Dispensa - Idraulica - Idrodinamica, Dispense di Idraulica. Università di Genova
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frak6619 giugno 2012

Dispensa - Idraulica - Idrodinamica, Dispense di Idraulica. Università di Genova

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Dispensa per il corso di Idraulica riguardante l'Idrodinamica
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Dispense del corso di Idrodinamica

a.a. 2011-2012

2

Introduzione

I corsi di Meccanica dei Fluidi, Idraulica, Idrodinamica intendono fornire agli studenti di diversi corsi di laurea le basi per lo studio della dinamica dei fluidi, cioé gli strumenti utili per la descrizione del moto dei fluidi e per la predizione del loro movimento conoscendo le forze esercitate su di essi. I corsi citati hanno in comune i principi fondamentali e le equazioni di base, differenziandosi per i problemi particolari analizzati in dettaglio.

Queste note hanno lo scopo di accompagnare lo studente durante i corsi di Idraulica 1 e Idrodinamica 1 offerti rispettivamente agli allievi dei corsi di laurea (di 1o livello) in ingegneria civile e ambientale e ingegneria navale della Facoltá di Ingegneria dell’Universitá di Genova. Esse sono altreśı utilizzate, tutte o in parte per i corsi di Meccanica dei fluidi 1 (CL3 in Ingegneria Chimica).

La forma di queste note é sintetica. In esse vengono riassunti i contenuti fondamentali delle lezioni svolte, cercando di seguire, per quanto possibile, la loro cronologia. Esse devono essere intese come un ausilio alla preparazione dell’esame che presuppone la frequenza al corso e un approfondimento dei temi trattati su testi facilmente reperibili nella biblioteca della Facoltá e in quella del Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni dell’Ambiente e del Territorio.

Capitolo 1

Lo schema di continuo

I fluidi, come tutta la materia, hanno una struttura discontinua essendo formati da molecole (insieme di atomi) poste a distanze grandi rispetto alle loro dimensioni e animate da elevate velocitá relative. In un punto arbitrario dello spazio non é quindi possibile definire con precisione le proprietá di un fluido (della materia) perché in tale punto potrebbe non esserci fluido (materia) o potrebbe trovarsi una particolare molecola dotata di una sua massa, di una sua velocitá ....

Figura 1.1:

Esempio: Nel punto P1, individuato dal vettore posizione xP1

1 non é possibile definire alcuna velocitá non essendo presente alcuna molecola. Nel punto P2,

1Una lettera in grassetto indica un vettore, una grandezza cioé individuata da un modulo, una direzione e un verso. Quindi v indica un vettore le cui componenti, rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano costituito dagli assi x1, x2 e x3, sono rispettivamente v1, v2 e v3.

3

4 CAPITOLO 1. LO SCHEMA DI CONTINUO

occupato all’istante in esame dalla particella B, possiamo definire la velocitá vB che tuttavia é molto diversa dalla velocitá vD presente nel punto P3 ove transita la particella D.

Ció che avviene a livello molecolare non é peró di nostro interesse. E’ pos- sibile prescindere da questo carattere discontinuo della materia, se si prende in considerazione un volume che contiene un numero elevato di molecole e si definiscono delle grandezze medie. Ad esempio possiamo definire la densitá ρ1 associata al volume V1 come il rapporto fra la massa M1 in esso contenuta e il volume stesso.

ρ1 = M1 V1

Similmente possiamo definire

ρ2 = M2 V2

e in generale

ρ1 6= ρ2

Figura 1.2:

1.0.1 La densitá in un punto

Consideriamo un punto P nello spazio individuato dal vettore posizione x = (x1, x2, x3) e un volume ∆V

′ che racchiude il punto P. Procedendo come prima possiamo associare al volume ∆V ′ una densitá ρ∆V ′ :

ρ∆V ′ = ∆M ′

∆V ′

5

Figura 1.3:

Scegliendo un altro volume ∆V ′′ otterremo un valore della densitá diverso: ρ′′∆V ′ . La densitá ρ nel punto individuato dal vettore x é definita come il limite di ρ∆V per ∆V tendente a valori piccoli (ǫ).

ρ(x) = lim ∆V→ǫ

∆M

∆V

La dimensione del volume ǫ deve essere piccola rispetto alle dimensioni di interesse ma comunque molto maggiore della distanza media fra molecole. L’andamento di ρ in funzione di ∆V é rappresentato in figura 1.4 ove d rappresenta la distanza media fra le molecole.

Figura 1.4:

La densitá dei fluidi varia con la temperatura e la pressione a cui sono sottoposti. Tale variazione é consistente per i gas ma piuttosto debole per i liquidi. Se la densitá di un fluido non dipende dalla pressione e dalla tem- peratura, il fluido é detto incomprimibile (e indilatabile). Come si vedrá nel capitolo 5, i liquidi, se sottoposti a variazioni di pressione e di temperatura

6 CAPITOLO 1. LO SCHEMA DI CONTINUO

modeste, possono essere trattati come fluidi incomprimibili. Le dimensioni 2

della densitá sono quelle di una massa divisa per un volume

[ρ] = ML−3

e l’unitá di misura nel sistema internazionale il Kg/m3. La densitá di alcuni fluidi é riportata in una nota relativa al capitolo 5.

In modo analogo a quanto fatto per la densitá, possiamo definire qualun- que altra grandezza F di interesse, che risulterá una funzione continua della variabile x (funzione continua dello spazio). In questo modo il fluido (ma- teria) assume una struttura “continua”. Considerando che le caratteristiche del fluido (materia) dipendono anche dal tempo, in generale avremo:

F = F (x, t) = F (x1, x2, x3, t)

con

lim x→x0

F (x, t) = F (x0, t)

lim t→t0

F (x, t) = F (x, t0)

essendo F una qualunque proprietá.

2Come si vedrá meglio nel capitolo 11, la dimensione di una grandezza fisica é l’entitá che accomuna tutte le grandezze che hanno la stessa natura. Ad esempio, se si considerano il diametro di una sfera, la lunghezza di un corso d’acqua e la lunghezza di un condotto, tutte queste quantitá hanno in comune la dimensione lunghezza (L). In meccanica dei fluidi si utilizzano tre dimensioni fondamentali di base, atte cioé a descrivere le dimensioni di tutte le altre grandezze: M (massa), L (lunghezza) e T (tempo)

Capitolo 2

FORZE AGENTI SU UN CONTINUO (FLUIDO)

Le molecole che costituiscono la materia esercitano delle forze sulle molecole circostanti che vengono suddivise in due categorie:

1)forze a corto raggio

2)forze a lungo raggio

Le prime (forze a corto raggio) assumono valori significativi solo quando le molecole si trovano a distanza dell’ordine delle loro dimensioni. Le seconde (forze a lungo raggio) decadono molto lentamente e rimangono significative anche quando le molecole sono a distanze rilevanti, cioé molto maggiori delle loro dimensioni.

Utilizzando lo schema di continuo illustrato nella capitolo 1, si tiene con- to delle osservazioni sperimentali precedenti, introducendo due categorie di forze:

1)forze di superficie

2)forze di massa

Le prime (forze di superficie) sono proporzionali alla superficie considerata e sono il risultato delle forze molecolari di corto raggio. Le seconde (forze di massa) sono invece proporzionali alla massa presa in considerazione e sono il risultato delle forze molecolari di lungo raggio.

Consideriamo un volume V di un continuo (fluido) e una sua parte V’. Denotiamo rispettivamente con S e S’ le superfici che delimitano V e V’.

Attraverso una porzione piccola dS’ (a rigori infinitesima), di normale n, della superficie S’, il continuo (fluido) all’esterno S’ di esercita una forza dF (anch’essa piccola e a rigori infinitesima) sul continuo (fluido) all’interno. Se raddoppiamo dS’ la forza raddoppierá. Come detto precedentemente la forza

7

8 CAPITOLO 2. FORZE AGENTI SU UN CONTINUO (FLUIDO)

Figura 2.1:

é proporzionale alla superficie. Avremo quindi

dF = tdS

La quantitá vettoriale si dice tensione.

Le dimensioni della tensione t sono quelle di una forza divisa per una superficie

[t] = ML−1T−2

L’unitá di misura il Kg m−1 s−2 1 o anche il (Kg m s−2)m−2=Nm−2) denominata anche pascal (Pa). Nell’ingegneria vengono ancor oggi utilizzate unitá di misura diverse. In particolare:

- il chilogrammo forza su metro quadro

1Kgf/m 2 = 9.81N/m2 = 9.81Ps

- un’atmosfera normale

1Atm = 1, 01325105Pa

- un bar

1bar = 105Pa

1Kg indica il chilogrammo massa m indica il metro s indica il secondo N indica il newton

9

La tensione t in generale dipende dalla posizione x della superficie infini- tesima dS’, dal tempo t (non confondere t con t) e dalla normale n. In uno stesso punto e allo stesso tempo due superfici infinitesime di ugual area dS’ e diversa normale n saranno caratterizzate da valori diversi della tensione.

dF (1) = t(1)dS ′

dF (2) = t(2)dS ′′

si ha quindi t = t(x, t,n)

Figura 2.2:

La forza dF = tdS ′ descrive completamente l’azione che il continuo (flui- do) all’esterno di V esercita su quello all’interno attraverso la superficie dS’ (ASSIOMA DI CAUCHY). Volendo determinare la forza complessiva (risul- tante) che il continuo (fluido) allesterno di S’ esercita su quello all’interno é necessario:

1)suddividere la superficie S’ in parti infinitesime dS’

2)valutare su ciascuna parte la forza infinitesima dF esercitata dall’ester- no: dF = tdS ′

3)sommare tutti i contributi individuati

F =

S′ tdS ′

L’azione che il continuo contenuto in V esercita su quello posto esterna- mente, é pari a F.

10 CAPITOLO 2. FORZE AGENTI SU UN CONTINUO (FLUIDO)

La forza F = ∫

S′ tdS ′ rappresenta l’azione del continuo (fluido) all’esterno

di V’ (ma nelle immediate vicinanze di S’) sul continuo all’interno. Tuttavia altra materia esiste anche a distanze elevate (molto maggiori delle dimensioni di V’) e tali da non consentirne la rappresentazione nella figura.

Figura 2.3:

Considerando una porzione piccola dV’ (a rigori infinitesima) del volume V’, si assume che la materia molto distante da dV’ e non rappresentata in figura eserciti una forza dG sul continuo contenuto in dV’ proporzionale alla sua massa. Se raddoppiamo dV’ e quindi la massa in considerazione, la forza raddoppierá. Come detto precedentemente la forza é proporzionale alla massa. Per quanto illustrato nel capitolo 1, la massa dM contenuta in dV ’ é esprimibile come

dM = ρdV ′

avremo quindi

dG = fρdV

La quantitá vettoriale f é detta campo di forze.

Le dimensioni del campo di forze f sono quelle di una forza divisa per una massa cioé quelle di un’accelerazione.

[f ] = LT−2

L’unitá di misura di f é il m s−2. Il campo di forze f in generale dipende dalla posizione x e dal tempo t (non confondere t con t).

11

Volendo determinare la forza complessiva (risultante) che la materia lon- tana da V’ esercita sul continuo (fluido) in esso contenuto é necessario:

1)suddividere il volume V’ in parti infinitesime dV’

2)valutare su ciascuna parte la forza infinitesima dG 2 esercita dall’esterno

dG = fρdV ′

3)sommare tutti i contributi individuati

dG =

V ′ ρfdV ′

2Benché possano essere considerati diversi campi di forze, il campo di forze che verrá preso in considerazione nel corso é il campo di forze gravitazionale (f=g). Il vettore g é diretto verticalmente verso il basso e ha un valore che é lecito assumere costante e pari a 9.81 ms−2.

Capitolo 3

Fluidi in quiete

Come illustrato nel Capitolo 2, la tensione t all’interno di un continuo (flui- do) dipende non solo dalla posizione individuata dal vettore x e dal tempo t (non confondere t con t) ma anche dall’orientamento della superficie infini- tesima dS’ presa in esame.

In generale

t = t(x, t,n)

• Nei fluidi in quiete, tuttavia, la tensione assume una forma particolar- mente semplice (ASSIOMA DI EULERO). In particolare t risulta sempre ortogonale alla superficie in considerazione e diretta verso la superficie.

t = −pn

Figura 3.1:

12

3.1. L’EQUAZIONE INTEGRALE DELLA STATICA 13

La quantitá scalare p si dice pressione.

• Le dimensioni della pressione sono uguali a quelle della tensione ([p]=ML−1T−2) cośı come le unitá di misura (si ricordi che la normale é adimensionale).

• La pressione p in generale dipende dalla posizione x e dal tempo t (non confondere t con t)

p = p(x, t)

3.1 L’EQUAZIONE INTEGRALE DELLA STA-

TICA

Consideriamo un volume di fluido V e una sua porzione arbitraria V’. Per il principio della quantitá di moto (la derivata della quantitá di moto di una massa in movimento rispetto al tempo é uguale alla risultante delle forze esercitate sulla massa dall’esterno), la risultante delle forze che l’esterno esercita su V’ deve annullarsi. Infatti in un fluido in quiete la quantitá di moto é sempre nulla, essendo nulla la velocitá. Per quanto esposto nel capitolo 2, la risultante R delle forze esercitate dall’esterno su V’ sará

R =

S′ tdS ′ +

V ′ ρfdV ′

o, tenendo conto che t=-pn

R = − ∫

S′ pndS ′ +

V ′ ρfdV ′

Deve quindi risultare

R = 0 oppure

S′ pndS ′ =

V ′ ρfdV ′

L’equazione precedente é detta equazione integrale della statica e deve valere qualunque volume V’.

14 CAPITOLO 3. FLUIDI IN QUIETE

Figura 3.2:

3.2 L’EQUAZIONE PUNTUALE DELLA STA-

TICA

L’equazione della statica in forma integrale puó essere trasformata utilizzan- do il teorema del gradiente 1 che porge

S′ (pn)dS ′ =

V ′ ∇pdV ′

si ottiene quindi

V ′ (∇p− ρf )dV ′ = 0

Considerando che l’equazione della statica in forma integrale vale qua- lunque porzione V’ di V si consideri, l’equazione precedente puó essere sod- disfatta solo se si annulla la funzione integranda; se cioé

∇p = ρf L’equazione precedente, detta equazione puntuale della statica, é

un’equazione vettoriale che corrisponde a tre equazioni scalari

∂p

∂x1 = ρf1;

∂p

∂x2 = ρf2;

∂p

∂x3 = ρf3.

