Prepara gli esami con i nostri Tutor Online prova gratis

Dispensa - Idraulica - Idrodinamica, Dispense di Idraulica. Università di Genova

Idraulica

Materie simili: Fluidodinamica
Descrizione: Dispensa per il corso di Idraulica riguardante l'Idrodinamica
Mostro le pagine  1  -  2  di  166
La preview di questo documento finisce qui| Per favore o per leggere il documento completo o scaricarlo.
Informazioni sul documento
Caricato da: frak66
Visite: 1000+
Downloads : 4
Universita: Università di Genova
Indirizzo: Ingegneria
Materia: Idraulica
Data di caricamento: 19/06/2012
Incorpora questo documento nel tuo sito web:
master.dvi

Dispense del corso di Idrodinamica

a.a. 2011-2012

2

Introduzione

I corsi di Meccanica dei Fluidi, Idraulica, Idrodinamica intendono fornire agli studenti di diversi corsi di laurea le basi per lo studio della dinamica dei fluidi, cioé gli strumenti utili per la descrizione del moto dei fluidi e per la predizione del loro movimento conoscendo le forze esercitate su di essi. I corsi citati hanno in comune i principi fondamentali e le equazioni di base, differenziandosi per i problemi particolari analizzati in dettaglio.

Queste note hanno lo scopo di accompagnare lo studente durante i corsi di Idraulica 1 e Idrodinamica 1 offerti rispettivamente agli allievi dei corsi di laurea (di 1o livello) in ingegneria civile e ambientale e ingegneria navale della Facoltá di Ingegneria dell’Universitá di Genova. Esse sono altreśı utilizzate, tutte o in parte per i corsi di Meccanica dei fluidi 1 (CL3 in Ingegneria Chimica).

La forma di queste note é sintetica. In esse vengono riassunti i contenuti fondamentali delle lezioni svolte, cercando di seguire, per quanto possibile, la loro cronologia. Esse devono essere intese come un ausilio alla preparazione dell’esame che presuppone la frequenza al corso e un approfondimento dei temi trattati su testi facilmente reperibili nella biblioteca della Facoltá e in quella del Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni dell’Ambiente e del Territorio.

Capitolo 1

Lo schema di continuo

I fluidi, come tutta la materia, hanno una struttura discontinua essendo formati da molecole (insieme di atomi) poste a distanze grandi rispetto alle loro dimensioni e animate da elevate velocitá relative. In un punto arbitrario dello spazio non é quindi possibile definire con precisione le proprietá di un fluido (della materia) perché in tale punto potrebbe non esserci fluido (materia) o potrebbe trovarsi una particolare molecola dotata di una sua massa, di una sua velocitá ....

Figura 1.1:

Esempio: Nel punto P1, individuato dal vettore posizione xP1

1 non é possibile definire alcuna velocitá non essendo presente alcuna molecola. Nel punto P2,

1Una lettera in grassetto indica un vettore, una grandezza cioé individuata da un modulo, una direzione e un verso. Quindi v indica un vettore le cui componenti, rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano costituito dagli assi x1, x2 e x3, sono rispettivamente v1, v2 e v3.

3

4 CAPITOLO 1. LO SCHEMA DI CONTINUO

occupato all’istante in esame dalla particella B, possiamo definire la velocitá vB che tuttavia é molto diversa dalla velocitá vD presente nel punto P3 ove transita la particella D.

Ció che avviene a livello molecolare non é peró di nostro interesse. E’ pos- sibile prescindere da questo carattere discontinuo della materia, se si prende in considerazione un volume che contiene un numero elevato di molecole e si definiscono delle grandezze medie. Ad esempio possiamo definire la densitá ρ1 associata al volume V1 come il rapporto fra la massa M1 in esso contenuta e il volume stesso.

ρ1 = M1 V1

Similmente possiamo definire

ρ2 = M2 V2

e in generale

ρ1 6= ρ2

Figura 1.2:

1.0.1 La densitá in un punto

Consideriamo un punto P nello spazio individuato dal vettore posizione x = (x1, x2, x3) e un volume ∆V

′ che racchiude il punto P. Procedendo come prima possiamo associare al volume ∆V ′ una densitá ρ∆V ′ :

ρ∆V ′ = ∆M ′

∆V ′

5

Figura 1.3:

Scegliendo un altro volume ∆V ′′ otterremo un valore della densitá diverso: ρ′′∆V ′ . La densitá ρ nel punto individuato dal vettore x é definita come il limite di ρ∆V per ∆V tendente a valori piccoli (ǫ).

ρ(x) = lim ∆V→ǫ

∆M

∆V

La dimensione del volume ǫ deve essere piccola rispetto alle dimensioni di interesse ma comunque molto maggiore della distanza media fra molecole. L’andamento di ρ in funzione di ∆V é rappresentato in figura 1.4 ove d rappresenta la distanza media fra le molecole.

Figura 1.4:

La densitá dei fluidi varia con la temperatura e la pressione a cui sono sottoposti. Tale variazione é consistente per i gas ma piuttosto debole per i liquidi. Se la densitá di un fluido non dipende dalla pressione e dalla tem- peratura, il fluido é detto incomprimibile (e indilatabile). Come si vedrá nel capitolo 5, i liquidi, se sottoposti a variazioni di pressione e di temperatura

6 CAPITOLO 1. LO SCHEMA DI CONTINUO

modeste, possono essere trattati come fluidi incomprimibili. Le dimensioni 2

della densitá sono quelle di una massa divisa per un volume

[ρ] = ML−3

e l’unitá di misura nel sistema internazionale il Kg/m3. La densitá di alcuni fluidi é riportata in una nota relativa al capitolo 5.

In modo analogo a quanto fatto per la densitá, possiamo definire qualun- que altra grandezza F di interesse, che risulterá una funzione continua della variabile x (funzione continua dello spazio). In questo modo il fluido (ma- teria) assume una struttura “continua”. Considerando che le caratteristiche del fluido (materia) dipendono anche dal tempo, in generale avremo:

F = F (x, t) = F (x1, x2, x3, t)

con

lim x→x0

F (x, t) = F (x0, t)

lim t→t0

F (x, t) = F (x, t0)

essendo F una qualunque proprietá.

2Come si vedrá meglio nel capitolo 11, la dimensione di una grandezza fisica é l’entitá che accomuna tutte le grandezze che hanno la stessa natura. Ad esempio, se si considerano il diametro di una sfera, la lunghezza di un corso d’acqua e la lunghezza di un condotto, tutte queste quantitá hanno in comune la dimensione lunghezza (L). In meccanica dei fluidi si utilizzano tre dimensioni fondamentali di base, atte cioé a descrivere le dimensioni di tutte le altre grandezze: M (massa), L (lunghezza) e T (tempo)

Capitolo 2

FORZE AGENTI SU UN CONTINUO (FLUIDO)

Le molecole che costituiscono la materia esercitano delle forze sulle molecole circostanti che vengono suddivise in due categorie:

1)forze a corto raggio

2)forze a lungo raggio

Le prime (forze a corto raggio) assumono valori significativi solo quando le molecole si trovano a distanza dell’ordine delle loro dimensioni. Le seconde (forze a lungo raggio) decadono molto lentamente e rimangono significative anche quando le molecole sono a distanze rilevanti, cioé molto maggiori delle loro dimensioni.

Utilizzando lo schema di continuo illustrato nella capitolo 1, si tiene con- to delle osservazioni sperimentali precedenti, introducendo due categorie di forze:

1)forze di superficie

2)forze di massa

Le prime (forze di superficie) sono proporzionali alla superficie considerata e sono il risultato delle forze molecolari di corto raggio. Le seconde (forze di massa) sono invece proporzionali alla massa presa in considerazione e sono il risultato delle forze molecolari di lungo raggio.

Consideriamo un volume V di un continuo (fluido) e una sua parte V’. Denotiamo rispettivamente con S e S’ le superfici che delimitano V e V’.

Attraverso una porzione piccola dS’ (a rigori infinitesima), di normale n, della superficie S’, il continuo (fluido) all’esterno S’ di esercita una forza dF (anch’essa piccola e a rigori infinitesima) sul continuo (fluido) all’interno. Se raddoppiamo dS’ la forza raddoppierá. Come detto precedentemente la forza

7

8 CAPITOLO 2. FORZE AGENTI SU UN CONTINUO (FLUIDO)

Figura 2.1:

é proporzionale alla superficie. Avremo quindi

dF = tdS

La quantitá vettoriale si dice tensione.

Le dimensioni della tensione t sono quelle di una forza divisa per una superficie

[t] = ML−1T−2

L’unitá di misura il Kg m−1 s−2 1 o anche il (Kg m s−2)m−2=Nm−2) denominata anche pascal (Pa). Nell’ingegneria vengono ancor oggi utilizzate unitá di misura diverse. In particolare:

- il chilogrammo forza su metro quadro

1Kgf/m 2 = 9.81N/m2 = 9.81Ps

- un’atmosfera normale

1Atm = 1, 01325105Pa

- un bar

1bar = 105Pa

1Kg indica il chilogrammo massa m indica il metro s indica il secondo N indica il newton

9

La tensione t in generale dipende dalla posizione x della superficie infini- tesima dS’, dal tempo t (non confondere t con t) e dalla normale n. In uno stesso punto e allo stesso tempo due superfici infinitesime di ugual area dS’ e diversa normale n saranno caratterizzate da valori diversi della tensione.

dF (1) = t(1)dS ′

dF (2) = t(2)dS ′′

si ha quindi t = t(x, t,n)

Figura 2.2:

La forza dF = tdS ′ descrive completamente l’azione che il continuo (flui- do) all’esterno di V esercita su quello all’interno attraverso la superficie dS’ (ASSIOMA DI CAUCHY). Volendo determinare la forza complessiva (risul- tante) che il continuo (fluido) allesterno di S’ esercita su quello all’interno é necessario:

1)suddividere la superficie S’ in parti infinitesime dS’

2)valutare su ciascuna parte la forza infinitesima dF esercitata dall’ester- no: dF = tdS ′

3)sommare tutti i contributi individuati

F =

S′ tdS ′

L’azione che il continuo contenuto in V esercita su quello posto esterna- mente, é pari a F.

10 CAPITOLO 2. FORZE AGENTI SU UN CONTINUO (FLUIDO)

La forza F = ∫

S′ tdS ′ rappresenta l’azione del continuo (fluido) all’esterno

di V’ (ma nelle immediate vicinanze di S’) sul continuo all’interno. Tuttavia altra materia esiste anche a distanze elevate (molto maggiori delle dimensioni di V’) e tali da non consentirne la rappresentazione nella figura.

Figura 2.3:

Considerando una porzione piccola dV’ (a rigori infinitesima) del volume V’, si assume che la materia molto distante da dV’ e non rappresentata in figura eserciti una forza dG sul continuo contenuto in dV’ proporzionale alla sua massa. Se raddoppiamo dV’ e quindi la massa in considerazione, la forza raddoppierá. Come detto precedentemente la forza é proporzionale alla massa. Per quanto illustrato nel capitolo 1, la massa dM contenuta in dV ’ é esprimibile come

dM = ρdV ′

avremo quindi

dG = fρdV

La quantitá vettoriale f é detta campo di forze.

Le dimensioni del campo di forze f sono quelle di una forza divisa per una massa cioé quelle di un’accelerazione.

[f ] = LT−2

L’unitá di misura di f é il m s−2. Il campo di forze f in generale dipende dalla posizione x e dal tempo t (non confondere t con t).

11

Volendo determinare la forza complessiva (risultante) che la materia lon- tana da V’ esercita sul continuo (fluido) in esso contenuto é necessario:

1)suddividere il volume V’ in parti infinitesime dV’

2)valutare su ciascuna parte la forza infinitesima dG 2 esercita dall’esterno

dG = fρdV ′

3)sommare tutti i contributi individuati

dG =

V ′ ρfdV ′

2Benché possano essere considerati diversi campi di forze, il campo di forze che verrá preso in considerazione nel corso é il campo di forze gravitazionale (f=g). Il vettore g é diretto verticalmente verso il basso e ha un valore che é lecito assumere costante e pari a 9.81 ms−2.

Capitolo 3

Fluidi in quiete

Come illustrato nel Capitolo 2, la tensione t all’interno di un continuo (flui- do) dipende non solo dalla posizione individuata dal vettore x e dal tempo t (non confondere t con t) ma anche dall’orientamento della superficie infini- tesima dS’ presa in esame.

In generale

t = t(x, t,n)

• Nei fluidi in quiete, tuttavia, la tensione assume una forma particolar- mente semplice (ASSIOMA DI EULERO). In particolare t risulta sempre ortogonale alla superficie in considerazione e diretta verso la superficie.

t = −pn

Figura 3.1:

12

3.1. L’EQUAZIONE INTEGRALE DELLA STATICA 13

La quantitá scalare p si dice pressione.

• Le dimensioni della pressione sono uguali a quelle della tensione ([p]=ML−1T−2) cośı come le unitá di misura (si ricordi che la normale é adimensionale).

• La pressione p in generale dipende dalla posizione x e dal tempo t (non confondere t con t)

p = p(x, t)

3.1 L’EQUAZIONE INTEGRALE DELLA STA-

TICA

Consideriamo un volume di fluido V e una sua porzione arbitraria V’. Per il principio della quantitá di moto (la derivata della quantitá di moto di una massa in movimento rispetto al tempo é uguale alla risultante delle forze esercitate sulla massa dall’esterno), la risultante delle forze che l’esterno esercita su V’ deve annullarsi. Infatti in un fluido in quiete la quantitá di moto é sempre nulla, essendo nulla la velocitá. Per quanto esposto nel capitolo 2, la risultante R delle forze esercitate dall’esterno su V’ sará

R =

S′ tdS ′ +

V ′ ρfdV ′

o, tenendo conto che t=-pn

R = − ∫

S′ pndS ′ +

V ′ ρfdV ′

Deve quindi risultare

R = 0 oppure

S′ pndS ′ =

V ′ ρfdV ′

L’equazione precedente é detta equazione integrale della statica e deve valere qualunque volume V’.

14 CAPITOLO 3. FLUIDI IN QUIETE

Figura 3.2:

3.2 L’EQUAZIONE PUNTUALE DELLA STA-

TICA

L’equazione della statica in forma integrale puó essere trasformata utilizzan- do il teorema del gradiente 1 che porge

S′ (pn)dS ′ =

V ′ ∇pdV ′

si ottiene quindi

V ′ (∇p− ρf )dV ′ = 0

Considerando che l’equazione della statica in forma integrale vale qua- lunque porzione V’ di V si consideri, l’equazione precedente puó essere sod- disfatta solo se si annulla la funzione integranda; se cioé

∇p = ρf L’equazione precedente, detta equazione puntuale della statica, é

un’equazione vettoriale che corrisponde a tre equazioni scalari

∂p

∂x1 = ρf1;

∂p

∂x2 = ρf2;

∂p

∂x3 = ρf3.

1Questo risultato segue banalmente osservando che pn = pI · n (dove I é la matrice identitá) e applicando il teorema di Gauss (detto anche teorema della divergenza)

S

(pI) · ndS = ∫

V

∇ · (pI)dV = ∫

V

∇pdV

3.2. L’EQUAZIONE PUNTUALE DELLA STATICA 15

Essa descrive come cambia nello spazio la pressione p. Tale equazione puó essere integrata una volta noto il campo di forze f e l’equazione di stato che lega la densitá allo stato del fluido.

Capitolo 4

FLUIDI IN QUIETE: LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO A DENSITA COSTANTE SOGGETTO AL CAMPO DI FORZE GRAVITAZIONALE

In molte circostanze, discusse nel capitolo 5, la densitá di un fluido puó essere considerata costante. Qualora il campo di forze sia quello gravitazionale, é possibile integrare facilmente l’equazione puntuale della statica e ottenere la distribuzione spaziale della pressione.

Esempio:

Consideriamo il fluido, all’interno del contenitore in figura 4.1, supposto di densitá costante ρ. Il campo di forze sia quello gravitazionale e laccelerazione sia diretta verticalmente verso il basso. L’equazione puntuale della statica porge

∂p

∂x1 = 0;

∂p

∂x2 = −ρg; ∂p

∂x3 = 0.

e impone quindi che la pressione non dipenda né da x1 né da x3: la pressione costante su un piano orizzontale.

La seconda equazione si trasforma in un’equazione alle derivate ordinarie che puó essere facilmente integrata

16

17

Figura 4.1:

∂p

∂x2 = −ρg =⇒ p = −ρgx2 + c1 = −γx2 + c1

La pressione aumenta linearmente all’aumentare della profonditá. Il va- lore della costante c1 puó essere determinato solo se é nota la pressione in un punto. Il prodotto γ = ρg é detto peso specifico e le sue dimensioni sono quelle di una forza divisa per un volume

[γ] = ML−3LT−2 = ML−2T−2

L’unitá di misura é il N m−3. Nell’ingegneria viene talvolta utilizzato il chilogrammo forza su metro cubo.

1Kgfm −3 = 9.81Nm−3

Con riferimento agli assi in figura, denotiamo con p0 la pressione nel pia- no che risulta essere l’interfaccia fra due fluidi. Non consideriamo per il momento il fluido sovrastante, che possiamo pensare essere aria, e focalizzia- mo l’attenzione su quello sottostante di peso specifico γ. Al fine di analizzare un caso reale possiamo pensare questultimo come acqua. Si ha dunque

p = p0 − γz Essendo ρ 1 pari a 1000 Kg/m3 ed essendo p0 pari alla pressione atmosfe-

1La densitá ρ dell’acqua, che in generale dipende dalla pressione e dalla temperatura (vedi capitolo 5), in molti casi puó essere assunta costante e pari a 1000 Kg/m3. Il peso specifico γ risulta quindi pari a 9810 N/m3. Talvolta γ viene espresso in chilogrammi forza su metro cubo. In questo caso si ha γ = 1000Kgf/m

3.

18CAPITOLO 4. FLUIDI IN QUIETE: LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO

Figura 4.2:

rica cioé circa 1.013 105 Pa, l’andamento della pressione é quello riportato in figura. La pressione raddoppia ad una profonditá di circa 10m mentre divie- ne 3 p0 a una profonditá di circa 20m e cośı via. Dal grafico risulta evidente quanto giá detto in precedenza e sintetizzato dalla formula: la pressione au- menta in modo lineare con la profonditá. La distribuzione della pressione in un fluido incomprimibile in quiete é idrostatica.

Figura 4.3:

Per motivi che saranno chiari nel seguito, introduciamo la quantitá

h = z + p

γ

19

detta carico piezometrico. Le dimensioni del carico piezometrico sono quelle di una lunghezza

[h] = L

e quindi la sua unitá di misura é il metro (m). In un fluido in quiete h risulta costante. Si ha infatti:

h = z + c1 − γz

γ =

c1 γ .

Figura 4.4:

Il carico piezometrico h rappresenta l’energia meccanica posseduta dal fluido per unitá di peso. Essa si compone di energia potenziale per unitá di peso (z) ed energia di pressione per unitá di peso (p/γ).

L’equazione della statica per un fluido a densitá costante soggetto al campo di forze gravitazionale

dp

dz = −ρg = −γ

porge anche

20CAPITOLO 4. FLUIDI IN QUIETE: LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO

pA − pB = −γ (zA − zB) Cioé la differenza di pressione fra due punti é pari a γ per la differenza di

quota. Chiaramente il punto a quota piú bassa ha la pressione maggiore.

Capitolo 5

L’equazione di stato

• Per i cosidetti fluidi termodinamici, lo stato del fluido (le sue caratteri- stiche) dipende da due variabili, dette variabili di stato. Le due variabili di stato possono essere scelte arbitrariamente, essendo tutte le altre caratteri- stiche del fluido legate alle due scelte da equazioni dette “equazioni di stato”. Spesso come variabili di stato vengono scelte:

1)la pressione p

2)la temperatura T

si ha quindi:

ρ = ρ (p, T )

che é l equazione di stato che lega la densitá alla pressione e alla tempe- ratura. L’equazione evidenzia che variando la pressione e/o la temperatura varia la densitá del fluido. Ogni fluido é caratterizzato da una diversa equa- zione; cioé la sua densitá puó variare in modo piú o meno significativo al variare della pressione e della temperatura.

• In forma differenziale l’equazione di stato puó essere scritta nella forma:

dρ =

(

∂ρ

∂p

)

dp+

(

∂ρ

∂T

)

dT.

L’equazione precedente puó essere riscritta introducendo il coefficiente di comprimibilitá isotermo e quello di dilatabilitá isobaro.

- Coefficiente di comprimibilitá isotermo:

21

22 CAPITOLO 5. L’EQUAZIONE DI STATO

ǫ−1 = 1

ρ

(

∂ρ

∂p

)

- Coefficiente di dilatabilitá isobaro:

α = −1 ρ

(

∂ρ

∂T

)

L’equazione diviene

dρ = ρ (

ǫ−1dp− αdT )

.

• Essendo proprietá del fluido, ǫ e α a loro volta dipendono da p e T. Tuttavia se le variazioni di p e T non sono elevate, ǫ e α possono essere con- siderati costanti e pari a ǫ0 e α0.

Segue

ρ = ǫ−10 dp− α0dT

ln

(

ρ

ρ0

)

= ǫ−10 (p− p0)− α0 (T − T0)

ρ = ρ0e ǫ−10 (p−p0)−α0(T−T0)

ove ρ0 é la densitá alla pressione p0 e alla temperatura T0. L’equazione precedente puó essere considerata come equazione di stato in

quelle situazioni in cui le variazioni di p e T non sono rilevanti. Per valori della pressione e della temperatura pari a quelli ambientali (es.:

p=1,013 105 Pa, T= 20o C), i valori di ǫ0 e α0 per l’acqua sono molto grandi e molto piccoli rispettivamente (ǫ0 = 2.178 10

9N/m2, α0 = 20.66 10 −5K−1 ).

Per variazioni di pressione piccole rispetto a ǫ0 e per variazioni di temperatura piccole rispetto a α−10 , é possibile approssimare e

ǫ−10 (p−p0)−α0(T−T0) con 1 e considerare il valore di ρ costante e pari a ρ0.

Considerazioni analoghe possono essere fatte anche per altri fluidi tenen- do presente che per assumere ρ ∼= ρo é necessario che siano piccole (molto minori di 1) le quantitá (p− p0) /ǫ0 e α0 (T − T0).

23

• Esistono altre forme di equazione di stato, valide per fluidi o casi par- ticolari. Ad esempio per un gas perfetto che subisce una trasformazione isoterma l equazione di stato diviene

p

ρ =

p0 ρ0

essendo p0 e ρ0 la pressione e la densit di riferimento. 1

1A temperatura T=15o C e pressione p=1.013 105 Pa si ha: Densitá dell’acqua uguale a 9.99 102 Kg/m3

Densitá dell’olio lubrificante uguale a 8.67 102 Kg/m3

Densitá dell’aria uguale a 1.22 Kg/m3

Densitá del mercurio uguale a 1.36 104 Kg/m3

Capitolo 6

LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN GAS PERFETTO A TEMPERATURA COSTANTE SOGGETTO AL CAMPO DI FORZE GRAVITAZIONALE

L equazione puntuale della statica impone

dp

dz = −ρg

Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti a temperatura costante (capitolo 5), si ottiene:

dp

dz = −pρ0

p0 g

dp

p = −ρ0g

p0 dz = −γ0

p0 dz

ln

(

p

p0

)

= −γ0 p0

(z − z0)

24

25

p = p0e −

γ0(z−z0) p0

Se consideriamo aria a una temperatura di 15oC e assumiamo p0 pari a 1.013 105 Pa con z0=0, il valore di γ0 risulta pari a 11.2 N/m

3. La figura riporta l andamento di p e di ρ con la quota.

Figura 6.1:

Se tuttavia le variazioni di quota sono modeste (per esempio se z − z0 é inferiore a 100 m.), la quantitá γ0 (z − z0) /p0 risulta molto minore di uno (γ (z − z0) /p0 = 1.1 10−2 per z−z0 = 100 m) e sia la pressione che la densitá possono essere assunte costanti. Infatti per valori piccoli di γ0 (z − z0) /p0 si puó scrivere

p ∼= p0 [

1− γ0 (z − z0) p0

+ 1

2

(

γ (z − z0) p0

)2

+ ...

]

. Quindi se (z − z0) é pari a 100 m o inferiore, p puó essere assunta pari

a p0 con un errore di ordine 10 −2 o minore. E per questo motivo che nei

problemi che noi affronteremo, in cui le variazioni di quota sono modeste, riterremo la pressione atmosferica costante con la quota.

