Eserciziario del corso di Fondamenti di Meccanica - D. Rocchi, D. Tarsitano - 2009 - PoliMi, Esercizi di Meccanica Applicata alle Macchine

Scarica Eserciziario del corso di Fondamenti di Meccanica - D. Rocchi, D. Tarsitano - 2009 - PoliMi e più Esercizi in PDF di Meccanica Applicata alle Macchine solo su Docsity! DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 1 — #1 i i i i i i Eserciziario del corso di Fondamenti di Meccanica D. Rocchi, D. Tarsitano1 Politecnico di Milano Dipartimento di Meccanica Via G. La Masa, 1 20156 - Milano 18 marzo 2009 1Autore a cui rivolgersi per segnalare eventuali errori o disambiguità (davide.tarsitano@mecc.polimi.it). DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 2 — #2 i i i i i i 2 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 5 — #5 i i i i i i INDICE III Sistemi MTU (Motore Trasmissione Utilizzatore) 131 11 Ascensore 133 11.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 11.1.1 Quesito 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 11.1.2 Quesito 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.1.3 Quesito 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 11.1.4 Quesito 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11.1.5 Quesito 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 12 Automobile con carrello 145 12.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 12.1.1 Quesito 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 12.1.2 Quesito 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 12.1.3 Quesito 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 12.1.4 Quesito 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 13 Impianto di sollevamento 153 13.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 13.1.1 Quesito 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 13.1.2 Quesito 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.1.3 Quesito 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.1.4 Quesito 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.1.5 Quesito 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 14 Muletto 159 14.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 14.1.1 Quesito 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 14.1.2 Quesito 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 14.1.3 Quesito 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 14.1.4 Quesito 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 14.1.5 Quesito 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 15 Impianto di sollevamento 167 15.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 15.1.1 Quesito 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 15.1.2 Quesito 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 15.1.3 Quesito 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 15.1.4 Quesito 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 6 — #6 i i i i i i INDICE 16 Trattore 173 16.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 16.1.1 Quesito 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 16.1.2 Quesito 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 16.1.3 Quesito 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 16.1.4 Quesito 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 16.1.5 Quesito 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 16.1.6 Quesito 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 17 Macchina a regime periodico 181 17.1 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 17.1.1 Quesito 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 17.1.2 Quesito 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 17.1.3 Quesito 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 17.1.4 Quesito 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 17.1.5 Quesito 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 17.1.6 Quesito 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 IV Esercizi proposti 189 18 Cinematica e Dinamica dei sistemi articolati 191 18.1 Massa su piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 18.1.1 Risultati numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 18.2 Martellone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 18.2.1 Risultati numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 18.3 Sospensione a quadrilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 18.3.1 Risultati numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 18.4 Massa traslante collegata a un volano . . . . . . . . . . . . . 195 18.5 Disco su disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 18.6 Massa traslante con scanalatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18.7 Disco con pattino e asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 18.8 Triangolo isostatico declassato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 18.9 Cariolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 18.10Piano a L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 19 Sistemi MTU 205 19.1 Riduttore ad ingranaggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 19.1.1 Risultati numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 7 — #7 i i i i i i INDICE 19.2 Trasmissione mediante cinghia piana . . . . . . . . . . . . . . 206 19.2.1 Risultati numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 19.3 Convoglio ferroviario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 19.4 Trasmissione a cinghia con rinvio . . . . . . . . . . . . . . . . 