1Questo risultato segue banalmente osservando che pn = pI · n (dove I é la matrice identitá) e applicando il teorema di Gauss (detto anche teorema della divergenza)

S

(pI) · ndS = ∫

V

∇ · (pI)dV = ∫

V

∇pdV

3.2. L’EQUAZIONE PUNTUALE DELLA STATICA 15

Essa descrive come cambia nello spazio la pressione p. Tale equazione puó essere integrata una volta noto il campo di forze f e l’equazione di stato che lega la densitá allo stato del fluido.

Capitolo 4

FLUIDI IN QUIETE: LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO A DENSITA COSTANTE SOGGETTO AL CAMPO DI FORZE GRAVITAZIONALE

In molte circostanze, discusse nel capitolo 5, la densitá di un fluido puó essere considerata costante. Qualora il campo di forze sia quello gravitazionale, é possibile integrare facilmente l’equazione puntuale della statica e ottenere la distribuzione spaziale della pressione.

Esempio:

Consideriamo il fluido, all’interno del contenitore in figura 4.1, supposto di densitá costante ρ. Il campo di forze sia quello gravitazionale e laccelerazione sia diretta verticalmente verso il basso. L’equazione puntuale della statica porge

∂p

∂x1 = 0;

∂p

∂x2 = −ρg; ∂p

∂x3 = 0.

e impone quindi che la pressione non dipenda né da x1 né da x3: la pressione costante su un piano orizzontale.

La seconda equazione si trasforma in un’equazione alle derivate ordinarie che puó essere facilmente integrata

16

17

Figura 4.1:

∂p

∂x2 = −ρg =⇒ p = −ρgx2 + c1 = −γx2 + c1

La pressione aumenta linearmente all’aumentare della profonditá. Il va- lore della costante c1 puó essere determinato solo se é nota la pressione in un punto. Il prodotto γ = ρg é detto peso specifico e le sue dimensioni sono quelle di una forza divisa per un volume

[γ] = ML−3LT−2 = ML−2T−2

L’unitá di misura é il N m−3. Nell’ingegneria viene talvolta utilizzato il chilogrammo forza su metro cubo.

1Kgfm −3 = 9.81Nm−3

Con riferimento agli assi in figura, denotiamo con p0 la pressione nel pia- no che risulta essere l’interfaccia fra due fluidi. Non consideriamo per il momento il fluido sovrastante, che possiamo pensare essere aria, e focalizzia- mo l’attenzione su quello sottostante di peso specifico γ. Al fine di analizzare un caso reale possiamo pensare questultimo come acqua. Si ha dunque

p = p0 − γz Essendo ρ 1 pari a 1000 Kg/m3 ed essendo p0 pari alla pressione atmosfe-

1La densitá ρ dell’acqua, che in generale dipende dalla pressione e dalla temperatura (vedi capitolo 5), in molti casi puó essere assunta costante e pari a 1000 Kg/m3. Il peso specifico γ risulta quindi pari a 9810 N/m3. Talvolta γ viene espresso in chilogrammi forza su metro cubo. In questo caso si ha γ = 1000Kgf/m

3.

18CAPITOLO 4. FLUIDI IN QUIETE: LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO

Figura 4.2:

rica cioé circa 1.013 105 Pa, l’andamento della pressione é quello riportato in figura. La pressione raddoppia ad una profonditá di circa 10m mentre divie- ne 3 p0 a una profonditá di circa 20m e cośı via. Dal grafico risulta evidente quanto giá detto in precedenza e sintetizzato dalla formula: la pressione au- menta in modo lineare con la profonditá. La distribuzione della pressione in un fluido incomprimibile in quiete é idrostatica.

Figura 4.3:

Per motivi che saranno chiari nel seguito, introduciamo la quantitá

h = z + p

γ

19

detta carico piezometrico. Le dimensioni del carico piezometrico sono quelle di una lunghezza

[h] = L

e quindi la sua unitá di misura é il metro (m). In un fluido in quiete h risulta costante. Si ha infatti:

h = z + c1 − γz

γ =

c1 γ .

Figura 4.4:

Il carico piezometrico h rappresenta l’energia meccanica posseduta dal fluido per unitá di peso. Essa si compone di energia potenziale per unitá di peso (z) ed energia di pressione per unitá di peso (p/γ).

L’equazione della statica per un fluido a densitá costante soggetto al campo di forze gravitazionale

dp

dz = −ρg = −γ

porge anche

20CAPITOLO 4. FLUIDI IN QUIETE: LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO

pA − pB = −γ (zA − zB) Cioé la differenza di pressione fra due punti é pari a γ per la differenza di

quota. Chiaramente il punto a quota piú bassa ha la pressione maggiore.

Capitolo 5

L’equazione di stato

• Per i cosidetti fluidi termodinamici, lo stato del fluido (le sue caratteri- stiche) dipende da due variabili, dette variabili di stato. Le due variabili di stato possono essere scelte arbitrariamente, essendo tutte le altre caratteri- stiche del fluido legate alle due scelte da equazioni dette “equazioni di stato”. Spesso come variabili di stato vengono scelte:

1)la pressione p

2)la temperatura T

si ha quindi:

ρ = ρ (p, T )

che é l equazione di stato che lega la densitá alla pressione e alla tempe- ratura. L’equazione evidenzia che variando la pressione e/o la temperatura varia la densitá del fluido. Ogni fluido é caratterizzato da una diversa equa- zione; cioé la sua densitá puó variare in modo piú o meno significativo al variare della pressione e della temperatura.

• In forma differenziale l’equazione di stato puó essere scritta nella forma:

dρ =

(

∂ρ

∂p

)

dp+

(

∂ρ

∂T

)

dT.

L’equazione precedente puó essere riscritta introducendo il coefficiente di comprimibilitá isotermo e quello di dilatabilitá isobaro.

- Coefficiente di comprimibilitá isotermo:

21

22 CAPITOLO 5. L’EQUAZIONE DI STATO

ǫ−1 = 1

ρ

(

∂ρ

∂p

)

- Coefficiente di dilatabilitá isobaro:

α = −1 ρ

(

∂ρ

∂T

)

L’equazione diviene

dρ = ρ (

ǫ−1dp− αdT )

.

• Essendo proprietá del fluido, ǫ e α a loro volta dipendono da p e T. Tuttavia se le variazioni di p e T non sono elevate, ǫ e α possono essere con- siderati costanti e pari a ǫ0 e α0.

Segue

ρ = ǫ−10 dp− α0dT

ln

(

ρ

ρ0

)

= ǫ−10 (p− p0)− α0 (T − T0)

ρ = ρ0e ǫ−10 (p−p0)−α0(T−T0)

ove ρ0 é la densitá alla pressione p0 e alla temperatura T0. L’equazione precedente puó essere considerata come equazione di stato in

quelle situazioni in cui le variazioni di p e T non sono rilevanti. Per valori della pressione e della temperatura pari a quelli ambientali (es.:

p=1,013 105 Pa, T= 20o C), i valori di ǫ0 e α0 per l’acqua sono molto grandi e molto piccoli rispettivamente (ǫ0 = 2.178 10

9N/m2, α0 = 20.66 10 −5K−1 ).

Per variazioni di pressione piccole rispetto a ǫ0 e per variazioni di temperatura piccole rispetto a α−10 , é possibile approssimare e

ǫ−10 (p−p0)−α0(T−T0) con 1 e considerare il valore di ρ costante e pari a ρ0.

Considerazioni analoghe possono essere fatte anche per altri fluidi tenen- do presente che per assumere ρ ∼= ρo é necessario che siano piccole (molto minori di 1) le quantitá (p− p0) /ǫ0 e α0 (T − T0).

23

• Esistono altre forme di equazione di stato, valide per fluidi o casi par- ticolari. Ad esempio per un gas perfetto che subisce una trasformazione isoterma l equazione di stato diviene

p

ρ =

p0 ρ0

essendo p0 e ρ0 la pressione e la densit di riferimento. 1

1A temperatura T=15o C e pressione p=1.013 105 Pa si ha: Densitá dell’acqua uguale a 9.99 102 Kg/m3

Densitá dell’olio lubrificante uguale a 8.67 102 Kg/m3

Densitá dell’aria uguale a 1.22 Kg/m3

Densitá del mercurio uguale a 1.36 104 Kg/m3

Capitolo 6

LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN GAS PERFETTO A TEMPERATURA COSTANTE SOGGETTO AL CAMPO DI FORZE GRAVITAZIONALE

L equazione puntuale della statica impone

dp

dz = −ρg

Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti a temperatura costante (capitolo 5), si ottiene:

dp

dz = −pρ0

p0 g

dp

p = −ρ0g

p0 dz = −γ0

p0 dz

ln

(

p

p0

)

= −γ0 p0

(z − z0)

24

25

p = p0e −

γ0(z−z0) p0

Se consideriamo aria a una temperatura di 15oC e assumiamo p0 pari a 1.013 105 Pa con z0=0, il valore di γ0 risulta pari a 11.2 N/m

3. La figura riporta l andamento di p e di ρ con la quota.

Figura 6.1:

Se tuttavia le variazioni di quota sono modeste (per esempio se z − z0 é inferiore a 100 m.), la quantitá γ0 (z − z0) /p0 risulta molto minore di uno (γ (z − z0) /p0 = 1.1 10−2 per z−z0 = 100 m) e sia la pressione che la densitá possono essere assunte costanti. Infatti per valori piccoli di γ0 (z − z0) /p0 si puó scrivere

p ∼= p0 [

1− γ0 (z − z0) p0

+ 1

2

(

γ (z − z0) p0

)2

+ ...

]

. Quindi se (z − z0) é pari a 100 m o inferiore, p puó essere assunta pari

a p0 con un errore di ordine 10 −2 o minore. E per questo motivo che nei

problemi che noi affronteremo, in cui le variazioni di quota sono modeste, riterremo la pressione atmosferica costante con la quota.

Capitolo 7

FENOMENI DI INTERFACCIA

7.0.1 LA TENSIONE SUPERFICIALE

• I fenomeni che hanno luogo all’interfaccia fra due fluidi sono molto com- plessi e legati alla struttura molecolare della materia. Cerchiamo di dare una semplice spiegazione di tali fenomeni. Con riferimento alla figura supponia-

Figura 7.1:

mo che la densitá del fluido 1 sia inferiore a quella del fluido 2. La particella B del fluido 2 é attirata dalle particelle limitrofe. Anche la particella A del fluido 2 é attirata dalle particelle limitrofe. Tuttavia, essendo la densitá del fluido 1 inferiore a quella del fluido 2, la forza risultante sulla particella A non sará nulla ma diretta verso il basso. E’ evidente quindi che, perché sia possibile una situazione di equilibrio, in prossimitá della superficie le parti- celle tenderanno a formare uno strato piú denso. Situazione analoga si avrá nel fluido 1.

26

27

Figura 7.2:

• A livello macroscopico il fenomeno puó essere schematizzato assumen- do che l’interfaccia sia una superficie soggetta ad uno stato di tensione. Con riferimento alla figura, la superficie S sia l’interfaccia fra due fluidi e C una curva chiusa su S che abbraccia l’origine O degli assi cartesiani (x1, x2, x3). Il fenomeno descritto precedentemente puó essere schematizzato pensando che sul tratto dC, la superficie esterna alla zona delimitata dalla curva C eserciti una forza, sulla superficie all’interno, di modulo pari a σdC, diretta ortogo- nalmente all’elemento di linea dC e tangente alla superficie. La quantitá σ é detta tensione superficiale ed é una proprietá dell’interfaccia fra due fluidi. Esisterá quindi la tensione superficiale aria-acqua , aria-olio, olio acqua ma non la tensione superficiale di un singolo fluido. Dimensionalmente la tensione superficiale é una forza per unitá di lunghezza

[σ] = MLT−2L−1 = MT−2.

L’unitá di misura é il Nm−1 o alternativamente il Kgfm −1.

• Nel seguito sono riportati alcuni valori della tensione superficiale di diversi liquidi con l’aria a una temperatura di 15o C e alla pressione di un’atmosfera

Acqua 7.3 10−2N/m Glicerina 7.1 10−2N/m Benzene 2.8 10−2N/m Mercurio 47.3 10−2N/m

28 CAPITOLO 7. FENOMENI DI INTERFACCIA

CONTINUITA’ DELLA PRESSIONE ATTRAVER- SO UNA SUPERFICIE PIANA

Figura 7.3:

• Consideriamo l’interfaccia piana fra due fluidi rispettivamente di peso specifico γ1 e γ2 e analizziamo l’equilibrio di un cilindro a sezione circolare (vedi figura) di area Ω e altezza2a per metá immerso nel primo fluido e per l’altra metá immerso nel secondo fluido. Si denoti con p1 la pressione (co- stante per quanto visto precedentemente nel capitolo 4) sulla base superiore del cilindro e con p2 la pressione sulla base inferiore. Il fluido all’esterno del cilindro eserciterá quindi una forza verso il basso pari a p1Ω dovuta alla somma di tante forze infinitesime p1dΩ esercitate sull’area infinitesima dΩ. Analogalmente sará presente una forza verso l’alto pari a p2Ω. Infine, sem- pre nella direzione verticale, é presente il peso del fluido contenuto dentro al cilindro pari a γ1Ωa + γ2Ωa. Non esiste altra forza nella direzione verticale; quindi l’equilibrio in tale direzione impone che:

p2Ω = p1Ω + aΩ (γ1 + γ2)

Nel limite di a tendente a zero si ottiene

p1 = p2

29

Dunque all’interfaccia, la pressione nel fluido é uguale alla pressione del fluido 2.

IL SALTO DI PRESSIONE ATTRAVERSO UNA SU- PERFICIE GOBBA

Figura 7.4:

Qualora l’interfaccia fra due fluidi non sia piana, la pressione p1 all’inter- faccia nel fluido ➀ sará diversa dalla pressione p2 all’interfaccia nel fluido ➁. E’ possibile mostrare che il salto di pressione ∆p = p1 − p2 é pari a

±σ (

1

R1 +

1

R2

)

essendo R1 e R2 i raggi principali di curvatura nel punto in considerazione. La pressione sará maggiore sul fluido che si trova dalla parte concava della superficie.