Capitolo 7

FENOMENI DI INTERFACCIA

7.0.1 LA TENSIONE SUPERFICIALE

• I fenomeni che hanno luogo all’interfaccia fra due fluidi sono molto com- plessi e legati alla struttura molecolare della materia. Cerchiamo di dare una semplice spiegazione di tali fenomeni. Con riferimento alla figura supponia-

Figura 7.1:

mo che la densitá del fluido 1 sia inferiore a quella del fluido 2. La particella B del fluido 2 é attirata dalle particelle limitrofe. Anche la particella A del fluido 2 é attirata dalle particelle limitrofe. Tuttavia, essendo la densitá del fluido 1 inferiore a quella del fluido 2, la forza risultante sulla particella A non sará nulla ma diretta verso il basso. E’ evidente quindi che, perché sia possibile una situazione di equilibrio, in prossimitá della superficie le parti- celle tenderanno a formare uno strato piú denso. Situazione analoga si avrá nel fluido 1.

26

27

Figura 7.2:

• A livello macroscopico il fenomeno puó essere schematizzato assumen- do che l’interfaccia sia una superficie soggetta ad uno stato di tensione. Con riferimento alla figura, la superficie S sia l’interfaccia fra due fluidi e C una curva chiusa su S che abbraccia l’origine O degli assi cartesiani (x1, x2, x3). Il fenomeno descritto precedentemente puó essere schematizzato pensando che sul tratto dC, la superficie esterna alla zona delimitata dalla curva C eserciti una forza, sulla superficie all’interno, di modulo pari a σdC, diretta ortogo- nalmente all’elemento di linea dC e tangente alla superficie. La quantitá σ é detta tensione superficiale ed é una proprietá dell’interfaccia fra due fluidi. Esisterá quindi la tensione superficiale aria-acqua , aria-olio, olio acqua ma non la tensione superficiale di un singolo fluido. Dimensionalmente la tensione superficiale é una forza per unitá di lunghezza

[σ] = MLT−2L−1 = MT−2.

L’unitá di misura é il Nm−1 o alternativamente il Kgfm −1.

• Nel seguito sono riportati alcuni valori della tensione superficiale di diversi liquidi con l’aria a una temperatura di 15o C e alla pressione di un’atmosfera

Acqua 7.3 10−2N/m Glicerina 7.1 10−2N/m Benzene 2.8 10−2N/m Mercurio 47.3 10−2N/m

28 CAPITOLO 7. FENOMENI DI INTERFACCIA

CONTINUITA’ DELLA PRESSIONE ATTRAVER- SO UNA SUPERFICIE PIANA

Figura 7.3:

• Consideriamo l’interfaccia piana fra due fluidi rispettivamente di peso specifico γ1 e γ2 e analizziamo l’equilibrio di un cilindro a sezione circolare (vedi figura) di area Ω e altezza2a per metá immerso nel primo fluido e per l’altra metá immerso nel secondo fluido. Si denoti con p1 la pressione (co- stante per quanto visto precedentemente nel capitolo 4) sulla base superiore del cilindro e con p2 la pressione sulla base inferiore. Il fluido all’esterno del cilindro eserciterá quindi una forza verso il basso pari a p1Ω dovuta alla somma di tante forze infinitesime p1dΩ esercitate sull’area infinitesima dΩ. Analogalmente sará presente una forza verso l’alto pari a p2Ω. Infine, sem- pre nella direzione verticale, é presente il peso del fluido contenuto dentro al cilindro pari a γ1Ωa + γ2Ωa. Non esiste altra forza nella direzione verticale; quindi l’equilibrio in tale direzione impone che:

p2Ω = p1Ω + aΩ (γ1 + γ2)

Nel limite di a tendente a zero si ottiene

p1 = p2

29

Dunque all’interfaccia, la pressione nel fluido é uguale alla pressione del fluido 2.

IL SALTO DI PRESSIONE ATTRAVERSO UNA SU- PERFICIE GOBBA

Figura 7.4:

Qualora l’interfaccia fra due fluidi non sia piana, la pressione p1 all’inter- faccia nel fluido ➀ sará diversa dalla pressione p2 all’interfaccia nel fluido ➁. E’ possibile mostrare che il salto di pressione ∆p = p1 − p2 é pari a

±σ (

1

R1 +

1

R2

)

essendo R1 e R2 i raggi principali di curvatura nel punto in considerazione. La pressione sará maggiore sul fluido che si trova dalla parte concava della superficie.

Capitolo 8

LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

Figura 8.1:

In primo luogo mostriamo (come assunto precedentemente nel capitolo 7) che la spinta su una superficie piana S prodotta da una distribuzione di pressione costante p0 (vedi figura 8.1 é una forza F ortogonale alla superficie stessa diretta verso la superficie e di modulo pari al valore della pressione per l’area della superficie. Per quanto esposto nel capitolo 2 e nel capitolo 3 si ha

F =

S

−pndS

Nella situazione in esame p = p0 e n sono costanti.

Segue dunque

30

31

F = −p0n ∫

S

dS = −np0S

La forza F é quindi diretta come n, ha verso opposto e il suo modulo é pari a p0S.

Figura 8.2:

Consideriamo ora il problema illustrato in figura 8.2 dove a sinistra del piano (x,y) é presente un liquido di peso specifico γ. Al di sopra del liqui- do e a destra della superficie é presente aria supposta a pressione costante pari alla pressione atmosferica patm. Nel disegno é anche raffigurato il piano (x,y) ribaltato sul foglio in modo tale da visualizzare la superficie S in esso contenuta.

Figura 8.3:

Si voglia determinare la forza esercitata dal liquido sulla superficie. Nella figura 8.3 é rappresentato landamento della pressione sul piano (x,y). Da quanto esposto nel capitolo 4 e nel capitolo 5 emerge che

p = patm + γx sin θ

32CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

Figura 8.4:

Volendo determinare la forza esercitata dal liquido sulla superficie S, é necessario determinare

F =

S

−pndS = ∫

S

− (patm + γx sin θ)ndS.

Tenendo conto che n é costante, la forza F puó essere scomposta facil- mente in due parti

F = F1 + F2 = −npatmS − n ∫

S

γx sin θdS

La forza F1 = −npatmS é esattamente bilanciata da una forza uguale e contraria esercitata dall’aria sulla superficie. Per questo motivo il problema di determinare F viene trasformato nella determinazione di F2

F2 =

S

−(p− patm)ndS

La pressione p diminuita dalla pressione atmosferica é detta pressione relativa pr .

• Considerando che l’uso della pressione relativa pi diffuso di quello della pressione assoluta, nella rimanente parte di questo capitolo e nel capitolo seguente indicheremo con p la pressione relativa e con F la forza da essa indotta.

• Dalla relazione

F = −n ∫

S

γx sin θdS

33

emerge chiaramente che la forza F é ortogonale alla superficie (la direzione di F coincide con quella di n) é diretta dal liquido verso la superficie e ha intensitá F pari a

S

γx sin θdS = γ sin θ

S

xdS = γ sin θxGS = pGS 1

ove con il pedice G si sono indicate quantitá riferite al baricentro G della superficie. Da quanto ricavato emerge inoltre che l’intensitá della forza eser- citata dal liquido sulla superficie pu essere ricavata moltiplicando l’area della superficie per il valore della pressione (relativa) nel baricentro della superficie stessa.

• Nel seguito ricaviamo le coordinate xG, yG del baricentro di alcune semplici superfici piane

1)Rettangolo

Figura 8.5:

xG = 1

S

S

xdS = 1

bh

∫ h

0

( ∫ b

0

xdx

)

dy = h1 2 b2

bh =

b

2

yG = 1

S

S

ydS = 1

bh

∫ h

0

( ∫ b

0

ydy

)

dx = b1 2 h2

bh =

h

2

1 ∫

S xdS é detto momento statico della superficie S rispetto all’asse y. Si ha quindi

S xdS = xGS essendo xG la coordinata x del baricentro della superficie S.

34CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

2) Triangolo

h

b

y=mx

G

A B

C

y= (x−b)[mh/(h−mb)]m

x

y

Figura 8.6:

yG = 1

S

S

ydS = 2

bh

∫ h

0

∫ (h−mb)

mh +b

y m

ydxdy

yG = 2

bh

∫ h

0

y

[

b+ y

(

h−mb mh

− 1 m

)]

dy = 2

bh

[

b h2

2 +

h3

3

(h−mb− h) mh

]

= 2

bh

[

bh2

2 − mbh

2

3m

]

= 3bh2 − 2bh2

3bh =

h

3

La coordinata yG non dipende dal valore di m !

Ripetendo il calcolo ruotando il triangolo é facilmente verificabile che il baricentro G dista dalla base sempre un terzo dell’altezza qualunque lato sia scelto come base.

3)Semicerchio

x=(R2 − y2)1/2

G

R

x

y

− y2)1/2x=−(R2

Figura 8.7:

35

yG = 1

S

S

ydS = 2

πR2

∫ R

0

√ R2−y2

− √

R2−y2 ydxdy

= 2

πR2

∫ R

0

2y √

R2 − y2dy = 2 πR2

[

−2 3 (R2 − y2) 32

]R

0

= 4

3π R

Figura 8.8:

Nota la direzione, il verso e il modulo della forza F, per risolvere comple- tamente il problema é necessario determinare la retta di applicazione di F. La forza F deve essere infatti equivalente alla somma delle forze infinitesime −npdS esercitate dal fluido sulle superfici infinitesime dS che compongono S. F sará equivalente se avrá la stessa risultante e lo stesso momento rispet- to ad un qualsiasi polo. Indicando con C il punto di incontro della retta di applicazione di F con la superficie S si deve avere

Fxc =

S

pxdS Fyc =

S

pydS

essendo (xc, yc) le coordinate del punto C detto centro di spinta. Le formule precedenti, insieme alla relazione

F =

pdS

precedentemente ricavata, evidenziano un importante risultato: le coor- dinate (xc, yc) coincidono con le coordinate del baricentro del cosidetto solido delle pressioni, cioé di un solido, nello spazio (x,y,p), individuato dall’interse- zione delle superfici p = 0 e p = γx sin θ con un cilindro a generatrici parallele all’asse p e con una direttrice coincidente con il contorno di S (vedi figura 8.8).

E’ importante anche notare che il valore di F coincide con il volume del solido delle pressioni.

36CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

Figura 8.9:

• I risultati illustrati precedentemente suggeriscono una procedura sem- plice e rapida per il calcolo della forza F e della sua retta di applicazione

1)Nello spazio (x,y,p), con il piano (x,y) contenente la superficie S e l’asse p a esso ortogonale, tracciare l’andamento di p(x, y).

2)Individuare il solido delle pressioni.

3)Scomporre il solido delle pressioni in parti di cui sia semplice valutare il volume e la posizione del baricentro.

4)Valutare il volume Vi(i = 1, 2, ..., N) delle N parti cośı individuate.

5)Valutare le coordinate (xci, yci) dei baricentri degli N volumi.

6)Calcolare la forza F

F = N ∑

i=1

(−Vin)

7)Calcolare le coordinate (xc, yc) del centro di spinta

xc =

∑N i=1 (Vixci) ∑N

i=1 Vi ; yc =

∑N i=1 (Viyci) ∑N

i=1 Vi

• Consideriamo le relazioni giá ottenute e discusse

37

Fxc =

S

pxdS Fyc =

S

pydS

Discende

xc =

S pxdS

F =

S pxdS

S pdS

=

S γx2 sin θdS

S γx sin θdS

=

S x2dS

S xdS

=

S x2dS

xGS

La quantitá ∫

S x2dS é il momento d’inerzia della superficie S rispetto

all’asse y e viene indicato con Jyy. E’ inoltre noto che Jyy = JyGyG + Sx 2 G,

essendo JyGyG il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo allasse y e passante per il baricentro G. Segue

xc = Jyy xGS

= Sx2G + JyGyG

xGS = xG +

JyGyG xGS

Tale risultato mostra in particolare che il centro di spinta é sempre a una profonditá maggiore o al piú uguale al baricentro. In modo analogo si mostra che

yc =

S pydS

S pdS

=

S γxy sin θdS

S γx sin θdS

=

S xydS

S xdS

= Jxy xGS

= yG + JxGyG xGS

essendo Jxy e JxGyG i momenti centrifughi della superficie S rispetto agli assi x, y e ad assi a essi paralleli passanti per il baricentro G di S.

Resta da sottolineare che le formule precedentemente ricavate sono valide per una distribuzione continua di p e con riferimento ad un sistema di assi coordinati tali che la pressione si annulli nell’origine e lungo tutto lasse y.

38CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

ESERCIZI SULLA DETERMINAZIONE DELLA SPINTA SU UNA SUPERFICIE PIANA

1)Si consideri il serbatoio in figura 8.10 riempito di un liquido di densitá ρ e si determini il momento M necessario a mantenere in equilibrio la paratoia ABCD incernierata (e quindi in grado di ruotare ma non traslare) lungo il lato AD.

Dati: a = 0.5m , b = 0.7m , c = 0.2m ρ= 1000 Kg/m3 (acqua)

Figura 8.10:

Soluzione: Si introduca il sistema di riferimento in figura. Si ha:

p = ρgx

Figura 8.11:

39

Quindi il solido delle pressioni é quello riportato nella figura 8.12 insieme a una sua semplice scomposizione.

γ (a+b)

γ a γ a

γ (a+b) γ b γ a

F1 F2

x

a

b

= +

F = +

p

γ a

y

Figura 8.12:

Emerge quindi che

F = F1 + F2 = γ b2c

2 + γabc

Il risultato ottenuto coincide con la relazione

F = pGS

Infatti la pressione nel baricentro G della superficie pari a

pG = γ

(

a+ b

2

)

mentre S = bc

Segue

F = γabc+ γ b

2 bc

che coincide con la relazione giá trovata. Sapendo che il baricentro di un triangolo si trova a una distanza dalla

base pari ad un terzo dell’altezza e che il baricentro di un rettangolo si trova a una distanza dalla base pari a metá dell’altezza é facile verificare che

xc = F1xC1 + F2xC2

F

xc = γb2c

2

(

a + 2 3 b )

+ γabc (

a+ b 2

)

γ b 2c 2 + γabc

= b 2

(

a+ 2 3 b )

+ a (

a + b 2

)

a+ b 2

=

b 2

(

a+ b 2 + b

6

)

+ a (

a+ b 2

)

a + b 2

=

(

a+ b 2

) (

a + b 2

)

+ b 2

12

a+ b 2

=

(

a+ b

2

)

+ b2

12

a + b 2

40CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

il valore di xG appena determinato coincide con quello ricavabile dalla relazione

xc = xG + JyGyg xGS

sapendo che il momento d’inerzia di un rettangolo rispetto ad un as- se baricentrale é pari a un dodicesimo del prodotto della base con il cubo dell’altezza.

Segue infine che la forza F é ortogonale alla superficie (quindi parallela allasse z), diretta verso la superficie e di intensitá pari a

F = (9.81× 1000× 0.5× 0.7× 0.2 + 9.81× 1000× 0.35× 0.7× 0.2)N = 1167N

Il momento da applicare per mantenere in equilibrio la paratoia sará un vettore diretto lungo lasse y, nel verso positivo, di modulo pari a

M = F (a+ b− xc) = F (

a+ b− a− b 2 −

b2

12

a+ b 2

)

E’ facile verificare che la quantitá precedente coincide con

M = γ b2c

2

b

3 + γabc

b

2 = γcb2

[

b

6 +

a

2

]

Segue quindi

M = 9.81× 1000× 0.2× 0.72 × [

0.7

6 +

0.5

2

]

Nm = 353Nm

41

2) Assumendo il problema piano e di larghezza unitaria, calcolare la forza esercitata dai fluidi sulla superficie AB. Siano γ1 e γ2 il peso specifico del fluido sovrastante e sottostante rispettivamente.

Dati: γ1=800 Kgf/m 3; γ2=1000 Kgf/m

3; a=0.5 m; b=0.3 m; θ = π/4

Figura 8.13:

Soluzione: Con riferimento agli assi in figura 8.14, la distribuzione di pressione risulta descritta da:

Figura 8.14:

p = γ1x sin θ per x ≤ a

sin θ

p = γ1a + γ2

(

x− a sin θ

)

sin θ per x ≥ a sin θ

E’ conveniente scomporre il solido delle pressioni come indicato in figura 8.14. Risulterá dunque

F = γ1 a2

2 sin θ + γ1

ab

sin θ + γ2

b2

2 sin θ

Sostituendo i valori numerici:

42CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

F =

(

800× 0.5 sin π

4

[

0.5

2 + 0.3

]

+ 1000× 0.3 2

2 sin π 4

)

Kgf = 375Kgf

Per determinare la retta di azione della forza F, é necessario calcolare la coordinata xc del centro di spinta. Si calcola quindi dapprima il momento, per unitá di larghezza, della distribuzione di forze rispetto all’asse y. Facendo riferimento alla scomposizione del solido delle pressioni illustrata prima, si ha:

M = 1

2 γ1a

a

sin θ

2

3

a

sin θ +γ1a

b

sin θ

(

a

sin θ +

1

2

b

sin θ

)

+γ2b 1

2

b

sin θ

(

a

sin θ +

2

3

b

sin θ

)

=

(

1

2 × 800× 2

3 × (0.5)

3

sin π/4 + 800× 0.5× 0.3

sin π/4 × [

0.5

sin π/4 +

1

2

0.3

sin π/4

]

+1000× 1 2

(0.3)2

sin π/4

[

0.5

sin π/4 +

2

3

0.3

sin π/4

])

Kgfm

= 47Kgfm+ 156Kgfm+ 63Kgfm ∼= 266Kgfm

e quindi si impone che M sia uguale al momento della forza risultante F

Fxc = M

ci porge:

xc = M

F =

266Kgfm

375Kgf ∼= 0.71m

43

Figura 8.15:

3)Assumendo il problema piano e di larghezza unitaria, determinare il momento necessario a mantenere in equilibrio la paratoia ABC incernierata in C. Si trascuri il peso specifico del gas (si assuma quindi costante la sua pressione). La pressione del gas viene misurata attraverso il tubo manome- trico contenente il liquido di peso specifico γm rilevando il dislivello ∆. Sia γ il peso specifico del liquido all’interno del serbatoio.

Dati: γ = 1000Kgf/m 3, γm = 13000Kgf/m

3, ∆ = 5cm, a = 25cm, b = 35cm.

Soluzione: Il momento M é un vettore ortogonale al piano del disegno (M=(0,0,M)) e con una componente Mz negativa. Focalizziamo ora l’at- tenzione sul calcolo del modulo di M. Con riferimento alla figura 8.15 la pressione p0 nel gas é pari alla pressione nel punto P1 che a sua volta é uguale alla pressione nel punto P2. Si ha dunque

p0 = γm∆

Sulla superficie AB la distribuzione di pressione sará dunque quella rap- presentata in figura 8.16 Sulla superficie BC la distribuzione di pressione sará quella mostrata in figura 8.17

La forza esercitata dal liquido sulla superficie AB sará dunque orizzontale diretta da destra verso sinistra e pari alla somma di due contributi F1 + F2

44CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

pA=p0+ aγ

p

y

A

B

b

a

p0

pA=p0 γ+ (a+b)

Figura 8.16:

pB=p0 γ+ (a+b)

b

x

p

Figura 8.17:

F1 = pAb = (p0 + γa) b

F2 = (pB − pA) b

2 = γ

b2

2

Il primo contributo (F1) é applicato ad una distanza da B pari a b/2, il secondo (F2) é applicato ad una distanza da B pari a b/3. Sulla superficie BC la distribuzione di pressione é costante e quindi il liquido eserciterá una forza diretta verticalmente verso il basso di intensitá tale che

F3 = pBb = [p0 + γ (a+ b)] b

Inoltre F3 é applicata ad una distanza da C pari a b 2 . Il modulo diM risulterá

45

quindi

M = F1 b

2 + F2

b

3 + F3

b

2 = (p0 + γa)

b2

2 + γ

b3

6 + [p0 + γ (a+ b)]

b2

2 =

= p0b 2 + γab2 + γ

2

3 b3 =

[

13000× 0.05× (0.35)2 + 1000× 0.25× (0.35)2+

1000× 2 3 × (0.35)3b

]

Kgfm = 139Kgfm

Capitolo 9

LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Come illustrato nel capitolo 2 e nel capitolo 3, la forza esercitata da un fluido in quiete su una superficie S risulta

F =

S

−pndS

Mentre per una superficie piana n é indipendente dalla posizione sulla super- ficie e quindi é costante, facilitando la valutazione dell’integrale, nel caso di una superficie gobba risulta variabile. Non é possibile illustrare una proce- dura generale per la valutazione dell’integrale considerando che essa dipende dalla forma della superficie. Consideriamo il caso particolare illustrato in figura 9.1 (assunto piano). Poniamoci l’obbiettivo di determinare la forza F esercitata dal liquido di peso specifico γ sulla superficie AB assunta di larghezza unitaria. In primo luogo é opportuno valutare separatamente la componente lungo la direzione x e quella lungo la direzione y.

Fx =

S

−pnxdS

Fy =

S

−pnydS

Per valutare gli integrali é conveniente utilizzare un sistema di coordinate polari con l’origine nel punto O. Nel generico punto P della superficie AB si ha

46

47

Figura 9.1:

Figura 9.2:

n = (− cos θ,− sin θ) Si noti che la normale n é diretta verso l’interno del fluido perché si vuole

calcolare l’azione del fluido sulla parete. Inoltre dS = Rdθ avendo assunto la larghezza della superficie unitaria. Infine la pressione p nel punto P risulterá

p = γ [a+R− R sin θ] = γa + γR (1− sin θ)

Segue quindi

48CAPITOLO 9. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Fx =

∫ π 2

0

− [γa + γR (1− sin θ)] (− cos θ)Rdθ =

= γ (a+R)R [sin θ] π 2 0 +γR

21

4 [cos 2θ]

π 2 0 = γ (a+R)R−

γR2

2 = γ

(

a+ R

2

)

R

Fy =

∫ π 2

0

− [γa+ γR (1− sin θ)] (− sin θ)Rdθ =

= −γ (a+R)R [cos θ] π 2 0 − γR2

[

θ

2 − 1

4 sin 2θ

]π 2

0

= γ (a +R)R − γπR 2

4

Nel caso in esame si é riusciti facilmente a valutare gli integrali che forni- scono Fx e Fy. Tuttavia quando la geometria del problema é piú complessa, la valutazione di F utilizzando l’espressione

s −pndS puó risultare difficile.

• Una procedura alternativa che spesso consente il rapido calcolo di F é quella illustrata nel seguito

Utilizzando superfici piane e la superficie gobba in esame, isolare un volume di fluido.

Determinare le forze F1,F2, . . .FN che il fluido all’esterno del volume esercita sulle superfici piane.

Calcolare la forza F esercitata dal fluido sulla superficie gobba, impo- nendo l’equilibrio del volume isolato in precedenza, su cui l’esterno esercita le forze di superficie F1,F2, . . .FN ,−F e la forza peso G.

Risulterá N ∑

i=1

Fi − F+G = 0

Da cui

F = G+ N ∑

i=1

Fi

Al fine di illustrare chiaramente la procedura, applichiamola al problema considerato precedentemente. Consideriamo il volume di fluido delimita- to dalla superficie gobba AA′B′B, dalle superfici piane AA′O′O, OO′B′B, OAB, O′A′B′.

49

F2

F4F1

F3

−F

o’ B’

A

A’

o B

Figura 9.3:

Considerando l’orientamento delle superfici piane e indicando con i, j,k i versori degli assi x, y, z rispettivamente, é facile vedere che

F1 = F1i; F2 = F2j; F3 = −F3k; F4 = F4k; G = −Gj L’equilibrio del volume considerato alla traslazione lungo i tre assi impone

Fx = F1; Fy = F2 −G; Fz = F4 − F3

avendo denotato con (Fx, Fy, Fz) il vettore F. Utilizzando i risultati illustrati nel capitolo 8 é possibile determinare Fi. Si ha

F1 = γ

(

a+ R

2

)

R; F2 = γ (a +R)R; F3 = F4 = γ

(

a+R− 4R 3π

)

πR2

4

Inoltre

G = γ πR2

4

Segue

Fx = γ

(

a+ R

2

)

R; Fy = γ (a+R)R− γ πR2

4 ; Fz = 0

I risultati ottenuti coincidono con quelli ricavati precedentemente. • Nel caso di una superficie gobba, il sistema equivalente alla somma delle

forze infinitesime −pndS é in generale fornito da una forza e da una coppia.

