Prepara gli esami con i nostri Tutor Online prova gratis

Esercizi di logica matematica, Esercitazioni e Esercizi di Logica Matematica. Università di Roma La Sapienza

Logica Matematica

Descrizione: Esercizi di logica matematica
Mostro le pagine  1  -  2  di  5
La preview di questo documento finisce qui| Per favore o per leggere il documento completo o scaricarlo.
Informazioni sul documento
Caricato da: violinsara
Visite: 1000+
Downloads : 1
Universita: Università di Roma La Sapienza
Indirizzo: Matematica
Data di caricamento: 05/10/2012
Incorpora questo documento nel tuo sito web:

esercizi di Logica Matematica a.a. 09-10 foglio n. L0

1. sia M vn modello di una teoria f (cioè un'interpretazione vere tutte le formule di f); sia a una fonnula chiusa vera in M. seguenti affermazioni si possono dedurre? a) fl-o b) non è vero che f l- -'o c) fU {cr} è consistente

in cui sono Quali delle

2. Si consideri la teoria con i seguenti assiomi: (a) assiomi di gruppo (rispetto ad:un'operazione indicata con *) (b) 3x 3y [- (qy) n Yz (rx v Fy)] (c) lx 3y - (x*nt*y) La teoria è consistente (cioè non contraddittoria)? E delle tre teorie che si ottengono considerando solo due dei tre assiomi, quali sono consistenti?

3. Sia f un insieme di formule e sia a una formula chiusa tale che fu{o} è indipendente. Quali delle seguenti afferutazioni si possono dedurre? a) f U1-o) èconsistente b) C'è almeno un modello di I in cui vale a. c) C'è almeno un modello di f in cui non vale ei.

4, (Dalta prova di esonero - gennaio 2009) Scrivere una formula del calcolo dei predicati (con il simbolo "=',) che sio vera in tutte e sole le interpretazioni in cui il dominio ha esattamente 3 elementi.

5. a) Scrivere <ogni numero diverso da 0 è il successore di un numero>> nel linguaggio che contiene la costante <<0>, la funzione {')), I'uguaglianza. b) Per descrivere la shuttura dell'insieme N dei numeri naturali (nel linguaggio precedente), si può pensare ai seguenti assiomi: i primi due di PA e la formula di cui alla parte a). Trovare un modello per questa teoria, nho renn cia i.^*^rfn -.1 'hTv^^v ÀIvrl ùlg tùvltlvl. rU crij r\.

6. a) Dimostrare per induzione in PA che Vx (0+x : x). (La prece- dente uguaglianza non è un teorema della teoria PA senza induzione.) b) Dimostrare per induzione in PA che Vx Vy (x'*y: r+y'). c) Dimosfare per,induzione in PA che Vx Vy (x+y:1*x).

7. Dimostrare per induzione in PA che Vx ( -' (t = 0) - 1y (, : .y') ). (Come èbennoto, -p * q equivale a p v q)

8. Dimostrare per induzione in PA che Vx Vy Vz [(x+y)+z = x+Q*z)].

9. Dimostrare per induzione in PA che Vr (x # x').

10. Si consideri il seguente linguaggio per I'aritmetica: due costanti (<0> ed <1>) e due operazioni binarie (<+> e <'>>), oltre al simbolo (=)).

Risuivere gli assiomi detrl'aritmetica di Peano in questo nuovo linguaggio.

11. E' corretto dire che: ((una funzione da N ad N è computabile (cioè si può calcolare, almeno in linea di principio) se per ogni numero n esiste un algoritmo che fomisce il valore che la funzione assume su n>> ?

12. Da un punto di vista intuitivo, i seguenti insierni sono r.e.? Sono decidibili? a) insieme dei numeri che terminano con la crfra7 ma non sono primi; b) { n I nello sviluppo decimale di {tt compaiono due cifre rr0rr consecutive); c) { n I nétto sviluppo decimale di r/n non compare mai la cifra "0"}.

1. Fra a) {n b) {n d) {n

esercizi di Logica Matematica a.a. 09-10 foglio n. 11

i seguenti insiemi, quali sono r.e.? Quali sono decidibili? {2;7} e w, } W" E {2;7} } \u a\

gennaio 2007) Si considerino le tre una formula chiusa o (del linguaggio di

c) {n e) {n

w, q {2;7} \ Wn*A)

2. Per chi non conosce la dimostrazione di Wiles del celebre "teorema di Fermat", il seguente insieme F è r.e.? è decidibile?

F: {nl lalblc(a-0 n b*0 n c*0 A en * bn:c,t)}

3. Con quale formula si rappresenta in PA I'insieme dei numeri che non sono multipli di 3? Quaie insieme rappresenta la formula seguente?

Vx Yy I @y : n A x * l)'-- 1z (3'z : x) I 4. a) L'unione e I'intersezione di due insiemi r.e. sono a loro volta r.e.? b) Sia a(x) una formula che rappresenta un insieme A e sia f3(") una formula che rappresenta un insieme B. E' vero che la formula c(x) n B(x) rappresenta A n B ? E che a(x) v B(x) rappresenta A U B ?