Capitolo 8

LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

Figura 8.1:

In primo luogo mostriamo (come assunto precedentemente nel capitolo 7) che la spinta su una superficie piana S prodotta da una distribuzione di pressione costante p0 (vedi figura 8.1 é una forza F ortogonale alla superficie stessa diretta verso la superficie e di modulo pari al valore della pressione per l’area della superficie. Per quanto esposto nel capitolo 2 e nel capitolo 3 si ha

F =

S

−pndS

Nella situazione in esame p = p0 e n sono costanti.

Segue dunque

30

31

F = −p0n ∫

S

dS = −np0S

La forza F é quindi diretta come n, ha verso opposto e il suo modulo é pari a p0S.

Figura 8.2:

Consideriamo ora il problema illustrato in figura 8.2 dove a sinistra del piano (x,y) é presente un liquido di peso specifico γ. Al di sopra del liqui- do e a destra della superficie é presente aria supposta a pressione costante pari alla pressione atmosferica patm. Nel disegno é anche raffigurato il piano (x,y) ribaltato sul foglio in modo tale da visualizzare la superficie S in esso contenuta.

Figura 8.3:

Si voglia determinare la forza esercitata dal liquido sulla superficie. Nella figura 8.3 é rappresentato landamento della pressione sul piano (x,y). Da quanto esposto nel capitolo 4 e nel capitolo 5 emerge che

p = patm + γx sin θ

32CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

Figura 8.4:

Volendo determinare la forza esercitata dal liquido sulla superficie S, é necessario determinare

F =

S

−pndS = ∫

S

− (patm + γx sin θ)ndS.

Tenendo conto che n é costante, la forza F puó essere scomposta facil- mente in due parti

F = F1 + F2 = −npatmS − n ∫

S

γx sin θdS

La forza F1 = −npatmS é esattamente bilanciata da una forza uguale e contraria esercitata dall’aria sulla superficie. Per questo motivo il problema di determinare F viene trasformato nella determinazione di F2

F2 =

S

−(p− patm)ndS

La pressione p diminuita dalla pressione atmosferica é detta pressione relativa pr .

• Considerando che l’uso della pressione relativa pi diffuso di quello della pressione assoluta, nella rimanente parte di questo capitolo e nel capitolo seguente indicheremo con p la pressione relativa e con F la forza da essa indotta.

• Dalla relazione

F = −n ∫

S

γx sin θdS

33

emerge chiaramente che la forza F é ortogonale alla superficie (la direzione di F coincide con quella di n) é diretta dal liquido verso la superficie e ha intensitá F pari a

S

γx sin θdS = γ sin θ

S

xdS = γ sin θxGS = pGS 1

ove con il pedice G si sono indicate quantitá riferite al baricentro G della superficie. Da quanto ricavato emerge inoltre che l’intensitá della forza eser- citata dal liquido sulla superficie pu essere ricavata moltiplicando l’area della superficie per il valore della pressione (relativa) nel baricentro della superficie stessa.

• Nel seguito ricaviamo le coordinate xG, yG del baricentro di alcune semplici superfici piane

1)Rettangolo

Figura 8.5:

xG = 1

S

S

xdS = 1

bh

∫ h

0

( ∫ b

0

xdx

)

dy = h1 2 b2

bh =

b

2

yG = 1

S

S

ydS = 1

bh

∫ h

0

( ∫ b

0

ydy

)

dx = b1 2 h2

bh =

h

2

1 ∫

S xdS é detto momento statico della superficie S rispetto all’asse y. Si ha quindi

S xdS = xGS essendo xG la coordinata x del baricentro della superficie S.

34CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

2) Triangolo

h

b

y=mx

G

A B

C

y= (x−b)[mh/(h−mb)]m

x

y

Figura 8.6:

yG = 1

S

S

ydS = 2

bh

∫ h

0

∫ (h−mb)

mh +b

y m

ydxdy

yG = 2

bh

∫ h

0

y

[

b+ y

(

h−mb mh

− 1 m

)]

dy = 2

bh

[

b h2

2 +

h3

3

(h−mb− h) mh

]

= 2

bh

[

bh2

2 − mbh

2

3m

]

= 3bh2 − 2bh2

3bh =

h

3

La coordinata yG non dipende dal valore di m !

Ripetendo il calcolo ruotando il triangolo é facilmente verificabile che il baricentro G dista dalla base sempre un terzo dell’altezza qualunque lato sia scelto come base.

3)Semicerchio

x=(R2 − y2)1/2

G

R

x

y

− y2)1/2x=−(R2

Figura 8.7:

35

yG = 1

S

S

ydS = 2

πR2

∫ R

0

√ R2−y2

− √

R2−y2 ydxdy

= 2

πR2

∫ R

0

2y √

R2 − y2dy = 2 πR2

[

−2 3 (R2 − y2) 32

]R

0

= 4

3π R

Figura 8.8:

Nota la direzione, il verso e il modulo della forza F, per risolvere comple- tamente il problema é necessario determinare la retta di applicazione di F. La forza F deve essere infatti equivalente alla somma delle forze infinitesime −npdS esercitate dal fluido sulle superfici infinitesime dS che compongono S. F sará equivalente se avrá la stessa risultante e lo stesso momento rispet- to ad un qualsiasi polo. Indicando con C il punto di incontro della retta di applicazione di F con la superficie S si deve avere

Fxc =

S

pxdS Fyc =

S

pydS

essendo (xc, yc) le coordinate del punto C detto centro di spinta. Le formule precedenti, insieme alla relazione

F =

pdS

precedentemente ricavata, evidenziano un importante risultato: le coor- dinate (xc, yc) coincidono con le coordinate del baricentro del cosidetto solido delle pressioni, cioé di un solido, nello spazio (x,y,p), individuato dall’interse- zione delle superfici p = 0 e p = γx sin θ con un cilindro a generatrici parallele all’asse p e con una direttrice coincidente con il contorno di S (vedi figura 8.8).

E’ importante anche notare che il valore di F coincide con il volume del solido delle pressioni.

36CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

Figura 8.9:

• I risultati illustrati precedentemente suggeriscono una procedura sem- plice e rapida per il calcolo della forza F e della sua retta di applicazione

1)Nello spazio (x,y,p), con il piano (x,y) contenente la superficie S e l’asse p a esso ortogonale, tracciare l’andamento di p(x, y).

2)Individuare il solido delle pressioni.

3)Scomporre il solido delle pressioni in parti di cui sia semplice valutare il volume e la posizione del baricentro.

4)Valutare il volume Vi(i = 1, 2, ..., N) delle N parti cośı individuate.

5)Valutare le coordinate (xci, yci) dei baricentri degli N volumi.

6)Calcolare la forza F

F = N ∑

i=1

(−Vin)

7)Calcolare le coordinate (xc, yc) del centro di spinta

xc =

∑N i=1 (Vixci) ∑N

i=1 Vi ; yc =

∑N i=1 (Viyci) ∑N

i=1 Vi

• Consideriamo le relazioni giá ottenute e discusse

37

Fxc =

S

pxdS Fyc =

S

pydS

Discende

xc =

S pxdS

F =

S pxdS

S pdS

=

S γx2 sin θdS

S γx sin θdS

=

S x2dS

S xdS

=

S x2dS

xGS

La quantitá ∫

S x2dS é il momento d’inerzia della superficie S rispetto

all’asse y e viene indicato con Jyy. E’ inoltre noto che Jyy = JyGyG + Sx 2 G,

essendo JyGyG il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo allasse y e passante per il baricentro G. Segue

xc = Jyy xGS

= Sx2G + JyGyG

xGS = xG +

JyGyG xGS

Tale risultato mostra in particolare che il centro di spinta é sempre a una profonditá maggiore o al piú uguale al baricentro. In modo analogo si mostra che

yc =

S pydS

S pdS

=

S γxy sin θdS

S γx sin θdS

=

S xydS

S xdS

= Jxy xGS

= yG + JxGyG xGS

essendo Jxy e JxGyG i momenti centrifughi della superficie S rispetto agli assi x, y e ad assi a essi paralleli passanti per il baricentro G di S.

Resta da sottolineare che le formule precedentemente ricavate sono valide per una distribuzione continua di p e con riferimento ad un sistema di assi coordinati tali che la pressione si annulli nell’origine e lungo tutto lasse y.

38CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

ESERCIZI SULLA DETERMINAZIONE DELLA SPINTA SU UNA SUPERFICIE PIANA

1)Si consideri il serbatoio in figura 8.10 riempito di un liquido di densitá ρ e si determini il momento M necessario a mantenere in equilibrio la paratoia ABCD incernierata (e quindi in grado di ruotare ma non traslare) lungo il lato AD.

Dati: a = 0.5m , b = 0.7m , c = 0.2m ρ= 1000 Kg/m3 (acqua)

Figura 8.10:

Soluzione: Si introduca il sistema di riferimento in figura. Si ha:

p = ρgx

Figura 8.11:

39

Quindi il solido delle pressioni é quello riportato nella figura 8.12 insieme a una sua semplice scomposizione.

γ (a+b)

γ a γ a

γ (a+b) γ b γ a

F1 F2

x

a

b

= +

F = +

p

γ a

y

Figura 8.12:

Emerge quindi che

F = F1 + F2 = γ b2c

2 + γabc

Il risultato ottenuto coincide con la relazione

F = pGS

Infatti la pressione nel baricentro G della superficie pari a

pG = γ

(

a+ b

2

)

mentre S = bc

Segue

F = γabc+ γ b

2 bc

che coincide con la relazione giá trovata. Sapendo che il baricentro di un triangolo si trova a una distanza dalla

base pari ad un terzo dell’altezza e che il baricentro di un rettangolo si trova a una distanza dalla base pari a metá dell’altezza é facile verificare che

xc = F1xC1 + F2xC2

F

xc = γb2c

2

(

a + 2 3 b )

+ γabc (

a+ b 2

)

γ b 2c 2 + γabc

= b 2

(

a+ 2 3 b )

+ a (

a + b 2

)

a+ b 2

=

b 2

(

a+ b 2 + b

6

)

+ a (

a+ b 2

)

a + b 2

=

(

a+ b 2

) (

a + b 2

)

+ b 2

12

a+ b 2

=

(

a+ b

2

)

+ b2

12

a + b 2

40CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

il valore di xG appena determinato coincide con quello ricavabile dalla relazione

xc = xG + JyGyg xGS

sapendo che il momento d’inerzia di un rettangolo rispetto ad un as- se baricentrale é pari a un dodicesimo del prodotto della base con il cubo dell’altezza.

Segue infine che la forza F é ortogonale alla superficie (quindi parallela allasse z), diretta verso la superficie e di intensitá pari a

F = (9.81× 1000× 0.5× 0.7× 0.2 + 9.81× 1000× 0.35× 0.7× 0.2)N = 1167N

Il momento da applicare per mantenere in equilibrio la paratoia sará un vettore diretto lungo lasse y, nel verso positivo, di modulo pari a

M = F (a+ b− xc) = F (

a+ b− a− b 2 −

b2

12

a+ b 2

)

E’ facile verificare che la quantitá precedente coincide con

M = γ b2c

2

b

3 + γabc

b

2 = γcb2

[

b

6 +

a

2

]

Segue quindi

M = 9.81× 1000× 0.2× 0.72 × [

0.7

6 +

0.5

2

]

Nm = 353Nm

41

2) Assumendo il problema piano e di larghezza unitaria, calcolare la forza esercitata dai fluidi sulla superficie AB. Siano γ1 e γ2 il peso specifico del fluido sovrastante e sottostante rispettivamente.

Dati: γ1=800 Kgf/m 3; γ2=1000 Kgf/m

3; a=0.5 m; b=0.3 m; θ = π/4

Figura 8.13:

Soluzione: Con riferimento agli assi in figura 8.14, la distribuzione di pressione risulta descritta da:

Figura 8.14:

p = γ1x sin θ per x ≤ a

sin θ

p = γ1a + γ2

(

x− a sin θ

)

sin θ per x ≥ a sin θ

E’ conveniente scomporre il solido delle pressioni come indicato in figura 8.14. Risulterá dunque

F = γ1 a2

2 sin θ + γ1

ab

sin θ + γ2

b2

2 sin θ

Sostituendo i valori numerici:

42CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

F =

(

800× 0.5 sin π

4

[

0.5

2 + 0.3

]

+ 1000× 0.3 2

2 sin π 4

)

Kgf = 375Kgf

Per determinare la retta di azione della forza F, é necessario calcolare la coordinata xc del centro di spinta. Si calcola quindi dapprima il momento, per unitá di larghezza, della distribuzione di forze rispetto all’asse y. Facendo riferimento alla scomposizione del solido delle pressioni illustrata prima, si ha:

M = 1

2 γ1a

a

sin θ

2

3

a

sin θ +γ1a

b

sin θ

(

a

sin θ +

1

2

b

sin θ

)

+γ2b 1

2

b

sin θ

(

a

sin θ +

2

3

b

sin θ

)

=

(

1

2 × 800× 2

3 × (0.5)

3

sin π/4 + 800× 0.5× 0.3

sin π/4 × [

0.5

sin π/4 +

1

2

0.3

sin π/4

]

+1000× 1 2

(0.3)2

sin π/4

[

0.5

sin π/4 +

2

3

0.3

sin π/4

])

Kgfm

= 47Kgfm+ 156Kgfm+ 63Kgfm ∼= 266Kgfm

e quindi si impone che M sia uguale al momento della forza risultante F

Fxc = M

ci porge:

xc = M

F =

266Kgfm

375Kgf ∼= 0.71m

43

Figura 8.15:

3)Assumendo il problema piano e di larghezza unitaria, determinare il momento necessario a mantenere in equilibrio la paratoia ABC incernierata in C. Si trascuri il peso specifico del gas (si assuma quindi costante la sua pressione). La pressione del gas viene misurata attraverso il tubo manome- trico contenente il liquido di peso specifico γm rilevando il dislivello ∆. Sia γ il peso specifico del liquido all’interno del serbatoio.

Dati: γ = 1000Kgf/m 3, γm = 13000Kgf/m

3, ∆ = 5cm, a = 25cm, b = 35cm.