50CAPITOLO 9. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Per individuare la retta di applicazione di F e il valore della coppia é ne- cessario imporre l’equilibrio alla rotazione del volume in esame. Nel nostro caso, considerando che le forze infinitesime passano per la retta OO′ e per la simmetria del problema, si puó affermare che la forza F passa per la retta OO′ in un punto equidistante da O e da O′ e il valore della coppia é nullo.

ESERCIZI SULLA DETERMINAZIONE DELLA SPIN- TA SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Figura 9.4:

1) Si consideri il problema piano rappresentato in figura 9.4 e costituito dalla determinazione della forza F esercitata dal fluido di peso specifico γ sulla superficie AB supposta di larghezza unitaria.

Figura 9.5:

Soluzione: si consideri il volume isolato dalla superficie gobba AB e dalla

51

superficie piana AB, come evidenziato nella figura 9.5. Per quanto spiegato precedentemente

F = F1 +G

Da cui

Fx = F1 = γ (a+R) 2R

Fy = G = γ πR2

2 con

F1 = F1i; G = −Gj; F = Fxi− Fyj E’ evidente inoltre che la forza passa per il punto O.

Figura 9.6:

2) Si consideri il problema piano rappresentato in figura 9.6 e costituito dalla determinazione della forza F esercitata dal fluido di peso specifico γ sulla superficie AB supposta di larghezza unitaria.

Soluzione: il modo piú rapido per risolvere il problema é quello di conside- rare il serbatoio evidenziato nella figura 9.7 e imporre l’equilibrio del volume tratteggiato e costituito dalla superficie gobba AB e da quella piana AB.

Su tale volume l’esterno eserciterá le seguenti forze: F,F1,G Si ha inoltre

F = (−Fx, Fy) ; F1 = (F1 sin θ,−F1 cos θ) ; G = (0,−G)

Segue F = −F1 −G

52CAPITOLO 9. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Figura 9.7:

F = (−Fx, Fy) = (−F1 sin θ, F1 cos θ) + (0, G) oppure

Fx = F1 sin θ, Fy = F1 cos θ +G

ove F1 = γ (a+R sin θ) 2R

G = γ πR2

2

Capitolo 10

LA TENSIONE IN UN FLUIDO IN MOVIMENTO

Abbiamo visto (capitolo 3) che in un fluido in quiete la tensione t é sempre ortogonale alla superficie. In altre parole se un fluido é in quiete

t = −pn

Nei fluidi in movimento, tuttavia, la direzione di t non coincide con quella di n e in generale si manifestano delle componenti tangenti alla superficie.

Figura 10.1:

Esaminiamo la situazione rappresentata in figura 10.1 due piastre paral- lele fra di loro sono poste ad una distanza d e costituiscono cośı un meato riempito di un fluido di densitá ρ. La piastra inferiore é ferma mentre quella superiore viaggia con una velocitá U0 in una direzione parallela alla piastra stessa.

Introduciamo il sistema di riferimento in figura 10.1. Se misurassimo il campo di moto, ci accorgeremmo che la velocitá ha un’unica componente nella direzione x che si annulla in corrispondenza di y = 0, assume il valore U0 per y = d e varia linearmente con y

53

54 CAPITOLO 10. LA TENSIONE IN UN FLUIDO IN MOVIMENTO

u = U0 d y

Per mantenere la piastra superiore in movimento con velocitá U0 é ne- cessario applicare una forza nella direzione x che, rapportata alla superficie della piastra, porge un valore che indicheremo con τ . E’ evidente che il valore di τ é uguale e contrario alla componente nella direzione x della tensione t esercitata dal fluido sulla parete. Misure di mostrano che

1) τ é proporzionale a U0

2) τ é inversamente proporzionale a d

Si ha cioé

τ ∝ U0 d

La costante di proporzionalitá dipende dal fluido contenuto all’interno del meato ed é denominata viscositá dinamica (µ)

τ 1 = µ U0 d

Le dimensioni di µ sono quelle di una massa divisa per una lunghezza e per un tempo

[µ] = ML−1T−1

mentre l’unitá di misura é il Kg/(ms) = Pa s, anche se talvolta viene utilizzato il centipoise (cP ), essendo

cP = 10−3Kg/(ms)

• La viscositá dinamica di un fluido, essendo una sua proprietá, dipende dallo stato del fluido e quindi dalla pressione e dalla temperatura. Per l’acqua in condizioni ordinarie (pressione atmosferica e temperatura pari a 20oC)

µ = 1cP.

• Spesso si utilizza la viscositá cinematica definita come il rapporto fra la viscositá dinamica e la densitá del fluido

1Il legame τ = µU0/d é valido per i fluidi cosiddetti newtoniani. L’aria, l’acqua e molti fluidi di interesse ingegneristico sono “newtoniani”. Per altri fluidi il legame fra τ, U0, d puó essere piú complicato.

55

ν = µ

ρ

Le dimensioni di ν sono quelle di una lunghezza al quadrato su un tempo

[ν] = L2/T

mentre l’unitá di misura é m2/s. Anche la viscositá cinematica dipende da pressione e temperatura. Per l’acqua in condizioni ordinarie2

ν ∼= 10−6m2/s • Il legame τ = µU0/d é un caso particolare di una relazione piú generale

che nella geometria in considerazione puó scriversi

τ = µ du

dy

La tensione tangenziale τ puó infatti variare al variare di y. In geo- metrie piú complesse la relazione tra t e il campo di moto, detta “legame costitutivo”, diviene complessa. Si rimanda lo studente interessato a corsi sucessivi.

2Per aria secca a pressione atmosferica alla temperatura di 20oC si ha

µ ∼= 1.8 10−5Kg/(ms)

ν ∼= 1.5 10−5m2/s

Capitolo 11

ANALISI DIMENSIONALE E TEOREMA DI BUCKINGHAM

I problemi a cui siamo interessati e i problemi della fisica in generale, sono caratterizzati dalla ricerca della dipendenza di una grandezza fisica Q0 dalle altre grandezze fisiche Q1, Q2, . . . , QN coinvolte nel fenomeno in esame. In altre parole si vuole determinare la funzione f che lega Q0 a Q1, Q2, . . . , QN

Q0 = f (Q1, Q2, . . . , QN) .

Un esempio tipico in idrodinamica é la ricerca della resistenza (forza nella direzione del moto) incontrata da un corpo (per esempio una sfera) che avan- za in fluido fermo. Utilizzando un sistema di riferimento solidale con il corpo (vedi figura 11.1), il problema é costituito dalla valutazione di R (modulo di R).

E’ evidente che il valore di R sará influenzato:

dalle caratteristiche del fluido (nel caso in esame dalla densitá ρ e dalla viscositá cinematica ν)

dalle dimensioni della sfera (il diametro D)

dalla velocitá con cui il fluido investe la sfera (U0)

Si cercherá quindi di valutare la funzione f tale che

R = f (ρ, ν,D, U0)

56

57

Figura 11.1:

E’ evidente che la funzione f di cui sopra é un caso particolare di quella scritta inizialmente

Q0 = f (Q1, Q2, . . . , QN)

con

Q0 = R, N = 4, Q1 = ρ, Q2 = ν, Q3 = D, Q4 = U0

Alcune volte é possibile risolvere il problema in esame risolvendo le equa- zioni che governano il fenomeno. In tal caso é possibile fornire unespressione analitica di f . In altri casi ció non é possibile e il legame fra Q1, Q2, . . . , QN puó essere cercato solo attraverso esperienze di laboratorio. Se il valore di N é elevato il numero di esperimenti da eseguire risulta estremamente alto. In tale situazione é utile il teorema di Buckingham, detto anche teorema Π.

• Teorema Π Il teorema Π stabilisce che la relazione

Q0 = f (Q1, Q2, . . . , QN)

fra N +1 grandezze fisiche puó essere trasformata in una nuova relazione fra N + 1−M numeri adimensionali

Π0 = f (Π1,Π2, . . . ,ΠN−M)

essendo M il numero massimo di grandezze dimensionalmente indipen-

58CAPITOLO 11. ANALISI DIMENSIONALE E TEOREMA DI BUCKINGHAM

denti 1 che puó essere individuato all’interno delleN+1 grandezzeQ1, Q2, . . . , QN e Πi numeri adimensionali.

Dimostrazione:

Si voglia trasformare la relazione

Q0 = f (Q1, Q2, . . . , QN)

Si scelga il massimo numero M di grandezze dimensionalmente indipen- denti.

Non si perde di generalitá se si suppone che le grandezze scelte siano Q1, Q2, . . . , QM .

Si individui il monomio Qα01 , Q β0 2 , Q

γ0 3 . . . , QM

ω0 che abbia le stesse di- mensioni di Q0. Dalla definizione di M e di grandezze dimensionalmente indipendenti i valori α0, β0, γ0, . . . , ω0 non sono tutti nulli.

Si divida la relazione di partenza sia a destra che a sinistra per

Qα01 , Q β0 2 , Q

γ0 3 . . . , Q

ω0 M . Si avrá

Q0

Qα01 , Q β0 2 , Q

γ0 3 . . . , Q

ω0 M

= Π0 = f0 (Q1, Q2, . . . , QN)

E’ evidente che il termine a sinistra della relazione precedente é un rap- porto adimensionale.

Si individui il monomio Q αM+1 1 , Q

βM+1 2 , Q

γM+1 3 . . . , Q

ωM+1 M che abbia le

stesse dimensioni di QM+1.

Laddove nella funzione f0 (evidentemente diversa da f) compare QM+1 si sostituisca

1• M grandezze si dicono dimensionalmente indipendenti se il monomio

Qα 1 Qβ

2 Qγ

3 . . . QωM

avente dimensioni nulle, implica

α = 0, β = 0, γ = 0, . . . , ω = 0.

Se esistono valori α, β, . . . , ω diversi da zero e tali che il monomio

Qα 1 Qβ

2 Qγ

3 . . . QωM

ha dimensioni nulle, allora le M grandezze sono dimensionalmente dipendenti. • Il valore massimo di M dipende dalla natura del fenomeno. In particolare se il feno-

meno é geometrico M = 1, se il fenomeno é cinematico M = 2, se il fenomeno é di natura dinamica M = 3 e cośı via.

59

QM+1

Q αM+1 1 , Q

βM+1 2 , Q

γM+1 3 . . . , Q

ωM+1 M

Q αM+1 1 , Q

βM+1 2 , Q

γM+1 3 . . . , Q

ωM+1 M =

ΠM+1Q αM+1 1 , Q

βM+1 2 , Q

γM+1 3 . . . , Q

ωM+1 M

segue dunque

Π0 = f1 (Q1, Q2, . . . , QM ,ΠM+1, QM+2, . . . , QN )

Si ripeta il punto precedente per QM+2, QM+3, . . . , QN per giungere alla relazione

Π0 = fN−M (Q1, Q2, . . . , QM ,ΠM+1,ΠM , . . . ,ΠN)

Cambiando l’unitá di misura della sola Q1 (procedura possibile essen- do Q1, Q2, . . . , QM grandezze dimensionalmente indipendenti), i valori di Π0,ΠM+1,ΠM+2, . . . , ,ΠN non cambiano essendo Πi numeri adimensionali. Neanche i valori di Q2, Q3, . . . , QM cambiano non essendo variate le loro unitá di misura. Segue quindi che la funzione fN−M non puó dipendere esplicitamente da Q1.

Cambiando l’unitá di misura di Q2 e seguendo il ragionamento esposto al punto precedente si conclude che fN−M non puó dipendere esplicitamente da Q2.

Analogalmente si puó concludere che fN−M non dipende esplicitamente da Q3, Q4, . . . , QM

E’ possibile quindi concludere che

Q0 = f0 (Q1, Q2, . . . , QN)

si trasforma in

Π0 = f (Π1,Π2, . . . ,ΠN−M)

come si voleva dimostrare. • L’utilitá del teorema Pi emerge chiaramente applicandolo all’esempio

considerato precedentemente.

R = f (ρ, ν,D, U0)

Essendo il problema di natura dinamica M = 3. Scegliamo ρ, U0, D come grandezze dimensionalmente indipendenti. In

primo luogo verifichiamo che ρ, U0, D siano dimensionalmente indipendenti, cioé che il monomio

60CAPITOLO 11. ANALISI DIMENSIONALE E TEOREMA DI BUCKINGHAM

ραUβ0 D γ

con dimensioni nulle implichi α = 0, β = 0, γ = 0. Si ha

[ρ] = ML−3; [U0] = LT −1; [D] = L

segue dunque

[

ραUβ0 D γ ]

= MαL−3αLβT−βLγ

Dunque [

ραUβ0 D γ ]

= 0 se e solo se

α = 0

−3α + β + γ = 0 −β = 0

Il sistema algebrico lineare precedente é omogeneo e il determinante della matrice dei coefficienti diverso da zero: la soluzione allora é quella identi- camente nulla. E’ quindi possibile concludere che ρ, U0, D sono grandezze dimensionalmente indipendenti.

Cerchiamo ora il monomio ραUβ0 D γ che ha le stesse dimensioni di R.

Sapendo che

[R] = MLT−2

Si ottiene

MαL−3αLβT−βLγ = MLT−2

α = 1 α = 1

−3α + β + γ = 1 =⇒ γ = 2 −β = −2 β = 2

Dunque la relazione iniziale puó essere scritta nella forma

R

ρU20D 2 = f1 (ρ, U0, D, ν)

Cerchiamo ora il monomio ραUβ0 D γ che ha le dimensioni di ν. Sapendo che

[ν] = L2T−1

61

Si ottiene MαL−3αLβT−βLγ = L2T−1

α = 0 α = 0

−3α + β + γ = 2 =⇒ γ = 1 −β = −1 β = 1

Si puó quindi concludere

R

ρU20D 2 = f2

(

ν

U0D

)

Per motivi storici invece del numero adimensionale ν U0D

si ritiene che R ρU20D

2

dipenda da U0D ν

.

Dunque R

ρU20D 2 = f

(

U0D

ν

)

Il numero U0D ν

é detto numero di Reynolds e viene usualmente indicato con Re.

Il numero R ρU20D

2 é detto numero di Newton e viene usualmente indicato

con Ne. Applicando il teorema Π si é trasformato il problema iniziale, che prevedeva la determinazione della funzione f di 4 variabili indipendenti, nella determinazione della funzione f che dipende da una sola variabile indipen- dente con chiaro e indubbio vantaggio.

IL TEOREMA Π NEI PROBLEMI DI IDRODINAMICA

Nei problemi idrodinamici, oltre al numero di Newton (Ne) e al numero di Reynolds (Re), possono comparire altri numeri adimensionali. I piú comuni sono

Il numero di Froude

Fr = U0√ gD

che compare qualora il fenomeno sia influenzato anche dalla accelerazione di gravitá.

Il numero di Mach

Ma = U0

ǫ/ρ

62CAPITOLO 11. ANALISI DIMENSIONALE E TEOREMA DI BUCKINGHAM

che compare qualora il fenomeno sia influenzato dalla comprimibilitá del fluido.

Il numero di Weber

We =

ρDU20 σ

che compare qualora il fenomeno sia infulenzato dalla tensione superficia- le.

Capitolo 12

SIMILITUDINE E MODELLI

Consideriamo nuovamente il problema descritto nel capitolo 11: un fluido di densitá ρ e viscositá cinematica ν investe una sfera di diametro D con una velocitá U .

Figura 12.1:

La forza che il fluido esercita sulla sfera nella direzione del moto risulta esprimibile nella forma (vedi teorema Π)

R = ρU20D 2f

(

U0D

ν

)

che spesso viene riscritta nella forma

R = ρ

2 U20π

D2

4 CD

(

U0D

ν

)

63

64 CAPITOLO 12. SIMILITUDINE E MODELLI

ove CD = 8 π f é detto coefficiente di resistenza e risulta evidentemente

funzione di Reynolds. • Emerge chiaramente che per conoscere R é necessario conoscere il valore

di CD per il valore del numero di Reynolds caratteristico del problema. Se ad esempio pensiamo la sfera come l’approssimazione di una batisfera investita da una corrente oceanica di intensitá pari a 0.2 m/s e supponiamo che D sia pari a 2 m, il numero di Reynolds risulterá pari a

Re = 2× 0.2 10−6

= 4× 105

Nel caso in esame dovremo dunque valutare CD per tale valore di Re. Ció peró non comporta la misura della forza esercitata sulla batisfera (D=2m) da una corrente di 0.2 m/s. E’ infatti possibile misurare CD utilizzando “un modello”, cioé una sfera molto pi piccola, a patto di aumentare U0 in modo tale che il numero di Reynolds rimanga inalterato. Indicati con il pedice m le grandezze relative al modello deve risultare

U0D

ν =

U0mDm νm

.

Utilizzando nel modello, come di solito avviene, lo stesso fluido del problema originale si ha

U0m U0

= D

Dm .

Tale risultato indica che se il rapporto Dm/D é pari a 1/10, il rapporto U0m/U0 dovrá essere pari a 10. Il valore ricercato di CD sará dunque pari a 8Rm/ (πρU

2 0mD

2 m)

• Consideriamo ora un problema lievemente diverso: la batisfera si trova in prossimitá della superficie libera a una profonditá

pari a h. Analizzando il problema risulta chiaramente che il valore di R sará

Figura 12.2:

influenzato anche dal valore di h e dal valore dell’accelerazione di gravitá

65

g. La presenza della sfera in prossimitá della superficie libera genera infatti un’onda la cui evoluzione dipende da g

R = f (ρ, U,D, ν, g, h)

Applicando il teorema Π si ottiene

R = ρ

2 U20π

D2

4 CD

(

Re, Fr, h

D

)

essendo

Re = UD

ν ; Fr =

U√ gD

.

In questo problema per determinare R é necessario valutare Cd per i valori di Re, Fr, h

D propri del problema originale. Vediamo se é possibile utilizzare

un modello. Per semplicitá indichiamo λ = Lm L

la scala di riduzione delle lunghezze e con τ = Tm

T la scala di riduzione dei tempi. La scala di riduzione

di ogni altra grandezza cinematica deriva dalla conoscenza di λ e τ . Infatti

υ = Um U

= LM L

T

Tm =

λ

τ .

La scala υ di riduzione delle velocitá é pari dunque a λ τ . Similmente é

possibile determinare per esempio la scala di riduzione delle accelerazioni. Una corretta modellazione del fenomeno impone che i valori del numero di Reynolds, del numero di Froude e il rapporto h/D del prototipo e del modello risultino uguali. E’ evidente che se il modello é ridotto in scala, il rapporto hm/Dm risulta uguale al rapporto h/D.

Vediamo ora cosa emerge imponendo

Re = Rem

Utilizzando nel modello lo stesso fluido del prototipo si ha:

L2

T =

L2m Tm

=⇒ τ = Tm T

=

(

Lm L

)2

= λ2.

Stabilita la scala di riduzione delle lunghezze λ, l’uguaglianza dei numeri di Reynolds del modello e del prototipo determina la scala di riduzione dei tempi τ pari a λ2 e conseguentemente le scale di riduzione di tutte le altre grandezze cinematiche . Ad esempio

υ = λ

τ =

λ

λ2 = λ−1.

66 CAPITOLO 12. SIMILITUDINE E MODELLI

Vediamo ora cosa segue imponendo

Fr = Frm

L

T √ L

= Lm

Tm √ Lm

=⇒ τ = Tm T

=

Lm L

= λ 1 2 .

Stabilita la scala di riduzione delle lunghezze λ, l’uguaglianza dei numeri di Froude del modello e del prototipo determina la scala di riduzione dei tempi τ pari a λ

1 2 . Emerge che utilizzando nel modello lo stesso fluido del prototipo

é impossibile mantenere inalterati i valori di tutti i numeri adimensionali che influenzano il fenomeno. E’ infatti possibile mantenere inalterato il valore di un solo numero adimensionale.

• Se si mantiene inalterato il numero di Reynolds si effettuerá una “si- militudine di Reynolds”. Se viceversa si manterrá inalterato il numero di Froude si effettuerá una “similitudine di Froude”. In funzione del problema in esame potranno essere considerate similitudine di Mach, Weber, . . .

E’ evidente che si sceglierá di effettuare una certa similitudine invece di un’altra in funzione dell’importanza degli effetti rappresentati dai diversi numeri.

Se gli effetti viscosi sono i piú rilevanti si sceglierá di effettuare una similitudine di Reynolds

Se gli effetti gravitazionali sono i piú rilevanti si sceglierá di effettuare una similitudine di Froude . . .

• Resta da sottolineare che l’uguaglianza fra il numero di Newton del prototipo e quello del modello fissa la scala di riduzione delle forze

Ne = Nem

Utilizzando nel prototipo e nel modello lo stesso fluido

F

L4T−2 =

Fm L4mT

−2 m

=⇒ ϕ = Fm F

=

(

Lm L

)4( Tm T

)−2

= λ4τ−2.

Capitolo 13

DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

• Consideriamo un volume di fluido V (t) in movimento che all’istante iniziale t = 0 occupa la regione V0.

Sia (x1, x2, x3) un sistema cartesiano di riferimento fisso nello spazio e (X1, X2, X3) la posizione della generica particella di fluido all’istante iniziale, rispetto al sistema di riferimento (x1, x2, x3).

Figura 13.1:

• Una qualunque grandezza F del fluido (ad esempio la densitá ρ) puó essere descritta fornendo la funzione f1

F = f1 (X1, X2, X3, t)

o fornendo la funzione f2

F = f2 (x1, x2, x3, t)

67

68 CAPITOLO 13. DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

Nel primo caso (descrizione lagrangiana), fissando i valori di X1, X2, X3, si ottiene una funzione che descrive la variazione di F di una particolare particella fluida al variare del tempo sapendo che quella particella fluida occuperá posizioni diverse nello spazio al trascorrere del tempo.

Nel secondo caso (descrizione euleriana), fissando i valori di x1, x2, x3, si ottiene una funzione che descrive la variazione di in un punto dello spazio che al variare del tempo sará occupato da particelle diverse.

Le funzioni f1 e f2 sono chiaramente diverse e sono legate fra di loro dal moto del fluido. In particolare nota la funzione f2 é possibile ricavare f1 se sono note le funzioni

x1 = ϕ1 (X1, X2, X3, t)

x2 = ϕ2 (X1, X2, X3, t)

x3 = ϕ3 (X1, X2, X3, t)

queste ultime descrivono il moto delle particelle fluide. In particolare fis- sato il valore di X1, X2, X3 le funzioni ϕ1, ϕ2, ϕ3 descrivono la traiettoria di una particella fluida. Siccome una particella fluida non puó occupare due posizioni diverse allo stesso tempo e due particelle fluide non possono occu- pare la stessa posizione, le funzioni ϕ1, ϕ2, ϕ3 sono invertibili e in particolare si possono ottenere le funzioni

X1 = Φ1 (x1, x2, x3, t)

X2 = Φ2 (x1, x2, x3, t)

X3 = Φ3 (x1, x2, x3, t) .

Le funzioni Φ1,Φ2,Φ3 consentono a loro volta di determinare f2 nota la funzione f1. Essendo f1 diversa da f2, é evidente che la derivata di f1 rispetto al tempo sará diversa dalla derivata parziale rispetto al tempo di f2

∂f1 ∂t

6= ∂f2 ∂t

In particolare ∂f1/∂t descrive come cambia nel tempo la grandezza F di una particella fluida che si muove nello spazio. La funzione ∂f2/∂t descrive invece come varia F in un punto dello spazio che al trascorrere del tempo sará occupato da particelle fluide diverse. Per descrivere il moto dei fluidi si usa in generale un approccio euleriano, cioé si assegna o si ricerca la funzione

F = f2 (x1, x2, x3, t)

69

e si indica con ∂F ∂t

la funzione ∂f2 ∂t .

Certi concetti della fisica richiedono tuttavia la valutazione di ∂f1 ∂t

che indicheremo con dF

dt .

∂F ∂t

é detta derivata locale.

dF dt

é detta derivata totale o materiale o sostanziale.

Considerando che spesso é necessario valutare dF dt

e che F é usualmente assegnata come funzione di x1, x2, x3, t é necessario individuare una semplice procedura per valutare ∂f1

∂t nota f2.