209 19.5 Generatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 19.6 O’ Vesuvio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 10 — #10 i i i i i i DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 11 — #11 i i i i i i 1 Manovellismo deviato↺ Il manovellismo rappresentato in Figura 1.1 è costituito da una manovella OA, da una biella AB e da un disco di raggio R che rotola senza strisciare su una guida rettilinea. Siano inoltre noti i dati relativi all’atto di moto da considerare (riportati in Tabella 1.1), ovvero posizione, velocità e ac- celerazione angolare della manovella e posizione della biella nell’istante di tempo considerato. Si calcolino quindi velocità e accelerazione del centro del disco B e del punto P , posto sulla circonferenza del disco. α = π 3 α̇ = 1 rad/s α̈ = 0 rad/s2 β = 0 c = 1 2 √ 3 + 1 m OA = 1√ 3 m AB = 1 m R = 0,2 m Tabella 1.1: Dati dell’atto di moto considerato 11 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 12 — #12 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ O A B R P C α, α̇, α̈ β ω Figura 1.1: Manovellismo ordinario deviato 1.1 Risoluzione 1.1.1 Impostazione del problema Per la risoluzione del problema proposto è necessario innanzi tutto scegliere un sistema di riferimento assoluto rispetto al quale definire le grandezze nec- essarie per la risoluzione. Si posizioni quindi la terna di riferimento assoluta nell’unico punto che rimane sempre fermo durante il moto del sistema, ossia la cerniera O della manovella. É inoltre conveniente posizionare il sistema di riferimento appena descritto e mostrato in Figura 1.2, in un piano com- plesso facendo coincidere l’asse delle ascisse con l’asse reale e quello delle ordinate con l’asse immaginario. Si adotti quindi la convenzione per cui i vettori siano definiti mediante il loro modulo e la loro anomalia valutata rispetto ad una retta parallela alla direzione orizzontale passante per il piede del vettore stesso e con direzione di rotazione positiva antioraria. Per ottenere l’equazione di chiusura si definisca la posizione del pun- to B rispetto alla terna assoluta adottata. Il punto B può essere visto come punto appartenente all’asta AB collegata tramite la cerniera in A al- la manovella OA. Associando un vettore a ciascun corpo rigido, cos̀ı come riportato in Figura 1.3, il vettore posizione (B −O) risulta come segue. (B −O) = (A −O) + (B −A) (1.1) Il vettore (B −O) risulta avere sia il modulo che l’anomalia variabili 12 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 15 — #15 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ O A B α, α̇, α̈ a⃗ b⃗ c⃗ d⃗ I R H δ β Figura 1.5: Configurazione deformata del sistema rimandando alla seconda parte dello svolgimento il calcolo della velocità e accelerazione del punto P . L’equazione di chiusura sui vettori posizione ha dunque la seguente espressione. a⃗ + b⃗ = c⃗ + d⃗ (1.3) Conviene a questo punto introdurre la notazione esponenziale, in cui si fa corrispondere all’asse orizzontale e a quello verticale rispettivamente l’asse reale e quello immaginario del piano complesso. a⃗ = aeiα b⃗ = beiβ c⃗ = ceiγ d⃗ = deiδ (1.4) Tale equazione può essere espressa in modo analogo cos̀ı come sottori- portato. aeiα + beiβ = ceiγ + deiδ (1.5) L’equazione di chiusura dei vettori posizione appena scritta può es- sere proiettata sui due assi reale ed immaginario ottenendo la seguente espressione. { a cosα + b cosβ = c cosγ + d cos δ a sinα + b sinβ = c sinγ + d sin δ (1.6) 15 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 16 — #16 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ 1.1.2 Calcolo delle velocità Per ricavare la velocità e l’accelerazione del punto B, si deve derivare rispet- to al tempo l’equazione di chiusura (1.5), tenendo presente che i moduli a e b sono costanti in quanto rappresentano rispettivamente le lunghezze delle aste OA e AB che sono corpi rigidi. Il vettore d⃗ è costante in modulo e di- rezione in quanto rappresenta la distanza dall’asse reale del centro del disco che rotola su una guida rettilinea. Infine l’angolo γ è costante in quanto il vettore c⃗ rimane sempre parallelo all’asse reale. I termini funzione del tempo nell’equazione di chiusura sono dunque gli angoli α e β e il modu- lo c. Derivando dunque l’espressione (1.5) rispetto al tempo si ottiene la seguente espressione. aα̇ei(α+ π 2 ) + bβ̇ei(β+π2 ) = ċeiγ (1.7) Proiettando l’equazione (1.7) sull’asse reale ed immaginario, ricordando che sin (ϑ + π 2 ) = cosϑ e che cos (ϑ + π 2 ) = − sinϑ, è possibile ottenere il seguente sistema di equazioni nelle due incognite β̇ e ċ. { −aα̇senα − bβ̇senβ = ċ cosγ aα̇ cosα + bβ̇ cosβ = ċsenγ (1.8) Alla medesima espressione si poteva arrivare derivando direttamente le proiezioni sugli assi reale ed immaginario dell’equazione di chiusura dei vet- tori posizione. Il sistema di equazioni sopra riportato può essere riscritto in forma matriciale cos̀ı come riportato nell’equazione seguente. [− cosγ −b sinβ− sinγ +b cosβ]{ ċβ̇} = { aα̇ sinα−aα̇ cosα} (1.9) In tale sistema sono state messe in evidenza le due incognite ċ e β̇, mentre la variabile α̇ risulta nota e quindi è stata inserita nel termine noto. Alla soluzione dell’equazione (1.9) si può giungere sfruttando un qualsiasi metodo di risoluzione di sistemi