Calcolo lunghezza di una curva, esempio, Appunti di Analisi Matematica II. Università di Roma Tor Vergata
lukadonio
lukadonio28 novembre 2010

Calcolo lunghezza di una curva, esempio, Appunti di Analisi Matematica II. Università di Roma Tor Vergata

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Esempio di calcolo della lunghezza di una curva di parametrizzazione assegnata.
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Calcolare la lunghezza della curva γ di parametrizzazione

r(t) =

( √

6t+ 1√ 6 , log

[ 1−

(√ 6t+

1√ 6

)2]) t ∈ [ −1

6 ,

1

6

]

Soluzione

r′(t) =

√6 , −2 √

6 (√

6t+ 1√ 6

) 1−

(√ 6t+ 1√

6

)2 

Lγ =

∫ 1/6 −1/6 ||r′(t)||dt =

∫ 1/6 −1/6

6 + −2

√ 6 (√

6t+ 1√ 6

) 1−

(√ 6t+ 1√

6

)2 

2 1/2

dt

Applico la sostituzione

x = √

6t+ 1√ 6 ⇒ t = x√

6 − 1

6 ⇒ dt = 1√

6 dx

per cui gli estremi di integrazione diventano x1 = 0 per t1 = −16 e x2 = 2√ 6

per t2 = 1 6 .

Allora l’integrale diventa

∫ 2/√6 0

1√ 6

6 +(−2√6x 1− x2

)21/2 dx = ∫ 2/√6 0

1√ 6

[ 6 +

24x2

1− 2x2 + x4

]1/2 dx =

=

∫ 2/√6 0

1√ 6

[ 6(x4 + 2x2 + 1)

1− 2x2 + x4

]1/2 dx =

∫ 2/√6 0

[ (x2 + 1)2

(1− x2)2

]1/2 dx =

=

∫ 2/√6 0

|x2 + 1| |1− x2|

dx

1

Essendo x2 + 1 > 0 sempre e 1 − x2 > 0 ∀x ∈ [ 0 , 2√

6

] , i moduli possono esse-

re eliminati ottenendo

∫ 2/√6 0

x2 + 1

1− x2 dx =

∫ 2/√6 0

(x+ 1)(x− 1) + 2 (1− x)(1 + x)

dx =

=

∫ 2/√6 0

(−1)dx+ 2 ∫ 2/√6 0

A

1− x +

B

1 + x dx

ove A(1 + x) +B(1− x) = 1 ⇒ A = B = 1 2 .

Allora ottengo

∫ 2/√6 0

−1 + 1 1− x

+ 1

1 + x dx = log

(√ 6 + 2√ 6− 2

) − 2√

6

che è finalmente il valore della lunghezza della curva γ.

Luca Donio

2

commenti (1)
ottimo
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