Soluzione: Il momento M é un vettore ortogonale al piano del disegno (M=(0,0,M)) e con una componente Mz negativa. Focalizziamo ora l’at- tenzione sul calcolo del modulo di M. Con riferimento alla figura 8.15 la pressione p0 nel gas é pari alla pressione nel punto P1 che a sua volta é uguale alla pressione nel punto P2. Si ha dunque

p0 = γm∆

Sulla superficie AB la distribuzione di pressione sará dunque quella rap- presentata in figura 8.16 Sulla superficie BC la distribuzione di pressione sará quella mostrata in figura 8.17

La forza esercitata dal liquido sulla superficie AB sará dunque orizzontale diretta da destra verso sinistra e pari alla somma di due contributi F1 + F2

44CAPITOLO 8. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

pA=p0+ aγ

p

y

A

B

b

a

p0

pA=p0 γ+ (a+b)

Figura 8.16:

pB=p0 γ+ (a+b)

b

x

p

Figura 8.17:

F1 = pAb = (p0 + γa) b

F2 = (pB − pA) b

2 = γ

b2

2

Il primo contributo (F1) é applicato ad una distanza da B pari a b/2, il secondo (F2) é applicato ad una distanza da B pari a b/3. Sulla superficie BC la distribuzione di pressione é costante e quindi il liquido eserciterá una forza diretta verticalmente verso il basso di intensitá tale che

F3 = pBb = [p0 + γ (a+ b)] b

Inoltre F3 é applicata ad una distanza da C pari a b 2 . Il modulo diM risulterá

45

quindi

M = F1 b

2 + F2

b

3 + F3

b

2 = (p0 + γa)

b2

2 + γ

b3

6 + [p0 + γ (a+ b)]

b2

2 =

= p0b 2 + γab2 + γ

2

3 b3 =

[

13000× 0.05× (0.35)2 + 1000× 0.25× (0.35)2+

1000× 2 3 × (0.35)3b

]

Kgfm = 139Kgfm

Capitolo 9

LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Come illustrato nel capitolo 2 e nel capitolo 3, la forza esercitata da un fluido in quiete su una superficie S risulta

F =

S

−pndS

Mentre per una superficie piana n é indipendente dalla posizione sulla super- ficie e quindi é costante, facilitando la valutazione dell’integrale, nel caso di una superficie gobba risulta variabile. Non é possibile illustrare una proce- dura generale per la valutazione dell’integrale considerando che essa dipende dalla forma della superficie. Consideriamo il caso particolare illustrato in figura 9.1 (assunto piano). Poniamoci l’obbiettivo di determinare la forza F esercitata dal liquido di peso specifico γ sulla superficie AB assunta di larghezza unitaria. In primo luogo é opportuno valutare separatamente la componente lungo la direzione x e quella lungo la direzione y.

Fx =

S

−pnxdS

Fy =

S

−pnydS

Per valutare gli integrali é conveniente utilizzare un sistema di coordinate polari con l’origine nel punto O. Nel generico punto P della superficie AB si ha

46

47

Figura 9.1:

Figura 9.2:

n = (− cos θ,− sin θ) Si noti che la normale n é diretta verso l’interno del fluido perché si vuole

calcolare l’azione del fluido sulla parete. Inoltre dS = Rdθ avendo assunto la larghezza della superficie unitaria. Infine la pressione p nel punto P risulterá

p = γ [a+R− R sin θ] = γa + γR (1− sin θ)

Segue quindi

48CAPITOLO 9. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Fx =

∫ π 2

0

− [γa + γR (1− sin θ)] (− cos θ)Rdθ =

= γ (a+R)R [sin θ] π 2 0 +γR

21

4 [cos 2θ]

π 2 0 = γ (a+R)R−

γR2

2 = γ

(

a+ R

2

)

R

Fy =

∫ π 2

0

− [γa+ γR (1− sin θ)] (− sin θ)Rdθ =

= −γ (a+R)R [cos θ] π 2 0 − γR2

[

θ

2 − 1

4 sin 2θ

]π 2

0

= γ (a +R)R − γπR 2

4

Nel caso in esame si é riusciti facilmente a valutare gli integrali che forni- scono Fx e Fy. Tuttavia quando la geometria del problema é piú complessa, la valutazione di F utilizzando l’espressione

s −pndS puó risultare difficile.

• Una procedura alternativa che spesso consente il rapido calcolo di F é quella illustrata nel seguito

Utilizzando superfici piane e la superficie gobba in esame, isolare un volume di fluido.

Determinare le forze F1,F2, . . .FN che il fluido all’esterno del volume esercita sulle superfici piane.

Calcolare la forza F esercitata dal fluido sulla superficie gobba, impo- nendo l’equilibrio del volume isolato in precedenza, su cui l’esterno esercita le forze di superficie F1,F2, . . .FN ,−F e la forza peso G.

Risulterá N ∑

i=1

Fi − F+G = 0

Da cui

F = G+ N ∑

i=1

Fi

Al fine di illustrare chiaramente la procedura, applichiamola al problema considerato precedentemente. Consideriamo il volume di fluido delimita- to dalla superficie gobba AA′B′B, dalle superfici piane AA′O′O, OO′B′B, OAB, O′A′B′.

49

F2

F4F1

F3

−F

o’ B’

A

A’

o B

Figura 9.3:

Considerando l’orientamento delle superfici piane e indicando con i, j,k i versori degli assi x, y, z rispettivamente, é facile vedere che

F1 = F1i; F2 = F2j; F3 = −F3k; F4 = F4k; G = −Gj L’equilibrio del volume considerato alla traslazione lungo i tre assi impone

Fx = F1; Fy = F2 −G; Fz = F4 − F3

avendo denotato con (Fx, Fy, Fz) il vettore F. Utilizzando i risultati illustrati nel capitolo 8 é possibile determinare Fi. Si ha

F1 = γ

(

a+ R

2

)

R; F2 = γ (a +R)R; F3 = F4 = γ

(

a+R− 4R 3π

)

πR2

4

Inoltre

G = γ πR2

4

Segue

Fx = γ

(

a+ R

2

)

R; Fy = γ (a+R)R− γ πR2

4 ; Fz = 0

I risultati ottenuti coincidono con quelli ricavati precedentemente. • Nel caso di una superficie gobba, il sistema equivalente alla somma delle

forze infinitesime −pndS é in generale fornito da una forza e da una coppia.

50CAPITOLO 9. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Per individuare la retta di applicazione di F e il valore della coppia é ne- cessario imporre l’equilibrio alla rotazione del volume in esame. Nel nostro caso, considerando che le forze infinitesime passano per la retta OO′ e per la simmetria del problema, si puó affermare che la forza F passa per la retta OO′ in un punto equidistante da O e da O′ e il valore della coppia é nullo.

ESERCIZI SULLA DETERMINAZIONE DELLA SPIN- TA SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Figura 9.4:

1) Si consideri il problema piano rappresentato in figura 9.4 e costituito dalla determinazione della forza F esercitata dal fluido di peso specifico γ sulla superficie AB supposta di larghezza unitaria.

Figura 9.5:

Soluzione: si consideri il volume isolato dalla superficie gobba AB e dalla

51

superficie piana AB, come evidenziato nella figura 9.5. Per quanto spiegato precedentemente

F = F1 +G

Da cui

Fx = F1 = γ (a+R) 2R

Fy = G = γ πR2

2 con

F1 = F1i; G = −Gj; F = Fxi− Fyj E’ evidente inoltre che la forza passa per il punto O.

Figura 9.6:

2) Si consideri il problema piano rappresentato in figura 9.6 e costituito dalla determinazione della forza F esercitata dal fluido di peso specifico γ sulla superficie AB supposta di larghezza unitaria.

Soluzione: il modo piú rapido per risolvere il problema é quello di conside- rare il serbatoio evidenziato nella figura 9.7 e imporre l’equilibrio del volume tratteggiato e costituito dalla superficie gobba AB e da quella piana AB.

Su tale volume l’esterno eserciterá le seguenti forze: F,F1,G Si ha inoltre

F = (−Fx, Fy) ; F1 = (F1 sin θ,−F1 cos θ) ; G = (0,−G)

Segue F = −F1 −G

52CAPITOLO 9. LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE GOBBA

Figura 9.7:

F = (−Fx, Fy) = (−F1 sin θ, F1 cos θ) + (0, G) oppure

Fx = F1 sin θ, Fy = F1 cos θ +G

ove F1 = γ (a+R sin θ) 2R

G = γ πR2

2

Capitolo 10

LA TENSIONE IN UN FLUIDO IN MOVIMENTO

Abbiamo visto (capitolo 3) che in un fluido in quiete la tensione t é sempre ortogonale alla superficie. In altre parole se un fluido é in quiete

t = −pn

Nei fluidi in movimento, tuttavia, la direzione di t non coincide con quella di n e in generale si manifestano delle componenti tangenti alla superficie.

Figura 10.1:

Esaminiamo la situazione rappresentata in figura 10.1 due piastre paral- lele fra di loro sono poste ad una distanza d e costituiscono cośı un meato riempito di un fluido di densitá ρ. La piastra inferiore é ferma mentre quella superiore viaggia con una velocitá U0 in una direzione parallela alla piastra stessa.

Introduciamo il sistema di riferimento in figura 10.1. Se misurassimo il campo di moto, ci accorgeremmo che la velocitá ha un’unica componente nella direzione x che si annulla in corrispondenza di y = 0, assume il valore U0 per y = d e varia linearmente con y

53

54 CAPITOLO 10. LA TENSIONE IN UN FLUIDO IN MOVIMENTO

u = U0 d y

Per mantenere la piastra superiore in movimento con velocitá U0 é ne- cessario applicare una forza nella direzione x che, rapportata alla superficie della piastra, porge un valore che indicheremo con τ . E’ evidente che il valore di τ é uguale e contrario alla componente nella direzione x della tensione t esercitata dal fluido sulla parete. Misure di mostrano che

1) τ é proporzionale a U0

2) τ é inversamente proporzionale a d

Si ha cioé

τ ∝ U0 d

La costante di proporzionalitá dipende dal fluido contenuto all’interno del meato ed é denominata viscositá dinamica (µ)

τ 1 = µ U0 d

Le dimensioni di µ sono quelle di una massa divisa per una lunghezza e per un tempo

[µ] = ML−1T−1

mentre l’unitá di misura é il Kg/(ms) = Pa s, anche se talvolta viene utilizzato il centipoise (cP ), essendo

cP = 10−3Kg/(ms)

• La viscositá dinamica di un fluido, essendo una sua proprietá, dipende dallo stato del fluido e quindi dalla pressione e dalla temperatura. Per l’acqua in condizioni ordinarie (pressione atmosferica e temperatura pari a 20oC)

µ = 1cP.

• Spesso si utilizza la viscositá cinematica definita come il rapporto fra la viscositá dinamica e la densitá del fluido

1Il legame τ = µU0/d é valido per i fluidi cosiddetti newtoniani. L’aria, l’acqua e molti fluidi di interesse ingegneristico sono “newtoniani”. Per altri fluidi il legame fra τ, U0, d puó essere piú complicato.

55

ν = µ

ρ

Le dimensioni di ν sono quelle di una lunghezza al quadrato su un tempo

[ν] = L2/T

mentre l’unitá di misura é m2/s. Anche la viscositá cinematica dipende da pressione e temperatura. Per l’acqua in condizioni ordinarie2

ν ∼= 10−6m2/s • Il legame τ = µU0/d é un caso particolare di una relazione piú generale

che nella geometria in considerazione puó scriversi

τ = µ du

dy

La tensione tangenziale τ puó infatti variare al variare di y. In geo- metrie piú complesse la relazione tra t e il campo di moto, detta “legame costitutivo”, diviene complessa. Si rimanda lo studente interessato a corsi sucessivi.

2Per aria secca a pressione atmosferica alla temperatura di 20oC si ha

µ ∼= 1.8 10−5Kg/(ms)

ν ∼= 1.5 10−5m2/s

Capitolo 11

ANALISI DIMENSIONALE E TEOREMA DI BUCKINGHAM

I problemi a cui siamo interessati e i problemi della fisica in generale, sono caratterizzati dalla ricerca della dipendenza di una grandezza fisica Q0 dalle altre grandezze fisiche Q1, Q2, . . . , QN coinvolte nel fenomeno in esame. In altre parole si vuole determinare la funzione f che lega Q0 a Q1, Q2, . . . , QN

Q0 = f (Q1, Q2, . . . , QN) .

Un esempio tipico in idrodinamica é la ricerca della resistenza (forza nella direzione del moto) incontrata da un corpo (per esempio una sfera) che avan- za in fluido fermo. Utilizzando un sistema di riferimento solidale con il corpo (vedi figura 11.1), il problema é costituito dalla valutazione di R (modulo di R).

E’ evidente che il valore di R sará influenzato:

dalle caratteristiche del fluido (nel caso in esame dalla densitá ρ e dalla viscositá cinematica ν)

dalle dimensioni della sfera (il diametro D)

dalla velocitá con cui il fluido investe la sfera (U0)

Si cercherá quindi di valutare la funzione f tale che

R = f (ρ, ν,D, U0)

56

57

Figura 11.1:

E’ evidente che la funzione f di cui sopra é un caso particolare di quella scritta inizialmente

Q0 = f (Q1, Q2, . . . , QN)

con

Q0 = R, N = 4, Q1 = ρ, Q2 = ν, Q3 = D, Q4 = U0

Alcune volte é possibile risolvere il problema in esame risolvendo le equa- zioni che governano il fenomeno. In tal caso é possibile fornire unespressione analitica di f . In altri casi ció non é possibile e il legame fra Q1, Q2, . . . , QN puó essere cercato solo attraverso esperienze di laboratorio. Se il valore di N é elevato il numero di esperimenti da eseguire risulta estremamente alto. In tale situazione é utile il teorema di Buckingham, detto anche teorema Π.

• Teorema Π Il teorema Π stabilisce che la relazione

Q0 = f (Q1, Q2, . . . , QN)

fra N +1 grandezze fisiche puó essere trasformata in una nuova relazione fra N + 1−M numeri adimensionali

Π0 = f (Π1,Π2, . . . ,ΠN−M)

essendo M il numero massimo di grandezze dimensionalmente indipen-

58CAPITOLO 11. ANALISI DIMENSIONALE E TEOREMA DI BUCKINGHAM

denti 1 che puó essere individuato all’interno delleN+1 grandezzeQ1, Q2, . . . , QN e Πi numeri adimensionali.

Dimostrazione:

Si voglia trasformare la relazione

Q0 = f (Q1, Q2, . . . , QN)

Si scelga il massimo numero M di grandezze dimensionalmente indipen- denti.

Non si perde di generalitá se si suppone che le grandezze scelte siano Q1, Q2, . . . , QM .

Si individui il monomio Qα01 , Q β0 2 , Q

γ0 3 . . . , QM

ω0 che abbia le stesse di- mensioni di Q0. Dalla definizione di M e di grandezze dimensionalmente indipendenti i valori α0, β0, γ0, . . . , ω0 non sono tutti nulli.

