campo irradiato, ed in particolare rispetto all'energia (scalare) e alla polarizzazione (vettoriale). 3.2.1 Direttivita e guadagno Si de nisce direttivita di un'antenna la grandezza: d(r̂)  dPirr=d (dPirr=d)rif (3.1) cioe il rapporto tra la densita di potenza irradiata dall'antenna nella direzione r̂ e quella irradiata da una sorgente di riferimento. La sorgente di riferimento che noi consideriamo e il radiatore isotropico, il quale produce un'onda sferica pura omnidirezionale, cioe irradia una densita di potenza data da dPirr d ! rif = Pirr 4r2 (3.2) 1Per una trattazione completa consultare C. Balanis \Antenna Theory", John Wiley and Sons,1997, pp. 28 - 112 ed i riferimenti bibliogra ci ivi indicati. 59 60 L'antenna in trasmissione Possiamo quindi scrivere d(r̂) = dPirr=d Pirr=4r2 (3.3) ovvero, essendo d = r2d d(r̂) = dPirr=d Pirr=4 (3.4) Quando non speci cato altro, questa e la de nizione universalmente usata; in alcuni casi si usa come riferimento un'antenna particolarmente semplice, cioe il dipolo (vedi oltre). Si consideri ora la potenza di alimentazione Pal dell'antenna, cioe la potenza erogata al- l'antenna dal circuito che la alimenta. Una parte Pirr di questa potenza viene e ettivamente irradiata dall'antenna sotto forma di energia elettromagnetica, mentre la restante, Pcalore, si trasforma in calore per e etto Joule connesso con le perdite ohmiche nella struttura materiale dell'antenna Pal = Pirr + Pcalore (3.5) e Pal  Pirr (varrebbe l'uguaglianza nel caso ideale in cui non ci fossero perdite). Si de nisce poi rendimento ohmico  di un'antenna il rapporto   Pirr Pal  1 (3.6) Alle frequenze VHF e UHF, alle quali le antenne vengono realizzate con dei conduttori in cui uisce corrente, le perdite non sono sempre trascurabili. A frequenze piu alte, invece, le antenne sono tipicamente realizzate sfruttando delle guide d'onda, con rendimenti quasi unitari. Un altro parametro globale che possiamo de nire e il guadagno di un'antenna, dato da g(r̂)  dPirr=d Pal=4r2 (3.7) ed, essendo Pal = 1  Pirr, possiamo anche scrivere g(r̂) =  dPirr=d Pirr=4r2 =  d(r̂) (3.8) Il guadagno e la direttivita sono chiaramente funzioni della direzione di osservazione. Dal punto di vista pratico, sono utili i loro valori massimi, cioe la direttivita massima e il guadagno massimo, dati rispettivamente da G  max r̂ g(r̂) ; D  max r̂ d(r̂) (3.9) Quando non viene speci cato altro, per \guadagno" di un'antenna si intende quello massimo. Inoltre e noto che la densita di potenza irradiata e legata al vettore di Poynting dalla relazione dPirr d = 1 2 Re fS
r̂g (3.10) Sfruttando la relazione d'impedenza valida per il campo in regione di campo lontano si ha H = 1 Z0 r̂  E ) S = E H = r̂ jEj 2 Z0 = r̂ Z0 jHj2 (3.11) versione 2.1.0 3.2 { Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libero 61 e dunque si puo scrivere dPirr d = 1 2 Re fS
r̂g = 1 2 1 Z0 jEj2 = 1 2 Z0 jHj2 (3.12) Dalle (3.7) e (3.12) si vede che g(r̂) / jEj2, ed essendo il campo elettrico in campo lontano pro- porzionale al vettore di irradiazione P e (vedi (2.177)) abbiamo che g(r̂) / jP ej2. Concludiamo quindi che il guadagno ha la stessa forma del diagramma di irradiazione. Passiamo adesso a considerare la normalizzazione del guadagno. Data la relazione dPirr d = g(r̂) Pal 4r2 (3.13) se integriamo ambo i membri rispetto ad una super cie  (viene considerata una sfera come area di integrazione semplicemente per ragioni di semplicita di calcolo) otteniamo Z  d dPirr d = Pal 4 Z  d g(r̂) 1 r2 (3.14) ma ovviamente Z  d dPirr d = Pirr (3.15) e quindi Pirr = Pal 4 Z  d r2 g(r̂) (3.16) Z  d r2 g(r̂) = 4 Pirr Pal = 4 (3.17) Spesso conviene scrivere l'integrale in coordinate sferiche, dove d = r2 d d sin  (3.18) cioe d r2 = d = sin  d d (3.19) Possiamo allora scrivere Z 2 0 d Z  0 d sin  g(;) = 4 (3.20) e si ottiene cos la relazione di normalizzazione del guadagno. Questa relazione ci dice che il gua- dagno (massimo) di un'antenna non e indipendente dalla forma del diagramma di irradiazione g(r̂). L'obiettivo che ci porremo nel seguito e quello di determinare la distribuzione delle correnti elettriche e magnetiche sull'antenna. Nella grande maggioranza dei casi tale calcolo e molto oneroso e richiede un approccio numerico, ma per molte delle antenne di uso comune e possibile dare una ragionevole approssimazione della distribuzione della corrente sulla loro super cie. Notiamo che questo problema e l'\inverso" di quello a rontato nel precedente capitolo, in cui si e visto come determinare il campo elettromagnetico quando e nota la distribuzione di corrente responsabile dell'irradiazione. versione 2.1.0 64 L'antenna in trasmissione intendersi composta di due termini, cioe Ra = Rirr +R (3.24) dove R e la resistenza responsabile delle perdite ohmiche e Rirr tiene conto circuitalmente della potenza irradiata, cioe che il generatore che alimenta l'antenna cede allo spazio circostante; questa resistenza Rirr e detta resistenza di irradiazione. Si giunge cos ad una nuova espressione del rendimento ohmico  dell'antenna (de nito nel paragrafo 3.2)  = Pirr Pal = 1 2 Rirr jIaj2 1 2 Rirr jIaj2 + 12R jIaj 2 = Rirr Rirr +R (3.25) La reattanza di antenna Xa esprime invece l'e etto reattivo della stessa, cioe la \reazione" del dispositivo al tentativo di fornirgli potenza attiva. Essa e dunque legata all'energia