5. (Dalla prova di esonero seguenti affermazioni relative ad PA). i) a è dimostrabile in PA ii) cx è vera in N iii) s è vera in tutti i modelli di PA Indicare quali delle seguenti implicazioni sono corrette:

n i) implica ii) n ii) implica iii) n iii) implica i)

6. Quali delle seguenti affermazioni seguono dal I Teorema di Gódel? (a) C'è una formula chiusa cr che è contemporaneamente vera e falsa in N (b) C'è una formula chiusa cr che non è né vera né falsa in N (c) C'è una formula chiusa a tale che in PA non si dimostrané a né -cr (d) C'è una formula chiusa cr tale che in PA si dimostra sia s sia - cr /^\ D A Ji*^^t*^ ^l*^*^ ,,-^ f^*,,1^ l-^l^^ :'^ \'r\L/ l .41 LllrrluJrtél clrlllgllu ull4 rul lltut4 tcllùd ill ^\ (0 PA non dimostra almeno una formula vera in N

7. Il risultato di sostituire <3> in <<r è pari> è: 3 è pari. La precedente affermazione non pone problemi. Tuttavia ... si applichi un procedimento analogo alla frase: Il risultato di sostituire <Il risultato di sostifuire (cr)) in <cx>>>> in <Il risultato di sostituire (tx)) in <<x>>>.

esercizi di Logica Matematica a.a. 09-10 foglio n.12 (uttimo)

1. I due seguenti insiemi sono r.e.? sono decidibili? A : { n / esistono esattamente n cifre consecutive uguali nello

sviluppo decimale di n) B : { , I esistono almeno n cifre consecutive uguali nello sviluppo

decimale di n).

lSuggerimento:le risposte relative ad A e B sono diverse fra loro. Si noti che f insieme B è finito oppure è ...; quindi, in ogni caso, è ...]

2. I seguenti insiemi sono r.e.? sono decidibili? a) f insieme dei gódeliani dei teoremi di PA b) I'insieme dei gódeliani delle dimostrazioni in PA c) I'insieme dei gódeliani delle formule false in N

3. Sia ò(r) una formula nella variabile x che rappresenta I'insieme K: {x lxCW"}; si consideri I'insieme K*: {* ll- - ò(") }, cioè f insieme dei numeri per cui è dimostrabile in PA la non appartenenza aK. Detto W" tale insieme (si tratta di un insieme r.e.), trovare esplicitamente una formula indecidibile. Q.{aturalmente, si supponga che PA sia consistente).

4. Consideriamo una formula chiusa del tipo 3x o(x), tale che in c,(x) non compaia alcun quantificatore, Dimostrare che :lx cr(x), se è vera in N, è dimostrabile in PA. (Suggerimento: non contenendo quantificatori, ct(x) è decidibile, nel senso che per ogni n si ha l- a(n) ovvero l- -cr(zz); se l: ix cr(x), allora esiste un n tale che l: a(n) e quincli ...)

5. La congettura di Goldbach afferma che <ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi>. A1 momento atfuale, non si sa se questo enunciato è un teorema di PA, né se è vero o falso in N. Dimostrare che, se ia congettura di Goldbach è indecidibile in PA, allora è vera. (Si veda I'es ercizio precedente).

6. Accettando che PA sia consistente, quaii del1e seguenti formule sono teoremi di PA? Quali sono negazioni di teoremi di PA? a) o:1 c) Theor (0:0) e) Theor (0:1)

b) 0*1 d) - Theor (0:0) D - Theor (0:1)

7. a) Quali delle formule crtate nel precedente esercizio sono vere e quali sono false in N (semprc accetîando che PA sia consistente)? b) Le formule - Theor (0:1) e Theor (0-1) sono equivalenti, nel senso che esprimono la stessa idea?

tre esercizi "facoltutivìt' (non in progrumma)

8. Una teoria si dice decidibile se f insieme dei teoremi è decidibile, indecídibile in caso contrario. Sia T una teoria indecidibile con un numero finito di assiomi {or, (r"2, ..., an). Dimostrare che T è "ereditariamente indecídibile", nel senso che ogni sottoteoria T' di T (con 1o stesso linguaggio) è indecidibile. (Suggerimento: si noti che T : T'U {...} e si applichi il teorema di deduzione.) [Si dimostra che questo è il caso di una teoria per I'aritmetica nota come teoria Q, che ha gli assiomi di PA, senza I'induzione e con in più I'assioma Yx (x l0 - 1y (*: y') ,f

9. Dedurre dall'esercizio precedente e dall'osservazione in parentesi che il calcolo dei predicati con il linguaggio dell'aritmetica (ma senza alcun assioma specifico) è indecidibile.

10. Dimostrare che, se PA è consistente, allora esiste un teorema di PA della forma 3x a(x) tale che, per ogni n, la formula a(n) non è un teorema. lSuggerimenîo. Indicando con I (il gódeliano di) una contrad- dizione, si consideri la formula lx Prov(x, I) u -3y Provb,, L) e la si scriva neiia forma:ix [Prov(x, I) v -3y ... ]. Quest'uitima formuia è ...; d'altra parte, se PA è consistente, per ogni n la fbrmula ... equivaie a ...].

tre citazíoní sulle definizioni

(Leibniz) <Le definizioni di per sé sono arbitrarie; futtavia devono adaltarsi all'uso e al consenso comune.)) (Hobbes) <Se le definizioni sono arbitrarie, tr,itta 1a matematica, che si basa sulle definizioni, è arbitraria.> (Peano) <Le definizioni sono utili ma non necessarie, perché al posto del definito si può sempre sostituire il definiente [...]. Se la nuova definizione non è più lunga e più complicata, quella definizione era poco utile. Se si incontrano difficoltà,Ia definizione non fu ben data.>

Docsity non è ottimizzato per il browser che stai usando. Per una miglior fruizione usa Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox o Safari! Scarica Google Chrome