Si divida la relazione di partenza sia a destra che a sinistra per

Qα01 , Q β0 2 , Q

γ0 3 . . . , Q

ω0 M . Si avrá

Q0

Qα01 , Q β0 2 , Q

γ0 3 . . . , Q

ω0 M

= Π0 = f0 (Q1, Q2, . . . , QN)

E’ evidente che il termine a sinistra della relazione precedente é un rap- porto adimensionale.

Si individui il monomio Q αM+1 1 , Q

βM+1 2 , Q

γM+1 3 . . . , Q

ωM+1 M che abbia le

stesse dimensioni di QM+1.

Laddove nella funzione f0 (evidentemente diversa da f) compare QM+1 si sostituisca

1• M grandezze si dicono dimensionalmente indipendenti se il monomio

Qα 1 Qβ

2 Qγ

3 . . . QωM

avente dimensioni nulle, implica

α = 0, β = 0, γ = 0, . . . , ω = 0.

Se esistono valori α, β, . . . , ω diversi da zero e tali che il monomio

Qα 1 Qβ

2 Qγ

3 . . . QωM

ha dimensioni nulle, allora le M grandezze sono dimensionalmente dipendenti. • Il valore massimo di M dipende dalla natura del fenomeno. In particolare se il feno-

meno é geometrico M = 1, se il fenomeno é cinematico M = 2, se il fenomeno é di natura dinamica M = 3 e cośı via.

59

QM+1

Q αM+1 1 , Q

βM+1 2 , Q

γM+1 3 . . . , Q

ωM+1 M

Q αM+1 1 , Q

βM+1 2 , Q

γM+1 3 . . . , Q

ωM+1 M =

ΠM+1Q αM+1 1 , Q

βM+1 2 , Q

γM+1 3 . . . , Q

ωM+1 M

segue dunque

Π0 = f1 (Q1, Q2, . . . , QM ,ΠM+1, QM+2, . . . , QN )

Si ripeta il punto precedente per QM+2, QM+3, . . . , QN per giungere alla relazione

Π0 = fN−M (Q1, Q2, . . . , QM ,ΠM+1,ΠM , . . . ,ΠN)

Cambiando l’unitá di misura della sola Q1 (procedura possibile essen- do Q1, Q2, . . . , QM grandezze dimensionalmente indipendenti), i valori di Π0,ΠM+1,ΠM+2, . . . , ,ΠN non cambiano essendo Πi numeri adimensionali. Neanche i valori di Q2, Q3, . . . , QM cambiano non essendo variate le loro unitá di misura. Segue quindi che la funzione fN−M non puó dipendere esplicitamente da Q1.

Cambiando l’unitá di misura di Q2 e seguendo il ragionamento esposto al punto precedente si conclude che fN−M non puó dipendere esplicitamente da Q2.

Analogalmente si puó concludere che fN−M non dipende esplicitamente da Q3, Q4, . . . , QM

E’ possibile quindi concludere che

Q0 = f0 (Q1, Q2, . . . , QN)

si trasforma in

Π0 = f (Π1,Π2, . . . ,ΠN−M)

come si voleva dimostrare. • L’utilitá del teorema Pi emerge chiaramente applicandolo all’esempio

considerato precedentemente.

R = f (ρ, ν,D, U0)

Essendo il problema di natura dinamica M = 3. Scegliamo ρ, U0, D come grandezze dimensionalmente indipendenti. In

primo luogo verifichiamo che ρ, U0, D siano dimensionalmente indipendenti, cioé che il monomio

60CAPITOLO 11. ANALISI DIMENSIONALE E TEOREMA DI BUCKINGHAM

ραUβ0 D γ

con dimensioni nulle implichi α = 0, β = 0, γ = 0. Si ha

[ρ] = ML−3; [U0] = LT −1; [D] = L

segue dunque

[

ραUβ0 D γ ]

= MαL−3αLβT−βLγ

Dunque [

ραUβ0 D γ ]

= 0 se e solo se

α = 0

−3α + β + γ = 0 −β = 0

Il sistema algebrico lineare precedente é omogeneo e il determinante della matrice dei coefficienti diverso da zero: la soluzione allora é quella identi- camente nulla. E’ quindi possibile concludere che ρ, U0, D sono grandezze dimensionalmente indipendenti.

Cerchiamo ora il monomio ραUβ0 D γ che ha le stesse dimensioni di R.

Sapendo che

[R] = MLT−2

Si ottiene

MαL−3αLβT−βLγ = MLT−2

α = 1 α = 1

−3α + β + γ = 1 =⇒ γ = 2 −β = −2 β = 2

Dunque la relazione iniziale puó essere scritta nella forma

R

ρU20D 2 = f1 (ρ, U0, D, ν)

Cerchiamo ora il monomio ραUβ0 D γ che ha le dimensioni di ν. Sapendo che

[ν] = L2T−1

61

Si ottiene MαL−3αLβT−βLγ = L2T−1

α = 0 α = 0

−3α + β + γ = 2 =⇒ γ = 1 −β = −1 β = 1

Si puó quindi concludere

R

ρU20D 2 = f2

(

ν

U0D

)

Per motivi storici invece del numero adimensionale ν U0D

si ritiene che R ρU20D

2

dipenda da U0D ν

.

Dunque R

ρU20D 2 = f

(

U0D

ν

)

Il numero U0D ν

é detto numero di Reynolds e viene usualmente indicato con Re.

Il numero R ρU20D

2 é detto numero di Newton e viene usualmente indicato

con Ne. Applicando il teorema Π si é trasformato il problema iniziale, che prevedeva la determinazione della funzione f di 4 variabili indipendenti, nella determinazione della funzione f che dipende da una sola variabile indipen- dente con chiaro e indubbio vantaggio.

IL TEOREMA Π NEI PROBLEMI DI IDRODINAMICA

Nei problemi idrodinamici, oltre al numero di Newton (Ne) e al numero di Reynolds (Re), possono comparire altri numeri adimensionali. I piú comuni sono

Il numero di Froude

Fr = U0√ gD

che compare qualora il fenomeno sia influenzato anche dalla accelerazione di gravitá.

Il numero di Mach

Ma = U0

ǫ/ρ

62CAPITOLO 11. ANALISI DIMENSIONALE E TEOREMA DI BUCKINGHAM

che compare qualora il fenomeno sia influenzato dalla comprimibilitá del fluido.

Il numero di Weber

We =

ρDU20 σ

che compare qualora il fenomeno sia infulenzato dalla tensione superficia- le.

Capitolo 12

SIMILITUDINE E MODELLI

Consideriamo nuovamente il problema descritto nel capitolo 11: un fluido di densitá ρ e viscositá cinematica ν investe una sfera di diametro D con una velocitá U .

Figura 12.1:

La forza che il fluido esercita sulla sfera nella direzione del moto risulta esprimibile nella forma (vedi teorema Π)

R = ρU20D 2f

(

U0D

ν

)

che spesso viene riscritta nella forma

R = ρ

2 U20π

D2

4 CD

(

U0D

ν

)

63

64 CAPITOLO 12. SIMILITUDINE E MODELLI

ove CD = 8 π f é detto coefficiente di resistenza e risulta evidentemente

funzione di Reynolds. • Emerge chiaramente che per conoscere R é necessario conoscere il valore

di CD per il valore del numero di Reynolds caratteristico del problema. Se ad esempio pensiamo la sfera come l’approssimazione di una batisfera investita da una corrente oceanica di intensitá pari a 0.2 m/s e supponiamo che D sia pari a 2 m, il numero di Reynolds risulterá pari a

Re = 2× 0.2 10−6

= 4× 105

Nel caso in esame dovremo dunque valutare CD per tale valore di Re. Ció peró non comporta la misura della forza esercitata sulla batisfera (D=2m) da una corrente di 0.2 m/s. E’ infatti possibile misurare CD utilizzando “un modello”, cioé una sfera molto pi piccola, a patto di aumentare U0 in modo tale che il numero di Reynolds rimanga inalterato. Indicati con il pedice m le grandezze relative al modello deve risultare

U0D

ν =

U0mDm νm

.

Utilizzando nel modello, come di solito avviene, lo stesso fluido del problema originale si ha

U0m U0

= D

Dm .

Tale risultato indica che se il rapporto Dm/D é pari a 1/10, il rapporto U0m/U0 dovrá essere pari a 10. Il valore ricercato di CD sará dunque pari a 8Rm/ (πρU

2 0mD

2 m)

• Consideriamo ora un problema lievemente diverso: la batisfera si trova in prossimitá della superficie libera a una profonditá

pari a h. Analizzando il problema risulta chiaramente che il valore di R sará

Figura 12.2:

influenzato anche dal valore di h e dal valore dell’accelerazione di gravitá

65

g. La presenza della sfera in prossimitá della superficie libera genera infatti un’onda la cui evoluzione dipende da g

R = f (ρ, U,D, ν, g, h)

Applicando il teorema Π si ottiene

R = ρ

2 U20π

D2

4 CD

(

Re, Fr, h

D

)

essendo

Re = UD

ν ; Fr =

U√ gD

.

In questo problema per determinare R é necessario valutare Cd per i valori di Re, Fr, h

D propri del problema originale. Vediamo se é possibile utilizzare

un modello. Per semplicitá indichiamo λ = Lm L

la scala di riduzione delle lunghezze e con τ = Tm

T la scala di riduzione dei tempi. La scala di riduzione

di ogni altra grandezza cinematica deriva dalla conoscenza di λ e τ . Infatti

υ = Um U

= LM L

T

Tm =

λ

τ .

La scala υ di riduzione delle velocitá é pari dunque a λ τ . Similmente é

possibile determinare per esempio la scala di riduzione delle accelerazioni. Una corretta modellazione del fenomeno impone che i valori del numero di Reynolds, del numero di Froude e il rapporto h/D del prototipo e del modello risultino uguali. E’ evidente che se il modello é ridotto in scala, il rapporto hm/Dm risulta uguale al rapporto h/D.

Vediamo ora cosa emerge imponendo

Re = Rem

Utilizzando nel modello lo stesso fluido del prototipo si ha:

L2

T =

L2m Tm

=⇒ τ = Tm T

=

(

Lm L

)2

= λ2.

Stabilita la scala di riduzione delle lunghezze λ, l’uguaglianza dei numeri di Reynolds del modello e del prototipo determina la scala di riduzione dei tempi τ pari a λ2 e conseguentemente le scale di riduzione di tutte le altre grandezze cinematiche . Ad esempio

υ = λ

τ =

λ

λ2 = λ−1.

66 CAPITOLO 12. SIMILITUDINE E MODELLI

Vediamo ora cosa segue imponendo

Fr = Frm

L

T √ L

= Lm

Tm √ Lm

=⇒ τ = Tm T

=

Lm L

= λ 1 2 .

Stabilita la scala di riduzione delle lunghezze λ, l’uguaglianza dei numeri di Froude del modello e del prototipo determina la scala di riduzione dei tempi τ pari a λ

1 2 . Emerge che utilizzando nel modello lo stesso fluido del prototipo

é impossibile mantenere inalterati i valori di tutti i numeri adimensionali che influenzano il fenomeno. E’ infatti possibile mantenere inalterato il valore di un solo numero adimensionale.

• Se si mantiene inalterato il numero di Reynolds si effettuerá una “si- militudine di Reynolds”. Se viceversa si manterrá inalterato il numero di Froude si effettuerá una “similitudine di Froude”. In funzione del problema in esame potranno essere considerate similitudine di Mach, Weber, . . .

E’ evidente che si sceglierá di effettuare una certa similitudine invece di un’altra in funzione dell’importanza degli effetti rappresentati dai diversi numeri.

Se gli effetti viscosi sono i piú rilevanti si sceglierá di effettuare una similitudine di Reynolds

Se gli effetti gravitazionali sono i piú rilevanti si sceglierá di effettuare una similitudine di Froude . . .

• Resta da sottolineare che l’uguaglianza fra il numero di Newton del prototipo e quello del modello fissa la scala di riduzione delle forze

Ne = Nem

Utilizzando nel prototipo e nel modello lo stesso fluido

F

L4T−2 =

Fm L4mT

−2 m

=⇒ ϕ = Fm F

=

(

Lm L

)4( Tm T

)−2

= λ4τ−2.

Capitolo 13

DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

• Consideriamo un volume di fluido V (t) in movimento che all’istante iniziale t = 0 occupa la regione V0.

Sia (x1, x2, x3) un sistema cartesiano di riferimento fisso nello spazio e (X1, X2, X3) la posizione della generica particella di fluido all’istante iniziale, rispetto al sistema di riferimento (x1, x2, x3).

Figura 13.1:

• Una qualunque grandezza F del fluido (ad esempio la densitá ρ) puó essere descritta fornendo la funzione f1

F = f1 (X1, X2, X3, t)

o fornendo la funzione f2

F = f2 (x1, x2, x3, t)

67

68 CAPITOLO 13. DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

Nel primo caso (descrizione lagrangiana), fissando i valori di X1, X2, X3, si ottiene una funzione che descrive la variazione di F di una particolare particella fluida al variare del tempo sapendo che quella particella fluida occuperá posizioni diverse nello spazio al trascorrere del tempo.

Nel secondo caso (descrizione euleriana), fissando i valori di x1, x2, x3, si ottiene una funzione che descrive la variazione di in un punto dello spazio che al variare del tempo sará occupato da particelle diverse.

Le funzioni f1 e f2 sono chiaramente diverse e sono legate fra di loro dal moto del fluido. In particolare nota la funzione f2 é possibile ricavare f1 se sono note le funzioni

x1 = ϕ1 (X1, X2, X3, t)

x2 = ϕ2 (X1, X2, X3, t)

x3 = ϕ3 (X1, X2, X3, t)

queste ultime descrivono il moto delle particelle fluide. In particolare fis- sato il valore di X1, X2, X3 le funzioni ϕ1, ϕ2, ϕ3 descrivono la traiettoria di una particella fluida. Siccome una particella fluida non puó occupare due posizioni diverse allo stesso tempo e due particelle fluide non possono occu- pare la stessa posizione, le funzioni ϕ1, ϕ2, ϕ3 sono invertibili e in particolare si possono ottenere le funzioni

X1 = Φ1 (x1, x2, x3, t)

X2 = Φ2 (x1, x2, x3, t)

X3 = Φ3 (x1, x2, x3, t) .