reattiva concentrata nelle immediate vicinanze dell'antenna (in regione di campo vicino, come e stato visto per il dipolo elementare). Per poter trasformare (o estrarre) in modo eciente energia alla (o dalla) antenna e quindi necessaria una opportuna compensazione della parte reattiva di Za. Spesso ai ni del progetto di un'antenna, e importante stabilire un legame tra i parametri circuitali e quelli che descrivono l'irradiazione nello spazio; ad esempio, il valore della Rirr puo essere in uenzato dalla proprieta di direttivita. Il campo elettromagnetico irradiato puo essere determinato attraverso la conoscenza della funzione vettoriale P e(r̂) (come visto nel paragrafo 2.5.4), che coinvolge le trasformate di Fourier delle densita di corrente Je e Jm e dipende quindi dalla potenza di alimentazione. Le informazioni contenute in P e(r̂) sono dunque di duplice natura: riguardano la geometria dell'antenna (distribuzione delle correnti) e la sua alimentazione. Per disaccoppiare tali informazioni nell'espressione di P e(r̂) si normalizza il vettore di irradiazione rispetto alla corrente di alimentazione Ia. Si scrive allora P e(r̂) = Ia he(r̂) (3.26) dove la nuova grandezza he(r̂) esprime le sole caratteristiche direzionali dell'antenna ed e invece indipendente dalla potenza di alimentazione. Dall'analisi dimensionale della espressione (3.26) risulta evidente che tale grandezza deve essere espressa in metri e viene per questo chiamata altezza ecace (in trasmissione) dell'antenna. Possiamo legare il guadagno dell'antenna al modulo della sua altezza ecace. Infatti ab- biamo g(r̂) = dPirr=d Pal=4r2 = 1 2 1 Z0 jEj2 Pal=4r2 (3.27) E(r) = j Z0 2r0 ejk0r P e(r̂) = j Z0 2r0 ejk0r Ia he(r̂) (3.28) e quindi dP d = 1 2 1 Z0 Z0 2 4r220 jIaj2 jhe(r̂)j2 (3.29) versione 2.1.0 3.2 { Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libero 65 Il guadagno puo dunque essere espresso nella forma g(r̂) = 1 2 Z0 jIaj2 jhe(r̂)j2 4r2 4r2 Pal 2 0 = 1 2  Z0 jIaj2 jhe(r̂)j2 Pal 2 0 = = 1 2  Z0 jIaj2 jhe(r̂)j2 1 2 Ra jIaj2 20 =  Z0 Ra jhe(r̂)j2 20 (3.30) essendo Pal = 1 2 RajIaj2. Questa espressione permette di avere un legame fra le grandezze g, he, Ra. Si noti che he caratterizza completamente il comportamento irradiativo di un'antenna, ed include sia informazioni energetiche e di direttivita, sia informazioni sullo stato di polarizzazione del campo irradiato. Se si suppone che il rendimento  sia pressocche unitario, cioe che R  Rirr, allora Pal ' Pirr = 1 2 Rirr jIaj2 (3.31) Sfruttando il vettore di Poynting possiamo poi scrivere Pirr = 1 2 Re I  d n̂
S  (3.32) dove  e una qualunque super cie che circonda l'antenna. Questo ci consente di determinare una formula per il calcolo di Rirr, ed integrando su una super cie sferica in campo lontano 1 2 Rirr jIaj2 = 1 2 Z  d 1 Z0 jEj2 (3.33) Considerando la (3.28) abbiamo inoltre che jEj2 = Z0 2 4r220 jIaj2 jhe(r̂)j2 (3.34) e dunque 1 2 Rirr jIaj2 = 1 2 Z  d 1 Z0 Z0 2 4r220 jIaj2 jhe(r̂)j2 (3.35) 1 2 Rirr jIaj2 = 1 2 1 Z0 Z0 2 4r220 jIaj2 Z  d jhe(r̂)j2 (3.36) In coordinate sferiche d = r2 d d sin  = r2d e quindi 1 2 Rirr jIaj2 = 1 2 Z0 4r220 jIaj2 r2 Z tot d jhe(r̂)j2 (3.37) Rirr = Z0 4 Z tot d jhe(r̂)j2 20 = Z0 4 Z  0 d sin  Z 2 0 d jhe(r̂)j2 20 (3.38) Ne risulta che la resistenza di irradiazione e legata all'integrale del diagramma di irradiazione normalizzato. Se si riesce a stimare la corrente Ia e il modulo dell'altezza ecace, si puo determinare l'espressione della Rirr dalla formula precedente. versione 2.1.0 66 L'antenna in trasmissione 3.2.3 Diagramma di irradiazione isotropico, direzionale e omnidire- zionale Per radiatore isotropico, come gia accennato, si intende un'ipotetica antenna, senza perdite, che irradia la medesima potenza in ogni direzione dello spazio. Il radiatore isotropico e spesso preso come riferimento per la de nizione di guadagno, cioe per esprimere le caratteristiche di direttivita delle antenne reali. Un'antenna direttiva e caratterizzata dalla proprieta di irradiare o ricevere onde elettroma- gnetiche con maggior ecacia in alcune direzioni anziche in altre, questa terminologia e spesso applicata a quelle antenne la cui direttivita massima e molto piu grande di quella del dipolo in mezz'onda. In ne un'antenna si dice omnidirezionale, quando presenta un diagramma di irradiazione essenzialmente non direzionale in un dato piano e direzionale nel piano ortogonale al precedente (un'antenna omnidirezionale e un caso particolare di quella direttiva). 3.2.4 Piani principali Per le antenne a polarizzazione lineare si de nisce piano E il piano contenente il vettore campo elettrico e la direzione di massima irradiazione, piano H il piano contenente il vettore campo magnetico e la direzione di massima irradiazione. Questi sono i piani principali dell'antenna, in cui vengono spesso de nite le caratteristiche irradiative. Lobi del diagramma d'irradiazione Un lobo e una porzione del diagramma d'irradiazione limitato da due minimi (o nulli); in particolare si de nisce lobo principale quello che contiene la direzione di massima irradiazione, mentre tutti gli altri sono detti lobi secondari. HPBW e FNBW Spesso per de nire le caratteristiche di un'antenna sono molto utili due parametri che de ni- scono l'ampiezza del lobo principale e la direttivita dell'antenna (vd. Fig 3.5). La de nizione di HPBW (Half Power Beam Width) e la seguente: in un piano contenente la direzione del massimo di irradiazione, l'HPBW corrisponde all'angolo tra le due direzioni in cui la densita di potenza irradiata e pari alla meta del valore massimo; in altre parole se g() indica il dia- gramma d'irradiazione nel piano  = cost: considerato, e 3dB e l'angolo per cui g(3dB) = G 2 , allora HPBW = 23dB. Parimenti con FNBW (First Null Beam Width) si indica l'ampiezza angolare totale del lobo principale, cioe tra due nulli (se presenti); altrimenti detto, FNBW = 20 con 0 tale per cui g(0) = 0. Esiste una formula approssimata che lega la larghezza del lobo principale ed il guadagno di un'antenna; essa e data da: G  K HPBW1HPBW2 (3.39) versione 2.1.0 4 L'antenna in ricezione e reciprocita 4.1 Antenne in ricezione Fino ad ora abbiamo considerato il problema della determinazione del campo irradiato da una antenna nota l'alimentazione al suo ingresso. Vogliamo ora trattare l'aspetto duale per giungere ad un modello idoneo a descrivere l'antenna in ricezione, ovvero quando e \investita" da un campo esterno. In questo caso sara nota l'espressione del campo elettromagnetico in spazio libero e si dovra determinare la distribuzione della corrente sulla super cie dell'antenna. La trattazione appare meno \intuitiva" rispetto a quella vista per l'antenna trasmittente, ma pos- siamo avvalerci del teorema di reciprocita {che qui tratteremo{, il quale permette di asserire una completa simmetria tra il fenomeno trasmissivo e quello ricettivo. De niamo, come d'a- bitudine nella letteratura sull'argomento, il campo incidente come quello che ci sarebbe nella regione occupata dall'antenna se questa non ci fosse. Inoltre, considereremo sempre che l'an- tenna ricevente sia nella regione di campo lontano della sorgente (antenna, disturbo, etc.) che genera il campo incidente, cos come i parametri irradiativi dell'antenna in trasmissione sono de niti rispetto alla regione di campo lontano. Il campo incidente sull'antenna in ricezione sara allora un'onda sferica; si assume sempre, nella de nizione dei parametri di antenna in ricezione, che le dimensioni dell'antenna stessa siano tali da poter considerare l'onda sferica come (localmente) piana e che vi sia una sola sorgente per il campo incidente, cioe una sola onda piana incidente sull'antenna ricevente. (Il caso di piu sorgenti si tratta per diretta esten- sione con la sovrapposizione degli e etti dovuta alla linearita del problema). L'analisi rigorosa comporterebbe la soluzione di un problema ai valori al contorno sulla super cie dell'antenna (tipicamente, condizioni di annullamento del campo sulla super cie di un'antenna conduttri- ce). L'analisi in questi termini e assai complessa, ci limiteremo pertanto a cercare opportune approssimazioni (come gia fatto per l'antenna in trasmissione). Notiamo soltanto che il campo e ettivamente presente intorno ad una antenna in ricezione (RX) e signi cativamente diverso dal campo incidente, a causa del campo \ri esso" dall'antenna stessa. De niamo quindi i para- metri dell'antenna in ricezione per il caso di una sorgente di dimensione massima DT a distanza R  e R 2D 2 T  ; dobbiamo inoltre richiedere che l'onda incidente sia sostanzialmente piana nella regione occupata dall'antenna in ricezione. Piu ragioni che provengono da considerazioni di reciprocita che vedremo piu oltre (vedi 4.2), chiederemo che la sorgente stia in un punto S nella regione di campo lontano rispetto all'antenna ricevente pensata come trasmittente. In un sistema di riferimento come quello mostrato in Fig. 4.1, centrato nel punto di osservazione 69 70 L'antenna in ricezione e reciprocita O in cui e posta l'antenna ricevente, la sorgente e collogata in un punto S, per cui il versore r̂ = S O jS Oj individua la direzione da cui incide l'onda, ovvero la direzione in cui e vista la sorgente S dall'antenna ricevente in O, ed e quindi chiamata \direzione di incidenza". Si noti che la direzione n̂ di propagazione dell'onda che raggiunge l'antenna ricevente e n̂ = r̂. x y z O S r̂ n̂ Figura 4.1. Sistema di riferimento centrato nel punto di osservazione. La sorgente e posta in S. 4.1.1 Circuito equivalente e parametri caratteristici per un'antenna in ricezione La determinazione del circuito equivalente per l'antenna in ricezione si a ronta come un pro- blema elettrotecnico. L'oggetto che sta al di la dei morsetti e lineare per la linearita delle equazioni di Maxwell, e fornisce potenza ad un circuito utilizzatore quando e investito da una onda elettromagnetica. Pertanto si puo in generale rappresentare con un comune generatore reale, rappresentabile per esempio con l'equivalente Thevenin di Fig. 4.2 (o con un equivalente Norton). Sempre per la linearita delle equazioni di Maxwell, l'intesita del generatore equivalen- te sara proporzionale al campo incidente. Applicando il teorema di Thevenin, Zg rappresenta l'impedenza misurata ai morsetti A quando e stato \spento" il generatore di tensione Vg. Es- sendo Vg un segnale proporzionale al campo incidente porre Vg = 0 equivale a \spegnere" la sorgente che genera tale campo. Applicando allora in tali condizioni un generatore Vt ai mor- setti d'antenna si misurera la corrente che entra in essi: cos facendo l'antenna in ricezione si trasforma evidentemente in antenna in trasmissione. In questa con gurazione l'impedenza Zg che si misura e chiaramente l'impedenza di ingresso Za della stessa antenna considerata pero in trasmissione, Z(rx) g = Z(tx) a (4.1) l'intensita Vg del generatore ideale nel circuito equivalente Thevenin e legata, come abbiamo gia detto, al campo incidente sull'antenna, e inoltre il legame deve essere lineare in quanto lo sono versione 2.1.0 4.1 { Antenne in ricezione 71 ° ° Za Vg A Figura 4.2. Equivalente Thevenin in ricezione. Ia Vt Figura 4.3. Misura dell'impedenza dell'antenna in ricezione. le equazioni di Maxwell. La generica relazione lineare che esprime la dipendenza della tensione dal campo deve consentire di trasformare una grandezza vettoriale (campo) in una grandezza scalare (tensione), e quindi scriviamo Vg = h (rx) e