lineari, come, ad esempio, il metodo di Cramer1. Ricordando quindi che β = 0 e che γ = 0 si ottengono i seguenti 1Il metodo di Cramer è un teorema di algebra lineare utile per risolvere un sistema di equazioni lineari usando il determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione. Dato quindi il sistema lineare Ax = b l’i-esimo elemento xi del vettore delle incognite x può essere calcolato come segue. xi = detAi detA 16 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 17 — #17 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ risultati numerici. { ċ β̇ } = { −aα̇ sinα(−aα̇ cosα) /b} = { −0,5 m/s−0,29 rad/s} (1.10) Prima di procedere è possibile osservare che l’aver ottenuto due velocità ċ e β̇ negative significa che il disco si sta muovendo avvicinandosi ad O, mentre la manovella (asta AB) sta ruotando in senso orario. 1.1.3 Calcolo delle accelerazioni Per ricavare le accelerazioni si deriva rispetto al tempo l’equazione (1.7), ottenendo la seguente equazione. iaα̈eiα − aα̇2eiα + ibβ̈eiβ − bβ̇2eiβ = c̈eiγ (1.11) Ricordando che la moltiplicazione per l’untità immaginaria i compor- ta uno sfasamento del vettore complesso di π 2 , è possibile riscrivere la precedente equazione cos̀ı come segue. aα̈ei(α+ π 2 ) + aα̇2ei(α+π) + bβ̈ei(β+π2 ) + bβ̇2ei(β+π) = c̈eiγ (1.12) L’equazione appena scritta può quindi essere scomposta sui due assi reale ed immaginario ottenendo il sistema di equazioni (1.13). { −aα̈senα − aα̇2 cosα − bβ̈senβ − bβ̇2 cosβ = c̈ cosγ aα̈ cosα − aα̇2senα + bβ̈ cosβ − bβ̇2senβ = c̈ sinγ (1.13) L’equazione appena scritta può essere rappresentata sotto forma matri- ciale cos̀ı come segue. [− cosγ −bsenβ− sinγ b cosβ ]{ c̈β̈} = {bβ̇ 2 cosβ + aα̈senα + aα̇2 cosα bβ̇2senβ + aα̇2senα − aα̈ cosα} (1.14) Tenendo nuovamente conto dei dati relativi all’atto di moto considerato (β = 0 e che γ = 0), l’equazione (1.14) ammette come soluzione i seguenti valori di c̈ e β̈. { c̈ β̈ } = {−bβ̇2 − aα̈senα − aα̇2 cosα(aα̇2senα − aα̈ cosα) /b } = {−0,37 m/s 2 0,5 rad/s2 } (1.15) Dove, nella precedente equazione, la matrice Ai è costruita sostituendo l’i-esima colonna della matrice A con il vettore dei termini noti b. 17 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 20 — #20 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ Sono note le direzioni di ciascun vettore e il modulo della velocità v⃗ (tr) B , mentre l’incognita è la il modulo del vettore v⃗ (Rel) B . Lo schema vettoriale delle tre componenti di velocità del punto B è riportato in Figura 1.7. É quindi possibile scrivere ciascun vettore della tabella sopra riportata con notazione complessa. v⃗ (Ass) B = ċeiγ v⃗ (Tr) B = aα̇ei(α+π/2) v⃗ (Rel) B = bβ̇ei(β+π/2) (1.20) Sostituendo quindi le relazioni appena scritte nell’equazione del teorema di Galileo sopra riportata, è possibile ottenere l’equazione (1.21), che risulta identica alla (1.7), precedentemente calcolata con il metodo dei numeri complessi. ċeiγ = aα̇ei(α+π2 ) + bβ̇ei(β+π2 ) (1.21) ∣ ∣ ∣ ~v (Tr) B ∣ ∣ ∣ = |aα̇| ∣ ∣ ∣ ~v (Ass) B ∣ ∣ ∣ = |ċ| ∣ ∣ ∣ ~v (Rel) B ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ bβ̇ ∣ ∣ ∣ ⊥AB ‖ℜ 0, 1m s Figura 1.7: Poligono di chiusura sulle velocità Dalla Figura 1.7 si evince che, affinché il poligono delle velocità risulti chiuso, il disco deve muoversi verso sinistra e la biella deve ruotare in senso orario. 20 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 21 — #21 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ Per il calcolo del’accelerazione del centro del disco è possibile ricorrere all’utilizzo del teorema di Coriolis sotto riportato. a⃗ (Ass) B = a⃗(Tr)B + a⃗(Rel)B + a⃗(Co)B (1.22) É possibile evidenziare i termini dell’equazione (1.22) cos̀ı come segue: a⃗ (Ass) B è l’accelerazione assoluta del punto B; a⃗ (Tr) B è l’accelerazione di trascinamento del punto B, avente una componente normale a⃗ (Tr) Bn e una tangenziale a⃗ (Tr) Bt ; a⃗ (Rel) B è l’accelerazione relativa del punto B rispetto alla terna mo- bile posizionata in A, avente una componente normale a⃗ (Rel) Bn e una tangenziale a⃗ (Rel) Bt ; a⃗ (Co) B = è l’accelerazione di Coriolis che risulta nulla, avendo scelto una terna mobile è traslante, che quiondi ha velocità angolare della terna mobile ω⃗ = 0. É possibile, anche in questo caso, separare il modulo e la direzione di ciascun vettore, ottenendo quanto riportato in Tabella 1.4; oppure è pos- sibile fornire una rappresentazione grafica del polinomio di chiusura delle accelerazioni, cos̀ı come riportato in Figura 1.8 (in cui il termine di accel- erazione di trascinamento tangenziale a⃗ (tr) Bt non è rappresentato in quanto l’accelerazione α̈ = 0). a⃗ (a) B a⃗ (tr) Bn a⃗ (tr) Bt a⃗ (rel) Bn a⃗ (rel) Bt a⃗ (Cor) B Modulo c̈ aα̇2 aα̈ bβ̇2 bβ̈ 0 Direzione ∥X ∥AO –AO ∥AB –AB − Tabella 1.4: Componenti vettoriali equazione di chiusura delle accelerazioni Anche per le accelerazioni, le direzioni di ciascun vettore sono note, mentre le incognite risultano il modulo dell’accelerazione a⃗ (rel) Bt . 