Considerando che f1 (x1, x2, x3, t) é uguale a f2 (ϕ1 (X1, X2, X3, t) , ϕ2 (X1, X2, X3, t) , ϕ3 (X1, X2, X3, t) , t)

dF

dt =

∂f1 ∂t

= ∂

∂t [f2 (ϕ1 (X1, X2, X3, t) , ϕ2 (X1, X2, X3, t) , ϕ3 (X1, X2, X3, t) , t)]X =

= ∂f2 ∂t

+ ∂f2 ∂x1

∂ϕ1 ∂t

+ ∂f2 ∂x2

∂ϕ2 ∂t

+ ∂f2 ∂x3

∂ϕ3 ∂t

Notando che ∂ϕ1 ∂t

, ∂ϕ2 ∂t

, ∂ϕ3 ∂t

sono le tre componenti della velocitá delle particelle fluide, dalla formula precedente si ottiene

dF

dt =

∂F

∂t + v1

∂F

∂x1 + v2

∂F

∂x2 + v3

∂F

∂x3

dF

dt =

∂F

∂t + v · ∇F.

La derivata materiale é dunque fornita dalla somma della derivata locale piú il cosidetto termine convettivo pari al prodotto scalare fra le velocitá e il gradiente di F . 1

1• Assegnata la funzione scalare F (x1, x2, x3, t), il gradiente di F , indicato con ∇F , é un vettore le cui componenti sono cośı definite

∇F = (

∂F

∂x1 , ∂F

∂x2 , ∂F

∂x3

)

• Assegnata la funzione vettoriale F (x1, x2, x3, t) che corrisponde a tre funzioni scalari F = (F1 (x, t) , F2 (x, t) , F3 (x, t)), la divergenza di F, indicata con ∇·F, é uno scalare cośı definito

∇ · F = ∂F1 ∂x1

+ ∂F2 ∂x2

+ ∂F3 ∂x3

70 CAPITOLO 13. DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

ALCUNE GRANDEZZE CINEMATICHE

• Utilizzando un approccio euleriano, il moto di un fluido viene descritto assegnando il vettore velocitá come funzione di x e del tempo t:

v = v (x, t)

o, equivalentemente come:

v1 = v1 (x1, x2, x3, t)

v2 = v2 (x1, x2, x3, t)

v3 = v3 (x1, x2, x3, t)

• Il calcolo dell’accelerazione puó essere semplicemente eseguito valutando la derivata materiale di v

a = dv

dt ⇒ a1 =

dv1 dt

= ∂v1 ∂t

+ v1 ∂v1 ∂x1

+ v2 ∂v1 ∂x2

+ v3 ∂v1 ∂x3

a2 = dv2 dt

= ∂v2 ∂t

+ v1 ∂v12

∂x1 + v2

∂v2 ∂x2

+ v3 ∂v2 ∂x3

a3 = dv3 dt

= ∂v3 ∂t

+ v1 ∂v3 ∂x1

+ v2 ∂v3 ∂x2

+ v3 ∂v3 ∂x3

dv

dt =

∂v

∂t + (v · ∇) v

Il rotore di F, indicato con ∇× F, é un vettore cośı definito

∇× F =

i j k ∂

∂x1

∂ ∂x2

∂ ∂x3

F1 F2 F3

= i

(

∂F3 ∂x2

− ∂F2 ∂x3

)

− j (

∂F3 ∂x1

− ∂F1 ∂x3

)

+ k

(

∂F2 ∂x1

− ∂F1 ∂x2

)

• Assegnati due vettori a, b, ( a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)), il prodotto scalare é cośı definito

c = a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 il prodotto vettoriale é cośı definito

c = a × b =

i j k

a1 a2 a3 b1 b2 b3

= i (a2b3 − a3b2)− j (a1b3 − a3b1) + k (a1b2 − a2b1)

71

dove

∇v =

∂v1 ∂x1

∂v2 ∂x1

∂v3 ∂x1

∂v1 ∂x2

∂v2 ∂x2

∂v3 ∂x2

∂v1 ∂x3

∂v2 ∂x3

∂v3 ∂x3

• Le traiettorie, che sono un concetto tipicamente lagrangiano, possono essere calcolate integrando l’equazione

dx = v (x, t) dt

note le posizioni iniziali delle particelle fluide. • Le linee di corrente sono definite come quelle linee che in ogni punto

sono tangenti, al vettore velocitá. Esse si ricavano integrando l’equazione

dx× v (x, t) = 0.

LA DERIVATA MATERIALE DI UNA GRANDEZZA IN- TEGRATA SU UN VOLUME MATERIALE

Nello studio del moto dei fluidi é spesso necessario calcolare l’integrale di una certa grandezza F su un volume materiale di fluido, cioé un volume di fluido costituito sempre dalle stesse particelle fluide. In alcuni casi é neces- sario valutare la derivata materiale (fatta cioé seguendo il moto della massa fluida) di tale quantitá. In altre parole é necessario valutare:

d

dt

V (t)

FdV.

Per esempio la massa M associata a un volume materiale di fluido (in movimento) é:

M =

V (t)

ρdV.

Infatti dalla definizione stessa di densitá, la massa infinitesima associata a un volume infinitesimo dV sará ρdV . Per determinare la massa contenuta in V é necessario sommare tutti i contributi e quindi integrare su tutto il volume V (T ). Il principio di conservazione della massa impone poi che la massa M associata al volume V (t) di fluido in movimento rimanga costante. É necessario dunque imporre

d

dt

V (t)

ρdV = 0.

72 CAPITOLO 13. DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

Figura 13.2:

Figura 13.3:

Tale calcolo risulta difficile da effettuarsi pur essendo nota la funzione ρ(x1, x2, x3, x), considerato che il volume V (t) é mobile. É pertanto utile trasformare l’in- tegrale di cui sopra in uno da effettuarsi su un volume fisso nello spazio. Vediamo come ció é possibile.

• Consideriamo il volume V (t) al tempo t0 e denotiamolo con V0. In- dichiamo con S0 la sua frontiera. Consideriamo quindi il volume all’istante t0 + ∆t e indichiamolo con V . Sia S la frontiera di V . Il volume V sará quasi coincidente con V0, essendo trascorso un tempo piccolo (a rigori infi- nitesimo) ∆t. Rispetto a V0, il volume V avrá in piú il volume tratteggiato e in meno il volume punteggiato. Cerchiamo di quantificare tale differenza. Con riferimento alla figura 13.4 consideriamo una parte infinitesima di S0 e denotiamola con dS0. Sia n la normale alla superficie, uscente per conven- zione dal volume V0. Se indichiamo con v la velocitá del fluido valutata sulla superficie infinitesima dS0, dopo un tempo piccolo ∆t, la particella fluida che

73

si trovava su dS0 si sará spostata nello spazio di una quantitá vdt. Essendo dS0 una superficie infinitesima si possono trascurare le differenze di velocitá fra le diverse particelle fluide che si trovano su dS0. Il volume di fluido che ha attraversato dS0 nell’intervallo di tempo ∆t e che occuperá il volume dS delimitato da dS0, e da una superficie cilindrica con generatrici parallele a vdt (vedi figura 13.4) sará dunque dS0 (v,n)∆t Tale volume sará positivo se

Figura 13.4:

v · n é positivo (se cioé il fluido esce da V0), mentre sará negativo se v · n é negativo (se cioé il fluido entra in V0).

La differenza fra il volume V e il volume V0 sará dunque:

S0

(v · n)∆tdS0.

Vediamo ora di valutare

74 CAPITOLO 13. DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

d

dt

V (t)

FdV

ad un generico tempo t0. Applichiamo la definizione di derivata

[

d

dt

V (t)

FdV

]

= lim ∆t→0

V F (t0 +∆t) dV −

V0 F (t0) dV0

∆t =

lim ∆t→0

V0 F (t0 +∆t) dV0 +

S0 F (t0 +∆t) (v · n)∆tdS0 −

V0 F (t0) dV0

∆t =

= lim ∆t→0

V0

[

F (t0) + (

∂F ∂t

)

t0 ∆t

]

dV0 + ∫

S0 F (t0 +∆t) (v · n)∆tdS0 −

V0 F (t0) dV0

∆t =

=

V0

(

∂F

∂t

)

t0

dV0 +

S0

F (t0) (v · n) dS0

Si é quindi dimostrato (dimostrazioni piú rigorose sono disponibili nei libri di testo) il teorema del trasporto:

(

d

dt

V (t)

FdV

)

t=t0

=

V0

(

∂F

∂t

)

t0

dV0 +

S0

F (t0) (v · n) dS0

essendo V0 un volume fisso nello spazio che nell’istante in considerazione coincide con il volume mobile V .

Capitolo 14

I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

• Il moto dei fluidi é controllato da alcuni principi fondamentali della fisica. Enunceremo nel seguito:

− il principio di conservazione della massa − il principio della quantitá di moto − il principio del momento della quantitá di moto che verranno utilizzati nel corso

IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA

“La massa associata ad un volume materiale di fluido é costante nel tem- po”

IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO

“La derivata rispetto al tempo della quantitá di moto di un volume ma- teriale di fluido é uguale alla risultante delle forze che l’esterno esercita sul volume di fluido”

IL PRINCIPIO DEL MOMENTO DELLA QUANTITA’ DI MOTO

“La derivata rispetto al tempo del momento della quantitá di moto di un volume materiale di fluido é uguale al momento risultante delle forze che l’esterno esercita sul volume di fluido”

• Vediamo ora a quali equazioni conducono i principi enunciati preceden-

75

76 CAPITOLO 14. I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

temente

IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MAS- SA

Figura 14.1:

Dalla definizione stessa di densitá, la massa infinitesima associata al volume infinitesimo dV é ρdV .

La massa del volume materiale V (t) é dunque fornita dalla somma dei contributi derivanti da tutti i volumi infinitesimi che compongono V (t). Si ha dunque

M (t) =

V (t)

ρdV

e il principio di conservazione della massa impone la costanza di M

d

dt

V0

ρdV = 0.

Utilizzando il teorema del trasporto si puó anche scrivere

V (t)

∂ρ

∂t dV0 +

S0

ρ(v · n)dS0

Per quanto esposto nel capitolo 13 la quantitá

S0

ρ(v · n)dS0 = 0

77

rappresenta la massa di fluido che attraversa la superficie S0 nell’unitá di tempo. Tale quantitá é detta “portata massica”. Il principio della conserva- zione della massa impone che

S0

ρ(v · n)dS0 = − ∫

V0

∂ρ

∂t dV0

In altre parole la portata massica deve uguagliare la derivata temporale della massa contenuta all’interno di V0 cambiata di segno.

In particolare se la densitá del fluido é costante, essendo inoltre V0 co- stante, la portata massica associata a S0 deve annullarsi. Tanto fluido entra in V0, tanto deve uscire, non essendo possibile che il fluido si accumuli in V0 per variazioni di densitá.

IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA DI MOTO

Come discusso nel punto precedente la massa infinitesima associata al volume dV risulta pari a ρdV .

La quantitá di moto della massa ρdV sará ρvdV . Si noti che la quantitá di moto é una grandezza vettoriale la cui direzione

e verso coincidono con quelli di v . La quantitá di moto del volume V (t) sará dunque fornita da

V

ρvdV

. Il principio della quantitá di moto impone dunque

d

dt

V (t)

ρvdV =

V (t)

ρfdV +

S(t)

tdS

dove le forze che l’esterno esercita su V sono state suddivise in forze di massa e forze di superficie (vedi capitolo 2). Utilizzando il teorema del trasporto si puó anche scrivere

V0

∂(ρv)

∂t dV0 +

S0

ρv(v · n)dS0 = ∫

V0

ρfdV0 +

S0

tdS0

o in forma compatta

I+M = G+Π

Dove

I =

V0

∂(ρv)

∂t dV0 é il termine di inerzia locale

78 CAPITOLO 14. I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

M =

S0

ρv(v · n)dS0 é il flusso di quantitá di moto attraverso S0

G =

V0

ρfdV0 é la risultante delle forze di massa sul volume V0. 1

Π =

S0

tdS0 é la risultante delle forze di superficie sulla superficie S0.

Spesso il termine M viene suddiviso in due contributi

M = Mu −Mi dividendo la superficie S0 in due parti. Nella prima v · n é positivo e il

fluido esce da V0, nella seconda v · n é negativo e il fluido entra in V0. Mu rappresenta quindi il flusso di quantitá di moto in uscita mentre Mi quello in ingresso. Resta da sottolineare che sia Mu che Mi sono quantitá vettoriali la cui direzione é coincidente con quella della velocitá v. Segue che −Mi é un vettore opposto a Mi.

IL PRINCIPIO DEL MOMENTO DELLA QUANTI- TA DI MOTO

Procedendo come nei punti precedenti, il principio del momento della quantitá di moto fornisce

d

dt

V

x× (ρv) dV = ∫

V

x× (ρf) dV + ∫

S(t)

x× tdS

o, applicando il teorema del trasporto

V0

∂t [x× (ρv)] dV0+

S0

x×(ρv)(v ·n)dS0 = ∫

V0

x×(ρf) dV0+ ∫

S0

x×tdS0.

• Per concludere questa lezione illustriamo alcune semplici applicazioni dei principi della quantitá di moto e del momento della quantitá di moto in forma integrale che dimostra la capacitá della relativa equazione di consentire la soluzione di problemi anche complessi.

Si consideri un getto che orizzontalmente va a urtare una superficie verti- cale. Siano U0 e Ω la velocitá del fluido nel getto e la sezione di quest’ultimo (vedi figura 14.2). Si calcoli la forza F che il getto esercita sulla superficie.

1Nel caso di campo di forze gravitazionali G corrisponde al peso di V0.

79

Figura 14.2:

Soluzione: il problema puó essere risolto utilizzando l’equazione del principio della quantitá di moto in forma integrale

I+Mu −Mi = G +Π Per procedere é necessario in primo luogo individuare il volume V . E

evidente che l’equazione precedente vale qualunque volume si scelga, ma una scelta opportuna consente la soluzione del problema mentre altre scelte non conducono a utili espressioni. Per risolvere il problema in esame consideria- mo il volume (detto il controllo) tratteggiato in figura 14.3 e introduciamo un sistema di riferimento. Notiamo inoltre che per la simmetria del proble- ma la forza F sará diretta lungo l’asse x. E’ conveniente quindi proiettare lequazione del principio della quantitá di moto lungo la direzione x

Ix +Mux −Mix = Gx +Πx

Assumendo il problema stazionario il termine

Ix =

V0

∂(ρu)

∂t dV0

sará nullo. Si noti che v é stato espresso come (u, v, w). Se inoltre assumiamo che l’asse z sia verticale, il vettore G sará parallelo

a z e quindi il termine

G =

V0

ρgxdV0

sará anch’esso nullo. Notiamo ora che dalle superfici BC e AF non esce né entra della massa in quanto v e n sono ortogonali. Si ha un flusso di massa e

80 CAPITOLO 14. I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

Figura 14.3:

quindi di quantitá di moto solo attraverso AB, CD e EF . In particolare la superficie AB contribuisce Mi a mentre le superfici CD e EF contribuiscono a Mu. Infine, notando che il vettore velocitá del fluido in uscita é parallelo all’asse y (é evidente che il fluido che attraversa le superfici CD e EF si muove parallelamente alla superficie rigida), si puó concludere che

Mux = 0.

Risulta inoltre

Mix =

ρU20 dΩ = ρU 2 0Ω

essendo la velocitá del fluido un ingresso pari a U0 e uniformemente distri- buita su Ω. Come detto precedentemente Π rappresenta la risultante delle forze di superficie che l’esterno esercita sul fluido contenuto all’interno di V0. Sulle superfici AB, BC, CD, EF e FA la pressione relativa é nulla e non esistono (o sono trascurabili) le tensioni tangenziali. Segue quindi che Π é pari a −F (principio di azione e reazione) e in particolare é

Πx = −Fx Si puó quindi concludere

−ρU20Ω = −Fx oppure

Fx = ρU 2 0Ω

Il problema illustrato verrá poi ripreso nel seguito per illustrare come sia possibile estrarre energia dal getto e trasformarla in lavoro. A causa della

81

particolare simmetria del problema in questo caso é evidente che la retta di azione di Fx passa per l’origine degli assi.

6Ω

x

y

θ

3

5

4

U

U

U

1

2

Y F

Figura 14.4:

Se la piastra fosse inclinata, dopo aver inserito il sistema di assi illustrato in figura 14.4, applicando l’equazione della quantitá di moto in direzione x al volume di fluido tratteggiato e ragionando analogamente al caso precedente, si ottiene:

F = ρU2Ω1 sin θ

mentre la componete lungo y del principio della quantitá di moto, unita al principio di conservazione della massa, consente di calcolare Ω2 e Ω3 :

Ω2 = Ω1 2

(1 + cos θ) Ω3 = Ω1 2

(1− cos θ)

E evidente che in questo caso la retta di azione di F non passa per l’origine degli assi.

La determinazione della retta di azione della forza F richiede l’applicazio- ne del principio del momento della quantitá di moto, sempre in riferimento al volume tratteggiato. Ricordando che il problema é piano, stazionario e che si suppone che la gravitá sia diretta lungo z, la componente lungo z dell’equazione che esprime il principio del momento della quantitá di moto risulta:

S0

(ζ × ρv) (v · n) dS0 = ∫

S0

ζ × t (14.1)

essendo ζ il vettore distanza dell’elemento dS dall’origine degli assi e S0 la superficie del volume di controllo tratteggiato che puó essere scomposta nelle superfici Ω1, Ω2, Ω3, Ω4, Ω5 e Ω6 mostrate in figura 14.4. Si ottiene:

82 CAPITOLO 14. I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

Ω1

(ζ × ρv) (v · n) dS = 0 ∫

Ω2

(ζ × ρv) (v · n) dS = −ρU2d 2 2

2 ∫

Ω3

(ζ × ρv) (v · n) dS = −ρU2d 2 3

2 ∫

Ω4

(ζ × ρv) (v · n) dS = ∫

Ω5

(ζ × ρv) (v · n) dS = ∫

Ω6

(ζ × ρv) (v · n) dS = 0

Avendo indicato con d2 e d3 l’altezza delle superfici Ω2 e Ω3 che risultano essere rettangoli di larghezza unitaria.

Le uniche tensioni agenti sul volume di controllo sono dunque quelle esercitate dalla piastra in risposta alla sollecitazione del fluido:

S0

ζ × tdS0 = ∫

Ω6

ζ × tdS0 = −FY

avendo indicato con Y la posizione della retta di azione di F e con F, come consuetudine, il modulo della forza F. Sostituendo le relazioni trovate nella 14.1 si ottiene:

ρU2

2

(

d22 − d23 )

= FY

da cui

Y = ρU2

2F

(

d22 − d23 )

Capitolo 15

LE CORRENTI FLUIDE

Lo studio del moto dei fluidi nel caso generale é estremamente complesso e la scrittura delle equazioni necessarie a determinare il campo di moto e lo stato di tensione cośı come la descrizione delle tecniche di soluzione di tali equazioni sono argomenti propri dei corsi della laurea specialistica. Ci limiteremo qui ad analizzare un caso particolare ma molto frequente e di notevole rilevanza applicativa che é quello delle correnti.

Le correnti fluide sono definite come un moto in cui la velocitá é “sensi- bilmente” parallela a una direzione che é facile individuare. Con il termine “sensibilmente” accettiamo che la direzione della velocitá si discosti localmen- te da quella della corrente anche se gli angoli formati da v e dalla direzione della corrente devono essere comunque piccoli e tali da poter essere trascu- rati. Si dice anche che una corrente é un moto quasi unidirezionale.

• Definiamo ora alcune grandezze tipiche delle correnti: - Sezione della corrente: Ω La sezione di una corrente é la superficie individuata dall’intersezione di

un piano ortogonale alla direzione della corrente con il dominio fluido. - Asse della corrente e ascissa curvilinea s L’asse della corrente é il luogo geometrico dei baricentri delle diverse se-

zioni. E’ possibile introdurre un’ascissa curvilinea lungo l’asse della corrente. - Portata volumetrica della corrente: Q La portata volumetrica della corrente é definita come il flusso di volume

(di fluido) attraverso la generica sezione Ω

Q =

(v · n) dΩ

Abbiamo giá visto (Capitolo 13) che considerando una superficie infinite- sima (in questo caso dΩ) di normale n, il volume di fluido che attraversa dΩ

83

84 CAPITOLO 15. LE CORRENTI FLUIDE

Figura 15.1:

nel tempo dt é fornito dall’espressione (v · n) dtdΩ, avendo assunto che tutte le particelle fluide che si trovano su dΩ all’istante iniziale si muovono con la stessa velocitá v e percorrono la distanza vdt nel tempo dt. Definito il flusso come il volume che attraversa la superficie Ω rapportato al tempo deriva

Q =

(v · n) dΩ

- Portata massica della corrente: Qm La portata massica della corrente é definita come il flusso di massa (di

fluido) che attraversa la generica sezione Ω

Qm =

ρ (v · n) dΩ

- Portata ponderale della corrente: Qp La portata ponderale della corrente é definita come il flusso di peso (di

fluido) che attraversa la generica sezione Ω

Qp =

ρg (v · n) dΩ

- La velocitá media sulla sezione: U Muovendosi all’interno di una sezione, la velocitá assume valori diversi. E’

quindi utile definire il valore medio che la velocitá assume su Ω. Considerando che la velocitá é “sensibilmente” ortogonale a Ω, é opportuno considerare solo la componente di v perpendicolare a Ω. Si ha quindi

U = 1

v · ndΩ

Nei moti laminari (si rimanda ai corsi di laurea specialistica per una definizione precisa del regime di moto laminare e di quello turbolento) la

85

,

Figura 15.2:

velocitá si discosta anche sensibilmente da U mentre nei moti turbolenti la distribuzione di velocitá sulla sezione tende ad essere molto piatta e pari ad U .

- Il carico piezometrico h Nel Capitolo 4 é stato definito il carico piezometrico h come somma della

quota z e della quantitá p/γ e si é visto che in un fluido in quiete h risulta costante. E’ possibile dimostrare (anche se ció non verrá qui fatto) che il valore di h non varia muovendosi su una sezione, mentre h varia al variare di s. E’ quindi possibile attribuire un valore di h alla sezione.

h = z + p

γ

- il carico totale H Al carico piezometrico é possibile aggiungere la quantitá v

2

2g = v·v

2g detta

carico cinetico e ottenere il carico totale. E’ facile vedere che il carico cine- tico rappresenta l’energia cinetica del fluido per unitá di peso, cioé l’energia cinetica di una massa di fluido divisa per il peso del fluido.

Analogamente é possibile vedere che il termine z del carico piezometrico rappresenta l’energia potenziale per unitá di peso.

Il termine p/γ, detto carico di pressione, rappresenta un’energia per unitá di peso non posseduta dai corpi rigidi. Dimensionalmente h,H ,z, p/γ, v

2

2g sono

delle lunghezze e si misurano in metri nel sistema metrico internazionale. Siccome la velocitá non é costante sulla sezione é opportuno definire il

carico totale mediato sulla sezione

86 CAPITOLO 15. LE CORRENTI FLUIDE

H = 1

(

h+ v2

2g

)

dΩ = h+ 1

v2

2g dΩ

Tenendo conto che la componente della velocitá normale alla superficie puó essere scritta come somma di U piú uno scarto u che per definizione ha media nulla sulla sezione

v · n = U + u con

1

udΩ = 0

si ha

1

v2

2g dΩ =

1

1

2g

(U + u)2 dΩ = 1

1

2g

U2 (

1 + u

U

)2

dΩ =

= U2

2g

1

[

1 +

(

u

U

)2 ]

dΩ

Essendo in generale u ≪ U e quindi (u/U)2 ≪ 1 si puó scrivere

H ∼= h+ U 2

2g

- Flusso di energia meccanica di una corrente Nei punti precedenti abbiamo visto che a una corrente possiamo associare

una portata di fluido cioé un flusso di volume. Q rappresenta il volume di fluido che attraversa Ω nell’unitá di tempo. Al volume di fluido che attra- versa Ω possiamo associare una massa, un peso ed evidentemente un’energia. Possiamo quindi definire il flusso di energia associato ad una corrente come

P =

(v · n) γHdΩ

essendo H l’energia per unitá di peso. Segue

P ∼= ∫

γ (v · n) [

h + U2

2g

]

dΩ ∼= γQH

Per ultimo sottolineamo che tutte le grandezze caratterizzanti le correnti (U,Q, h,H, . . . ) risultano funzioni dell’ascissa s e del tempo t .

Per la determinazione di U,Q, h, . . . si utilizzano delle equazioni che deri- vano dai principi enunciati nel capitolo 14 e che verranno ricavate nel capitolo 16 e nel capitolo 17.

Capitolo 16

IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA PER UNA CORRENTE: L’EQUAZIONE DI CONTINUITA’

Nel capitolo 14 si é visto che il principio di conservazione della massa conduce a

V0

∂ρ

∂t dV0 +

S0

ρ (v · n) dS0 = 0

Applichiamo l’equazione precedente al volume di controllo V0 (vedi figura 16.1) individuato dal contorno della corrente al tempo t e dalle sezioni di ascisse s e s+ ds (volume tratteggiato). La linea tratteggiata sia il contorno della corrente al tempo t+ dt.