Le funzioni Φ1,Φ2,Φ3 consentono a loro volta di determinare f2 nota la funzione f1. Essendo f1 diversa da f2, é evidente che la derivata di f1 rispetto al tempo sará diversa dalla derivata parziale rispetto al tempo di f2

∂f1 ∂t

6= ∂f2 ∂t

In particolare ∂f1/∂t descrive come cambia nel tempo la grandezza F di una particella fluida che si muove nello spazio. La funzione ∂f2/∂t descrive invece come varia F in un punto dello spazio che al trascorrere del tempo sará occupato da particelle fluide diverse. Per descrivere il moto dei fluidi si usa in generale un approccio euleriano, cioé si assegna o si ricerca la funzione

F = f2 (x1, x2, x3, t)

69

e si indica con ∂F ∂t

la funzione ∂f2 ∂t .

Certi concetti della fisica richiedono tuttavia la valutazione di ∂f1 ∂t

che indicheremo con dF

dt .

∂F ∂t

é detta derivata locale.

dF dt

é detta derivata totale o materiale o sostanziale.

Considerando che spesso é necessario valutare dF dt

e che F é usualmente assegnata come funzione di x1, x2, x3, t é necessario individuare una semplice procedura per valutare ∂f1

∂t nota f2.

Considerando che f1 (x1, x2, x3, t) é uguale a f2 (ϕ1 (X1, X2, X3, t) , ϕ2 (X1, X2, X3, t) , ϕ3 (X1, X2, X3, t) , t)

dF

dt =

∂f1 ∂t

= ∂

∂t [f2 (ϕ1 (X1, X2, X3, t) , ϕ2 (X1, X2, X3, t) , ϕ3 (X1, X2, X3, t) , t)]X =

= ∂f2 ∂t

+ ∂f2 ∂x1

∂ϕ1 ∂t

+ ∂f2 ∂x2

∂ϕ2 ∂t

+ ∂f2 ∂x3

∂ϕ3 ∂t

Notando che ∂ϕ1 ∂t

, ∂ϕ2 ∂t

, ∂ϕ3 ∂t

sono le tre componenti della velocitá delle particelle fluide, dalla formula precedente si ottiene

dF

dt =

∂F

∂t + v1

∂F

∂x1 + v2

∂F

∂x2 + v3

∂F

∂x3

dF

dt =

∂F

∂t + v · ∇F.

La derivata materiale é dunque fornita dalla somma della derivata locale piú il cosidetto termine convettivo pari al prodotto scalare fra le velocitá e il gradiente di F . 1

1• Assegnata la funzione scalare F (x1, x2, x3, t), il gradiente di F , indicato con ∇F , é un vettore le cui componenti sono cośı definite

∇F = (

∂F

∂x1 , ∂F

∂x2 , ∂F

∂x3

)

• Assegnata la funzione vettoriale F (x1, x2, x3, t) che corrisponde a tre funzioni scalari F = (F1 (x, t) , F2 (x, t) , F3 (x, t)), la divergenza di F, indicata con ∇·F, é uno scalare cośı definito

∇ · F = ∂F1 ∂x1

+ ∂F2 ∂x2

+ ∂F3 ∂x3

70 CAPITOLO 13. DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

ALCUNE GRANDEZZE CINEMATICHE

• Utilizzando un approccio euleriano, il moto di un fluido viene descritto assegnando il vettore velocitá come funzione di x e del tempo t:

v = v (x, t)

o, equivalentemente come:

v1 = v1 (x1, x2, x3, t)

v2 = v2 (x1, x2, x3, t)

v3 = v3 (x1, x2, x3, t)

• Il calcolo dell’accelerazione puó essere semplicemente eseguito valutando la derivata materiale di v

a = dv

dt ⇒ a1 =

dv1 dt

= ∂v1 ∂t

+ v1 ∂v1 ∂x1

+ v2 ∂v1 ∂x2

+ v3 ∂v1 ∂x3

a2 = dv2 dt

= ∂v2 ∂t

+ v1 ∂v12

∂x1 + v2

∂v2 ∂x2

+ v3 ∂v2 ∂x3

a3 = dv3 dt

= ∂v3 ∂t

+ v1 ∂v3 ∂x1

+ v2 ∂v3 ∂x2

+ v3 ∂v3 ∂x3

dv

dt =

∂v

∂t + (v · ∇) v

Il rotore di F, indicato con ∇× F, é un vettore cośı definito

∇× F =

i j k ∂

∂x1

∂ ∂x2

∂ ∂x3

F1 F2 F3

= i

(

∂F3 ∂x2

− ∂F2 ∂x3

)

− j (

∂F3 ∂x1

− ∂F1 ∂x3

)

+ k

(

∂F2 ∂x1

− ∂F1 ∂x2

)

• Assegnati due vettori a, b, ( a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)), il prodotto scalare é cośı definito

c = a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 il prodotto vettoriale é cośı definito

c = a × b =

i j k

a1 a2 a3 b1 b2 b3

= i (a2b3 − a3b2)− j (a1b3 − a3b1) + k (a1b2 − a2b1)

71

dove

∇v =

∂v1 ∂x1

∂v2 ∂x1

∂v3 ∂x1

∂v1 ∂x2

∂v2 ∂x2

∂v3 ∂x2

∂v1 ∂x3

∂v2 ∂x3

∂v3 ∂x3

• Le traiettorie, che sono un concetto tipicamente lagrangiano, possono essere calcolate integrando l’equazione

dx = v (x, t) dt

note le posizioni iniziali delle particelle fluide. • Le linee di corrente sono definite come quelle linee che in ogni punto

sono tangenti, al vettore velocitá. Esse si ricavano integrando l’equazione

dx× v (x, t) = 0.

LA DERIVATA MATERIALE DI UNA GRANDEZZA IN- TEGRATA SU UN VOLUME MATERIALE

Nello studio del moto dei fluidi é spesso necessario calcolare l’integrale di una certa grandezza F su un volume materiale di fluido, cioé un volume di fluido costituito sempre dalle stesse particelle fluide. In alcuni casi é neces- sario valutare la derivata materiale (fatta cioé seguendo il moto della massa fluida) di tale quantitá. In altre parole é necessario valutare:

d

dt

V (t)

FdV.

Per esempio la massa M associata a un volume materiale di fluido (in movimento) é:

M =

V (t)

ρdV.

Infatti dalla definizione stessa di densitá, la massa infinitesima associata a un volume infinitesimo dV sará ρdV . Per determinare la massa contenuta in V é necessario sommare tutti i contributi e quindi integrare su tutto il volume V (T ). Il principio di conservazione della massa impone poi che la massa M associata al volume V (t) di fluido in movimento rimanga costante. É necessario dunque imporre

d

dt

V (t)

ρdV = 0.

72 CAPITOLO 13. DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

Figura 13.2:

Figura 13.3:

Tale calcolo risulta difficile da effettuarsi pur essendo nota la funzione ρ(x1, x2, x3, x), considerato che il volume V (t) é mobile. É pertanto utile trasformare l’in- tegrale di cui sopra in uno da effettuarsi su un volume fisso nello spazio. Vediamo come ció é possibile.

• Consideriamo il volume V (t) al tempo t0 e denotiamolo con V0. In- dichiamo con S0 la sua frontiera. Consideriamo quindi il volume all’istante t0 + ∆t e indichiamolo con V . Sia S la frontiera di V . Il volume V sará quasi coincidente con V0, essendo trascorso un tempo piccolo (a rigori infi- nitesimo) ∆t. Rispetto a V0, il volume V avrá in piú il volume tratteggiato e in meno il volume punteggiato. Cerchiamo di quantificare tale differenza. Con riferimento alla figura 13.4 consideriamo una parte infinitesima di S0 e denotiamola con dS0. Sia n la normale alla superficie, uscente per conven- zione dal volume V0. Se indichiamo con v la velocitá del fluido valutata sulla superficie infinitesima dS0, dopo un tempo piccolo ∆t, la particella fluida che

73

si trovava su dS0 si sará spostata nello spazio di una quantitá vdt. Essendo dS0 una superficie infinitesima si possono trascurare le differenze di velocitá fra le diverse particelle fluide che si trovano su dS0. Il volume di fluido che ha attraversato dS0 nell’intervallo di tempo ∆t e che occuperá il volume dS delimitato da dS0, e da una superficie cilindrica con generatrici parallele a vdt (vedi figura 13.4) sará dunque dS0 (v,n)∆t Tale volume sará positivo se

Figura 13.4:

v · n é positivo (se cioé il fluido esce da V0), mentre sará negativo se v · n é negativo (se cioé il fluido entra in V0).

La differenza fra il volume V e il volume V0 sará dunque:

S0

(v · n)∆tdS0.

Vediamo ora di valutare

74 CAPITOLO 13. DESCRIZIONE DEL MOTO DEI FLUIDI

d

dt

V (t)

FdV

ad un generico tempo t0. Applichiamo la definizione di derivata

[

d

dt

V (t)

FdV

]

= lim ∆t→0

V F (t0 +∆t) dV −

V0 F (t0) dV0

∆t =

lim ∆t→0

V0 F (t0 +∆t) dV0 +

S0 F (t0 +∆t) (v · n)∆tdS0 −

V0 F (t0) dV0

∆t =

= lim ∆t→0

V0

[

F (t0) + (

∂F ∂t

)

t0 ∆t

]

dV0 + ∫

S0 F (t0 +∆t) (v · n)∆tdS0 −

V0 F (t0) dV0

∆t =

=

V0

(

∂F

∂t

)

t0

dV0 +

S0

F (t0) (v · n) dS0

Si é quindi dimostrato (dimostrazioni piú rigorose sono disponibili nei libri di testo) il teorema del trasporto:

(

d

dt

V (t)

FdV

)

t=t0

=

V0

(

∂F

∂t

)

t0

dV0 +

S0

F (t0) (v · n) dS0

essendo V0 un volume fisso nello spazio che nell’istante in considerazione coincide con il volume mobile V .

Capitolo 14

I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

• Il moto dei fluidi é controllato da alcuni principi fondamentali della fisica. Enunceremo nel seguito:

− il principio di conservazione della massa − il principio della quantitá di moto − il principio del momento della quantitá di moto che verranno utilizzati nel corso

IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA

“La massa associata ad un volume materiale di fluido é costante nel tem- po”

IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO

“La derivata rispetto al tempo della quantitá di moto di un volume ma- teriale di fluido é uguale alla risultante delle forze che l’esterno esercita sul volume di fluido”

IL PRINCIPIO DEL MOMENTO DELLA QUANTITA’ DI MOTO

“La derivata rispetto al tempo del momento della quantitá di moto di un volume materiale di fluido é uguale al momento risultante delle forze che l’esterno esercita sul volume di fluido”

• Vediamo ora a quali equazioni conducono i principi enunciati preceden-

75

76 CAPITOLO 14. I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

temente

IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MAS- SA

Figura 14.1:

Dalla definizione stessa di densitá, la massa infinitesima associata al volume infinitesimo dV é ρdV .

La massa del volume materiale V (t) é dunque fornita dalla somma dei contributi derivanti da tutti i volumi infinitesimi che compongono V (t). Si ha dunque

M (t) =

V (t)

ρdV

e il principio di conservazione della massa impone la costanza di M

d

dt

V0

ρdV = 0.

Utilizzando il teorema del trasporto si puó anche scrivere

V (t)

∂ρ

∂t dV0 +

S0

ρ(v · n)dS0

Per quanto esposto nel capitolo 13 la quantitá

S0

ρ(v · n)dS0 = 0

77

rappresenta la massa di fluido che attraversa la superficie S0 nell’unitá di tempo. Tale quantitá é detta “portata massica”. Il principio della conserva- zione della massa impone che

S0

ρ(v · n)dS0 = − ∫

V0

∂ρ

∂t dV0

In altre parole la portata massica deve uguagliare la derivata temporale della massa contenuta all’interno di V0 cambiata di segno.

In particolare se la densitá del fluido é costante, essendo inoltre V0 co- stante, la portata massica associata a S0 deve annullarsi. Tanto fluido entra in V0, tanto deve uscire, non essendo possibile che il fluido si accumuli in V0 per variazioni di densitá.

IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA DI MOTO

Come discusso nel punto precedente la massa infinitesima associata al volume dV risulta pari a ρdV .

La quantitá di moto della massa ρdV sará ρvdV . Si noti che la quantitá di moto é una grandezza vettoriale la cui direzione

e verso coincidono con quelli di v . La quantitá di moto del volume V (t) sará dunque fornita da

V

ρvdV

. Il principio della quantitá di moto impone dunque

d

dt

V (t)

ρvdV =

V (t)

ρfdV +

S(t)

tdS

dove le forze che l’esterno esercita su V sono state suddivise in forze di massa e forze di superficie (vedi capitolo 2). Utilizzando il teorema del trasporto si puó anche scrivere

V0

∂(ρv)

∂t dV0 +

S0

ρv(v · n)dS0 = ∫

V0

ρfdV0 +

S0

tdS0

o in forma compatta

I+M = G+Π

Dove

I =

V0

∂(ρv)

∂t dV0 é il termine di inerzia locale

78 CAPITOLO 14. I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

M =

S0

ρv(v · n)dS0 é il flusso di quantitá di moto attraverso S0

G =

V0

ρfdV0 é la risultante delle forze di massa sul volume V0. 1

Π =

S0

tdS0 é la risultante delle forze di superficie sulla superficie S0.

Spesso il termine M viene suddiviso in due contributi

M = Mu −Mi dividendo la superficie S0 in due parti. Nella prima v · n é positivo e il

fluido esce da V0, nella seconda v · n é negativo e il fluido entra in V0. Mu rappresenta quindi il flusso di quantitá di moto in uscita mentre Mi quello in ingresso. Resta da sottolineare che sia Mu che Mi sono quantitá vettoriali la cui direzione é coincidente con quella della velocitá v. Segue che −Mi é un vettore opposto a Mi.

IL PRINCIPIO DEL MOMENTO DELLA QUANTI- TA DI MOTO

Procedendo come nei punti precedenti, il principio del momento della quantitá di moto fornisce

d

dt

V

x× (ρv) dV = ∫

V

x× (ρf) dV + ∫

S(t)

x× tdS

o, applicando il teorema del trasporto

V0

∂t [x× (ρv)] dV0+

S0

x×(ρv)(v ·n)dS0 = ∫

V0

x×(ρf) dV0+ ∫

S0

x×tdS0.