21 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 22 — #22 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ É quindi possibile scrivere ciascun termine della Tabella 1.4 con no- tazione complessa, ottenendo i seguenti termini. a⃗ (Ass) B = c̈eiγ a⃗ (Tr) Bn = aα̇2ei(α+π) a⃗ (Tr) Bt = aα̈ei(α+π2 ) a⃗ (Rel) Bn = bβ̇2ei(β+π) a⃗ (Rel) Bt = bβ̈ei(β+π2 ) (1.23) Sostituendo le relazioni appena scritte nell’equazione (1.22) è possibile ottenere la seguente equazione di chiusura sulle accelerazioni, che risulta formalmente identica alla (1.12) precedentemente calcolata con il metodo dei numeri complessi. c̈eiγ = aα̈ei(α+π2 ) + aα̇2ei(α+π) + bβ̈ei(β+π2 ) + bβ̇2ei(β+π) (1.24) ∣ ∣ ∣ ~a (Ass) B ∣ ∣ ∣ = |−c̈| ∣ ∣ ∣ ~a (Rel) Bt ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ bβ̈ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ~a (Rel) Bn ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ bβ̇2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ~a (Tr) Bn ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣aα̇2 ∣ ∣ 0, 1 m s2 Figura 1.8: Poligono di chiusura sulle accelerazioni Anche in questo caso, affinché il poligono si chiuda, il disco (e quindi il punto B) deve acceolerare verso sinistra e l’accelerazione angolare della biella deve essere antioraria, ovvero la sua velocità angolare sta diminuendo, avvicinandosi quindi ad al punto morto inferiore. 22 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 25 — #25 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ rottazione della manovella, assunta costante e pari a α̇ = 1 rad/s. Nella seguente Figura 1.11 sono state rappresentate le differenti config- urazioni assunte dal sistema per differenti angoli di manovella α. In tale figura sono inoltre state rappresentate in colore nero le parti comuni ai due sistemi (manovella), mentre i colori blu e rosso sono stati rispettivamente utilizzati per la configurazione centrata e deviata. In tale figura è stata inoltre rappresentata con linea più marcata rispetto alle altre la velocità del piede di biella sia per la configurazione centrata che deviata. (a) Angolo di manovella α = 0 (b) Angolo di manovella α = 60 (c) Angolo di manovella α = 120 (d) Angolo di manovella α = 180 (e) Angolo di manovella α = 240 (f) Angolo di manovella α = 300 Figura 1.11: Confronto cinematica di un manovellismo ordinario centrato e deviato In Figura 1.12 è riportato l’andamento della rotazione di biella β e della posizione del piede di biella c, rispetto alla rotazione della manovella α per i due casi presi in esame. Lasciando al lettore lo studio di velocità ed accelerazione del sistema ci si 25 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 26 — #26 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ 0 50 100 150 200 250 300 350 −20 −10 0 10 20 30 Angolo di manovella α [◦] A n g o lo β [◦ ] MOC MOD 0 50 100 150 200 250 300 350 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Angolo di manovella α [◦] P o si zi o n e c [m ] MOC MOD Figura 1.12: Confronto coordinate posizione di un manovellismo ordinario centrato e deviato vuole soffermare sull’analisi di una importante peculiarità del manovellismo deviato. Si osservi infatti la Figura 1.13, in cui è riportata la velocità del piede di biella per i due casi considerati. In Figura 1.13 sono state inoltre messi in evidenza i punti in cui la ve- locità del piede di biella si annulla invertendo il moto, ovvero i punti in cui il pistone si trova nel punto morto inferiore e superiore. Per quanto riguarda il manovellismo centrato il punto di inversione α4 si trova esatta- mente a 180 , ovvero il tempo di andata dal punto morto inferiore (pmi) al superiore (pms) e quello di ritorno dal pms al pmi sono esattamente uguali. Analiticamente è possibile calcolari come riportato in (1.25). Ta = α4 + 2π − α3 α̇ = π s Tr = α3 − α4 α̇ = π s (1.25) Per quanto riguarda il manovellismo deviato il punto in cui quest’ultimo si trova in corrispondenza del pmi è α2, mentre quello in cui si trova nel pms è α1. Ancora una volta è possibile calcolare i tempi di andata e ritorno, sfruttando le relazioni (1.26). Ta = α1 + 2π − α2 α̇ = 2,74 s Tr = α2 − α1 α̇ = 3,51 s (1.26) 26 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 27 — #27 i i i i i i CAPITOLO 1. MANOVELLISMO DEVIATO↺ 0 50 100 150 200 250 300 350 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Angolo di manovella α [◦] V el o ci tá ċ α1 α2 α3 α4 MOC MOD Figura 1.13: Velocità del piede di biella di un manovellismo ordinario centrato e deviato 27 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 30 — #30 i i i i i i CAPITOLO 2. GLIFO OSCILLANTE↺ Si chiede di determinare, nell’istante considerato, il valore dell’angolo β del pistone e quello delle velocità e delle accelerazioni angolari delle aste O1B e OB. 2.1 Risoluzione Per svolgere l’esercizio si devono determinare innanzi tutto le grandezze cin- ematiche relative all’asta OB nell’istante di tempo considerato; derivando quindi rispetto al tempo la funzione b(t) si ricavano la velocità e l’acceler- azione di sfilo del pistone (da non confondere con la velocità e l’accelerazione assoluta del punto B). ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ b(t = 3) = 3,385 + 0,07t + 0,005t2 = 3,64 m ḃ(t = 3) = 0,07 + 0,01t = 0,1 m/s b̈(t = 3) = 0,01 = 0,01 m/s2 (2.1) Si definisca poi un sistema di riferimento nel piano immaginario; si definiscano inoltre i tre vettori a⃗, b⃗ e c⃗ cos̀ı come riportato in Figura 2.1 e descritti formalmente nell’equazione (2.2). γ β a⃗ b⃗ c⃗ Figura 2.2: Poligono di chiusura vettori posizione a⃗ = aeiα b⃗ = beiβ c⃗ = ceiγ (2.2) 30 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 31 — #31 i i i i i i CAPITOLO 2. GLIFO OSCILLANTE↺ Si osserva come i moduli dei vettori a⃗, b⃗ e c⃗ siano rispettivamente uguali alle lunghezze delle aste O1B, OB e OO1. L’equazione di chiusura dei vettori posizione può quindi essere espressa nel seguente modo. c⃗ + a⃗ = b⃗ (2.3) L’equazione appena scritta può essere espressa utilizzando la notazione complessa. ceiγ + aeiα = beiβ (2.4) Il valore di β può essere ricavato da semplici relazioni trigonomet- riche, imponendo, ad esempio, l’uguaglianza della componente verticale dei vettori c⃗ e b⃗ , essendo l’asta O1B orizzontale per l’atto di moto considerato. c sinγ = b sinβ ⇒ β = arcsin(c b sinγ) = 0,27 rad (2.5) In alternativa si può considerare l’equazione di chiusura (2.4) e scom- porla nelle due equazioni relative alla parte reale ed immaginaria mediante la relazione eiϑ = cosϑ + i sinϑ. { c cosγ + a cosα = b cosβ c sinγ + a sinα = b sinβ (2.6) Dalla seconda equazione del sistema (2.6), tenendo presente che sinα = 0, si ottiene nuovamente la (2.5). L’equazione di chiusura (2.3) impone infatti l’uguaglianza delle componenti orizzontali e verticali tra i vettori a⃗ + c⃗ e il vettore b⃗, in una forma molto compatta attraverso l’utilizzo dei numeri complessi. Per ricavare la velocità e l’accelerazione delle altre aste, si deve derivare rispetto al tempo l’equazione di chiusura (2.4) (oppure, in alternativa, si può derivare il sistema (2.6)). Tenendo presente che i moduli a e c sono costanti in quanto rappresentano le lunghezze delle aste, che gli angoli α e β sono funzione del tempo (γ è costante in quanto rappresenta l’inclinazione del telaio) e che la lunghezza della asta OB varia secondo la legge (2.1), si ottiene la seguente equazione di chiusura sulle velocità. iaα̇eα = ḃeiβ + ibβ̇eiβ (2.7) L’equazione (2.7) può essere riscritta nel seguente modo, ricordando che la moltiplicazione per l’operatore immaginario i corrisponde ad uno sfasamento del vettore di π 2 , ovvero i = ei π2 . 31 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 32 — #32 i i i i i i CAPITOLO 2. GLIFO OSCILLANTE↺ aα̇ei(α+ π 2 ) = ḃeiβ + bβ̇ei(β+π2 ) (2.8) Proiettando l’equazione (2.8) sull’asse reale e immaginario, ricordando che sin (ϑ + π 2 ) = cosϑ e che cos (ϑ + π 2 ) = − sinϑ, è possibile ottenere il seguente sistema di equazioni nelle due incognite α̇ e β̇. { −aα̇ sinα = ḃ cosβ − bβ̇ sinβ aα̇ cosα = ḃ sinβ + bβ̇ cosβ (2.9) Il sistema (2.8) può essere riscritto nella seguente forma matriciale. [−a sinα b sinβ a cosα −b cosβ]{α̇β̇} = {ḃ cosβḃ sinβ} (2.10) Tale sistema può essere risolto mediante un qualsiasi metodo di risoluzione per sistemi di tipo lineare, come ad esempio il metodo di Cramer. {α̇ β̇ } = {0,146 rad/s 0,096 rad/s} (2.11) Per ricavare le accelerazioni si deriva rispetto al tempo l’equazione (2.8), oppure in modo analogo il sistema di equazioni (2.9). aα̈ei(α+ π 2 ) − aα̇2eiα = b̈eiβ + 2ḃβ̇ei(β+π2 ) + bβ̈ei(β+π2 ) − bβ̇2eiβ (2.12) Proiettando l’equazione complessa (2.12) sui due assi reale ed immagi- nario e isolando i termini noti, è possibile giungere al seguente sistema di equazioni nelle due incongite α̈ e β̈. { −aα̈ sinα + bβ̈ sinβ = aα̇2 cosα + b̈ cosβ − 2ḃβ̇ sinβ − bβ̇2 cosβ aα̈ cosα − bβ̈ cosβ = aα̇2 sinα + b̈ sinβ + 2ḃβ̇ cosβ − bβ̇2 sinβ (2.13) Il sistema (2.13) può essere riscritto nella seguente forma matriciale. [−a sinα b sinβ a cosα −b cosβ]{α̈β̈} = {aα̇ 2 cosα + b̈ cosβ − 2ḃβ̇ sinβ − bβ̇2 cosβ aα̇2 sinα + b̈ sinβ + 2ḃβ̇ cosβ − bβ̇2 sinβ} (2.14) Prima di procedere con la risoluzione numerica del sistema (2.14) si nota come la matrice dei coefficienti del sistema sia la medesima del sistema (2.10) scritto per il calcolo delle due velocità α̇ e β̇. 32 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 35 — #35 i i i i i i CAPITOLO 2. GLIFO OSCILLANTE↺ v⃗ (a) B = aα̇ei(α+π2 ) v⃗ (tr) B = bβ̇ei(β+π2 ) v⃗ (rel) B = ḃeiβ (2.16) Sostituendo quindi le relazioni appena scritte nell’equazione del teorema di Galileo sopra riportato, è possibile ottenere l’equazione (2.17), che risulta identica alla (2.8), precedentemente calcolata con il metodo dei numeri complessi. aα̇ei(α+ π 2 ) = ḃeiβ + bβ̇ei(β+π2 ) (2.17) Per il calcolo del’accelerazione del centro del disco è possibile ricorrere all’utilizzo del teorema di Coriolis sotto riportato. a⃗ (Ass) B = a⃗(Tr)B + a⃗(Rel)B + a⃗(Co)B (2.18) É possibile evidenziarei i termini dell’equazione (1.22) cos̀ı come segue: a⃗ (Ass) B è l’accelerazione assoluta del punto B, avente una componente normale a⃗ (Ass) Bn e una tangenziale a⃗ (Ass) Bt (perché il moto assoluto è rotatorio); a⃗ (Tr) B è l’accelerazione di trascinamento del punto B, avente una com- ponente normale a⃗ (Tr) Bn e una tangenziale a⃗ (Tr) Bt (perché il moto di trascinamento è rotatorio); a⃗ (Tel) B è l’accelerazione relativa del punto B; a⃗ (Co) B = 2ω⃗ ∧ v⃗(rel)B è l’accelerazione di Coriolis, con velocità angolare della terna mobile ω⃗ = β̇ in quanto la terna mobile è solidale con l’asta OB che ruota con velocitàβ̇ attorno ad O. É possibile, anche in questo caso, separare il modulo e la direzione di ciascun vettore, ottenendo quanto riportato in Tabella 2.2; oppure è possibile fornire una rappresentazione grafica del polinomio di chiusura delle velocità, cos̀ı come riportato in Figura 2.5. 