Il primo termine dell’equazione derivante dal principio di conservazione della massa puó essere approssimato nel seguente modo:

V0

∂ρ

∂t dV0 ∼=

(

∂ρ

∂t Ω

)

s,t

ds

dove (Ω)s,t ds, a meno di termini di ordine ds 2, rappresenta il volume V0 e

dove le quantitá ∂ρ ∂t

e Ω possono essere valutate in s e al tempo t. Il secondo termine rappresenta il flusso di massa attraverso la superficie

S0 che delimita V0, positivo se uscente. Dalla sezione posta in s+ ds il flusso é [ρQ]s+ds,t mentre il flusso corrispondente alla sezione posta in s é [ρQ]s,t. La massa uscita nell’intervallo dt dalla superficie laterale del volume di controllo

87

88CAPITOLO 16. IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA PER UNA CORRENTE:

Figura 16.1:

pari al prodotto di ρ per il volume punteggiato in figura, quest’ultimo essendo pari a

[

∂Ω

∂t

]

s,t

dtds

il flusso legato alla superficie laterale sará dunque

[

ρ ∂Ω

∂t

]

s,t

ds

L’equazione derivante dal principio di conservazione della massa, detta anche equazione di continuitá, risulta dunque

[

∂ρ

∂t

]

s,t

+ [ρQ]s+ds,dt − [ρQ]s,dt + [

ρ ∂Ω

∂t

]

s,t

= 0

[

∂ρ

∂t

]

s,t

+ [ρQ]s,dt +

[

∂ (ρQ)

∂s

]

s,t

ds− [ρQ]s,dt + [

ρ ∂Ω

∂t

]

s,t

= 0

Come detto in precedenza, questa é l’equazione di continuitá per le cor- renti.

89

• Nel caso di un moto stazionario, un moto cioé in cui le grandezze non dipendono dal tempo si ha

d (ρQ)

ds = 0

Si noti che la derivata rispetto a s é ora ordinaria, considerato che sia ρ sia Q dipendono solo da s.

Segue

ρQ = costante

la portata massica lungo le correnti stazionarie si mantiene dunque co- stante. Se inoltre il fluido in esame é a densitá costante l’equazione di continuitá impone

Q = costante.

Essendo Q = UΩ, quando la sezione diminuisce la velocitá aumenta, quando invece la sezione aumenta la velocitá diminuisce.

Figura 16.2:

Ció non é vero se il fluido é a densitá variabile. In tal caso infatti si deve mantenere costante il prodotto ρQU .

• Nel caso di un condotto a sezione indipendente dal tempo (per esempio un condotto in acciaio) e di un fluido a densitá costante si ha

∂Q

∂s = 0.

Si noti che la derivata rispetto a s rimane parziale. La funzione Q che soddisfa l’equazione precedente é

Q = Q (t) = Ω (s)U (s, t) .

90CAPITOLO 16. IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA PER UNA CORRENTE:

Se poi la sezione é costante si ha

U = U (t)

cioé quello che si definisce un moto in blocco. Infatti in ogni sezione la velocitá é uguale anche se essa varia nel tempo.

Capitolo 17

IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO: LEQUAZIONE DEL MOTO

• Nel capitolo 14 si é visto che il principio della quantitá di moto conduce a ∫

V0

∂ (ρv)

∂t dV0 +

S0

ρv (v · n) dS0 = ∫

V0

ρfdV0 +

S0

tdS0

Figura 17.1:

Applichiamo l’equazione precedente al volume di controllo V0 (vedi figura 17.1) individuato dal contorno della corrente al tempo t e dalle sezioni poste all’ascissa s e allascissa s + ds (volume tratteggiato). La linea tratteggiata sia il contorno della corrente al tempo t+dt. Infine l’angolo α denoti l’angolo formato dall’asse della corrente con un piano orizzontale e il campo di forze f sia quello gravitazionale.

L’equazione considerata é un’equazione vettoriale. Essendo il vettore velocitá parallelo all’ascissa curvilinea s, proiettiamo l’equazione lungo s

91

92CAPITOLO 17. IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO: LEQUAZIONE DEL MOTO

Is +Mus −Mis = Gs +Πs Il termine Is puó essere approssimato dalla relazione

Is =

[

∂ (ρU)

∂t

]

s,t

(Ω)s,t ds

dove (Ω)s,t ds, a meno di termini di ordine ds 2, rappresenta il volume V0. La

derivata rispetto al tempo di ρU puó essere valutata al tempo t e all’ascissa s comportando cioé un errore in Is di ordine ds

2 e dsdt. Il fluido entra nel volume di controllo solo attraverso la sezione posta in s.

Il flusso di quantitá di moto in ingresso, proiettato nella direzione s é quindi

Mis = (ρQu)s,t

Il flusso di quantitá di moto in uscita é dato dalla somma di due termini

Mus = (ρQU)s+ds,t + (ρ)s,t

(

∂Ω

∂t

)

s,t

ds (U)s,t

Il primo termine rappresenta il flusso di quantitá di moto in uscita dalla se- zione caratterizzata dall’ascissa s+ds, il secondo é legato al flusso di quantitá di moto attraverso la superficie laterale. Invero come discusso nel capitolo 16 il termine

(ρ)s,t

(

∂Ω

∂t

)

ds

é il flusso di massa attraverso la superficie laterale del volume di control- lo che trascina con se quantitá di moto nella direzione s. Il termine Gs é

Figura 17.2:

facilmente calcolabile e risulta

Gs = − (Ω)s,t ds (ρ)s,t g sinα

93

Resta infine da calcolare Πs. Sulla sezione caratterizzata dall’ascissa s, la distribuzione della pressione é idrostatica (vedi capitolo 15) cośı come sulla sezione posta in s + ds. Le tensioni tangenziali agenti sulle sezioni poste in s e s + ds non forniscono alcun contributo a Πs.

Sulla superficie laterale, l’esterno esercita una tensione che ha una com- ponente normale alla superficie e una tangente. Entrambe le componenti forniscono un contributo a Πs. Con riferimento alla figura 17.2 e denotando con β l’angolo (piccolo) che il contorno forma con l’asse s, si ha

Πs = (pΩ)s,t − (pΩ)s+ds,t + (p)s,t Sℓ sin β − (τ)s,t Sℓb cos β

Nell’espressione precedente mentre Sℓ indica tutta la superficie laterale del volume di controllo, Sℓb é quella parte a contatto con un contorno solido in grado cioé di esercitare una resistenza al moto del fluido. Analizzando la geometria del problema é possibile dedurre che

Sℓ sin β =

(

∂Ω

∂s

)

s,t

ds

Sℓb = (B)s,t ds

essendo B la parte del perimetro della generica sezione a contatto con un contorno solido ( B é detto perimetro bagnato).

L’equazione della quantitá di moto porge dunque

[

∂ (ρU)

∂t

]

s,t

(Ω)s,t ds+ (ρQU)s+ds,t +

(

ρ ∂Ω

∂t U

)

s,t

ds− (ρQU)s,t = −

− (ρΩ)s,t g sinαds+ (pΩ)s,t − (pΩ)s+ds,t + (ps,t) (

∂Ω

∂s

)

s,t

ds− (τB)s,t ds

dove si é anche assunto che β sia cośı piccolo da poter considerare cos β ∼= 1. Tenendo conto che

(ρQU)s+ds = (ρQU)s + ∂ (ρQU)

∂s ds+O

(

ds2 )

(pΩ)s+ds = (pΩ)s + ∂ (pΩ)

∂s ds+O

(

ds2 )

e che il sinα puó essere espresso come ∂z/∂s indicando con z la quota dell’asse della corrente si ha

ρ ∂U

∂t Ω+U

∂ρ

∂t Ω+U

∂ (ρQ)

∂s +ρQ

∂U

∂s +ρ

∂Ω

∂t U = −γΩ∂z

∂s −p∂Ω

∂s −Ω∂p

∂s +p

∂Ω

∂s −τB

94CAPITOLO 17. IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO: LEQUAZIONE DEL MOTO

essendo tutte le quantitá valutate in s al tempo t. Nell’equazione prece- dente la somma dei termini sottolineati si annulla in forza dell’equazione di continuitá.

Segue, dividendo per γΩ

1

g

∂U

∂t +

1

g U ∂U

∂s = −∂z

∂s − 1

γ

∂p

∂s − τB

γΩ

o ancora ∂z

∂s +

1

γ

∂p

∂s +

∂s

(

U2

2g

)

= −1 g

∂U

∂t − τ

γRi

essendo Ri il raggio idraulico della sezione pari al rapporto fra l’area della sezione ed il perimetro bagnato

Ri = Ω

B

Infine per un fluido barotropico 1, la cui densitá é funzione solo della pres- sione, é possibile scrivere

∂H

∂s = −1

g

∂U

∂t − j

ove H = z + ∫

dp

γ + U

2

2g e j = τ

γRi .

L’equazione precedente costituisce l’equazione del moto di una corrente. Essa ci dice che il carico totale (l’energia per unitá di peso del fluido) di- minuisce nella direzione del moto a causa del termine −j ( j é infatti una quantitá sempre positiva) mentre il termine −1

g ∂U ∂t

puó causare variazioni o positive o negative del carico.

Il termine j corrisponde alle perdite di carico per unitá di percorso.

1Se il fluido é barotropico, cioé se γ = γ(p), si ha

∂s

dp

γ =

d

dp

dp

γ · ∂p ∂s

= 1

γ

∂p

∂s

Capitolo 18

LA VALUTAZIONE DI j

• L’equazione di continuitá e l’equazione del moto per le correnti richiedono, per essere risolte, un’espressione che leghi j alle caratteristiche cinematiche della corrente.

Per determinare tale relazione consideriamo un moto stazionario (quindi indipendente dal tempo) e uniforme (quindi indipendente dalla coordinata s). La sezione (di forma arbitraria) deve essere perció costante. Si ricordi che

j = τ

γRi

L’analisi del problema mostra che τ dipende: - dalle caratteristiche del fluido ρ, ν - dalla dimensione e dalla forma della sezione descrivibile attraverso il rag-

gio idraulico Ri (o convenzionalmente dalla dimensione 4Ri) e da parametri di forma ǫi

- dalle dimensioni della scabrezza yr che influenza senza dubbio il valore della tensione alla parete

- dalla velocitá media della corrente U (si potrebbe pensare che τ sia influenzato anche dalla portataQ. Tuttavia

avendo affermato che τ dipende da U e Ω e sapendo che Q = UΩ, sarebbe ridondante affermare che τ dipende anche da Q)

Si ha dunque

τ = f (4Ri, ǫfi, yr, U, ρ, ν)

Applicando il teorema Π (vedi capitolo 11) e scegliendo come grandezze dimensionalmente indipendenti 4Ri, U, ρ si ottiene

τ

ρU2 = f1

(

4RiU

ν , yr 4Ri

, ǫfi

)

95

96 CAPITOLO 18. LA VALUTAZIONE DI J

Figura 18.1:

La quantitá j puó dunque essere valutata utilizzando l’espressione

j = τ

γRi =

ρU2f1 ρgRi

= U2

2g

8fi 4Ri

= λ

4Ri

U2

2g

dove λ = 8fi = λ

(

4RiU

ν , yr 4Ri

, ǫfi

)

λ é detto coefficiente di resistenza e dipende dal numero di Reynolds Re = 4RiU

ν , dalla scabrezza relativa yr

4Ri e dalla forma della sezione descritta

dai parametri ǫfi.

Chiaramente per determinare λ é necessario ricorrere a misure sperimen- tali. Per un condotto a sezione circolare 4Ri = D, essendo D il diametro del condotto (infatti Ri =

piD2

4 /piD = D

4 ).

Si ha dunque

λ = λ

(

UD

ν , yr D

)

Nel grafico sottostante (denominato diagramma di Moody) é riportato l’andamento di λ in funzione di Re = UD/ν per diversi valori di ǫ = yr/D

Sempre per condotti a sezione circolare nel regime di moto turbolento esistono formule empiriche per la valutazione di λ. Una delle piú usate,

97

Figura 18.2:

anche se non esplicita, é quella di Colebrook

1√ λ = −2 log10

(

2.51

Re √ λ +

ǫ

3.71

)

Notiamo che per valori di Re tendenti ad infinito, il valore di λ risulta indipendente da Re. Quando λ dipende solo da ǫ si ha il regime di parete assolutamente scabra. Per ǫ = 0 (parete liscia) λ dipende solo da Re. Il regime di transizione é quello in cui λ dipende sia da Re che da ǫ. Si noti infine che la formula di Colebrook é valida in regime di moto turbolento (Re ≥ 2000−2200). Quando il regime di moto é laminare (Re ≤ 2000−2200) il valore di λ puó essere calcolato analiticamente (ció verrá fatto nei corsi previsti nell’ambito della laurea specialistica) e risulta

λ = 64

Re

• Per il calcolo di λ relativo a condotti di forma diversa dalla circolare si consultino libri di testo o manuali dell’ingegnere.

• L’espressione di j é stata ottenuta supponendo il moto stazionario e uniforme. Nel caso di moti lentamente variabili o di condotti lentamente

98 CAPITOLO 18. LA VALUTAZIONE DI J

convergenti o divergenti, si utilizza la stessa espressione utilizzando i valori locali e istantanei di Re e λ.1

1Un valorie indicativo di yr puó essere dedotto dalla segiente tabella. - Vetro,ottone, rame, piombo, tubi trafilati 0.1 10−4m - Tubi saldati, amianto-cemento 0.5 10−4m - Ghisa asfaltata 1.0 10−4m - Ferro galvanizzato 1.5 10−4m - Ghisa 3− 5 10−4m - Calcestruzzo 5− 50 10−4m - Tubi chiodati 10− 100 10−4m

Capitolo 19

ALCUNI PROBLEMI RELATIVI A CONDOTTE A SEZIONE CIRCOLARE

Come accennato nel capitolo 18, se consideriamo il moto stazionario di un fluido incomprimibile all’interno di una condotta a sezione circolare e costan- te, l’equazione di continuitá, (per fluido a densitá costante) porge

Q = costante ⇒ U = costante

Questa situazione, anche se particolare, é estremamente frequente nella pratica.

L’equazione del moto inoltre si semplifica e diviene

dH

ds = − λ

D

U2

2g

Siccome la sezione Ω é costante cośı come il suo diametroD e la sua scabrezza yr (se la condotta é costruita tutta di uno stesso materiale) segue che anche il coefficiente di resistenza λ é costante. Infatti

Re = UD

ν = costante; ǫ =

yr D

= costante

L’equazione del moto puó dunque essere facilmente integrata porgendo

H2 −H1 = − λ

D

U2

2g (s2 − s1) = −

λ

D

U2

2g L

essendo L la distanza fra due sezioni diverse con ascissa curvilinea s2 e s1 rispettivamente ( s2 a valle di s1) e carico totale H2 e H1. La relazione

99

100CAPITOLO 19. ALCUNI PROBLEMI RELATIVI A CONDOTTE A SEZIONE CIRCOLARE

H2 −H1 = − λ

D

U2

2g L

o l’equivalente

H2 −H1 = − λ

D

Q2

2gΩ2 L

consentono di determinare una delle caratteristiche della condotta o della corrente note le altre1.

Problema 1: calcolo delle perdite di carico

Di una condotta in ghisa asfaltata sia assegnato il diametro D e la lun- ghezza L. Conoscendo il valore della portata di acqua defluente, valutare le perdite di carico totali subite dalla corrente fra la sezione iniziale e quella finale.

Dati: D = 15cm, L = 500m, Q = 25ℓ/s

Soluzione: Dai dati disponibili é immediato calcolare la sezione Ω e quindi la velocitá

media

Ω = π D2

4 = 1.767 10−2m2, U =

Q

Ω = 1.415 m/s

Conoscendo il materiale con cui é stata realizzata la condotta é possibile valutare la scabrezza assoluta (vedi capitolo 18)

yr = 1.0 10 −4m

Segue

Re = UD

ν = 2.12 105; ǫ =

yr D

= 6.67 10−4

Dal diagramma di Moody é possibile stimare

λ = 0.0195

e quindi le perdite di carico

H2 −H1 = − λ

D

U2

2g L = −6.63 m

1Notiamo che in questo caso, essendo la velocitá costante, le equazioni precedenti possono essere anche scritte nella forma

H2 −H1 = h2 − h1 = − λ

D

U2

2g L = − λ

D

Q2

2gΩ2 L

101

Problema 2: calcolo della portata

La differenza fra il carico iniziale e quello finale in un tubo in rame lungo L é ∆H = H1−H2. Conoscendo il diametro D del tubo, valutare la portata Q di acqua defluente .

Dati: L = 10 m, ∆H = 5m, D = 2.6 cm

Soluzione: Dall’equazione del moto é possibile ricavare

Q = Ω

2g∆HD

λL

La precedente relazione non consente tuttavia il calcolo diretto di Q per- ché dipende dal numero di Reynolds e quindi da Q. E’ necessario dunque procedere per tentativi.

Dalla conoscenza del materiale della condotta (rame) deriva il valore di yr = 0.1 10

−4m e quello di

ǫ = yr D

= 3.85 10−4

Se si suppone che il regime di moto sia quello di parete assolutamente scabra (alti valori del numero di Reynolds) si ottiene un valore di primo tentativo di λ

λ = 0.0158

Con esso é possibile ricavare un valore di primo tentativo di Q

Q1 = 2.13 ℓ/s

da cui discendono

U1 = 4.01m/s; e Re1 = 1.04 10 5

Avendo ora a disposizione un valore di tentativo del numero di Reynolds é possibile controllare se l’ipotesi iniziale di regime di parete assolutamente scabra era corretta o no.

Dall’analisi del diagramma di Moody emerge che la condotta é nel regime di transizione. La conoscenza di Re consente di ottenere un secondo valore di λ

λ2 = λ (

1.04 105, 3.85 10−4 ) ∼= 0.02

102CAPITOLO 19. ALCUNI PROBLEMI RELATIVI A CONDOTTE A SEZIONE CIRCOLARE

Con tale valore di λ é possibile ottenere un secondo valore di Q

Q2 = 1.89 ℓ/s

da cui discendono

U2 = 3.56 m/s e Re2 = 9.26 10 4

la conoscenza di Re2 consente di ottenere un terzo valore di λ

λ3 = λ (

9.26 104, 3.85 10−4 ) ∼= 0.0201

che porta a un valore di Q praticamente coincidente con Q2. Si é ottenuta la convergenza del risultato. Se Q3 fosse stato sensibilmente diverso da Q2 il calcolo avrebbe dovuto proseguire.

Problema 3: calcolo del diametro (Problema di progetto)

Fra due serbatoi, distanti 4 Km, si vuole posare una tubazione in grado di far defluire una portata Q di acqua. Si decide di utilizzare tubi in ghisa asfaltata (yr = 0.1mm). Sapendo che il dislivello fra il pelo libero dei due serbatoi é ∆H , valutare il diametro del tubo da utilizzare.

Dati: Q = 2 ℓ/s, ∆H = 10 m

Soluzione: Il calcolo del diametro di una condotta, noti gli altri dati, deve essere fatto

per tentativi, cercando di individuare il valore di D che causa delle perdite di carico lungo la condotta pari a ∆H . In altre parole si deve trovare D tale che

∆H = λ

D

Q2

2gΩ2 L

A tal fine é opportuno precisare che la valutazione di D non deve essere fatta con troppe cifre significative, considerando che i diametri in commercio sono un numero limitato. Un valore di primo tentativo D per puó essere individuato imponendo che la velocitá media nella condotta sia pari a 1m/s

D1 =

4Q

πU1 = 0.0618 m

Con tale valore del diametro (ricordiamo di tentativo) valutiamo λ D

Q2

2gΩ2 L

e confrontiamolo con ∆H pari a 10m.

103

Si ha

D Ω U Re ǫ λ λ D

U2

2g L

[m] [m2] [m/s] [m] 0.0618 3.0 10−3 1.00 6.18 104 1.62 10−3 ∼= 0.025 82.6

Il valore delle perdite risulta molto maggiore del dislivello effettivamente disponibile. Ció suggerisce che il diametro deve essere maggiore, affinché il fluido viaggi a una velocitá inferiore e inferiori siano le perdite. Tentiamo con D = 10cm. Si ha

D Ω U Re ǫ λ λ D

U2

2g L

[m] [m2] [m/s] [m] 0.1 7.85 10−3 0.38 3.8 104 1.0 10−3 ∼= 0.025 7.36

Le perdite sono ora inferiori al dislivello. Proviamo D = 9.5 cm

D Ω U Re ǫ λ λ D

U2

2g L

[m] [m2] [m/s] [m] 0.095 7.09 10−3 0.42 3.99 104 1.05 10−3 ∼= 0.025 9.44

Le perdite sono ancora inferiori a ∆H anche se molto vicine. Verifichiamo che con un diametro di 9 cm esse risultano superiori

D Ω U Re ǫ λ λ D

U2

2g L

[m] [m2] [m/s] [m] 0.09 6.36 10−3 0.47 4.23 104 1.11 10−3 ∼= 0.024 12.12

Emerge quindi che il diametro da utilizzare é compreso fra 9 e 9.5 cm.

Capitolo 20

PERDITE CONCENTRATE DI CARICO DOVUTE A UN BRUSCO ALLARGAMENTO (PERDITE DI BORDA)

In un impianto é possibile che sia presente il passaggio da un diametro D1 a uno D2 maggiore. Localmente il moto non é piú unidirezionale, generandosi significative componenti di velocitá ortogonali all’asse della condotta. Ció fa si che localmente il moto del fluido non possa essere analizzato con le equazioni delle correnti. Da un punto di vista qualitativo, uno schizzo del

Figura 20.1:

campo di moto é riportato nella figura 20.1.

104

105

Per legare le caratteristiche della corrente immediatamente a monte del- l’allargamento con quelle della corrente a valle é possibile utilizzare il prin- cipio della quantitá di moto in forma integrale (capitolo 14). Sottolinea- mo che il moto riprende le caratteristiche di una corrente a una distanza dall’allargamento dell’ordine di qualche diametro.

Applichiamo dunque il principio della quantitá di moto al volume di rife- rimento tratteggiato in figura e delimitato dalla sezione ①, immediatamente a valle dell’allargamento, e dalla sezione ② a una distanza L tale che il mo- to abbia ripreso le caratteristiche di una corrente. Proiettiamo l’equazione lungo direzione s

Is +Mus −Mis = Gs +Πs Supposto il moto stazionario, I e quindi Is risultano nulli. Sia Ω1 = πD

2 1/4

e Ω2 = πD 2 2/4. Denotando con Q la portata defluente nell’impianto, si ha

Mus = ρQU2 = ρΩ2U 2 2

Mis = ρQU1 = ρΩ1U 2 1

Ricordiamo infatti che il principio di conservazione della massa impone

U1Ω1 = U2Ω2 = Q = costante

E’ facile verificare che

Gs = −γΩ2L sinα = −γΩ2L z2 − z1

L = γΩ2 (z1 − z2)

essendo z1 e z2 le quote dei baricentri delle sezioni di ingresso e di uscita del fluido.

Rimane da quantificare Πs. Sulla sezione ① possiamo assumere che la distribuzione di pressione sia idrostatica in quanto parte della sezione é occupata dalla corrente in arrivo e parte da fluido é praticamente fermo.