• Per concludere questa lezione illustriamo alcune semplici applicazioni dei principi della quantitá di moto e del momento della quantitá di moto in forma integrale che dimostra la capacitá della relativa equazione di consentire la soluzione di problemi anche complessi.

Si consideri un getto che orizzontalmente va a urtare una superficie verti- cale. Siano U0 e Ω la velocitá del fluido nel getto e la sezione di quest’ultimo (vedi figura 14.2). Si calcoli la forza F che il getto esercita sulla superficie.

1Nel caso di campo di forze gravitazionali G corrisponde al peso di V0.

79

Figura 14.2:

Soluzione: il problema puó essere risolto utilizzando l’equazione del principio della quantitá di moto in forma integrale

I+Mu −Mi = G +Π Per procedere é necessario in primo luogo individuare il volume V . E

evidente che l’equazione precedente vale qualunque volume si scelga, ma una scelta opportuna consente la soluzione del problema mentre altre scelte non conducono a utili espressioni. Per risolvere il problema in esame consideria- mo il volume (detto il controllo) tratteggiato in figura 14.3 e introduciamo un sistema di riferimento. Notiamo inoltre che per la simmetria del proble- ma la forza F sará diretta lungo l’asse x. E’ conveniente quindi proiettare lequazione del principio della quantitá di moto lungo la direzione x

Ix +Mux −Mix = Gx +Πx

Assumendo il problema stazionario il termine

Ix =

V0

∂(ρu)

∂t dV0

sará nullo. Si noti che v é stato espresso come (u, v, w). Se inoltre assumiamo che l’asse z sia verticale, il vettore G sará parallelo

a z e quindi il termine

G =

V0

ρgxdV0

sará anch’esso nullo. Notiamo ora che dalle superfici BC e AF non esce né entra della massa in quanto v e n sono ortogonali. Si ha un flusso di massa e

80 CAPITOLO 14. I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

Figura 14.3:

quindi di quantitá di moto solo attraverso AB, CD e EF . In particolare la superficie AB contribuisce Mi a mentre le superfici CD e EF contribuiscono a Mu. Infine, notando che il vettore velocitá del fluido in uscita é parallelo all’asse y (é evidente che il fluido che attraversa le superfici CD e EF si muove parallelamente alla superficie rigida), si puó concludere che

Mux = 0.

Risulta inoltre

Mix =

ρU20 dΩ = ρU 2 0Ω

essendo la velocitá del fluido un ingresso pari a U0 e uniformemente distri- buita su Ω. Come detto precedentemente Π rappresenta la risultante delle forze di superficie che l’esterno esercita sul fluido contenuto all’interno di V0. Sulle superfici AB, BC, CD, EF e FA la pressione relativa é nulla e non esistono (o sono trascurabili) le tensioni tangenziali. Segue quindi che Π é pari a −F (principio di azione e reazione) e in particolare é

Πx = −Fx Si puó quindi concludere

−ρU20Ω = −Fx oppure

Fx = ρU 2 0Ω

Il problema illustrato verrá poi ripreso nel seguito per illustrare come sia possibile estrarre energia dal getto e trasformarla in lavoro. A causa della

81

particolare simmetria del problema in questo caso é evidente che la retta di azione di Fx passa per l’origine degli assi.

6Ω

x

y

θ

3

5

4

U

U

U

1

2

Y F

Figura 14.4:

Se la piastra fosse inclinata, dopo aver inserito il sistema di assi illustrato in figura 14.4, applicando l’equazione della quantitá di moto in direzione x al volume di fluido tratteggiato e ragionando analogamente al caso precedente, si ottiene:

F = ρU2Ω1 sin θ

mentre la componete lungo y del principio della quantitá di moto, unita al principio di conservazione della massa, consente di calcolare Ω2 e Ω3 :

Ω2 = Ω1 2

(1 + cos θ) Ω3 = Ω1 2

(1− cos θ)

E evidente che in questo caso la retta di azione di F non passa per l’origine degli assi.

La determinazione della retta di azione della forza F richiede l’applicazio- ne del principio del momento della quantitá di moto, sempre in riferimento al volume tratteggiato. Ricordando che il problema é piano, stazionario e che si suppone che la gravitá sia diretta lungo z, la componente lungo z dell’equazione che esprime il principio del momento della quantitá di moto risulta:

S0

(ζ × ρv) (v · n) dS0 = ∫

S0

ζ × t (14.1)

essendo ζ il vettore distanza dell’elemento dS dall’origine degli assi e S0 la superficie del volume di controllo tratteggiato che puó essere scomposta nelle superfici Ω1, Ω2, Ω3, Ω4, Ω5 e Ω6 mostrate in figura 14.4. Si ottiene:

82 CAPITOLO 14. I PRINCIPI DELLA MECCANICA DEI FLUIDI

Ω1

(ζ × ρv) (v · n) dS = 0 ∫

Ω2

(ζ × ρv) (v · n) dS = −ρU2d 2 2

2 ∫

Ω3

(ζ × ρv) (v · n) dS = −ρU2d 2 3

2 ∫

Ω4

(ζ × ρv) (v · n) dS = ∫

Ω5

(ζ × ρv) (v · n) dS = ∫

Ω6

(ζ × ρv) (v · n) dS = 0

Avendo indicato con d2 e d3 l’altezza delle superfici Ω2 e Ω3 che risultano essere rettangoli di larghezza unitaria.

Le uniche tensioni agenti sul volume di controllo sono dunque quelle esercitate dalla piastra in risposta alla sollecitazione del fluido:

S0

ζ × tdS0 = ∫

Ω6

ζ × tdS0 = −FY

avendo indicato con Y la posizione della retta di azione di F e con F, come consuetudine, il modulo della forza F. Sostituendo le relazioni trovate nella 14.1 si ottiene:

ρU2

2

(

d22 − d23 )

= FY

da cui

Y = ρU2

2F

(

d22 − d23 )

Capitolo 15

LE CORRENTI FLUIDE

Lo studio del moto dei fluidi nel caso generale é estremamente complesso e la scrittura delle equazioni necessarie a determinare il campo di moto e lo stato di tensione cośı come la descrizione delle tecniche di soluzione di tali equazioni sono argomenti propri dei corsi della laurea specialistica. Ci limiteremo qui ad analizzare un caso particolare ma molto frequente e di notevole rilevanza applicativa che é quello delle correnti.

Le correnti fluide sono definite come un moto in cui la velocitá é “sensi- bilmente” parallela a una direzione che é facile individuare. Con il termine “sensibilmente” accettiamo che la direzione della velocitá si discosti localmen- te da quella della corrente anche se gli angoli formati da v e dalla direzione della corrente devono essere comunque piccoli e tali da poter essere trascu- rati. Si dice anche che una corrente é un moto quasi unidirezionale.

• Definiamo ora alcune grandezze tipiche delle correnti: - Sezione della corrente: Ω La sezione di una corrente é la superficie individuata dall’intersezione di

un piano ortogonale alla direzione della corrente con il dominio fluido. - Asse della corrente e ascissa curvilinea s L’asse della corrente é il luogo geometrico dei baricentri delle diverse se-

zioni. E’ possibile introdurre un’ascissa curvilinea lungo l’asse della corrente. - Portata volumetrica della corrente: Q La portata volumetrica della corrente é definita come il flusso di volume

(di fluido) attraverso la generica sezione Ω

Q =

(v · n) dΩ

Abbiamo giá visto (Capitolo 13) che considerando una superficie infinite- sima (in questo caso dΩ) di normale n, il volume di fluido che attraversa dΩ

83

84 CAPITOLO 15. LE CORRENTI FLUIDE

Figura 15.1:

nel tempo dt é fornito dall’espressione (v · n) dtdΩ, avendo assunto che tutte le particelle fluide che si trovano su dΩ all’istante iniziale si muovono con la stessa velocitá v e percorrono la distanza vdt nel tempo dt. Definito il flusso come il volume che attraversa la superficie Ω rapportato al tempo deriva

Q =

(v · n) dΩ

- Portata massica della corrente: Qm La portata massica della corrente é definita come il flusso di massa (di

fluido) che attraversa la generica sezione Ω

Qm =

ρ (v · n) dΩ

- Portata ponderale della corrente: Qp La portata ponderale della corrente é definita come il flusso di peso (di

fluido) che attraversa la generica sezione Ω

Qp =

ρg (v · n) dΩ

- La velocitá media sulla sezione: U Muovendosi all’interno di una sezione, la velocitá assume valori diversi. E’

quindi utile definire il valore medio che la velocitá assume su Ω. Considerando che la velocitá é “sensibilmente” ortogonale a Ω, é opportuno considerare solo la componente di v perpendicolare a Ω. Si ha quindi

U = 1

v · ndΩ

Nei moti laminari (si rimanda ai corsi di laurea specialistica per una definizione precisa del regime di moto laminare e di quello turbolento) la

85

,

Figura 15.2:

velocitá si discosta anche sensibilmente da U mentre nei moti turbolenti la distribuzione di velocitá sulla sezione tende ad essere molto piatta e pari ad U .

- Il carico piezometrico h Nel Capitolo 4 é stato definito il carico piezometrico h come somma della

quota z e della quantitá p/γ e si é visto che in un fluido in quiete h risulta costante. E’ possibile dimostrare (anche se ció non verrá qui fatto) che il valore di h non varia muovendosi su una sezione, mentre h varia al variare di s. E’ quindi possibile attribuire un valore di h alla sezione.

h = z + p

γ

- il carico totale H Al carico piezometrico é possibile aggiungere la quantitá v

2

2g = v·v

2g detta

carico cinetico e ottenere il carico totale. E’ facile vedere che il carico cine- tico rappresenta l’energia cinetica del fluido per unitá di peso, cioé l’energia cinetica di una massa di fluido divisa per il peso del fluido.

Analogamente é possibile vedere che il termine z del carico piezometrico rappresenta l’energia potenziale per unitá di peso.

Il termine p/γ, detto carico di pressione, rappresenta un’energia per unitá di peso non posseduta dai corpi rigidi. Dimensionalmente h,H ,z, p/γ, v

2

2g sono

delle lunghezze e si misurano in metri nel sistema metrico internazionale. Siccome la velocitá non é costante sulla sezione é opportuno definire il

carico totale mediato sulla sezione

86 CAPITOLO 15. LE CORRENTI FLUIDE

H = 1

(

h+ v2

2g

)

dΩ = h+ 1

v2

2g dΩ

Tenendo conto che la componente della velocitá normale alla superficie puó essere scritta come somma di U piú uno scarto u che per definizione ha media nulla sulla sezione

v · n = U + u con

1

udΩ = 0

si ha

1

v2

2g dΩ =

1

1

2g

(U + u)2 dΩ = 1

1

2g

U2 (

1 + u

U

)2

dΩ =

= U2

2g

1

[

1 +

(

u

U

)2 ]

dΩ

Essendo in generale u ≪ U e quindi (u/U)2 ≪ 1 si puó scrivere

H ∼= h+ U 2

2g

- Flusso di energia meccanica di una corrente Nei punti precedenti abbiamo visto che a una corrente possiamo associare

una portata di fluido cioé un flusso di volume. Q rappresenta il volume di fluido che attraversa Ω nell’unitá di tempo. Al volume di fluido che attra- versa Ω possiamo associare una massa, un peso ed evidentemente un’energia. Possiamo quindi definire il flusso di energia associato ad una corrente come

P =

(v · n) γHdΩ

essendo H l’energia per unitá di peso. Segue

P ∼= ∫

γ (v · n) [

h + U2

2g

]

dΩ ∼= γQH

Per ultimo sottolineamo che tutte le grandezze caratterizzanti le correnti (U,Q, h,H, . . . ) risultano funzioni dell’ascissa s e del tempo t .

Per la determinazione di U,Q, h, . . . si utilizzano delle equazioni che deri- vano dai principi enunciati nel capitolo 14 e che verranno ricavate nel capitolo 16 e nel capitolo 17.

Capitolo 16

IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA PER UNA CORRENTE: L’EQUAZIONE DI CONTINUITA’

Nel capitolo 14 si é visto che il principio di conservazione della massa conduce a

V0

∂ρ

∂t dV0 +

S0

ρ (v · n) dS0 = 0

Applichiamo l’equazione precedente al volume di controllo V0 (vedi figura 16.1) individuato dal contorno della corrente al tempo t e dalle sezioni di ascisse s e s+ ds (volume tratteggiato). La linea tratteggiata sia il contorno della corrente al tempo t+ dt.

Il primo termine dell’equazione derivante dal principio di conservazione della massa puó essere approssimato nel seguente modo:

V0

∂ρ

∂t dV0 ∼=

(

∂ρ

∂t Ω

)

s,t

ds

dove (Ω)s,t ds, a meno di termini di ordine ds 2, rappresenta il volume V0 e

dove le quantitá ∂ρ ∂t

e Ω possono essere valutate in s e al tempo t. Il secondo termine rappresenta il flusso di massa attraverso la superficie

S0 che delimita V0, positivo se uscente. Dalla sezione posta in s+ ds il flusso é [ρQ]s+ds,t mentre il flusso corrispondente alla sezione posta in s é [ρQ]s,t. La massa uscita nell’intervallo dt dalla superficie laterale del volume di controllo

87

88CAPITOLO 16. IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA PER UNA CORRENTE:

Figura 16.1:

pari al prodotto di ρ per il volume punteggiato in figura, quest’ultimo essendo pari a

[

∂Ω

∂t

]

s,t

dtds

il flusso legato alla superficie laterale sará dunque

[

ρ ∂Ω

∂t

]

s,t

ds

L’equazione derivante dal principio di conservazione della massa, detta anche equazione di continuitá, risulta dunque

[

∂ρ

∂t

]

s,t

+ [ρQ]s+ds,dt − [ρQ]s,dt + [

ρ ∂Ω

∂t

]

s,t

= 0

[

∂ρ

∂t

]

s,t

+ [ρQ]s,dt +

[

∂ (ρQ)

∂s

]

s,t

ds− [ρQ]s,dt + [

ρ ∂Ω

∂t

]

s,t

= 0

Come detto in precedenza, questa é l’equazione di continuitá per le cor- renti.

89

• Nel caso di un moto stazionario, un moto cioé in cui le grandezze non dipendono dal tempo si ha

d (ρQ)

ds = 0

Si noti che la derivata rispetto a s é ora ordinaria, considerato che sia ρ sia Q dipendono solo da s.