Einc(0) (4.2) dove 0 e il centroide dell'antenna. De niamo h(rx) e altezza ecace (in ricezione), funzione della direzione di osservazione, che ha la dimensione di una lunghezzah h(rx) e i = [Vg]h Einc(0) i = V V=m = m (4.3) In generale, l'antenna puo avere un comportamento direttivo anche in RX: si pensi ad esempio ad un telescopio che riceve (luce) solo da una regione angolare molto ristretta. Pertanto, in ge- nerale dobbiamo scrivere Va = Va(r̂). Appare dunque chiara l'importanza della direzione in cui e orientata l'antenna rispetto alla direzione dell'onda incidente. Per evidenziare le caratteristiche energetiche e quelle vettoriali del campo incidente e dell'antenna, possiamo scrivere h(rx) e = h(rx) e p̂(rx) (4.4) con p̂(rx) = h(rx) e h(rx) e (4.5) versione 2.1.0 74 L'antenna in ricezione e reciprocita b) l'antenna in RX ed il campo incidente sono equipolarizzati. Appare evidente dalla (4.12) che la condizione per avere adattamento di polarizzazione e data da p̂(rx)
p̂inc 2 = 1 (4.15) e svolgendo i calcoli si vede che cio si ottiene se p̂(rx) = (p̂inc). Si noti che in generale p̂ sono versori complessi. Le espressioni che sono state derivate permettono di constatare immediatamente l'esigenza di adattare la polarizzazione dell'antenna in ricezione con le caratteristiche vettoriali del campo incidente al ne di rendere massimo il trasferimento di potenza. Proseguendo la nostra analisi, scriviamo Pdisp;max(r̂) / Einc 2 (4.16) e sfruttando la relazione dP d ! inc = 1 2 Einc 2 Z0 (4.17) e possibile esprimere la potenza disponibile Pdisp;max in funzione della densita di potenza inci- dente dP d ! inc , tramite il parametro aeq, Pdisp;max(r̂) = aeq(r̂) dP d ! inc (4.18) L'analisi dimensionale dell'espressione permette di concludere che il parametro aeq deve essere espresso in m2, pertanto si de nisce aeq(r̂) area equivalente in ricezione dell'antenna. Per un'an- tenna in cui si puo determinare un'area geometrica (per esempio un paraboloide) si de nisce il parametro ecienza di apertura o fattore di bocca  che lega l'area geometrica Ageom all'area equivalente massima Aeq tramite la relazione Aeq = maxr̂faeqg = Ageom con   1 (4.19) Essendo aeq(r̂) legata alle caratteristiche energetiche dell'antenna, e naturale pensare che esista una relazione tra questa quantita ed il guadagno in trasmissione. L'area equivalente e un parametro che contraddistingue qualsiasi tipo di antenna, indipensentemente dalla forma sica della sua connessione circuitale (morsetti o guida di accesso), in quanto e sempre possibile determinare una relazione tra la potenza e la sua densita. Pertanto potra essere considerato un parametro generale utilizzabile per il confronto tra classi diverse di antenne. Ad esempio per un'antenna con due morsetti (per la quale ha senso de nire un'altezza ecace in ricezione) abbiamo Pdisp;max = 1 2 h(rx) e Einc 2 4Ra = aeq 1 2 Einc 2 Z0 ) aeq(r̂) = h(rx) e 2 Z0 4Ra (4.20) versione 2.1.0 4.2 { Reciprocita 75 4.2 Reciprocita 4.2.1 Introduzione alla reciprocita Per introdurre il concetto di reciprocita delle equazioni di Maxwell, possiamo citarne una forma che appartiene alla comune esperienza sensibile, considerando un semplice esempio nel campo del visibile. Dati un osservatore e una sorgente luminosa, se la sorgente e posta in maniera tale che l'osservatore e in grado di vederla, scambiando la posizione dell'osservatore con quella della sorgente l'osservatore continua a vedere la sorgente. D'altro canto e noto dall'Elettrotecnica il concetto di reciprocita per una rete; allora procedendo per gradi richiamiamo inizialmente il teorema di reciprocita per una rete a parametri concentrati e poi, in seguito, introdurremo questo concetto nel campo dell'Elettromagnetismo. Per l'analisi della reciprocita per un doppio bipolo (vedi Fig. 4.6.a), si possono considerare due situazioni circuitali di erenti; l'una (a) con il doppio bipolo alimentato sulla porta 1 con un generatore di corrente Iga (sorgente) e caricato sulla porta 2 dall'ammettenza Ye2, e l'altra (b) in cui si scambia la posizione della sorgente (generatore di corrente Igb) con quella dell'osservatore (tensione V sul carico), lasciando immutato il resto della rete (vedi Fig. 4.6.b). Una rete a 1 2 Iga Yc1 Yc2V2 a) 1 2Yc2 Yc1V1 b) Igb Figura 4.6. Doppio bipolo in due situazioni circuitali di erenti. parametri concentrati si dice reciproca se il prodotto delle sorgenti nel circuito (a) per l'e etto nel circuito (b) e uguale alle sorgenti in (b) per l'e etto in (a). In termini di grandezze elettriche si ha IgaV (b) 1 IgbV (a) 2 = 0 (4.21) ovvero il rapporto tra l'e etto (V ) e la sorgente (Ig) che lo ha prodotto nella situazione (a) e uguale al rapporto tra l'e etto e la sorgente che lo ha prodotto nella situazione (b) V (b) 1 Igb = V (a) 2 Iga (4.22) Si puo dimostrare che la presenza di soli componenti lineari e reciproci in una rete e condizione suciente per la sua reciprocita globale. Il concetto di reciprocita per una rete si ripercuote sulla matrice delle impedenze [Z]: per il doppio bipolo indicato in Fig. 4.6 si ha" V1 V2 # = " Z11 Z12 Z21 Z22 # " I1 I2 # (4.23) Dalla relazione matriciale, con riferimento alla Fig. 4.6 e ponendo rispettivamente Ye2 = 0 e versione 2.1.0 76 L'antenna in ricezione e reciprocita Ye1 = 0 otteniamo le seguenti espressioni: V (b) 1 Igb = V1 I2 I1=0 ; V (a) 2 Iga = V2 I1 I2=0 (4.24) dalle quali, applicando successivamente la condizione di reciprocita, rappresentata dalla rela- zione (4.22), si ricava V1 I2 I1=0 = V2 I1 I2=0 (4.25) Poiche i due membri della (4.25) non sono altro che le mutue impedenze della matrice [Z] si ha allora [Z] = [Z] T (4.26) La (4.26) esprime la simmetria della matrice [Z] per una rete che soddisfa il concetto di reci- procita. 4.2.2 Lemma di Lorentz In questo paragrafo ci proponiamo di generalizzare il concetto di reciprocita dell'Elettrotecnica ricavando, appunto, il teorema di reciprocita per le equazioni di Maxwell. Nel derivare tale teorema (o lemma) procederemo utilizzando l'analogia esistente tra le grandezze che descrivono una rete elettrica, tensioni e correnti, e le grandezze elettromagnetiche, rispettivamente campo E e campo H. Questo ci permettera di comprendere meglio il procedimento ed il suo risultato. Procedendo come per il paragrafo precedente, ricaviamo un legame tra sorgenti e campi in una data struttura (passiva) in due condizioni diverse di eccitazione. L'interesse per due diverse condizioni di eccitazione e dovuto qui anche al fatto che un'antenna puo trasmettere e ricevere; in un caso le sorgenti alimentano l'antenna, nell'altro l'antenna riceve il campo prodotto dalle sorgenti. Il teorema di reciprocita ammette due formulazioni, una di tipo di erenziale, detta lemma di Lorentz, e l'altra di tipo integrale. Iniziamo col ricavare la prima di esse. Consideriamo una struttura materiale qualunque (per esempio due antenne), e due insiemi di sorgenti, la coppia (Je1;Jm1) e la coppia (Je2;Jm2); l'irradiazione avviene sempre nelle stesse condizioni, nel senso che i mezzi e le condizioni d'interfaccia rimangono immutate quando si usi l'uno o l'altro insieme di sorgenti. Ciascuna di queste coppie di sorgenti produce campi elettrici e magnetici che soddisfano le equazioni di Maxwell. Siano E1 (r) e H1 (r) i campi prodotti dalle sorgenti con pedice 1 ed E2 (r) e H2 (r) i campi prodotti dalle sorgenti con pedice 2. D'ora in poi faremo a meno di indicare la dipendenza dal punto cos da evitare un appesantimento della notazione. Le equazioni di rotore risultanti sono8><>: r E1 = j!H1 + Jm1 +rH1 = j!E1 + J e1 (4.27) 8><>: r E2 = j!H2 + Jm2 +rH2 = j!E2 + J e2 (4.28) versione 2.1.0 4.2 { Reciprocita 79 allora se si commuta il prodotto triplo nell'integrando dell'equazione (4.38) si ottiene, considerando la (4.39) n̂
(E1 H2) n̂
(E2 H1) = (n̂ E1)
H2 (n̂ E2)
H1 = 0 (4.40) da cui segue l'espressione (4.38). Discorso analogo puo essere fatto per il campo magnetico su un conduttore magnetico. 2.  e una super cie di impedenza. In tal caso, come per esempio nei conduttori imperfetti, la condizione al contorno su  e n̂ Ej = ZsHtan (4.41) dove Zs e l'impedenza super ciale. Si ottiene cos l'integrando della (4.38) nullo per cancellazione infatti (ricordando che n̂
(E H) = n̂
(Etan Htan)) n̂
(E1 H2 E2 H1) = n̂E1
H2 n̂E2
H1 = ZsH1
H2ZsH2
H1 = 0 (4.42) 3.  e una sfera di raggio R!1. Se  e molto lontana dalla sorgente vale l'approssimazione di campo lontano (vedi Eq.2.190) r̂  E = Z0H +O  1 R2  (4.43) Se si arresta lo sviluppo all'ordine 1 R2 si ottiene una relazione d'impedenza e, come nel caso precedente, vale la relazione (4.38). Infatti poiche d = O  R2  (4.44) (E H)
r̂ =  E   r̂  E 1 Z0 
r̂ +O  1 R4  (4.45) l'integrale (4.38) divieneI  d  E1   r̂  E2 1 Z0  E2   r̂  E1 1 Z0  + I  dO  1 R4  (4.46) Il primo integrale e nullo in quanto lo e l'integrando, il secondo tende anch'esso a zero poiche il suo integrando d
O  1 R4  = O  1 R2  (4.47) tende a 0 per R!1. Si noti che se non ci fosse stata la relazione d'impedenza (termine dominante), il primo integrale della (4.46) non sarebbe stato nullo. Nei casi sopra esaminati il teorema di reciprocita si riduce aZ V d3r (Je1
E2 Jm1
H2) = Z V d3r (Je2
E1 Jm2
H1) (4.48) che viene chiamata forma forte del teorema di reciprocita. versione 2.1.0 80 L'antenna in ricezione e reciprocita 4.2.5 Equivalenza di un'antenna in RX e in TX Applichiamo ora il teorema di reciprocita per vedere quale \equivalenza" si possa stabilire tra un'antenna in TX e la stessa antenna in RX. Indichiamo come situazione (1) quella in cui l'antenna e in TX, cioe viene alimentata, e come situazione (2) quella in cui la stessa antenna e in RX, cioe e presente una sorgente esterna (e lontana). Ci chiediamo ora se esiste un legame tra la he in ricezione (h (r) e ) e quella in trasmissione (h(t) e ). Chiamiamo E1 e H1 i campi relativi all'antenna in TX e E2 e H2 quelli relativi all'antenna in RX. La h(t) e e legata al campo trasmesso dalla relazione E1 (r) = jZ0 2r ejkrh(t) e (r̂) Iat (4.49) mentre la h(r) e soddisfa la relazione Va = h (r) e (r̂)