Anche sulla sezione ② é possibile assumere che la distribuzione di pres- sione sia pari a quella idrostatica. Trascurando le tensioni tangenziali sulla superficie laterale in considerazione del valore modesto di L, si ha

Πs = p1Ω2 − p2Ω2 essendo p1 e p2 le pressioni sui baricentri delle sezioni di ingresso e di

uscita del fluido. Si ottiene dunque

ρΩ2U 2 2 − ρΩ1U21 = γΩ2 (z1 − z2) + p1Ω2 − p2Ω2

106CAPITOLO 20. PERDITE CONCENTRATE DI CARICO DOVUTE A UN BRUSCO ALLAR

e dividendo per γΩ2

z1 + p1 γ

− z2 − p2 γ

= h1 − h2 = U22 g

− Ω1 Ω2

U21 g

Utilizzando quindi la relazione Ω1U1 = Ω2U2 si puó ottenere

h1 − h2 = U22 g

[

1− Ω2 Ω1

]

= U21 g

[

Ω21 Ω22

− Ω1 Ω2

]

Essendo Ω2 > Ω1 , la relazione precedente mostra che h2 > h1: il ca- rico piezometrico a valle del restringimento é maggiore di quello a monte. Ricaviamo ora il valore di H1 −H2. Si ha

H1−H2 = h1+ U21 2g

−h2− U22 2g

= h1−h2+ U22Ω

2 2

2gΩ21 −U

2 2

2g =

U22 2g

[

2− 2Ω2 Ω1

+ Ω22 Ω21

− 1 ]

= U22 2g

[

1− Ω2 Ω1

]2

L’equazione precedente mostra che H1 > H2, cioé passando attraver- so l’allargamento il fluido dissipa dell’energia e l’ammontare dell’energia dissipata é pari a

∆Hc = U22 2g

[

1− Ω2 Ω1

]2

Tale dissipazione di energia puó essere anche quantificata rispetto al carico cinetico di monte

∆Hc = U21 2g

[

Ω1 Ω2

− 1 ]2

Quest’ultima relazione mostra che quando una condotta sfocia in un ser- batoio, la corrente in arrivo dissipa tutta la sua energia cinetica. Infatti lo sbocco di una condotta in un serbatoio puó essere pensato come un brusco allargamento con Ω1/Ω2 tendente a zero.

Segue

∆Hc = U21 2g

.

Capitolo 21

PERDITE CONCENTRATE DI CARICO IN UN IMPIANTO

Nel capitolo 20 abbiamo determinato le perdite di carico (perdite di ener- gia per unitá di peso del fluido) dovute a un brusco allargamento e allo sbocco di una condotta in un serbatoio. In un impianto sono presenti altre sorgenti di perdite di carico localizzate quali imbocchi, valvole, gomiti, cur- ve, diaframmi, biforcazioni, alcune schematicamente rappresentate in figura. Le perdite di carico localizzate indotte da tali componenti di un impianto

Figura 21.1:

vengono usualmente espresse con una relazione del tipo

∆HC = ξ U2

2g

in cui U é la velocitá media che si stabilisce in una sezione caratteristica e ξ un parametro che dipende essenzialmente dalla configurazione geometrica

107

108CAPITOLO 21. PERDITE CONCENTRATE DI CARICO IN UN IMPIANTO

e dal numero di Reynolds. Spesso peró la dipendenza di ξ dal numero di Reynolds é trascurabile.

E’ impossibile qui fornire una panoramica dei valori di ξ a causa della grande varietá delle componenti di un impianto dal punto di vista geometri- co. Ricordiamo solamente che la determinazione di ξ viene fatta attraverso esperienze di laboratorio caso per caso.

A titolo indicativo forniamo i seguenti valori di ξ:

• Imbocco da serbatoio:

Figura 21.2: Imbocco a spigolo vivo ξ = 0.5

Figura 21.3: Imbocco con condotta rientrante ξ = 1.0

Figura 21.4: Imbocco arrotondato ξ = 0.05÷ 0.10

• Restringimento di sezione da Ω1 a Ω2:

∆H = H1 −H2 = ξ U22 2g

il coefficiente ξ dipende dal rapporto Ω2/Ω1:

109

Ω2/Ω1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ξ 0.48 0.44 0.41 0.31 0.26 0.24 0.18 0.13 0.06

• Gomiti e curve: il parametro ξ dipende dal rapporto tra il raggio di curvatura (r) e il

diametro del condotto (D), dall’angolo di deviazione (θ) e dal numero di Reynolds. In figura 21.5 sono forniti e valori di ξ per Re = 106 in funzione di r/D e θ.

Figura 21.5:

• Valvole a piena apertura − valvole a farfalla ξ = 0.2÷ 0.4 − valvole a fuso ξ = 0.2÷ 0.3 − saracinesca piana ξ = 0.1÷ 0.3

• Giunzioni a T fra tubi di ugual diametro ∆Hi−j = ξi−j (U23 /2g) .

110CAPITOLO 21. PERDITE CONCENTRATE DI CARICO IN UN IMPIANTO

Figura 21.6:

Per Q1/Q3 variabile da 0.5 a 1.0 si ha corrispondentemente: a) per confluenza delle correnti 1 e 2 nella 3:

ξ1−3 = 0.4÷ 1.1 ξ2−3 = 0.5÷ 0.6

b) per suddivisione della corrente 3 nelle 1 e 2: ξ3−1 = 0.8÷ 1.3 ξ3−2 = 0.05÷ 0.4

Capitolo 22

PROBLEMI RELATIVI AD ALCUNI SEMPLICI IMPIANTI

• Nel seguito illustreremo alcuni problemi relativi a semplici impianti. Nel- l’illustrare la loro soluzione introdurremmo le pompe 1, organi di un impianto in grado di fornire energia al fluido, e tracceremo le linee dei carichi totali e piezometrici, utile strumento per determinare graficamente la pressione in una sezione e per accertarsi del buon funzionamento di un impianto.

Per impostare la soluzione di un problema relativo a un impianto, é neces- sario analizzare l’evoluzione dell’energia del fluido per unitá di peso (carico totale) dalla sezione iniziale dell’impianto a quella finale: il carico inizia- le diminuito di tutte le perdite, distribuite e localizzate, ed eventualmente aumentato del carico fornito da pompe presenti sull’impianto deve fornire il carico nella sezione finale. Tale bilancio energetico fornisce un’equazione che consente di determinare una delle caratteristiche dell’impianto note ad altre. Per illustrare la procedura analizziamo nel seguito alcuni problemi particolari.

1Nell’ambito del corso non é possibile descrivere nei dettagli il funzionamento delle pompe e le loro caratteristche. Ci limitermo qui a dire che le pompe sono essenzialmente caratterizzate dalla prevalenza hP e dalla portata Q. La prevalenza é il carico che la pompa fornisce al fluido mentre il valore Q é la portata

che attraversa la pompa. L’energia che la pompa fornisce al fluido é pari a

P = γQhp

(vedi capitolo 15). Un’ulteriore caratteristica della pompa é il rendimento η cioé il rapporto tra la potenza P fornita al fluido e la potenza assorbita. Le caratteristiche delle pompe vengono in generale fornite dalle case costruttrici.

111

112CAPITOLO 22. PROBLEMI RELATIVI AD ALCUNI SEMPLICI IMPIANTI

Figura 22.1:

Problema 1 Determinare il valore della pressione relativa p1 nel serbatoio ① affinché

nell’impianto in figura 22.1 defluisca una portata Q di acqua dal serbatoio ① al serbatoio ②. I tubi siano in ghisa asfaltata con un valore di scabrezza assoluta yr pari a 0.1mm.

Dati: a = 40 cm, L1 = 50 m,L2 = 3 m,L4 = 75 m,L4 = 55 m,D1 = 10 cm,D2 = 15 cm,Q = 5 ℓ/s.

Soluzione: Introducendo un asse verticale z diretto verso l’alto e con l’origine in corrispondenza del pelo libero del serbatoio ②, il carico totale dell’acqua contenuta all’interno del serbatoio ① (indipendente dalla posizione perché il fluido puó considerarsi in quiete) risulta

H1 = h1 = a+ p0 γ

mentre nel serbatoio ②, il carico totale risulta nullo

H2 = 0

Si deve quindi avere

H1− U21 2g

[

0.5 + λ1 D1

L1 + 1 + λ1 D1

L2 + 1 + λ1 D1

L3 +

(

Ω1 Ω2

− 1 )2

]

−U 2 2

2g

[

λ2 D2

L4 + 1

]

= H2

113

ove si sono indicate con U1 e U2 le velocitá nei tubi di diametro D1 e D2 rispettivamente. λ1 e λ2 indicano i rispettivi coefficienti di resistenza. Infine si é assunto che le perdite concentrate siano valutabili con l’espressione ξ U

2

2g

e ξ = 0.5 per l’imbocco, ξ = 1 per i gomiti e lo sbocco.

Si ha

U1 = 4Q

πD21 = 0.637 m/s → Re1 = 6.37 104

U2 = 4Q

πD22 = 0.283 m/s → Re2 = 4.25 104

Essendo

ǫ1 = yr D1

= 0.001, ǫ2 = yr D2

= 0.000667

é possibile valutare λ1 e λ2 dal diagramma di Moody.

Risulta

λ1 ∼= 0.023 λ2 ∼= 0.024

L’equazione di partenza porge dunque

p0 γ

= −a+ U 2 1

2g

[

2.809 + λ1 D1

(L1 + L2 + L3)

]

+ U22 2g

[

1 + λ2L2 D2

]

avendo valutato (

Ω1 Ω2

− 1 )2 ∼= 0.309.

Effettuando i calcoli si ha

p0 γ

= [−0.4 + 0.0207 (2.809 + 29.4) + 0.00408 (1 + 8.8)]m = 0.307m

Da cui p0 = 3.01 10 3N/m2

Nella figura 22.2 sono riportate le linee dei carichi totali e piezometrici e la quota della condotta. Si noti che la differenza fra il carico piezometrico e la quota della condotta rappresenta il valore di p/γ.

114CAPITOLO 22. PROBLEMI RELATIVI AD ALCUNI SEMPLICI IMPIANTI

Figura 22.2:

Problema 2 Si valuti la prevalenza hp della pompa necessaria a far defluire un’asse-

gnata portata Q di acqua dal serbatoio ① fino alla fine del tubo (vedi figura). Il tubo sia in rame.

Figura 22.3:

Dati: L1 = 10 m,L2 = 2.5 m,L3 = 6 m, a = 1.5 m,D1 = 2.7 cm,Q = 1.5 ℓ/s

Soluzione: Essendo il tubo in rame, si ha yr = 0.01mm. Inoltre dalla conoscenza

della portata e del diametro segue

U = Q

Ω = 2.62m/s → Re = 7.07 104 → ǫ = yr

D = 3.7 10−4

Dalla conoscenza di Re e ǫ, si ottiene λ dal diagramma di Moody

λ ∼= 0.021

115

Infine, con riferimento a un asse verticale z rivolto verso l’alto e con l’origine in corrispondenza del pelo libero del serbatoio ①, si ha

H1 = 0 : H2 = a+ U2

2g

e

H1 − 0.5 U2

2g − λ

D

U2

2g (L1 + L2 + L3)−

U2

2g (1 + 1) + hp = a+

U2

2g 2

Segue

hp = a+ U2

2g

[

3.5 + λ

D (L1 + L2 + L3)

]

Effettuando i calcoli si ha

hp = 1.5 + 0.35 [3.5 + 14.4] = 7.76 m

Tracciamo ora la linea dei carichi totali e piezometrici

Figura 22.4:

2Si noti che perdite concentrate in un imbocco sono state assunte pari a 0.5U 2

2g mentre

quelle causate da un gomito pari a U 2

2g

116CAPITOLO 22. PROBLEMI RELATIVI AD ALCUNI SEMPLICI IMPIANTI

Problema 3

Valutare il diametro D necessario a far scorrere una assegnata portata Q di acqua dal serbatoio ① al serbatoio ② rappresentati in figura 22.5. Si supponga che la condotta sia in ghisa asfaltata.

Dati: a = 20 m,L = 2.5 Km,Q = 50 ℓ/s, yr = 0.1 mm

Figura 22.5:

Soluzione: L’equazione da soddisfare é:

a = U2

2g

[

1

2 +

λ

D L+ 1

]

= Q2

2gΩ2

[

1.5 + λ

D L

]

Procediamo per tentativi

D [m] U [m/s] Re ǫ λ Q 2

2gΩ2

[

1.5 + λ D L ]

[m]

0.25 1.02 2.5 105 4 10−4 ≈ 0.018 9.6 0.15 2.83 4.2 105 6.6 10−4 ≈ 0.019 130.9 0.20 1.59 3.2 105 5.0 10−4 ≈ 0.018 29.2 0.22 1.32 2.9 105 4.5 10−4 ≈ 0.018 18.3 0.21 1.44 3.0 105 4.8 10−4 ≈ 0.018 22.8

Sulla base di questi risultati é possibile concludere che il diametro richiesto é compreso fra 0.21 e 0.22 m.

117

IL PROBLEMA DEL SIFONE

• Tracciamo, in modo qualitativo, le linee del carico totale, piezometrico e della quota della condotta, facendo riferimento ad un asse z rivolto verso l’alto e con l’origine in corrispondenza del pelo libero del serbatoio ② dell’impianto in figura 22.6, uguale a quello considerato nel problema precedente.

Figura 22.6:

Figura 22.7:

E’interessante osservare che il funzionamento idraulico della condotta non é influenzato, se certi limiti sono rispettati, dall’andamento altimetrico della condotta. Ad esempio nelle condotte A e B della figura 22.8 defluisce la stessa portata e l’andamento del carico totale e piezometrico é uguale (chia- ramente a patto che il diametro, la scabrezza e la lunghezza della condotta rimangano inalterati). Nelle due condotte sará solo diversa la distribuzio- ne della pressione come si puó notare dalla figura 22.9 dove sono riportati H(s), h(s), zA(s) e zB(s).

118CAPITOLO 22. PROBLEMI RELATIVI AD ALCUNI SEMPLICI IMPIANTI

Figura 22.8:

Figura 22.9:

L’impianto funzionerá anche quando la quota della condotta sará maggio- re della linea dei carichi piezometrici. In tale situazione la pressione relativa all’interno della condotta sará negativa, cioé la pressione assoluta sará infe- riore alla pressione atmosferica (vedi figura 22.10 ). In particolare la condotta sará in depressione fra la coordinata si e la coordinata sf . Ci sono tuttavia dei limiti sull’andamento altimetrico della condotta. In primo luogo il valo- re di z(s) non puó superare a se si vuole che il fluido inizi a defluire senza problemi. Se anche in un solo punto z > a per innescare il moto é necessario creare una depressione nella condotta.

119

Figura 22.10:

Anche innescando il moto non é possibile superare certi valori di z, il limi- te é facilmente valutabile sapendo che la pressione assoluta non puó scendere al di sotto di un valore, denominato tensione di vapore che dipende dal fluido presente nell’impianto. Alzando la condotta al di sopra di tale limite, la portata defluente nell’impianto diminuirá, fino a che, quando z supererá il valore a+ patm−pǫ

γ , il fluido cesserá di scorrere (pǫ indica la tensione di vapore).

Capitolo 23

TEOREMA DI BERNOULLI PER LE CORRENTI

L’equazione del moto delle correnti stabilisce che

∂H

∂s = −1

g

∂U

∂t − j

cioé le variazioni di H lungo l’ascissa curvilinea s sono causate da accellera- zioni o decelerazioni del moto e dalla resistenza che le pareti oppongono al deflusso del fluido.

Nel caso, estremamente frequente, di moto stazionario si ha

dH

ds = −j = − τ

γRi

cioé il carico totale varia solo per effetto della resistenza esercitata dal contorno della corrente.

Si noti che il carico totale diminuisce sempre nella direzione del moto. Tutti i fluidi sono caratterizzati da una viscositá che puó essere piú o

meno elevata ma che comunque é sempre presente. Ció implica che τ é sempre diversa da zero e che quindi anche j é sempre non nulla. Tuttavia quando il tratto di condotta oggetto di indagine é relativamente breve, le perdite di carico subite dal fluido possono essere trascurate rispetto al carico stesso. In tale situazione si puó assumere che il moto del fluido soddisfi l’equazione:

dH

ds = 0.

Tale equazione risulta quindi valida nelle ipotesi che qui ricordiamo 1)Perdite di carico trascurabili

120

121

2)Moto stazionario 3)Campo di forze gravitazionali 4)Fluido barotropico (ρ = ρ (p)) Sotto tali ipotesi il carico totale rimane costante lungo s. Tale risultato é

noto come teorema di Bernoulli per le correnti. Originariamente il risultato fu ottenuto nell’ipotesi di fluido ideale (µ = 0) e di campo di forze conservativo (non necessariamente gravitazionale).

Se il fluido é barotropico

H = z +

dp

γ(p) +

U2

2g

Se il fluido é a densitá costante

H = z + p

γ +

U2

2g

Si noti che il fatto che H sia costante non implica la costanza dell’energia potenziale o di quella di pressione o dell’energia cinetica: é la loro somma che si mantiene costante. Il fluido puó ad esempio aumentare la sua energia cinetica a scapito di quella potenziale o di quella di pressione e viceversa.

IL VENTURIMETRO E ALTRIMISURATORI DI POR-

TATA

Il venturimetro é un misuratore di portata che, inserito in una condotta, permette di quantificare la portata che vi scorre attraverso il rilievo di un dislivello fra due superfici libere. Esso é costituito da: un tratto convergente che porta la sezione dal valore Ω1 della condotta a un valore Ω2: un breve tratto di sezione costante Ω2 un lungo tratto divergente che riporta la sezione al valore originario Ω1. Immediatamente a monte del tratto convergente, tutto intorno alla sezione sono presenti dei fori collegati ad un tubo a U la cui altra estremitá é collegata ad altri fori posizionati attorno alla sezione contratta. All’interno del tubo a U (detto tubo manometrico) é presente un fluido (in generale mercurio) di peso specifico elevato indicato con γm. Quando all’interno della condotta defluisce una portata Q, la pressione nella sezione 1 risulta diversa da quella nella sezione 2 e ció induce un dislivello fra i due rami del tubo a U. La lettura di tale dislivello consente di valutare Q. Vediamo ora come. Fra la sezione 1 e la sezione 2 il moto del fluido é accelerato, il tratto é molto breve e ció consente di trascurare le dissipazioni di energia e di supporre quindi il comportamento del fluido “ideale”. Il moto é supposto stazionario. Il fluido é soggetto al campo di forze gravitazionale. Supponiamo infine di considerare un fluido a densitá costante. Esistono i

122 CAPITOLO 23. TEOREMA DI BERNOULLI PER LE CORRENTI

Figura 23.1:

presupposti per poter applicare il teorema di Bernoulli per le correnti. Segue dunque

H1 = h1 + U21 2g

= h2 + U22 2g

= H2

L’equazione di continuitá porge inoltre

U1Ω1 = U2Ω2 = Q e U1 = Q

Ω1 ;U2 =

Q

Ω2

Si ha quindi Q2

2g

(

1

Ω21 − 1

Ω11

)

= h1 − h2

Q = 1

1− (

Ω2 Ω1

)2 Ω2

2g (h1 − h2) = CQΩ2 √

2g (h1 − h2)

essendo CQ = 1

1− (

Ω2 Ω1

)2

Il valore di h1 − h2 puó essere facilmente legato a ∆h tenendo conto che la pressione pA in A é uguale alla pressione pB in B e che il carico piezometrico

123

nella sezione 1 e nel ramo di sinistra del tubo manometrico é costante cośı come é costante il carico piezometrico nella sezione 2 e nel ramo di destra del tubo manometrico. La costanza del carico piezometrico nelle sezioni deriva dal fatto che il comportamento del fluido é quello di una corrente mentre la costanza del carico piezometrico nei due rami del tubo manometrico discende dal fatto che ivi il fluido é fermo. Si ha

h1 − h2 = hA − hC = pA γ

+ zA − pC γ

− zC

h1 − h2 = −∆h + 1

γ [pA − (pB − γm∆h)] = −∆h +

γm γ ∆h = ∆h

(

γm γ

− 1 )

Da cui

Q = CQΩ2

2g∆h

(

γm γ

− 1 )

Altri misuratori di portata sono i diaframmi (figura 23.2) e i boccagli (figura 23.3).

Figura 23.2:

Essi si basano sullo stesso principio di funzionamento dei venturime- tri e presuppongono la lettura della differenza di pressione fra la sezione 1 immediatamente a monte del diaframma e del boccaglio e la sezione 2 immediatamente a valle. Si ha

Q = CQΩ2

2g ∆p

γ

124 CAPITOLO 23. TEOREMA DI BERNOULLI PER LE CORRENTI

Figura 23.3:

essendo Ω2 la superficie di efflusso del fluido e CQ un coefficiente che dipende dai dettagli geometrici (per i valori di CQ si consultino libri di testo o manuali dell’ingegnere).

Capitolo 24

FLUIDI IDEALI E TEOREMA DI BERNOULLI

• Nel capitolo 23 abbiamo dedotto il teorema di Bernoulli per le correnti fluide, partendo dall’equazione del moto valida in tali circostanze. Il carico totale

H = z +

dp

γ +

v · v 2g

é definito anche in un moto tridimensionale e rappresenta comunque l’energia meccanica posseduta dal fluido per unitá di peso.

• Partendo dalle equazioni tridimensionali che esprimono il principio della quantitá di moto per un fluido stokesiano (equazioni di Navier - Stokes) é possibile dimostrare il teorema di Bernoulli nel caso generale. Non siamo in grado di effettuare tale dimostrazione nell’ambito di questo corso, perché ció presuppone lo studio del moto tridimensionale dei fluidi che verrá effettuato nei corsi della laurea specialistica.

Tuttavia, vista la sua importanza, considerato che il teorema di Bernoulli nella forma generale presenta stretta analogia con quello valido per le correnti e tenendo presente che la soluzione di alcuni problemi che affronteremo nel capitolo 25 richiede la sua conoscenza, enuncieremo qui il teorema di Ber- noulli nella forma generale elencando le ipotesi che devono essere verificate per la sua validitá.

Ipotesi:

1)Fluido ideale

Per fluido ideale si intende un fluido privo di viscositá, tale quindi che la tensione da esso esercitata sia sempre normale alla superficie considerata

t = −pn

125

126 CAPITOLO 24. FLUIDI IDEALI E TEOREMA DI BERNOULLI

In natura non esiste un fluido ideale, in quanto tutti i fluidi hanno una viscositá dinamica µ diversa da zero e esercitano anche tensioni tangenti alla superficie considerata.

Tuttavia in moti accelerati, caratterizzati da alti valori del numero di Reynolds e con contorni rigidi limitati, il comportamento dei fluidi reali puó essere assimilato a quello dei fluidi ideali.

2)Moto stazionario Spesso nei problemi si analizzano le situazioni di regime quando tutte le

grandezze caratterizzanti il moto sono indipendenti dal tempo. 3)Campo di forze conservativo1

Spesso nei problemi ingegneristici, il campo di forze che deve essere consi- derato é quello gravitazionale che é un particolare campo di forze conservativo tale che

ϕ = −gz essendo z un asse verticale diretto verso l’alto.

4)Fluido barotropico Un fluido si dice barotropico quando la densitá ρ risulta funzione solo

della pressione p. Dovrebbe essere evidente che un fluido a densitá costante é in particolare fluido barotropico. Quando le quattro ipotesi sopra elencate sono verificate il carico totale

H = −ϕ g +

dp

γ +

v · v 2g

si mantiene costante lungo una linea di corrente. Ricordiamo che le linee di corrente sono definite dalla proprietá di essere

tangenti (quindi parallele) al vettore velocitá in ogni punto. La loro equazione in forma differenziale é dunque

dx× v = 0

essendo dx l’elemento infinitesimo della linea di corrente (vedi capitolo 13). Se il moto é stazionario le traiettorie delle particelle fluide, definite dall’e- quazione parametrica

dx = vdt

coincidono con le linee di corrente. Emerge quindi che il carico totale H si mantiene costante anche lungo le traiettorie.

1Ricordiamo che un campo di forze si dice conservativo quando ammette una funzione potenziale ψ tale che

f = ∇ϕ

127

24.0.2 EFFLUSSO DA LUCI +IBM- APPLICAZIO- NE DEL TEOREMA DI BERNOULLI

Figura 24.1:

Consideriamo il serbatoio in figura 24.1 dove, alla profonditá h , é pra- ticato un foro circolare di sezione Ω. Supponiamo che la superficie libera S del serbatoio sia molto maggiore di Ω in modo tale da poter assumere che le variazioni del pelo libero siano lente nel tempo e quindi il moto generato dal- l’efflusso attraverso il foro sia praticamente stazionario. Il campo di forze cui é soggetto il fluido sia quello gravitazionale. Inoltre la densitá del fluido sia costante. All’interno del serbatoio, lontano dal foro, il fluido é praticamente fermo e gli effetti viscosi sono trascurabili. In prossimitá del foro, il moto é accelerato e ad alti numeri di Reynolds . E’ possibile dunque assumere ideale il comportamento del fluido e applicare il teorema di Bernoulli. Consi- deriamo un’asse z rivolto verso l’alto con origine in corrispondenza del livello del foro. Il carico totale in un qualunque punto all’interno del serbatoio e lontano dal foro vale h. Invero il carico cinetico é nullo perché il fluido é praticamente fermo e il carico piezometrico risulta quindi costante. Il getto avrá una geometria simile a quella illustrata in figura 24.2.

