Scarica Equazioni del moto per un sistema lineare a tre gradi di libertà e più Dispense in PDF di Meccanica Computazionale delle Strutture solo su Docsity! Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1 Formulazione delle equazioni del moto per un sistema lineare a tre gradi di libertà Proprietà delle matrici di rigidezza e di flessibilità Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 2 Introduzione In generale, la risposta dinamica di un sistema strutturale non può essere descritta adeguatamente da un modello a un solo grado di libertà. La massa, lo smorzamento e la rigidezza di una struttura sono raramente concentrate in un unico elemento. In questi casi la variazione nel tempo della risposta riguarda non solo l’ampiezza, ma anche la forma della configurazione deformata. Un tale comportamento può essere convenientemente descritto da un numero maggiore, ma finito, di gradi di libertà. Questi ultimi possono essere scelti come le componenti di spostamento dei punti della struttura dove sono concentrate le masse significative e a cui sono associate le forze d’inerzia principali che si sviluppano durante il moto. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 5 Le equazioni del moto 2/6 Considerando la generica configurazione deformata fIi (t)+ fDi (t)+ fSi (t) = pi (t) p3 p2 p1 u3 u2 u1 le forze indicate al primo membro dell’equazione possono essere espresse per tutti i traversi in funzione delle caratteristiche dinamiche del sistema e dei suoi gradi di libertà come segue … Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 6 Le equazioni del moto 3/6 … p3 p2 p1 u3 u2 u1 p3 fI3 = m3u3fD3 = c3(u3-u2) fS3 = k3(u3-u2) p1 fI1 = m1u1fD1 = c1u1 fS1 = k1u1 fD2 = c2(u2-u1) fS2 = k2(u2-u1) p2 fI2 = m2u2 fD3 = c3(u3-u2) fS3 = k3(u3-u2) fD2 = c2(u2-u1) fS2 = k2(u2-u1) p1 fI1 = m1u1fD1 = c1u1 fS1 = k1u1 fD2 = c2(u2-u1) fS2 = k2(u2-u1) p2 fI2 = m2u2 fD3 = c3(u3-u2) fS3 = k3(u3-u2) fD2 = c2(u2-u1) fS2 = k2(u2-u1) Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 7 Le equazioni del moto 4/6 p3 fI3 = m3u3fD3 = c3(u3-u2) fS3 = k3(u3-u2) p1 fI1 = m1u1fD1 = c1u1 fS1 = k1u1 fD2 = c2(u2-u1) fS2 = k2(u2-u1) p2 fI2 = m2u2 fD3 = c3(u3-u2) fS3 = k3(u3-u2) fD2 = c2(u2-u1) fS2 = k2(u2-u1) p1 fI1 = m1u1fD1 = c1u1 fS1 = k1u1 fD2 = c2(u2-u1) fS2 = k2(u2-u1) p2 fI2 = m2u2 fD3 = c3(u3-u2) fS3 = k3(u3-u2) fD2 = c2(u2-u1) fS2 = k2(u2-u1) Imponendo l’equilibrio alla traslazione di ogni traverso, si ottengono le seguenti tre equazioni del moto m1u1 + c1 + c2( ) u1 − c2 u2 + k1 + k2( )u1 − k2u2 = p1 m2u2 − c2 u1 + c2 + c3( ) u2 − c3 u3 − k2u1 + k2 + k3( )u2 − k3u3 = p2 m3u3 − c3 u2 + c3 u3 − k3u2 + k3u3 = p3 Introducendo i vettori delle accelerazioni, delle velocità e degli spostamenti dei gradi di libertà u(t) = u1 u2 u3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ , u(t) = u1 u2 u3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ , u(t) = u1 u2 u3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ , Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 10 Significato dei termini della matrice di rigidezza 1/2 In condizioni statiche ( ), le equazioni del moto si riducono all’equazione di equilibrio statico Ku = p p1 p2 p3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = k11 k12 k13 k21 k22 k23 k31 k32 k33 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ u1 u2 u3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ cioè u(t) = u(t) = 0 Si vuole stabilire il significato fisico dei termini kij della matrice di rigidezza K. A tale scopo si consideri la configurazione deformata corrispon- dente a u1 = u3 = 0 e u2 = 1 k32 k22 k12 1 Sostituendo nella relazione precedente si ha … Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 11 Significato dei termini della matrice di rigidezza 2/2 … p1 p2 p3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = k11 k12 k13 k21 k22 k23 k31 k32 k33 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 0 1 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = k12 k22 k32 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ I termini della seconda colonna della matrice di rigidezza, quindi, rappresentano il vettore delle forze che mantengono in equilibrio il sistema quando lo spostamento corrispondente al grado di libertà u2 è pari a uno e tutti gli altri sono nulli. Tale proprietà ha validità generale e dunque il generico termine kij della matrice di rigidezza rappresenta la forza applicata all’i-esimo grado di libertà quando lo spostamento del j-esimo grado di libertà è pari a uno e tutti gli altri sono nulli. k32 k22 k12 1 Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 12 Matrice di flessibilità I problemi statici possono anche essere formulati tramite una relazione del tipo u = Fp u1 u2 u3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = F11 F12 F13 F21 F22 F23 F31 F32 F33 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ p1 p2 p3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ La matrice F prende il nome di matrice di flessibilità. Per stabilire il significato fisico dei suoi termini, si consideri il vettore di forze statiche cioè p1 = p3 = 0 e p2 = 1 Sostituendo nella relazione precedente si ha u1 u2 u3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = F11 F12 F13 F21 F22 F23 F31 F32 F33 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 0 1 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = F12 F22 F32 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ I termini della seconda colonna della matrice di flessibilità rappresentano gli spostamenti dei gradi di libertà quando la forza p2 è pari a uno e tutte le altre sono nulle. Pertanto, il generico termine Fij della matrice di flessibilità rappresenta lo spostamento dell’i-esimo grado di libertà quando la forza applicata al j-esimo grado di libertà è pari a uno e tutte le altre sono nulle.