Einc2 (r) (4.50) Quindi il quesito precedentemente posto si riduce a cercare il legame tra E1 e Va. Per le sorgenti (Je2;Jm2) la scelta e arbitraria: si hanno cos due gradi di liberta. Poiche vogliamo calcolare solo il campo E1 risulta conveniente porre la sorgente Jm2 nulla; in questo modo il termine H1 scompare dalla relazione (4.36). Per quanto riguarda la sorgente Je2 essa sara del tipo Je2 =M  (r R) (4.51) perche di essa sappiamo calcolare il campo irradiato. Resta ancora un grado di liberta che viene usato nella scelta della super cie. Volendo caratterizzare l'antenna e non la struttura che la alimenta, si racchiude con un conduttore la regione che contiene le sorgenti (generatore a radiofrequenze (B)) e la si collega tramite un cavo coassiale all'antenna (ANT ); se necessario si inserisce anche un simmetrizzatore (C) (vedi Fig. 4.8). Cos facendo, siamo sicuri che ad irradiare e soltanto l'antenna (che vogliamo caratterizzare), e non quello che sta a monte di essa. Applichiamo ora il teorema di reciprocita. Poiche la presenza di sorgenti all'interno della B C ANT Figura 4.8. Schema di un dipolo con la struttura che lo alimenta. super cie d'integrazione complica i conti, allora quest'ultima verra scelta come mostrato in Fig. 4.9, dove c indica la super cie che circonda il conduttore (B) e il cavo coassiale, A e la regione di piano che collega il cavo coassiale con l'antenna e 1 e la super cie della sfera (vedi versione 2.1.0 4.2 { Reciprocita 81 anche particolare in Fig. 4.10). La sezione A indica la sezione della guida (cavo coassiale) che corrisponde all'ingresso dell'antenna. L'integrale di super cie della formula (4.36) si sempli ca tenendo conto del fatto che gli integrali di super cie su c e 1 sono nulli in quanto si integra o su un conduttore o su una super cie che recede a in nito. Quindi l'integrale di super cie della (4.36) diventa Z A d n̂
(E1(A)H2(A) E2(A)H1(A)) (4.52) Supponendo che la sezione A sia sucientemente distante dall'antenna in modo che nella guida (coassiale) sia presente solo il modo fondamentale si puo a ermare che Et (A) = Va e() ; Ht (A) = IA h () (4.53) dove e() e h() sono le autofunzioni modali. Sostituendo, la (4.52) diventaZ A d2 ẑ
 e() h()  (VA1IA2 VA2IA1) (4.54) in cui il termine (VA1IA2 VA2IA1) non dipende da  e puo essere portato fuori dall'integrale. Si ponga Z A d2 ẑ
 e() h()  = c (4.55) Analizzando il circuito concentrato nella sezione A corrispondente ad un'antenna in trasmissio- ne, vedi Fig. 4.11, notiamo che IA1 = Iat ; VA1 = IA1Za (4.56) mentre considerando un'antenna in ricezione (Fig. 4.12), abbiamo Va = h (r) e  R̂ 
Einc2  R̂  (4.57) Esprimendo il tutto in funzione di Va otteniamo IA2 = Va Zg + Za ; VA2 = Va Zg Zg + Za (4.58) B C ANT O R M Σc Σ∞ ΣA Figura 4.9. Visualizzazione della super cie di integrazione . versione 2.1.0 84 L'antenna in ricezione e reciprocita e dalla relazione (4.20), aeq(r̂) = jhej2 Z0 4Ra (4.72) Sostituendo la (4.72) nella (4.71), si ha che g (r̂) = 4 2 aeq(r̂) (4.73) versione 2.1.0 5 Antenne lari 5.1 Introduzione alle antenne lari Tutte le antenne che sono geometricamente individuabili mediante una o piu linee si dicono antenne lari (per ragioni essenzialmente storiche). Il supporto di tali antenne, con alcune sempli cazioni geometriche, puo essere rappresentato come in Fig. 5.1. Le antenne lari sono 2a 2a << λ Σt Figura 5.1. Supporto delle antenne lari. caratterizzate da una sezione trasversale t di dimensioni molto minori della lunghezza d'onda  (non si pongono vincoli sulla lunghezza del lo). Per queste antenne, supposte di materia- le perfettamente conduttore, applichiamo il teorema di equivalenza, rimuovendo il metallo e lasciando al suo posto una corrente elettrica super ciale Jes sulla super cie del lo. La condi- zione al contorno sul conduttore (n̂  E = 0) annulla la corrente magnetica (come intuitivo). Tuttavia e intuitavamente piu semplice assumere la densita di corrente distribuita all'interno di tutto il lo, anziche solo sulla sua super cie, e questa e la strada che seguiremo. Vogliamo valutare l'espressione dell'integrale di irradiazione in campo lontano calcolando il vettore di irradiazione P e che e funzione della trasformata di Fourier della densita di corrente elettrica ~J e(k0r̂) = Z R3 d3r0 J e(r 0) ejk0r̂
r 0 (5.1) Data la geometria dell'antenna cercheremo di ridurre l'integrale di volume ad un integrale di linea, valutando come sempre quali approssimazioni cio comporta e in quali condizioni valga. Cominciamo per semplicita a considerare il caso particolare di antenna lare rettilinea, pren- dendo in esame un lo rettilineo a sezione trasversale t costante, come mostrato in Fig. 5.2. 85 86 Antenne lari Se ̂ indica la direzione lungo cui si estende il conduttore, il vettore r0, che descrive i punti Σt Σt z x y l2 l1 Oŝ O ρ Figura 5.2. Filo rettilineo a sezione trasversale costante. dell'antenna a partire dall'origine 0 (supposta interna al lo), puo essere scomposto in una componente longitudinale ed una trasversale rispetto a ̂ r0 = ŝ +  (5.2) dove  s e la coordinata curvilinea, cioe e la coordinata d'arco rispetto all'origine.   e la coordinata trasversale. Utilizzando un sistema di riferimento cartesiano possiamo scrivere ̂ = ẑ ;  = xx̂ + yŷ (5.3) L'ipotesi di dimensioni trascurabili rispetto a  impone una dimensione massima data da a = max 2t  (5.4) L'integrale di volume (5.1) puo essere scomposto nella parte longitudinale e trasversale utiliz- zando la (5.2) ~J e(k0r̂) = Z l2 l1 ds Z t d2 Je(;s)e jk0(r̂