128 CAPITOLO 24. FLUIDI IDEALI E TEOREMA DI BERNOULLI

Figura 24.2:

Il getto ha una sezione inferiore a quella del foro perché il fluido che si trova in prossimitá della parete non esce con una traiettoria ortogonale alla parete stessa benśı con una che inizialmente é tangente alla parete. Le tra- iettorie delle particelle fluide vicine alla parete, che inizialmente si muovono parallelamente a essa, non possono infatti presentare un punto angoloso. L’a- rea del getto, in quella che si definisce sezione contratta dove le traiettorie delle particelle fluide sono fra di loro parallele e ortogonali alla parete del serbatoio, vale

ω = CCΩ

ove CC é il cosidetto coefficiente di contrazione che misure sperimentali mo- strano essere circa 0.6. Considerato che le ipotesi del teorema di Bernoulli sono verificate, applichiamolo lungo una qualunque linea di corrente passante per un generico punto B della sezione contratta (figura 24.3). Si avrá

HA = HB

essendo A un punto all’interno del serbatoio. Per i motivi discussi preceden- temente

HA = h

indipendentemente dall’esatta forma della linea di corrente e dall’esatta po- sizione del punto A. E’ facile vedere che

HB = v 2 B/2g

Infatti il valore di zB é trascurabile rispetto a h e la pressione relativa pB é

129

Figura 24.3:

nulla (in un getto la pressione é costante sulla generica sezione e pari a quella atmosferica). Si ha quindi

h = v2B/2g

da cui vB =

2gh

La velocitá √ 2gh é detta “velocitá- torricelliana”. La portata uscente dal

serbatoio risulta dunque Q = CCΩ

2gh

Volendo valutare il tempo necessario affinché h passi dal valore h1 al valore h2 é necessario imporre un bilancio di massa. Semplici considerazioni sul volume di fluido che attraversa la sezione contratta impongono

Qdt = −dhS essendo S l’area della superficie libera del serbatoio. Segue

−dhS = CCΩ √

2ghdt

130 CAPITOLO 24. FLUIDI IDEALI E TEOREMA DI BERNOULLI

dh√ h = −CCΩ

√ 2g

S dt

2 √

h2 − 2 √

h1 = − CCΩ

√ 2g

S (t2 − t1)

∆t = (t2 − t1) = − 2S

CCΩ √ 2g

(

h2 − √

h1

)

PRESSIONE DI RISTAGNO +IBM- APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI BERNOULLI

Figura 24.4:

Consideriamo un corpo (ad esempio un cilindro) che si muove con velocitá costante U0 all’interno di un fluido fermo. Analizziamo il problema utiliz- zando un sistema di riferimento solidale con il corpo, trasformando quindi il problema in quello di un oggetto fermo investito da un fluido che lontano dal corpo é animato da una velocitá costante pari a U0.

Se ipotizziamo il fluido ideale, la densitá costante, il moto stazionario e il campo di forze gravitazionale, sappiamo (teorema di Bernoulli) che

H = z + p

γ +

|v|2 2g

= cost

131

lungo una linea di corrente (l’accelerazione di gravitá é qui supposta diretta come l’asse z).

E’evidente che sul corpo esisterá un punto (detto punto di ristagno) in cui la velocitá é nulla. Nel caso di un cilindro il punto di ristagno é posizionato in (−R, 0) essendo R il raggio della sezione del cilindro. Consideriamo ora la linea di corrente che passa per il punto di ristagno (vedi figura) e un punto A lontano dal corpo.

Figura 24.5:

Per il teorema di Bernoulli HA = zA + pA γ +

|v|2A 2g

= zB + pB γ +

|v|2B 2g

= HB tuttavia zA = zB e |v|A = U0, |v|B = 0. Segue dunque

pB − pA = ρ

2 U20

La differenza di pressione pB − pA é detta pressione di ristagno. Essa cresce con il quadrato della velocitá U0 ed é proporzionale alla densitá del fluido. Siccome lontano dal corpo la pressione é pari alla pressione atmosferica, la quantitá ρU20 /2 é semplicemente la pressione relativa nel punto B.

132 CAPITOLO 24. FLUIDI IDEALI E TEOREMA DI BERNOULLI

TUBO DI PITOT

E’evidente che nel problema precedentemente analizzato, la misura della pres- sione relativa in B, consente la valutazione della velocitá U0. Nel passato, la misura della velocitá U0 veniva effettuata con uno strumento denominato “tubo di Pitot” schematicamente rappresentato in figura.

Figura 24.6:

La velocitá nel punto C risulta praticamente quella indisturbata e pari quindi a U0 (la linea tratteggiata rappresenta la linea di corrente passante per A,B e C).

Si ha quindi

pB − pC = ρ

2 U20

Inoltre pB − pC = ∆h (γm − γ)

Segue

U0 =

2g∆h

(

ρm − ρ ρ

)

Capitolo 25

TEORIA DELLE TURBINE PELTON

Nel capitolo 14 abbiamo visto che un getto, che urta una parete piana ferma, esercita su di essa una forza F

F = ρΩU20

Se la geometria della parete é diversa, diverso é il valore di F . Consideriamo ad esempio la situazione in figura 25.1

Figura 25.1:

In primo luogo osserviamo che la velocitá del fluido che si allontana dalla superficie dopo averla urtata é pari ad U0. Tale risultato é facilmente otte- nibile dal teorema di Bernoulli (si assuma fluido ideale , densitá costante, campo di forze gravitazionali con g diretta lungo l’asse z, moto stazionario e si applichi il teorema di Bernoulli uguagliando i carichi totali del punto A e

133

134 CAPITOLO 25. TEORIA DELLE TURBINE PELTON

del punto B). Per determinare la forza F esercitata dal getto é necessario ap- plicare il principio della quantitá di moto nella sua forma integrale al volume delimitato dalla linea tratteggiata in figura 25.1. Considerando la proiezione dell’equazione nella direzione x, si ottiene

Ix +Mux −Mix = Gx +Πx

Come discusso nel capitolo 14, si ha

Ix = 0, Gx = 0, Πx = −Fx, Mix = ρΩU20 Nel caso in esame, inoltre, Mux é diverso da zero. Per valutare Mux é

necessario notare che la sezione dei getti che abbandonano la superficie deve essere pari a Ω/2. Per la conservazione della massa deve infatti risultare

U0Ω = 2UBΩB

Inoltre UB = U0 e quindi ΩB = Ω/2 . Tenendo conto che i getti che abban- donano la superficie hanno un’inclinazione θ rispetto al semiasse negativo x, é facile valutare Mux che risulterá

Mux = −2ρU2BΩB cos θ = −ρΩU20 cos θ

Segue infine Fx = ρU

2 0Ω (1 + cos θ)

e anche Fx = ρQU0Ω (1 + cos θ)

essendo Q = U0Ω la portata del getto.

Figura 25.2:

In particolare se θ = 0 (vedi figura 25.3) la forza Fx risulta doppia rispetto a quella determinata nel capitolo 14 quando θ = π/2.

135

Pur potendo generare forze notevoli, in questa situazione il getto non é in grado di compiere alcun lavoro. La potenza associata al getto (vedi capitolo 15)

Pd = γQH = ρΩ U30 2

non riesce quindi a essere sfruttata. Al fine di far fare del lavoro al getto e quindi di sfruttare in parte l’energia

posseduta dal getto é necessario fare in modo che la superficie (nel seguito anche pala) si muova. Si denoti con V la velocitá della pala rispetto al convergente che genera il getto.

Figura 25.3:

Quest’ultimo abbia una velocitá U0 rispetto al convergente. Applicando il principio della quantitá di moto adottando un sistema di riferimento solidale con la pala (sistema inerziale perché in moto con velocitá costante) si ottiene

F = ρΩ (U0 − V )2 (1 + cos θ)

La forza é inferiore a quella che si ha per la pala ferma poiché il termine (U0 − V )2 sostituisce il termine U20 . Tenendo conto che

U20Ω = QU0

(U0 − V )2Ω = Q̃ (U0 − V ) ove Q̃ = (U0 − V ) Ω si puó capire che la forza F per la pala in movimento é inferiore a quella relativa alla pala ferma per due motivi.

Il primo é legato al fatto che la velocitá di impatto passa da U0 a (U0 − V ).

136 CAPITOLO 25. TEORIA DELLE TURBINE PELTON

Il secondo motivo é dovuto al fatto che per la pala in movimento non tutta la portata Q viene utilizzata, ma una parte di essa (per la precisione ΩV ) viene utilizzata per allungare il getto. Questa portata puó essere recuperata utilizzando una sequenza di pale: quando una pala si allontana troppo dal convergente ne subentra un’altra in posizione piú vicina al convergente. Il fluido compreso fra la prima pala e la nuova pala andrá comunque a urtare la prima pala non andando sprecato. La situazione descritta sinteticamente nelle righe precedenti puó essere ottenuta montando le pale su una ruota

Figura 25.4:

Intuitivamente si puó arrivare al risultato

F = ρU0Ω (U0 − V ) (1 + cos θ)

essendo F la forza sull’insieme delle pale (ruota). Il lavoro fatto dal getto sulla ruota nell’unitá di tempo (potenza ceduta dal getto alla ruota) puó essere valutato con l’espressione

PU = FV = ρU0ΩV (U0 − V ) (1 + cos θ) Puó essere utile valutare quale é la velocitá V che rende massima la potenza PU . Essa puó essere calcolata trovando i valori di V che annullano dPU/dV

dPu dV

= ρU0Ω (1 + cos θ) [U0 − V − V ] dPU dV

= 0 per V = U0 2

Segue

137

(PU)max = ρU0Ω U20 4

(1 + cos θ) = ρΩ U30 4

(1 + cos θ)

In tal caso il rendimento della ruota, rapporto fra la potenza utilizzata e quella disponibile, risulta

η = (PU)max

Pd =

ρΩU30 (1 + cos θ)

4ρωU30 =

1 + cos θ

2

E’ evidente che quando θ si avvicina a 0, il valore di η si avvicina ad 1. Nel caso reale η é uguale a circa 0.95÷ 0.97. Infatti valori di θ nulli non possono essere realizzati in quanto, per θ = 0, i getti in uscita interferirebbero con la pala seguente. Inoltre bisogna tener conto che gli effetti viscosi, per quanto piccoli, non sono nulli e quindi la velocitá dei getti che lasciano la singola pala é inferiore (anche se di poco) rispetto alla velocitá dei getti in arrivo.

La macchina idraulica, il cui funzionamento é stato descritto in forma semplice e sintetica nelle righe precedenti, é detta turbina Pelton.

Capitolo 26

LO STRATO LIMITE

Se consideriamo un corpo di forma qualsiasi investito da un fluido in moto uniforme (cioé stazionario e unidirezionale), é evidente che, vicino al corpo il gradiente della velocitá assumerá valori non nulli poiche’ sulla superficie del corpo la velocitá deve essere nulla essendo il corpo fermo.

Le caratteristiche del campo di moto che si realizza intorno al corpo di- pendono, oltre che dalla forma e dall’orientamento del corpo, anche dal valore del numero di Reynolds1.

Se il valore del numero di Reynolds é modesto, gli effetti viscosi influen- zano una regione vasta attorno al corpo. Se invece il valore del numero di Reynolds é elevato, di norma, si osservano elevate tensioni viscose solo vicino alla superficie del corpo. Inoltre la regione vicino alla superficie del corpo in cui il gradiente della velocitá assume valori significativi, é molto piú piccola rispetto alle dimensioni del corpo ed é detta strato limite. Se il corpo é tozzo oppure male orientato rispetto alla direzione del fluido e se il nume- ro di Reynolds é elevato lo strato limite si separa dalla superficie del corpo dando luogo al fenomeno della separazione dello strato limite: a valle del corpo si sviluppa una zona, detta zona di ricircolazione in cui i valori della pressione sono negativi (figura 26.1). Si puó facilmente intuire che la presenza della zona di ricircolazione a valle del corpo genera una resistenza ulteriore rispetto a quella dovuta alla sola viscositá, che tende a trascinare il corpo nella direzione del fluido (resistenza indotta).

Nella zona esterna allo strato limite il moto puó essere assimilato a quello di un fluido ideale (vedi capitolo 24) e il teorema di Bernoulli puó essere utilizzato per calcolare la pressione una volta noto il campo di velocitá.

Lo studio dei moti di fluidi ideali verrá affrontato nell’ambito dei corsi

1In questo contesto il numero di Reynolds é definito utilizzando il modulo della velociá del fluido a grandi distanze dal corpo (U0), la dimensione caratteristica del corpo (L) e la viscositá cinematica del fluido.

138

139

Figura 26.1: strato limite che si separa dalla superficie di un corpo tozzo. Foto in alto: strato limite laminare. Foto in basso: strato limite turbolento

della Laurea Magistrale insieme allo studio approfondito dello strato limite. Tuttavia é opportuno introdurre qui alcuni concetti fondamentali che ver- ranno ripresi e approfonditi nei corsi successivi.

STRATO LIMITE LAMINARE

Lo strato limite che si sviluppa sulla superficie dei corpi puó essere ap- prossimato, laddove sia assente il fenomeno della separazione, come lo strato limite che si realizza sopra una lastra piana.

U x

y

L

(x)δ

Figura 26.2: Strato limite su lastra piana.

140 CAPITOLO 26. LO STRATO LIMITE

Si consideri dunque una piastra piana, lunga L e di larghezza unitaria, investita da un fluido di assegnata viscositá (ν) e densitá (ρ) che si muove tangenzialmente a essa con velocitá costante U (figura 26.2). Se il numero di Reynolds Re = UL

ν é elevato sulla piastra si svilupperá uno strato limite

di spessore (δ) crescente con la distanza dal bordo di attacco ma comunque piccolo rispetto a L.

Il fluido eserciterá sulla piastra una tensione la cui componente in dire- zione tangente alla piastra τ0 puó essere valutata in prima approssimazione applicando il teorema Π. Assumendo che τ0 sia funzione di ρ, ν, L e U , il teorema Π consente di mostrare che:

τ0 = ρU 2 0 f (Re)

dove Re = UL ν .

Sempre l’applicazione del teorema Π consente anche di mostrare che:

δ = L g (Re) .

Per poter conoscere la forma delle funzioni f e g é necessario proseguire nell’analisi e utilizzare ad esempio il principio della quantitá di moto.

Si consideri il volume ABCD tratteggiato in figura 26.3 e si osservi che mentre la velocitá nella sezione AD puó essere ritenuta costante e pari a (U, 0), sulla sezione BC il valore della velocitá varia con y (u=u(y)). L’ap- plicazione del principio della quatitá di moto lungo la direzione x porge:

Mux −Mix = πx (26.1)

dove

Mix = ρ

∫ δ

0

U2dy (26.2)

é il flusso di quantita di moto che entra nel volume di controllo in direzione x, e

Mux = ρ

∫ δ

0

u2dy + ρ

∫ δ

0

U(U − u)dy (26.3)

é il flusso di quantita di moto che esce dal volume di controllo in di- rezione x. Si noti che il primo termine della 26.3 rappresenta il flusso di quantitá di moto che esce dalla superfice BC mentre il secondo termine rap- presenta il flusso di quantitá di moto associato alla massa che esce da CD (ρ

∫ δ

0 (U − u) dy). Se la gravitá é diretta secondo l’asse z, la pressione sulla

141

superficie AD risulta costante e pari a quella che agisce sulla superficie CB, emerge quindi che

Πx = − ∫

AB

τ0dx

strato limite A

CD

B

x

y

U δ(x)

τ0

fluido ideale

Figura 26.3: volume di controllo per l’applicazione del principio della quantitá di moto

L’applicazione del principio della quantitá di moto lungo la direzione x conduce quindi a:

ρU2 ∫ δ

0

u

U (1− u

U )dy =

∫ x

0

τ0dx (26.4)

Per poter procedere a calcolare δ, che dipende da x, é necessario conoscere il profilo di velocitá all’interno dello strato e τ0.

Se il moto all’interno dello strato é in regime laminare2, il profilo di velocitá é ben approssimato dalla relazione:

u

U = 2(

y

δ )− (y

δ )2. (26.5)

Inoltre la tensione tangenziale τ0 in questa applicazione puó essere calco- lata utilizzando la relazione giá introdotta nel capitolo 10, cioé:

τ0 = µ

[

du

dy

]

y=0

Utilizzando la (26.5) é possibile calcolare i termini della (26.4):

∫ δ

0

u

U (1− u

U )dy =

2

15 δ (26.6)

e

τ0 = 2µ U

δ (26.7)

2si rimanda ai corsi di Laurea Magistrale per una definizione precisa del regime di moto laminare e di quello turbolento

142 CAPITOLO 26. LO STRATO LIMITE

Utilizzando le (26.6) e (26.7) é possibile integrare la (26.4) (ricordando che δ dipende da x) e si ottiene:

(

δ(x)

x

)2

= 30 ν

Ux

o, equivalentemente:

δ(x)

x = 5.48(Rex)

− 1 2 . (26.8)

essendo Rex = Ux ν .

La (26.8) fornisce lo spessore dello strato limite in funzione della distanza dal bordo di attacco della piastra, mentre la tensione tangenziale τ0 sulla piastra risulta pari a:

τ0(x) = 2µU

5.48x( ν Ux

) 1 2

= 0.365ρU2(Rex) − 1

2 (26.9)

e, come δ, risulta funzione di x. La forza tangenziale, per unitá di larghezza, esercitata dal fluido su ciascuna faccia della piastra é pari a:

FD =

∫ L

0

τ0(x)dx = 0.73ρU 2L(

UL

ν )−

1 2

che, introducendo il coefficiente di resistenza cR é solitamente espressa come:

FD = cR(Re)ρ U2

2 L

dove

cR = 1.46√ Re

con Re = UL

ν .

STRATO LIMITE TURBOLENTO

Quando il numero di Reynolds Rex supera un valore critico, pari a cir- ca 5 × 105, i disturbi presenti all’interno del campo di moto cominciano a crescere e si sviluppa il regime di moto turbolento. Se il campo di velocitá é turbolento, il profilo di velocitá non é piú approssimato dalla (26.5). In presenza di un moto turbolento, si fa riferimento ai valori medi della velocitá

143

(nel seguito indicata come 〈u〉 3). In presenza di uno strato limite turbolento la legge che approssima bene l’andamento della velocitá media all’interno dello strato é:

〈u〉 u∗

= 8.74( u∗y

ν )

1 7 con u∗ =

τ0 ρ

(26.10)

dove τ0 é la tensione tangenziale sulla piastra e la quantitá u∗, che ha le dimensioni di una velocitá, é detta velocitá di attrito.

Detto U il valore della velocitá sul bordo dello strato, utilizzando la (26.10) é possibile ottenere:

〈u〉 U

= ( y

δ )

1 7 (26.11)

L’applicazione del principio della quantitá di moto al volume ABCD di fluido (figura 26.2), analogamente a quanto visto in precedenza, conduce a:

ρU2 ∫ δ

0

〈u〉 U

(1− 〈u〉 U

)dy =

∫ x

0

τ0dx (26.12)

Utilizzando la (26.11) é quindi possibile calcolare l’integrale che appare a sinistra nella (26.12):

∫ δ

0

〈u〉 U

(

1− 〈u〉 U

)

dy = 7

72 δ (26.13)

Si ottiene quindi:

τ0 = 7

72 ρU2

dx . (26.14)

Dalla (26.10), calcolata per y = δ, si puó calcolare la velocitá di attrito:

u∗ =

(

U

8.74

) 7 8 (ν

δ

) 1 8

e quindi la tensione alla parete:

τ0 = 0.0225ρU 2 ( ν

δU

) 1 4

(26.15)

che sostituita nella (26.14) consente di ottenere:

δ 1 4 dδ

dx = 0.231

( ν

U

) 1 4

(26.16)

3La definizione di media di un campo di moto turbulento verrá fornita nei corsi sucessivi. Per il momento e in riferimento alla applicazione considerata, si puó confondere la media utilizzata nello studio dei moti turbolenti con la media rispetto al tempo

144 CAPITOLO 26. LO STRATO LIMITE

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 5 10 15 20

δ

x

turbolento laminare

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

τ 0

x

turbolento laminare

Figura 26.4: sinistra: spessore dello strato limite nei casi laminare e turbo- lento in funzione di x; destra: tensione tangenziale sulla parete in funzione di x. U=1 m/s, fluido=acqua.

La (26.16) puó essere integrata tra la posizione 0 e x, ottenendo:

δ (x) = 0.37x 4 5

( ν

U

) 1 5

(26.17)

o, equivalentemente,

δ

x = 0.37Re

− 1 5

x .

In figura 26.4 é mostrato l’andamento dello spessore dello strato limite al variare di x, ottenuto utilizzando la relazione (26.8), valida nel regime di moto laminare, e la (26.17), valida nel regime turbolento. É possibile osservare come lo strato limite turbolento presenti spessori maggiori del corrispondente strato in regime laminare.

Il calcolo della tensione tangenziale, effettuato utilizzando la (26.15) e la (26.17) fornisce:

τ0 = 0.0577ρ U2

2 Re

− 1 5

x . (26.18)

Un confronto tra le relazioni (26.9) e (26.18), mostrato in figura 26.4 mette in evidenza come le tensioni tengenziali sulla parete generate dal moto turbolento risultino maggiori di quelle che é in grado di sviluppare un moto laminare.

Analogamente al caso laminare é quindi possibile calcolare la resistenza FD incontrata da ciascuna faccia della piastra (per unitá di larghezza) lunga L:

FD =

∫ L

0

τ0(x)dx = 0.072̺ U2

2

( ν

UL

) 1 5 L

145

Figura 26.5:

e il coefficiente di resistenza cR:

cR = 2R

̺U2L = 0.072 (Re)−

1 5 (26.19)

In figura 26.5 é mostrato il coefficiente di resistenza in funzione del numero di Reynolds, insieme alle curve ricavate in precedenza per il regime laminare e turbolento.

Capitolo 27

I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE CORRENTI

La complessitá dello studio del moto vario nelle correnti dipende dalle ipotesi che si introducono, le quali a loro volta dipendono dalla natura dell’impianto in cui si realizza il transitorio.

Si possono individuare due diverse situazioni. Nella prima le variazioni di pressione sono modeste e quindi il fluido puó essere considerato a densitá costante. Nella seconda, invece, si hanno variazioni di pressione notevo- li ed é necessario considerare la densitá variabile. Consideriamo due casi esemplificativi.

CASO 1: DENSITA’ COSTANTE

Nei serbatoi dell’impianto in figura 27.1 la distribuzione di pressione puó essere ritenuta pari a quella idrostatica, essendo il fluido contenuto in essi praticamente fermo.

Questo fatto impone dei limiti al valore che la pressione puó assumere al- l’imbocco e allo sbocco della condotta e quindi alle variazioni di pressione che possono essere osservate in tutto l’impianto. La densitá del fluido puó quindi essere considerata costante cośı come costante puó essere assunta la sezione della condotta. Al suo interno l’equazione di continuitá impone dunque

∂U

∂s = 0 → U = U (t)

Mentre l’equazione del moto fornisce

146

147

Figura 27.1:

∂h

∂s = −1

g

∂U

∂t − j ove j = λ

D

U |U | 2g

.

Una semplice analisi delle grandezze che compaiono nell’espressione di j mo- stra che j non dipende da s cośı come il termine 1

g ∂U ∂t . L’equazione del moto

puó quindi essere integrata dalla sezione iniziale a quella finale fornendo

H2 −H1 = (

−1 g

dU

dt − j

)

L

ove H2 e H1 rappresentano il carico totale nelle sezioni finali e iniziali rispet- tivamente, mentre ∂U

∂t é divenuto dU

dt in quanto non dipende da s. I valori

H2 e H1 possono essere legati al livello nei serbatoi mettendo in conto le dissipazioni concentrate di energia

H2 = −z + ξ2 U |U | 2g

H1 = +z − ξ1 U |U | 2g

ove si é indicato con z il livello nel serbatoio ① rispetto a quello in con- dizioni statiche. Avendo assunto la superficie della sezione dei due serbatoi

148CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

uguale, deriva che il livello nel serbatoio ② risulta pari a −z. ξ2 vale 1 mentre ξ1 é pari a 0.5, quando U é positivo. Quando U é negativo, ξ2 vale 0.5 e ξ1 é pari a 1. Si ha dunque

−z + ξ2 U |U | 2g

− z + ξ1 U |U | 2g

= − (

1

g

dU

dt +

λ

D

U |U | 2g

)

L

L

g

dU

dt − 2z = −U |U |

2g

(

λL

D + ξ1 + ξ2

)

1

Un semplice bilancio di massa all’interno del serbatoio ① mostra che

UΩdt = −dzS

Essendo Ω la superficie della sezione della condotta e S la superficie libera dei due serbatoi. Segue quindi che

U = −S Ω

dz

dt

e

−L g

S

d2z

dt2 − 2z =

(

S

)2 1

2g

dz

dt

dz

dt

[

λL

D + 1.5

]

.