35 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 36 — #36 i i i i i i CAPITOLO 2. GLIFO OSCILLANTE↺ a⃗ (Ass) Bn a⃗ (Ass) Bt a⃗ (Tr) Bn a⃗ (Tr) Bt a⃗ (Rel) B a⃗ (Cor) B Modulo aα̇2 aα̈ bβ̇2 bβ̈ b̈ 2ḃβ̇ Direzione ∥O1B –O1B ∥OB –OB ∥OB –OB Tabella 2.2: Componenti vettoriali equazione di chiusura delle accelerazioni bβ̈ bβ̇2 aα̈ aα̇2 b̈ 2ḃβ̇ 0,02 m s2 Figura 2.5: Poligono di chiusura sulle accelerazioni É quindi possibile scrivere ciascun termine della Tabella 2.2 con no- tazione complessa, ottenendo i seguenti termini. a⃗ (Ass) Bn = −aα̇2eiα a⃗ (Ass) Bt = aα̈ei(α+π2 ) a⃗ (Tr) Bn = −bβ̇2eiβ a⃗ (Tr) Bt = bβ̈ei(β+π2 ) a⃗ (Rel) B = b̈eiβ a⃗ (Co) B = 2ḃβ̇ei(β+π2 ) (2.19) Sostituendo le relazioni appena scritte nell’equazione (2.18) è possibile ottenere la seguente equazione di chiusura sulle accelerazioni, che risulta formalmente identica alla (2.12) precedentemente calcolata con il metodo dei numeri complessi. aα̈ei(α+ π 2 ) − aα̇2eiα = b̈eiβ + 2ḃβ̇ei(β+π2 ) + bβ̈ei(β+π2 ) − bβ̇2eiβ (2.20) 36 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 37 — #37 i i i i i i 3 Quadrilatero articolato↺ In figura 3.1 è riportato lo schema di un sistema meccanico composto da un disco incernierato a terra nel suo centro O1, al quale è collegata mediante la cerniera A, posizionata ad una distanza radiale O1A = 0,2 m, un’asta AB di lunghezza pari a 0,8 m. All’estremo B di tale asta è incernierata una seconda asta BO2 lunga 0,6m, che risulta rigidamente collegata al semidisco, di raggio RSD = 0,15 m, incernierato a terra nel punto O2. Su tale semidisco si avvolge una fune inestensibile al cui estremo è collegato il centro del disco D, di raggio RD = 0,15 m che rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo pari a ϑ pari a 160 . Si ritengano inoltre note le distanze fra le due cerniere poste sul telaio pari a 0,3 m sull’orizzontale e 0,8 m sulla verticale. Si richiede quindi di calcolare: la velocità e l’accelerazione del punto G, baricentro del semidisco (si ritenga quindi nota la distanza del baricentro dalla cerniera O2 pari a RSD/2); la velocità e l’accelerazione del punto D. Si supponga inoltre che siano note le seguenti grandezze fisiche relati- vamente all’atto di moto considerato, riportate in Tabella 3.1. 37 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 40 — #40 i i i i i i CAPITOLO 3. QUADRILATERO ARTICOLATO↺ O1 O2 A B c⃗ a⃗ b⃗ d⃗ δ α β γ Figura 3.3: Chiusura cinematica É possibile a questo punto scrivere l’equazione di chiusura cinematica per il primo sottosistema, riportata nell’equazione 3.1. a⃗ + b⃗ + c⃗ = d⃗ (3.1) Secondo le convenzioni riportate in Figura 3.3 l’equazione vettoriale 3.1 può essere riscritta utilizzando la notazione esponenziale, cos̀ı come riportato nell’equazione 3.2. aeiα + beiβ + ceiγ = deiδ (3.2) In Tabella 3.2 sono riportate le grandezze note e quelle incognite dei vettori riportati nell’equazione 3.2. Si osserva innanzi tutto che il vettore d⃗ , che congiunge due punti che rimangono fissi nello spazio, rimarrà costante sia in modulo che in fase. Tale termine scomparirà nelle derivazioni successive, ma risulta fondamentale per la determinazione della configurazione geometrica del sistema. La proiezione dell’equazione 3.2 sui due assi reale ed immaginario porta alla scrittura del seguente sistema nelle due incognite β e γ. { a cosα + b cosβ + c cosγ = d cos δ a sinα + b sinβ + c sinγ = d sin δ (3.3) 40 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 41 — #41 i i i i i i CAPITOLO 3. QUADRILATERO ARTICOLATO↺ Vettore Modulo Fase a⃗ a = O1A = 0,25m cost. α = 160 variabile b⃗ b = AB = 0,8m cost. β = 97,82 variabile c⃗ c = BO2 = 0,6m cost. γ = 354,16 variabile d⃗ d = O1O2 = 0,854m cost. δ = 69,44 cost. Tabella 3.2 Dalla prima delle due equazioni del sistema 3.3 è possibile esplicitare γ come: β = arccos(d cos δ − a cosα − c cosγ b ) (3.4) Sostituendo quanto appena ottenuto nella seconda equazione del sis- tema 3.3 si ottiene: −b ¿ÁÁÀ1 − (d cos δ − a cosα − c cosγ b )2 = a sinα + c sinγ − d sin δ (3.5) Elevando al quadrato entrambi i membri della 3.5 si ottiene: b2 − d2 cos2 δ − a2 cos2 α − c2 cos2 γ+2ad cos δ cosα + 2cd cos δ cosγ − 2ac cosα cosγ = d2 sin2 δ + a2 sin2 α + c2 sin2 γ+2ac sinα sinγ − 2ad sin δ sinα − 2cd sin δ sinγ (3.6) Utilizzando le relazioni trigonometriche è possibile semplificare la prece- dente equazione ottenendo: K = A cosγ +B sinγ (3.7) dove i termini K, A e B sono costanti per la configurazione assegnata e valgono: K = b2 − a2 − c2 − d2 + 2ad cos (α − δ) A = 2ac cosα − 2cd cos δ B = 2ac sinα − 2cd sin δ (3.8) 41 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 42 — #42 i i i i i i CAPITOLO 3. QUADRILATERO ARTICOLATO↺ L’equazione 3.7 porta a quindi a scrivere la seguente equazione quadrat- ica nella variabile cosβ. (1 + A2 B2 ) cos2 γ − 2AK B2 cosγ + K2 −B2 B2 = 0 (3.9) L’equazione 3.9 porta all’ottenimento di quattro soluzioni per l’angolo γ, rispettivamente γ1−2 = ±5,83○ e γ3−4 = ±118,42○, e quindi, tramite la 3.4, all’angolo β. Le uniche soluzioni accettabili sono le due con angolo γ pari a −5,83○ e 118,42○; tali configurazioni sono mostrate nella Figura 3.4 O1 O2 A G B (a) Configurazione con γ = 118,42○ O1 O2 A G B (b) Configurazione con γ = −5,83○ Figura 3.4: Confronto delle differenti soluzioni di montaggio La soluzione riportata di montaggio riportata in Figura 3.4(a) è infine da scartare in quanto non consente un corretto avvolgimento della fune sul semidisco. La soluzione che verrà quindi utilizzata in seguito è quella con γ = −5,83 = 354,16○ e di conseguenza β = 97,82○. A questo