̂)sejk0 r̂
 = = Z l2 l1 ds ejk0(r̂
̂)s Z t d2 Je(;s)e jk0r̂
 (5.5) In virtu della (5.4) e possibile eseguire la seguente approssimazione: k0r̂
  k0a = 2 a 0  1 (5.6) ovvero ejk0r̂
 ' 1 (5.7) versione 2.1.0 5.1 { Introduzione alle antenne lari 89 τ γ rγ (s) O Figura 5.5. Con gurazione generale di un'antenna lare.  r (s) e la funzione vettoriale che descrive i punti della curva.  ̂ = ̂(s) versore tangente alla curva nel punto s. Si ha Je(r) ' ̂(s)I(s)   r r (s)  (5.22) Si noti che (r r ) ha dimensioni m2. La trasformata di Fourier di Je in (5.8), che compare nel vettore di irradiazione in (5.17), si sempli ca in ~Je(k0r̂) = Z l2 l1 ds ̂(s)I(s)ejk0r̂
r (s) (5.23) Quest'ultima espressione e la piu generale possibile, poiche elimina la dipendenza dalla coor- dinata trasversale, vale per una qualsiasi curva descritta da r e non dipende dalla scelta dell'origine. Un disegno esempli cativo della geometria e rappresentato in Fig. 5.6. La si- tuazione in cui l'origine del sistema di coordinate e esterna al lo si presenta in molti casi di interesse pratico, nei quali una antenna e composta da piu \ li" che irradiano. La scelta di O r r rγ (s) τ Figura 5.6. Disegno esempli cativo della con gurazione generale porre l'origine al di fuori dell'antenna non comporta alcun cambiamento nella forma del campo irradiato, ma introduce un termine di spostamento di fase. Consideriamo infatti l'esempio di un lo rettilineo parallelo all'asse ẑ, nel caso in cui l'origine delle coordinate non stia sul lo versione 2.1.0 90 Antenne lari stesso, come in Fig. 5.7. Chiamiamo C l'origine locale delle coordinate sul lo, identi cata dal vettore rC = C O. Se chiamiamo s la coordinata lungo il lo, la posizione di un punto su di esso sara data da sẑ a partire da C, e da r = rC + sẑ a partire dall'origine O. L'esponenziale z x y τ̂ d C rc O Figura 5.7. Filo rettilineo non centrato. che compare nella (5.23) assume allora la forma ejk0 r̂
r = ejk0r̂
rC ejk0(r̂
ẑ)s (5.24) quindi l'Eq. (5.23) puo essere scritta nella forma seguente: ~Je(k0r̂) = ẑ e jk0 r̂
rC Z l2 l1 ds I(s)ejk0s cos  (5.25) dove il termine ejk0r̂
rC esprime lo spostamento di fase dovuto al fatto che l'origine non appartiene al lo. Nel caso piu semplice in cui rC = dx̂ (come in Figg. 5.7 e 5.8) lo spostamento di fase e jk0r̂
rC = jdk0 (r̂
x̂) = jk0d sin  cos, da cui e evidente che il termine r̂
x̂d = d sin  cos = w (vedi Fig. 5.8) e la di erenza di fase di un'onda piana che \parte" da C rispetto a quella che parte da O (ricordiamo che nel campo lontano le onde sferiche sono approssimabili da onde piane). E immediato veri care che nel dominio del tempo questi spostamenti di fase corrispondono a dei ritardi. Consideriamo ora l'estensione al caso di un lo curvilineo, in tal caso, considerando la 5.14 e la 5.2 si perviene ad una espressione del tipo: ~Je(k0r̂) ' Z s2 s1 ds ŝ(s)I(s)ejk0(r̂
ŝ)s (5.26) Consideraiamo ad esempio, il caso di un anello circolare di raggio a  , in queste condizioni si ha: ds = ad 0 ; ŝ = ̂ 0 versione 2.1.0 5.2 { Antenne a dipolo elettrico 91 θ z x y d O w Figura 5.8. Spostamento di fase. e pertanto la 5.26 diviene ~Je(k0r̂) ' a Z 2 0 d 0 ̂ 0 I( 0 )ejk0(r̂
^  0 )a 0 (5.27) (attenzione a non confondere  0 con ), in coordinate cartesiane risulta: ̂0 = x̂ sin0 + ŷ cos0 ̂ 0
r̂ = sin  sin( 0) siccome a , si approssima il termine esponenziale nella 5.27 come: ejk0(r̂
^  0 )a 0 ' 1 + jk0(r̂
̂0)a 0 (5.28) 5.2 Antenne a dipolo elettrico Consideriamo un'antenna composta da due stili conduttori di opportuna lunghezza, distanziati di    ed alimentati da una linea di trasmissione, come in Fig. 5.9. Siccome   , si suppone di poter considerare i morsetti dell'antenna come quelli di un componente elettrico concentrato e quindi di poter individuare una tensione V e una corrente I. La possibilita che scorra una corrente lungo gli stili, lasciati aperti come in Fig. 5.9 appare una evidente violazione della teoria dei circuiti a parametri concentrati (secondo cui la resistenza di ingresso e in nita), e dobbiamo cercare di dare una nuova interpretazione del fenomeno in esame sfruttando la teoria delle linee. Un modo per comprendere il problema e quello di studiare una struttura nota come linea di trasmissione biconica. Per studiare le caratteristiche di irradiazione di una tale antenna dovremo conoscere la forma I(s) della corrente sui conduttori. 