Tale equazione puó facilmente essere integrata utilizzando un metodo numerico. Un’idea sul comportamento della soluzione puó essere ottenuta trascurando le dissipazioni di energia, assumendo cioé il fluido ideale. In tal caso

d2z

dt2 +

2gΩ

LS z = 0

La soluzione é dunque

z = c1 sin

( √

2gΩ

LS t

)

+ c2 cos

( √

2gΩ

LS t

)

.

Le costanti c1 e c2 possono essere determinate imponendo le condizioni iniziali. Ad esempio se per t = 0 il fluido é fermo e z é pari a z0 si ha

z0 = c2

0 = c1

1Si noti che sia le perdite di carico distribuite, sia quelle concentrate sono state assunte proporzionali a U |U | invece che a U2 in quanto il moto puó invertire la sua direzione rispetto alla direzione S.

149

La soluzione mostra quindi che sia il livello nei serbatoi sia la velocitá nella condotta oscillano nel tempo con periodo

T = 2π

2gΩ LS

Inoltre fra velocitá e pelo libero esiste uno sfasamento di 90o

Figura 27.2:

La presenza delle dissipazioni induce un’attenuazione delle oscillazioni e il fenomeno non é piú periodico. L’attenuazione é tanto maggiore quanto piú grande risulta il termine

S

2ΩL

[

λL

D + 1.5

]

Per valori elevati delle dissipazioni si puó avere una lenta discesa di z a partire da z0 senza che il livello nel serbatoio ① assuma valori negativi.

150CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

CASO 2: FLUIDO COMPRIMIBILE

Figura 27.3:

Consideriamo ora l’impianto in figura, costituito da un serbatoio, una condotta e una valvola posta nella sezione terminale della condotta (sezione A). Quando la valvola posta in A é completamente aperta e il moto é a regime, il fluido defluisce con una velocitá media U0. Essendo D0 il diametro della condotta, la portata Q0 é pari a U0πD

2 0/4. Assumiamo che il carico

cinetico, pari a U20 /2g sia trascurabile rispetto a h0. Ció accade quando la condotta termina con un restringimento (vedi figura 27.4) e la velocitá del getto uscente dalla condotta é molto maggiore della velocitá all’interno della condotta.

151

Figura 27.4:

Poniamoci il problema di studiare cosa succede quando la valvola posta in A si chiude in un tempo τ , detto tempo di chiusura. In tale intervallo temporale la sezione di efflusso passa dal valore ω0 (vedi figura 27.5) a zero con una legge che é detta legge di chiusura

η(t) = ω(t)

ω0

Figura 27.5:

Nonostante U20 /2g sia trascurabile rispetto a h0, la velocitá U0 é spesso elevata e quindi elevata é l’inerzia del fluido. Se il tempo di chiusura τ é piccolo, sono necessarie forze e quindi pressioni elevate per fermare il fluido. In tale situazione la comprimibilitá del fluido non puó essere trascurata cośı

152CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

come non possono essere trascurate le variazioni della sezione della condotta che si modifica essendo il materiale della condotta dotato di elasticitá. Per studiare ció che accade é quindi necessario fare riferimento alle equazioni delle correnti in forma completa

∂H

∂s = −1

g

∂U

∂t − j

∂ (ρΩ)

∂t +

∂ (ρUΩ)

∂s = 0

Esse vengono comunque semplificate introducendo alcune ipotesi. In pri- mo luogo il fluido puó essere ipotizzato ideale. Infatti essendo U20 /2g molto minore di h0 il termine j puó essere trascurato nell’equazione del moto che diviene

∂H

∂s = −1

g

∂U

∂t

Il fluido é supposto inoltre barotropico, si assume cioé che la densitá dipenda solo dalla pressione

ρ = ρ (p)

Le ultime ipotesi riguardano la natura della soluzione che si suppone di tipo propagatorio, cioé tale che

F (s, t) = F (s + cdt, t+ dt)

con c costante dimensionale ([c] = LT−1) . Essendo

dF = ∂F

∂t dt+

∂F

∂s ds

risulta dF = 0 se ds = cdt. Quindi

∂F

∂t dt+

∂F

∂s cdt = 0 ⇒ c = −∂F/∂t

∂F/∂s

Si assume infine che

|c| ≫ U Ció implica che

|c| U

= |∂F/∂t| |U∂F/∂| ≫ 1

153

Segue dunque che

∂F

∂t

≫ ∣

U ∂F

∂s

Le ipotesi che la soluzione sia propagatoria e che |c| ≫ U non possono essere verificate in questo momento, esse saranno controllate una volta che la soluzione sará determinata.

L’equazione del moto conduce a

∂s

[

h + U2

2g

]

= −1 g

∂U

∂t

∂h

∂s +

1

g U ∂U

∂s = −1

g

∂U

∂t

Tuttavia U∂U/∂s, risulta per le ipotesi fatte, molto minore di ∂U/∂t essendo |c| ≫ U e quindi

∂h

∂s = −1

g

∂U

∂t (27.1)

La 27.1 costituisce la prima delle equazioni semplificate del fenomeno in esame denominato “COLPO D’ARIETE”. La seconda equazione deriva dall’equazione di continuitá che conduce a

ρ ∂Ω

∂t + Ω

∂ρ

∂t + ρU

∂Ω

∂s + ρΩ

∂U

∂s +

∂ρ

∂s UΩ = 0

ρ

[

∂Ω

∂t + U

∂Ω

∂s

]

+ Ω

[

∂ρ

∂t + U

∂ρ

∂s

]

+ ρΩ ∂U

∂s = 0

Per le ragioni precedentemente esposte i secondi termini all’interno del- le parentesi quadre sono trascurabili rispetto ai primi e conseguentemente possono essere trascurati.

ρ ∂Ω

∂t + Ω

∂ρ

∂t + ρΩ

∂U

∂s = 0

Ora le variazioni nel tempo della densitá e della sezione devono essere legate alle variazioni della pressione che a loro volta sono legate alle variazioni di h. Si ha infatti

∂h

∂t =

∂t

(

z +

dp

γ

)

Tuttavia la quota z della condotta non varia nel tempo e sapendo che γ = γ(p), si ha

154CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

∂h

∂t =

1

γ

∂p

∂t

L’equazione di stato (capitolo 5) per un fluido barotropico impone

ǫ = dp

dρ/ρ

Segue quindi ∂ρ

∂t =

dp

∂p

∂t =

ρ

ǫ

∂p

∂t =

ρ

ǫ γ ∂h

∂t

Figura 27.6:

Imponendo l’equilibrio alla traslazione verticale di mezza condotta sog- getta alle forze che l’esterno esercita su di essa, risulta (trascurando il peso del fluido)

pD = 2σs

essendo s lo spessore della condotta e σ la tensione all’interno del mate- riale con cui essa é stata realizzata.

155

E’ evidente dunque che variazioni di pressione comportano variazioni del- la tensione σ che a loro volta sono legate alla deformazione della sezione attraverso il modulo di elasticitá E del materiale della condotta. Risulta

E = dσ

dD D;

dp

dσ =

2s

D ⇒ E

D dD =

D

2s dp

Tenendo inoltre conto che

Ω = πD2

4 ,

dΩ

dD =

πD

2 ,

dΩ

Ω =

π

2

D

π

4dD

D2 =

2dD

D

segue E

2

dΩ

Ω =

Ddp

2s ⇒ dΩ

dp =

ΩD

Es

Infine ∂Ω

∂t =

dΩ

dp

∂p

∂t =

ΩD

Es γ ∂h

∂t

L’equazione di continuitá diviene dunque

ρ ΩD

Es γ ∂h

∂t + Ω

ρ

ǫ

∂h

∂t + ρΩ

∂U

∂s = 0

[

ρ D

Es +

ρ

ǫ

]

∂h

∂t = −1

g

∂U

∂s

ρ

ǫ

[

ǫD

Es + 1

]

∂h

∂t = −1

g

∂U

∂s

∂h

∂t = −1

g

ǫ/ρ [

1 + ǫD Es

]

∂U

∂s = −a

2

g

∂U

∂s

avendo introdotto la costante

a =

ǫ/ρ

1 + [

ǫD Es

]

le equazioni che governano il moto vario nella condotta possono essere scritte nella forma

∂h

∂s = −1

g

∂U

∂t

∂h

∂t = −a

2

g

∂U

∂s

156CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

e costituiscono le cosidette equazioni semplificate del “colpo d’ariete” per- ché vedremo nel seguito che durante il transitorio si possono manifestare notevoli sovrappressioni che possono danneggiare la condotta stessa. La so- luzione delle equazioni puó essere determinata solo dopo aver specificato le condizioni al contorno. Nel problema in esame, nella sezione immediatamente a valle del serbatoio si ha:

Sezione B: h = h0.

Infatti avendo trascurato il carico cinetico rispetto ad h0 e le perdite di carico, si puó affermare che h ∼= H ∼= h0.

Figura 27.7:

La condizione al contorno nella sezione terminale della condotta puó es- sere ottenuta applicando il teorema di Bernoulli fra la sezione A e la sezione del getto immediatamente a valle della sezione contratta (sezione C).

hA + U2A 2g

= hC + U2C 2g

.

Nella sezione C la pressione relativa é nulla. Inoltre la quota z puó essere trascurata rispetto al carico hA cośı come il carico cinetico U

2 A/(2g). Segue

dunque

UC = √

2ghA

Il principio di conservazione della massa impone inoltre

157

UAΩA = UCωC = √

2ghACCω(t)

essendo CC il coefficiente di contrazione che lega la sezione contratta alla sezione di efflusso del fluido al termine del tratto convergente. La relazione precedente deve valere a qualunque tempo e in particolare anche all’istante iniziale.

UA0ΩA0 = √

2ghA0CC0ω0

Segue quindi

UA UA0

=

hA hA0

ω(t)

ω0 avendo assunto ΩA0 = ΩA = Ω0 e CC = CC0. Quindi nella Sezione A

U

U0 = η(t)

h

h0

Riassumendo e introducendo un asse x diretto dalla sezione A verso la sezione B con origine nella sezione A, si ha

• ∂h ∂x

= 1

g

∂U

∂t

• ∂h ∂t

= a2

g

∂U

∂x • h = h0 in x = L ∀t

• U U0

= η(t)

h

h0 in x = 0 ∀t

• h = h0 e U = U0 t ≤ 0 ∀x2

La soluzione del problema formulato precedentemente dipende dalla for- ma della funzione η(t) cioé dalla legge di chiusura. Tuttavia é possibile stabilire alcune sue proprietá generali.

In primo luogo notiamo che h e U soddisfano la stessa equazione che ha forma

∂2F

∂t2 − a2∂

2F

∂x2 = 0.

Ció puó essere facilmente verificato per h, derivando la prima equazione rispetto a x, moltiplicandola per a2 e sottraendo la seconda equazione deriva- ta rispetto al tempo. In modo analogo é possibile verificare che la medesima

158CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

equazione é soddisfatta da U . Le due funzioni incognite dunque sono carat- terizzate dalla medesima dipendenza spazio-temporale.

Per determinare tale dipendenza introduciamo le due nuove variabili in- dipendenti

ξ1 = t− x

a ; ξ2 = t+

x

a

Notiamo inoltre che

∂F

∂t =

∂F

∂ξ1 +

∂F

∂ξ2 ;

∂F

∂x = −1

a

∂F

∂ξ1 +

1

a

∂F

∂ξ2

∂2F

∂t2 =

∂2F

∂ξ21 + 2

∂2F

∂ξ1∂ξ2 +

∂2F

∂ξ22

∂2F

∂x2 =

1

a2 ∂2F

∂ξ21 − 2

a2 ∂2F

∂ξ1∂ξ2 +

1

a2 ∂2F

∂ξ22

Sostituendo tali espressioni nell’equazione iniziale si ha

∂2F

∂ξ21 + 2

∂2F

∂ξ1∂ξ2 +

∂2F

∂ξ22 − ∂

2F

∂ξ21 + 2

∂2F

∂ξ1∂ξ2 − ∂

2F

∂ξ22 = 0

∂2F

∂ξ1∂ξ2 = 0

Tale equazione, detta equazione di D’Alembert o equazione della corda vi- brante, ha come soluzione generale

F = f1(ξ1) + f2(ξ2)

essendo f1 e f2 funzioni opportune. Ricordando le espressioni di f1 e f2 si ha

F = f1

(

t− x a

)

+ f2

(

t+ x

a

)

E’ quindi facile verificare che sia f1 che f2 verificano la definizione di funzioni propagatorie con c = a e c = −a rispettivamente. Infatti

df1 = ∂f1 ∂t

dt+ ∂f1 ∂x

cdt = ∂f1 ∂ξ1

∂ξ1 ∂t

dt+ ∂f1 ∂ξ1

∂ξ1 ∂x

adt = ∂f1 ∂ξ1

dt (

1− a a

)

= 0

df2 = ∂f2 ∂t

dt+ ∂f2 ∂x

cdt = ∂f2 ∂ξ2

∂ξ2 ∂t

dt− ∂f2 ∂ξ2

∂ξ2 ∂x

adt = ∂f2 ∂ξ2

dt (

1− a a

)

= 0

159

Inoltre essendo |c| = |a| e sapendo che l’ordine di a é pari a 103m/s é possibile verificare che |c| ≫ U , considerato che la velocitá del fluido nella condotta é in generale dell’ordine di 1m/s. Notiamo che la funzione f1(f2) si propaga, non cambiando la sua forma, nella direzione positiva (negativa) dell’asse x con velocitá a (-a). A questo punto tutte le ipotesi formulate inizialmente risultano verificate.

Concludendo si ha

h = h0 + f1

(

t− x a

)

+ f2

(

t+ x

a

)

U = U0 + g1

(

t− x a

)

+ g2

(

t+ x

a

)

L’introduzione delle costanti h0 e U0 é possibile essendo le funzioni f1, f2, g1, g2 arbitrarie.

Le funzioni f1, f2, g1, g2 sono legate fra di loro, come é possibile mostrare considerando le equazioni iniziali

∂h

∂x =

1

g

∂U

∂t

−1 a

df1 dξ1

+ 1

a

df2 dξ2

= 1

g

dg1 dξ1

+ 1

g

dg2 dξ2

Dovendo tale equazione essere verificata qualunque valore assunto da ξ1 e ξ2 emerge

g1 = − g

a f1; g2 =

g

a f2

Dunque

U = U0 − g

a

[

f1

(

t− x a

)

− f2 (

t+ x

a

)]

Inizialmente essendo h = h0 e U = U0, le funzionif1 e f2 sono entrambe nulle. Non appena inizia la manovra di chiusura, nella sezione A la condizione al contorno fa śı che h e U si modifichino. Ció puó avvenire solo se f1 e f2 assumono valori diversi da zero. I valori di f2 generati in A non sono qui di interesse perché f2 si propaga nella direzione negativa dell’asse x e quindi i valori generati in A non vanno a interessare la condotta, definita da valori di x tali che 0 < x < L. La funzione f1 una volta generata in A, si propaga all’interno della condotta verso B dove giunge dopo un tempo pari a L/a.

In B, i valori di f1 diversi da zero, che arrivano provenienti da A, tende- rebbero a far assumere ad h valori diversi da h0. Tuttavia la condizione al

160CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

contorno impone h = h0 e dunque in B, per t maggiori di L/a, si generano valori di f2 diversi da zero ed in particolare uguali a −f1. Tali valori non nulli di f2, generati in B, si propagano verso A con velocitá −a e giungono in A solo dopo un tempo θ = 2L/a dall’inizio della manovra di chiusura. Il tempo che un’onda che viaggia con velocitá a impiega a percorrere la distanza 2L é detto “durata di fase”.

Nella sezione A per tutti i tempi t minori di θ, il valore di f2 é nullo e si ha

h = h0 + f1

(

t− x a

)

U = U0 − g

a f1

(

t− x a

)

Quindi eliminando f1 si ottiene

h− h0 = a

g (U0 − U)

Se il tempo di chiusura τ é inferiore a θ, in A per τ < t < θ si ha U = 0 e quindi

h− h0 = a

g U0.

Il valore aU0/g é il sovraccarico che si manifesta in A, in occasione di una chiusura che avviene in un tempo τ minore di θ (chiusura brusca), e che ha una durata pari a θ − τ . E’ possibile poi dimostrare che tale sovrac- carico é il massimo sovraccarico possibile. E’ possibile ricavare la massima sovrappressione dalla conoscenza del legame fra p e h.

pmax − p0 = ρaU0

Tenendo presente che a ∼= 1000m/s, ρ = 1000Kg/m3 e U0 puó raggiun- gere valori di 10m/s, é facile vedere che le sovrappressioni che si possono generare possono causare la rottura della condotta stessa.

Per valori di t maggiori di θ, f2 assume valori diversi da zero anche in A e non é piú possibile ricavare h e U in modo semplice. Spesso é necessario ricorrere a metodi numerici che, tuttavia, utilizzano una forma diversa delle equazioni che verrá ricavata nel seguito.

161

LE EQUAZIONI LUNGO LE CURVE CARATTERI- STICHE

Partiamo dalle equazioni semplificate del colpo d’ariete

∂h

∂x =

1

g

∂U

∂t

∂h

∂t =

a2

g

∂U

∂x

e moltiplichiamo la prima equazione per una costante ∆ e sommiamo la seconda equazione

∂h

∂t +∆

∂h

∂x =

g

[

∂U

∂t +

a2

∂U

∂x

]

Se ∆ = dx/dt il termine di sinistra diviene dh/dt. Se a2/∆ = dx/dt anche il termine fra parentesi quadre diviene la derivata

di U rispetto al tempo. Si ha dunque

dh = ∆

g dU

Ció é possibile se e solo se

∆ = a2

se cioé ∆ = ±a

e quindi se dx

dt = ±a

L’equazione dh = ∆ g dU o dh = ±a

g dU puó essere facilmente integrata fornen-

do h− h = ±a

g

(

U − U )

Tali relazioni fra h e U hanno peró validitá solo quando sono soddisfatte le equazioni

dx = ±adt che conducono a

x = ±at+ costante

162CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

In altre parole solo un osservatore che si muove con velocitá +a(−a) cioé con legge x = +at + cost(x = −at + cost) nel piano orario vedrá il carico h e la velocitá U legate dalla relazione h − h0 = (a/g)(U − U0)(h − h0 = −(a/g)(U − U0)).

Le curve (rette) del piano orario definite da x = ±at + cost sono dette curve caratteristiche e le equazioni h− h0 = ±ag (U − U0) valgono solo lungo tali curve.

Un semplice metodo (grafico) per determinare il valore di h e U nelle sezioni A e B é quello di analizzare il fenomeno nel piano (U, h).

Per esempio consideriamo una chiusura brusca, con legge di chiusura rappresentata in figura 27.8

Figura 27.8:

Analizziamo il fenomeno nel piano (U, h). Per quanto discusso in precedenza, il punto nel piano (U, h) che rappre-

senta la situazione in B per qualunque tempo inferiore o uguale a θ/2 é il punto (U0, h0). Indicando con Bn e An la situazione nella sezione B e nella sezione A rispettivamente al generico tempo t = nθ, il punto B0.5 si troverá in (U0, h0). Un osservatore che si trova in B all’istante t = 0.5θ e si muove con velocitá −a verso A, vi giungerá al tempo t = θ. Durante il movimento l’osservatore vedrá un carico e una velocitá legati dalla relazione

h− h0 = − a

g (U − U0)

rappresentata in figura 27.9 dalla retta ①. E’ dunque evidente che il

163

Figura 27.9:

punto A1 che rappresenta la situazione in A all’istante t = θ deve trovarsi su tale retta. Dove? La condizione al contorno nella sezione A impone che

U

U0 = η(t)

h

h0 .

Fissando il valore di t, tale condizione al contorno rappresenta nel piano (U, h) una curva sulla quale deve trovarsi il punto A al tempo considerato. Nel caso in esame τ < θ e per t = θ η vale zero. La curva che rappresenta la condizione al contorno in A degenera quindi nell’asse h. Il punto A1, dovendosi trovare contemporaneamente lungo la retta ① e lungo la curva

U = 0, avrá coordinate (

0, h0 + a g U0

)

(vedi figura 27.9). La procedura puó

essere continuata per esempio per trovare la posizione di B1.5. Infatti un osservatore che si trova in A all’istante t = θ e si muove verso B con velocitá a, vi giungerá al tempo t = 1.5θ. Durante il suo movimento vedrá una velocitá e un carico legati dalla relazione

h− hA1 = a

g (U − UA1)

(retta ②). Quindi il punto B1.5 dovrá trovarsi lungo tale retta. Inoltre in B, la condizione al contorno impone che h = h0 ed é quindi facile determinare B1.5 come intersezione della retta ② e della retta h = h0. Proseguendo nel tempo é poi possibile determinare la posizione di A2, B2.5, A3 e cośı via. Si osservi che, dopo che nella sezione A al tempo t = θ si é prodotto il massimo

164CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

sovraccarico, al tempo t = 2θ il carico scende al di sotto di h0 di una quantitá pari a (aU0) /g. Se il valore di (aU0) /g é elevato h0 e non é grande, é possibile che la pressione raggiunga il valore della tensione del vapore e che quindi il fluido caviti. In tal caso si formano all’interno della condotta delle bolle che poi implodono quando la pressione aumenta nuovamente.

Avendo trascurato le dissipazioni, lo stato del sistema oscilla con periodo 2θ, infatti B2.5 coincide con B0.5, A3 coincide con A1 e cośı via.

I risultati ottenuti mostrano che esiste una fase in cui il fluido, inizialmente animato da velocitá U0, rallenta comprimendosi e trasformando la sua energia cinetica in energia elastica di compressione. Questa fase termina quando il fluido é fermo e la pressione massima. A questo punto il fluido si dilata invertendo la sua velocitá che assume valori negativi via via crescenti, mentre la pressione diminuisce. Quando la pressione raggiunge il valore iniziale, la velocitá negativa é massima e pari a −U0. A questo punto il fluido rallenta anche se continua a espandersi e quindi ad avere una velocitá negativa. La fase di espansione termina quando la pressione raggiunge il valore minimo. In tale situazione U = 0. Inizia quindi una fase di compressione legata al fatto che la velocitá ritorna positiva. Dopo mezza fase la velocitá vale U0 e la pressione ritorna ad avere il suo valore originario e il fenomeno si ripete identicamente per la mancanza di dissipazioni. Queste ultime causano nella realtá una lenta attenuazione del fenomeno (vedi figura 27.10) e al termine del processo si raggiunge una situazione stazionaria descritta da U = 0 e h = h0.

Figura 27.10:

Vediamo ora cosa succede in presenza di una manovra lenta tale che τ > θ.

165

In particolare esaminiamo il caso in cui la funzione η sia quella rappresentata nella figura 27.11. Analizziamo il fenomeno nel piano (U, h)

Figura 27.11:

Come nel caso precedente B0.5 ≡ (U0, h0) e un osservatore che partendo da B all’istante t = 0.5θ si muove verso la sezione A, la raggiunge al tempo t = θ osservando, durante il tragitto, valori di U e h descritti dalla retta ①

h− h0 = − a

g (U − U0)

Figura 27.12:

ove deve cadere il punto A1. Al tempo t = θ la valvola posta in A non é

166CAPITOLO 27. I TRANSITORI NEGLI IMPIANTI IDRAULICI. IL MOTO VARIO NELLE

ancora chiusa e quindi U 6= 0.

U

U0 = η(θ)

h

h0

Nel caso in esame η(θ) é pari a 0.5 (vedi figura 27.11) e la condizione al contorno in A é descritta, nel piano (U, h) dalla parabola ②. E’ evidente dunque che A1 cadrá nell’intersezione fra la retta ① e la curva ②. Un osser- vatore che, trovandosi in A all’istante t = θ, si muove con velocitá +a verso la sezione B vi giungerá al tempo t = 1.5θ, osservando valori di h e U legati dalla relazione (retta ③)

h− hA1 = a

g (U − UA1)

Tenendo conto che in B h deve essere uguale a h0, é facile posizionare B1.5. Continuando nella procedura é poi possibile ottenere A2, B2.5, · Si noti che il sovraccarico che si realizza in A é in questo caso inferiore a (aU0)/g.

Docsity non è ottimizzato per il browser che stai usando. Per una miglior fruizione usa Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox o Safari! Scarica Google Chrome