Segue

ρQ = costante

la portata massica lungo le correnti stazionarie si mantiene dunque co- stante. Se inoltre il fluido in esame é a densitá costante l’equazione di continuitá impone

Q = costante.

Essendo Q = UΩ, quando la sezione diminuisce la velocitá aumenta, quando invece la sezione aumenta la velocitá diminuisce.

Figura 16.2:

Ció non é vero se il fluido é a densitá variabile. In tal caso infatti si deve mantenere costante il prodotto ρQU .

• Nel caso di un condotto a sezione indipendente dal tempo (per esempio un condotto in acciaio) e di un fluido a densitá costante si ha

∂Q

∂s = 0.

Si noti che la derivata rispetto a s rimane parziale. La funzione Q che soddisfa l’equazione precedente é

Q = Q (t) = Ω (s)U (s, t) .

90CAPITOLO 16. IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA PER UNA CORRENTE:

Se poi la sezione é costante si ha

U = U (t)

cioé quello che si definisce un moto in blocco. Infatti in ogni sezione la velocitá é uguale anche se essa varia nel tempo.

Capitolo 17

IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO: LEQUAZIONE DEL MOTO

• Nel capitolo 14 si é visto che il principio della quantitá di moto conduce a ∫

V0

∂ (ρv)

∂t dV0 +

S0

ρv (v · n) dS0 = ∫

V0

ρfdV0 +

S0

tdS0

Figura 17.1:

Applichiamo l’equazione precedente al volume di controllo V0 (vedi figura 17.1) individuato dal contorno della corrente al tempo t e dalle sezioni poste all’ascissa s e allascissa s + ds (volume tratteggiato). La linea tratteggiata sia il contorno della corrente al tempo t+dt. Infine l’angolo α denoti l’angolo formato dall’asse della corrente con un piano orizzontale e il campo di forze f sia quello gravitazionale.

L’equazione considerata é un’equazione vettoriale. Essendo il vettore velocitá parallelo all’ascissa curvilinea s, proiettiamo l’equazione lungo s

91

92CAPITOLO 17. IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO: LEQUAZIONE DEL MOTO

Is +Mus −Mis = Gs +Πs Il termine Is puó essere approssimato dalla relazione

Is =

[

∂ (ρU)

∂t

]

s,t

(Ω)s,t ds

dove (Ω)s,t ds, a meno di termini di ordine ds 2, rappresenta il volume V0. La

derivata rispetto al tempo di ρU puó essere valutata al tempo t e all’ascissa s comportando cioé un errore in Is di ordine ds

2 e dsdt. Il fluido entra nel volume di controllo solo attraverso la sezione posta in s.

Il flusso di quantitá di moto in ingresso, proiettato nella direzione s é quindi

Mis = (ρQu)s,t

Il flusso di quantitá di moto in uscita é dato dalla somma di due termini

Mus = (ρQU)s+ds,t + (ρ)s,t

(

∂Ω

∂t

)

s,t

ds (U)s,t

Il primo termine rappresenta il flusso di quantitá di moto in uscita dalla se- zione caratterizzata dall’ascissa s+ds, il secondo é legato al flusso di quantitá di moto attraverso la superficie laterale. Invero come discusso nel capitolo 16 il termine

(ρ)s,t

(

∂Ω

∂t

)

ds

é il flusso di massa attraverso la superficie laterale del volume di control- lo che trascina con se quantitá di moto nella direzione s. Il termine Gs é

Figura 17.2:

facilmente calcolabile e risulta

Gs = − (Ω)s,t ds (ρ)s,t g sinα

93

Resta infine da calcolare Πs. Sulla sezione caratterizzata dall’ascissa s, la distribuzione della pressione é idrostatica (vedi capitolo 15) cośı come sulla sezione posta in s + ds. Le tensioni tangenziali agenti sulle sezioni poste in s e s + ds non forniscono alcun contributo a Πs.

Sulla superficie laterale, l’esterno esercita una tensione che ha una com- ponente normale alla superficie e una tangente. Entrambe le componenti forniscono un contributo a Πs. Con riferimento alla figura 17.2 e denotando con β l’angolo (piccolo) che il contorno forma con l’asse s, si ha

Πs = (pΩ)s,t − (pΩ)s+ds,t + (p)s,t Sℓ sin β − (τ)s,t Sℓb cos β

Nell’espressione precedente mentre Sℓ indica tutta la superficie laterale del volume di controllo, Sℓb é quella parte a contatto con un contorno solido in grado cioé di esercitare una resistenza al moto del fluido. Analizzando la geometria del problema é possibile dedurre che

Sℓ sin β =

(

∂Ω

∂s

)

s,t

ds

Sℓb = (B)s,t ds

essendo B la parte del perimetro della generica sezione a contatto con un contorno solido ( B é detto perimetro bagnato).

L’equazione della quantitá di moto porge dunque

[

∂ (ρU)

∂t

]

s,t

(Ω)s,t ds+ (ρQU)s+ds,t +

(

ρ ∂Ω

∂t U

)

s,t

ds− (ρQU)s,t = −

− (ρΩ)s,t g sinαds+ (pΩ)s,t − (pΩ)s+ds,t + (ps,t) (

∂Ω

∂s

)

s,t

ds− (τB)s,t ds

dove si é anche assunto che β sia cośı piccolo da poter considerare cos β ∼= 1. Tenendo conto che

(ρQU)s+ds = (ρQU)s + ∂ (ρQU)

∂s ds+O

(

ds2 )

(pΩ)s+ds = (pΩ)s + ∂ (pΩ)

∂s ds+O

(

ds2 )

e che il sinα puó essere espresso come ∂z/∂s indicando con z la quota dell’asse della corrente si ha

ρ ∂U

∂t Ω+U

∂ρ

∂t Ω+U

∂ (ρQ)

∂s +ρQ

∂U

∂s +ρ

∂Ω

∂t U = −γΩ∂z

∂s −p∂Ω

∂s −Ω∂p

∂s +p

∂Ω

∂s −τB

94CAPITOLO 17. IL PRINCIPIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO: LEQUAZIONE DEL MOTO

essendo tutte le quantitá valutate in s al tempo t. Nell’equazione prece- dente la somma dei termini sottolineati si annulla in forza dell’equazione di continuitá.

Segue, dividendo per γΩ

1

g

∂U

∂t +

1

g U ∂U

∂s = −∂z

∂s − 1

γ

∂p

∂s − τB

γΩ

o ancora ∂z

∂s +

1

γ

∂p

∂s +

∂s

(

U2

2g

)

= −1 g

∂U

∂t − τ

γRi

essendo Ri il raggio idraulico della sezione pari al rapporto fra l’area della sezione ed il perimetro bagnato

Ri = Ω

B

Infine per un fluido barotropico 1, la cui densitá é funzione solo della pres- sione, é possibile scrivere

∂H

∂s = −1

g

∂U

∂t − j

ove H = z + ∫

dp

γ + U

2

2g e j = τ

γRi .

L’equazione precedente costituisce l’equazione del moto di una corrente. Essa ci dice che il carico totale (l’energia per unitá di peso del fluido) di- minuisce nella direzione del moto a causa del termine −j ( j é infatti una quantitá sempre positiva) mentre il termine −1

g ∂U ∂t

puó causare variazioni o positive o negative del carico.

Il termine j corrisponde alle perdite di carico per unitá di percorso.

1Se il fluido é barotropico, cioé se γ = γ(p), si ha

∂s

dp

γ =

d

dp

dp

γ · ∂p ∂s

= 1

γ

∂p

∂s

Capitolo 18

LA VALUTAZIONE DI j

• L’equazione di continuitá e l’equazione del moto per le correnti richiedono, per essere risolte, un’espressione che leghi j alle caratteristiche cinematiche della corrente.

Per determinare tale relazione consideriamo un moto stazionario (quindi indipendente dal tempo) e uniforme (quindi indipendente dalla coordinata s). La sezione (di forma arbitraria) deve essere perció costante. Si ricordi che

j = τ

γRi

L’analisi del problema mostra che τ dipende: - dalle caratteristiche del fluido ρ, ν - dalla dimensione e dalla forma della sezione descrivibile attraverso il rag-

gio idraulico Ri (o convenzionalmente dalla dimensione 4Ri) e da parametri di forma ǫi

- dalle dimensioni della scabrezza yr che influenza senza dubbio il valore della tensione alla parete

- dalla velocitá media della corrente U (si potrebbe pensare che τ sia influenzato anche dalla portataQ. Tuttavia

avendo affermato che τ dipende da U e Ω e sapendo che Q = UΩ, sarebbe ridondante affermare che τ dipende anche da Q)

Si ha dunque

τ = f (4Ri, ǫfi, yr, U, ρ, ν)

Applicando il teorema Π (vedi capitolo 11) e scegliendo come grandezze dimensionalmente indipendenti 4Ri, U, ρ si ottiene

τ

ρU2 = f1

(

4RiU

ν , yr 4Ri

, ǫfi

)

95

96 CAPITOLO 18. LA VALUTAZIONE DI J

Figura 18.1:

La quantitá j puó dunque essere valutata utilizzando l’espressione

j = τ

γRi =

ρU2f1 ρgRi

= U2

2g

8fi 4Ri

= λ

4Ri

U2

2g

dove λ = 8fi = λ

(

4RiU

ν , yr 4Ri

, ǫfi

)

λ é detto coefficiente di resistenza e dipende dal numero di Reynolds Re = 4RiU

ν , dalla scabrezza relativa yr

4Ri e dalla forma della sezione descritta

dai parametri ǫfi.

Chiaramente per determinare λ é necessario ricorrere a misure sperimen- tali. Per un condotto a sezione circolare 4Ri = D, essendo D il diametro del condotto (infatti Ri =

piD2

4 /piD = D

4 ).

Si ha dunque

λ = λ

(

UD

ν , yr D

)

Nel grafico sottostante (denominato diagramma di Moody) é riportato l’andamento di λ in funzione di Re = UD/ν per diversi valori di ǫ = yr/D

Sempre per condotti a sezione circolare nel regime di moto turbolento esistono formule empiriche per la valutazione di λ. Una delle piú usate,

97

Figura 18.2:

anche se non esplicita, é quella di Colebrook

1√ λ = −2 log10

(

2.51

Re √ λ +

ǫ

3.71

)

Notiamo che per valori di Re tendenti ad infinito, il valore di λ risulta indipendente da Re. Quando λ dipende solo da ǫ si ha il regime di parete assolutamente scabra. Per ǫ = 0 (parete liscia) λ dipende solo da Re. Il regime di transizione é quello in cui λ dipende sia da Re che da ǫ. Si noti infine che la formula di Colebrook é valida in regime di moto turbolento (Re ≥ 2000−2200). Quando il regime di moto é laminare (Re ≤ 2000−2200) il valore di λ puó essere calcolato analiticamente (ció verrá fatto nei corsi previsti nell’ambito della laurea specialistica) e risulta

λ = 64

Re

• Per il calcolo di λ relativo a condotti di forma diversa dalla circolare si consultino libri di testo o manuali dell’ingegnere.

• L’espressione di j é stata ottenuta supponendo il moto stazionario e uniforme. Nel caso di moti lentamente variabili o di condotti lentamente

98 CAPITOLO 18. LA VALUTAZIONE DI J

convergenti o divergenti, si utilizza la stessa espressione utilizzando i valori locali e istantanei di Re e λ.1

1Un valorie indicativo di yr puó essere dedotto dalla segiente tabella. - Vetro,ottone, rame, piombo, tubi trafilati 0.1 10−4m - Tubi saldati, amianto-cemento 0.5 10−4m - Ghisa asfaltata 1.0 10−4m - Ferro galvanizzato 1.5 10−4m - Ghisa 3− 5 10−4m - Calcestruzzo 5− 50 10−4m - Tubi chiodati 10− 100 10−4m

Capitolo 19

ALCUNI PROBLEMI RELATIVI A CONDOTTE A SEZIONE CIRCOLARE

Come accennato nel capitolo 18, se consideriamo il moto stazionario di un fluido incomprimibile all’interno di una condotta a sezione circolare e costan- te, l’equazione di continuitá, (per fluido a densitá costante) porge

Q = costante ⇒ U = costante

Questa situazione, anche se particolare, é estremamente frequente nella pratica.

L’equazione del moto inoltre si semplifica e diviene

dH

ds = − λ

D

U2

2g

Siccome la sezione Ω é costante cośı come il suo diametroD e la sua scabrezza yr (se la condotta é costruita tutta di uno stesso materiale) segue che anche il coefficiente di resistenza λ é costante. Infatti

Re = UD

ν = costante; ǫ =

yr D

= costante

L’equazione del moto puó dunque essere facilmente integrata porgendo

H2 −H1 = − λ

D

U2

2g (s2 − s1) = −

λ

D

U2

2g L

essendo L la distanza fra due sezioni diverse con ascissa curvilinea s2 e s1 rispettivamente ( s2 a valle di s1) e carico totale H2 e H1. La relazione

99

100CAPITOLO 19. ALCUNI PROBLEMI RELATIVI A CONDOTTE A SEZIONE CIRCOLARE

H2 −H1 = − λ

D

U2

2g L

o l’equivalente

H2 −H1 = − λ

D

Q2

2gΩ2 L

consentono di determinare una delle caratteristiche della condotta o della corrente note le altre1.

Problema 1: calcolo delle perdite di carico

Di una condotta in ghisa asfaltata sia assegnato il diametro D e la lun- ghezza L. Conoscendo il valore della portata di acqua defluente, valutare le perdite di carico totali subite dalla corrente fra la sezione iniziale e quella finale.

Dati: D = 15cm, L = 500m, Q = 25ℓ/s

Soluzione: Dai dati disponibili é immediato calcolare la sezione Ω e quindi la velocitá

media

Ω = π D2

4 = 1.767 10−2m2, U =

Q

Ω = 1.415 m/s

Conoscendo il materiale con cui é stata realizzata la condotta é possibile valutare la scabrezza assoluta (vedi capitolo 18)

yr = 1.0 10 −4m

Segue

Re = UD

ν = 2.12 105; ǫ =

yr D

= 6.67 10−4

Dal diagramma di Moody é possibile stimare

λ = 0.0195

e quindi le perdite di carico

H2 −H1 = − λ

D

U2

2g L = −6.63 m

1Notiamo che in questo caso, essendo la velocitá costante, le equazioni precedenti possono essere anche scritte nella forma

H2 −H1 = h2 − h1 = − λ

D

U2

2g L = − λ

D

Q2

2gΩ2 L

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