5.2.1 Linea di trasmissione biconica e dipolo a =2 La linea biconica e una struttura costituita di due coni conduttori di uguale apertura angolare a acciati alle punte, come si puo vedere in Fig. 5.10. Si puo studiare la linea biconica come guida d'onda, prendendo pero come asse della guida la direzione radiale r̂. Tale studio e al di la dei nostri scopi, ma si puo mostrare1 che tale guida, detta sferica, ammette un modo TEM, 1per esempio in N.Marcuvitz, Waveguide Hand Book, Mc Graw-Hill, New York: 1951; Secs. 1.8 e 2.8. versione 2.1.0 94 Antenne lari dove = k0. Per questa antenna siamo riusciti a dare una forma della corrente, anche se ovviamente la descrizione monomodale (TEM) del campo e la rappresentazione del cono tagliato come circuito aperto e approssimata e pertanto il diagramma d'onda stazionaria puo essere considerato un'approssimazione ragionevole della corrente. Questa struttura biconica tagliata e detta antenna biconica ed e un'antenna relativamente a larga banda usata soprattutto come antenna di misura nel contesto delle misure di compatibilita elettromagnetica. Cerchiamo ora di adattare i risultati ottenuti per l'antenna biconica al caso dello stilo conduttore. Se lo stilo e sottile, ed il rapporto tra il suo diametro 2a e la sua lunghezza l e  1, e chiaro che non di erisce molto da un cono sottile. Piu accuratamente, il dipolo puo essere visto come una linea biconica a sezione non costante: infatti ogni intervallo
z del dipolo puo essere localmente approssimato con un cono di opportuna apertura, come e mostrato in Fig. 5.14; l'equivalente in linea di trasmissione e rappresentabile con una serie di tratti di linea di impedenza caratteristica diversa, come mostrato in Fig. 5.15. Figura 5.14. Approssimazione di uno stilo con una linea biconica. Figura 5.15. Equivalente di una linea biconica a sezione non costante. Noi qui trascuriamo tale non uniformita, e quindi approssimiamo la distribuzione della corrente sul dipolo con un diagramma d'onda stazionaria, come in Fig. 5.16. La situazione piu usata e quella per cui si ha il massimo valore di corrente in corrispondenza dell'alimentazione. Una situazione tipica e quella del dipolo a =2, o dipolo a mezz'onda, per cui L = 0=2 , l = 0=4 (vedi Fig. 5.17). In base alle sole considerazioni fatte sinora, e chiaro che la reattanza all'ingresso e X = 0 (0=4 da un circuito aperto); da quanto sappiamo dalla teoria delle risonanze sulle linee di trasmissione e evidente che in un circuito del tipo in Fig. 5.13 siamo in condizioni di risonanza. In base alla sola teoria approssimata, l'impedenza d'ingresso del dipolo sara sempre reattiva: stiamo infatti trascurando gli e etti della irradiazione; vedremo piu avanti questo aspetto (vedi paragrafo 5.2.2). Utilizzando la stessa geometria, ma cambiando la lunghezza in funzione di , possiamo ottenere distribuzioni diverse della corrente lungo l'antenna. In particolare, se scegliamo l   la distribuzione della corrente lungo la linea di trasmissione versione 2.1.0 5.2 { Antenne a dipolo elettrico 95 ° ° z |I(z)| Figura 5.16. Diagramma d'onda stazionaria per un dipolo. ° ° z |I(z)| l L Figura 5.17. Distribuzione di corrente per un dipolo a  2 . e circa triangolare, come mostra la Fig. 5.18. Infatti il coseno si approssima con una retta ottenendo I(z) / cos(k0l) ' k0l se k0l 1 (5.29) Ia |I(z) z Figura 5.18. Distribuzione di corrente per un dipolo corto. 5.2.2 Dipolo corto e dipolo a =2: confronto Il dipolo a =2 e quello corto sono i due tipi di dipolo piu utilizzati nella pratica: vediamo dunque di mettere a confronto le prestazioni, premettendo che quello corto ha degli ovvi vantaggi di ingombro, supposto a frequenze \basse". versione 2.1.0 96 Antenne lari Diagramma di irradiazione Per una antenna rettilinea corta la trasformata della sorgente ha una forma semplice per via delle considerazioni in 2.6 e dalle equazioni (2.172) e (2.140), cioe ~Je(k0r̂) 'M e = Z dz Je = ̂ Z l l ds I(s) (5.30) dove Ia e la corrente di alimentazione dell'antenna, I(0) = Ia e quindi la (5.30) diventa (L = 2l) M e = ̂ Z l l ds I(s) = 1 2 ̂LIa (5.31) Questa e l'espressione del momento elettrico di un dipolo corto del tipo visto prima. In generale per un dipolo corto con una corrente I(s) = Iaf(s) dove jf(s)j < 1 otteniamo il momento elettrico M e = ̂ Z l l ds Iaf(s) = ̂ Ia Z l l ds f(s) (5.32) e, facendo il cambiamento di variabile u = s 2l , possiamo scrivere M e = ̂ IaL Z 1 2 1 2 du f(u) = ̂ IaL (5.33) dove   Z 1 2 1 2 du f(u). Nel caso di dipolo corto visto prima (5.31), con distribuzione f trian- golare, e chiaro che  = 1 2 , mentre se la corrente fosse costante (f = cost:) si avrebbe  = 1. Risulta chiaro che, essendo il campo irradiato proporzionale a M e, l'intensita di tale campo di- pende dall'intensita e dalla geometria della distribuzione di corrente (si deve cioe massimizzare l'integrale della corrente lungo il lo). Questa esigenza ha portato alla ricerca delle terminazioni piu adatte per garantire una corrente costante nel lo (e di conseguenza  = 1). Per avere I costante lungo il lo dobbiamo \caricare" il dipolo alle estremita in modo reattivo, introducen- do ad esempio un e etto capacitivo. Due esempi di realizzazione sono il dipolo hertziano e il dipolo con terminazioni a piatto, mostrati nelle Figg. 5.19 e 5.20. Le terminazioni consentono di ottenere una linea equivalente rappresentabile come in Fig. 5.21. La realizzazione pratica della seconda soluzione sfrutta spesso il terreno come uno specchio e una serie di li tesi come terminazione a piatto, come schematizzato in Fig. 5.22. Esaminiamo adesso piu in dettaglio il dipolo a =2, che e una struttura molto usata nella pratica (vedi Fig. 5.18). L'espressione analitica della corrente risulta essere I(z) = Ia cos   z 2l  = Ia cos   z L  (5.34) Quindi prendendo l'origine al centro del dipolo e utilizzando la (5.23) otteniamo ~Je(k0r̂) = ẑ Z l l dzI(z)ejz = ẑIa Z l l dz cos   z L  ejz (5.35) versione 2.1.0