punto è possibile procedere con il calcolo della velocità di ro- tazione dell’asta BO2 e, quindi, del semidisco ad essa rigidamente collegato. Per ricavare le varie velocità richieste si procede quindi derivando l’e- quazione 3.2 ottenendo: aα̇ei(α+ π 2 ) + bβ̇ei(β+π2 ) + cγ̇ei(γ+π2 ) = 0 (3.10) 42 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 45 — #45 i i i i i i CAPITOLO 3. QUADRILATERO ARTICOLATO↺ dell’equazione 3.10. aα̇ei(α+ π 2 )´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ v⃗ (Tr) B + bβ̇ei(β+π2 )´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ v⃗ (Rel) B = −cγ̇ei(γ+π2 ) = cγ̇ei(γ−π2 )´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ v⃗ (Ass) B (3.17) Da ultimo è possibile fornire una rappresentazione grafica dell’equazione 3.17, cos̀ı come riportato nella Figura 3.6, in cui sono rappresentate, per la configurazione assegnata, in nero la velocità assoluta v⃗ (Ass) B del punto B, in rosso il termine di trascinamento v⃗ (Tr) B ed in blu in termine di velocità relativa v⃗ (Rel) B . O1 O2 A G B cγ̇ aα̇ bβ̇ (a) cγ̇aα̇ bβ̇ B 5 · 10−3 m s (b) Figura 3.6: Poligono delle velocità In particolare in Figura 3.6(a) sono evidenziati i tre termini di velocità nei rispettivi punti di applicazione, mentre in Figura 3.6(b) è evidenziata la chiusura del poligono delle velocità. A questo punto è possibile procedere al calcolo delle accelerazioni richi- este. Derivando l’equazione 3.10 è possibile ottenere: aα̈ei(α+ π 2 ) − aα̇2eiα + bβ̈ei(β+π2 ) − bβ̇2eiβ+ +cγ̈ei(γ+π2 ) − cγ̇2eiγ = 0 (3.18) 45 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 46 — #46 i i i i i i CAPITOLO 3. QUADRILATERO ARTICOLATO↺ L’equazione 3.18, come già visto per l’equazione 3.10, può essere proi- ettata sui due assi reale ed immaginario ottenendo il sistema di equazioni: { −aα̈ sinα − aα̇2 cosα − bβ̈ sinβ − bβ̇2 cosβ − cγ̈ sinγ − cγ̇2 cosγ = 0 aα̈ cosα − aα̇2 sinα − bβ̈ cosβ − bβ̇2 sinβ − cγ̈ cosγ − cγ̇2 sinγ = 0 (3.19) A questo punto, è possibile calcolare la soluzione del sistema 3.19 uti- lizzando la formulazione matriciale, ottenendo la seguente espressione. {β̈ γ̈ } =[−b sinβ −c sinγ+b cosβ c cosγ ] −1 {+aα̈ sinα + aα̇2 cosα + bβ̇2 cosβ + cγ̇2 cosγ−aα̈ cosα + aα̇2 sinα + bβ̇2 sinβ + cγ̇2 sinγ} (3.20) La sostituzione dei valori numerici nell’equazione 3.20 porta all’otteni- mento dei seguenti risultati di accelerazione. {β̈ γ̈ } = {1,8 ⋅ 10−3 rad/s2 1,4 ⋅ 10−3 rad/s2} Si nota come entrambi i valori di β̈ e γ̈ risultino positivi secondo le conven- zioni evidenziate in Figura 3.3. Ciò indica che l’accelerazione di entrambe le aste è diretta in senso orario. Per il calcolo delle accelerazioni del punto G e del centro del disco D si utilizza, come per le velocità, il teorema di Rivals, cos̀ı come riportato nell’equazione 3.21. a⃗G = ⃗̇ωBO2 ∧ (G −O2) + ω⃗BO2 ∧ (ω⃗BO2 ∧ (G −O2)) a⃗P = ⃗̇ωBO2 ∧ (P −O2) + ω⃗BO2 ∧ (ω⃗BO2 ∧ (P −O2)) (3.21) Per la risoluzione numerica è conveniente scomporre i due vettori ac- celerazione appena indicati nelle due componenti normale e tangenziale, ottenendo le seguenti espressioni. ∣a⃗Gt∣ = ∣γ̈k⃗ ∧ (G −O2)∣ = ∣−γ̈ RSD 2 eiγ ∣ = 1,0 ⋅ 10−4 m/s2 ∣a⃗Gn∣ = ∣γ̇k⃗ ∧ (γ̇k⃗ ∧ (G −O2))∣ = ∣−γ̇2RSD 2 ei(γ+ π 2 )∣ = 6,9 ⋅ 10−5 m/s2 ∣a⃗Pt∣ = ∣γ̈k⃗ ∧ (P −O2)∣ = ∣γ̈RSDeiϑ∣ = 2,1 ⋅ 10−4 m/s2 ∣a⃗Pn∣ = ∣γ̇k⃗ ∧ (γ̇k⃗ ∧ (P −O2))∣ = ∣γ̇2RSDei(ϑ+π2 )∣ = 1,3 ⋅ 10−4 m/s2 (3.22) 46 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 47 — #47 i i i i i i CAPITOLO 3. QUADRILATERO ARTICOLATO↺ Si fornisce quindi in Figura 3.7 una rappresentazione grafica delle accel- erazioni appena calcolate appena calcolate, di cui rispettivamente in rosso l’accelerazione normale e tangenziale del punto P ed in blu quelle del punto G. O2 G P γ̈RSD2 γ̈RSD γ̇2 RSD2 γ̇2RSD Figura 3.7: Rappresentazione accelerazioni del punto P e G L’accelerazione del centro del disco, e quindi del punto D, risente uni- camente della componente tangenziale di a⃗Pt, quindi può essere espressa come ∣a⃗D∣ = ∣a⃗Pt∣ = γ̈∧(P −O2). Per quanto riguarda la direzione dell’accel- erazione a⃗D sarà diretta in modo parallelo al piano inclinato su cui rotola il disco D. Da ultimo si propone, anche per le accelerazioni, la valutazione dell’ac- celerazione del punto B mediante l’approccio con i moti relativi. a⃗ (Ass) B = a⃗(Tr)B + a⃗(Rel)B + a⃗(Cor)B (3.23) Nello specifico gli elementi dell’equazione 3.23 rappresentano: a⃗ (Ass) B : accelerazione assoluta del punto B, avente una componente normale a⃗ (Ass) Bn e una tangenziale a⃗ (Ass) Bt (perché il moto assoluto del punto B è rotatorio attorno alla cerniera fissa O1).⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ a⃗ (Ass) Bn = ω⃗BO2 ∧ (ω⃗BO2 ∧ (B −O2)) a⃗ (Ass) Bt = ⃗̇ωBO2 ∧ (B −O2) a⃗ (Tr) B : accelerazione di trascinamento del punto B, avente una com- ponente normale a⃗ (Tr) Bn e una tangenziale a⃗ (Tr) Bt .⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ a⃗ (Tr) Bn = ω⃗AO1 ∧ (ω⃗AO1 ∧ (A −O1)) a⃗ (Tr) Bt = ⃗̇ωAO1 ∧ (A −O1) 47 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 50 — #50 i i i i i i CAPITOLO 3. QUADRILATERO ARTICOLATO↺ 0 50 100 150 200 250 300 350 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Angolo di manovella α [°] V el oc ità a ng ol ar i [ ra d s− 1 ] Asta O 1 A Asta AB Asta BO 2 (a) 0 50 100 150 200 250 300 350 −6 −4 −2 0 2 4 6 x 10 −3 Angolo di manovella α [°] V el oc ità c en tr o di sc o D [m s − 1 ] (b) Figura 3.10: Velocità dei componenti del sitema 0 50 100 150 200 250 300 350 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 x 10 −3 Angolo di manovella α [°] A cc el er az io ni a ng ol ar i [ ra d s− 2 ] Asta O 1 A Asta AB Asta BO 2 (a) 0 50 100 150 200 250 300 350 −4 −2 0 2 4 6 8 x 10 −4 Angolo di manovella α [°] A cc el er az io ne c en tr o di sc o D [m s − 2 ] (b) Figura 3.11: Accelerazione dei componenti del sitema 50 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 51 — #51 i i i i i i 4 Disco cuneo↺ Il sistema meccanico rappresentato in Figura 4.1 è costituito da tre corpi rigidi: un piano, inclinato di un angolo δ, traslante su di una guida orizzon- tale, un disco di raggio R che rotola senza strisciare sul piano inclinato ed un’asta incernierata nel centro del disco e con un pattino all’altra estremità vincolato a scorrere lungo una guida verticale. j j B A C K δ ̇x, ẍ ψ e Figura 4.1: Sistema meccanico disco cuneo Nell’istante considerato ti sia assegnata la velocità di traslazione del pi- 51 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 52 — #52 i i i i i i CAPITOLO 4. DISCO CUNEO↺ ano inclinato ẋ = +0,4 m/s, l’accelerazione del piano inclinato ẍ = +0,2 m/s2. Secondo le convenzioni di Figura 4.1, siano inoltre noti l’angolo di incli- nazione del piano inclinato δ = π 6 , l’angolo di inclinazione dell’asta ψ = π 4 , la lunghezza dell’asta AB pari a 0,2 m ed il raggio del disco R = 0,025 m. Si richiede di determinare nell’istante t: 1. la velocità del punto B e la velocità angolare del disco ωd; 2. l’accelerazione del punto B e l’accelerazione angolare del disco ω̇d. 4.1 Risoluzione 4.1.1 Quesito 1 Il sistema, costituito da 3 corpi rigidi che si muovono nel piano, disporrebbe, in assenza di vincoli, di 9 gradi di libertà. Per calcolare i gradi di libertà effettivamente lasciati liberi dal sistema di vincoli è necessario considerare che: la rotazione relativa tra asta e guida verticale è impedita dal pattino in B; la traslazione orizzontale del punto B è impedita dal pattino; esiste un legame tra gli spostamenti orizzontali e verticali del punto A dell’asta e quelli del centro del disco per la presenza della cerniera (vincolo doppio); il vincolo di puro rotolamento tra disco e piano inclinato impedisce il distacco del disco dal piano e lega la rotazione del disco all’avanza- mento relativo dello stesso lungo il piano inclinato (vincolo doppio); il piano inclinato può solo scorrere orizzontalmente essendone impedi- ta la rotazione e il distacco dalla guida orizzontale per la presenza dei due carrelli. Il computo dei gradi di libertà del sistema può quindi essere sintetizzato nella seguente tabella. Essendo fornito come dato dal problema la velocità e l’accelerazione di traslazione del carrello nell’istante considerato è dunque possibile calcolare la velocità e l’accelerazione posseduta da tutti gli altri punti del sistema meccanico nel medesimo istante di tempo. 52 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 55 — #55 i i i i i i CAPITOLO 4. DISCO CUNEO↺ Proiettando sugli assi reale ed immaginario l’equazione (4.3) si ottiene il seguente sistema di equazioni nelle incognite ȧ e ḋ essendo noto ċ = −0,4 m/s. { ȧ cosα = ċ cosγ + ḋ cos δ ȧ sinα = ċ sinγ + ḋ sin δ (4.4) Esse rappresentano la proiezione sull’asse reale e su quello immaginario dei vettori velocità precedentemente definiti. Il sistema di equazioni appena scritto è di tipo lineare e può quindi essere risolto per sostituzione oppure utilizzando un approccio matriciale oppure applicando il metodo di Cramer. La soluzione a cui si giunge è riportata di seguito. {ȧ ḋ } = {0,231 m/s 0,462 m/s} (4.5) I valori positivi indicano che il sistema osservato in un istante di tempo successivo a quello considerato mostrerà che il pattino avrà risalito il piano verticale ed il disco sarà salito rotolando lungo il piano inclinato. Analizzando i singoli termini dell’equazione (4.3) è possibile notare come le incognite del problema siano i valori dei moduli dei vettori velocità v⃗ (Ass) B e v⃗ (Rel) B , mentre le direzioni di tutti i vettori velocità risultino essere note come sintetizzato nella seguente tabella. Vettore Modulo Fase v⃗ (Ass) B ȧ incognito ∥OB nota v⃗ (Tr) B ċ = −0,4ms ∥OD nota v⃗ (Rel) B ḋ incognito ∥CD nota Tabella 4.3 Da notare il valore negativo assunto da ċ tenendo conto dei dati as- segnati dal problema secondo le convenzioni adottate che permettono di determinare il verso del vettore v⃗ (Tr) B . Noto in modulo e direzione e verso il vettore velocità di trascinamento del punto D è dunque possibile pervenire ad una soluzione grafica del problema mediante il disegno del poligono di chiusura dei vettori velocità ottenuto tracciando le direzioni note della ve- locità relativa del punto A e di quella assoluta del punto B e considerando che le velocità di trascinamento e relativa si sommano vettorialmente per 55 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 56 — #56 i i i i i i CAPITOLO 4. DISCO CUNEO↺ ottenere la velocità assoluta. Tale disegno è riportato in Figura 4.3 secondo la scala riportata nella figura stessa. Tale figura consente inoltre di valutare quantitativamente il modulo ed il verso dei vettori incogniti. ~v (Tr) C ~v (Rel) C ~v (Ass) B 0, 1 m s Figura 4.3: Poligono di chiusura sulle velocità Dal poligono delle velocità si osserva come affinché la velocità v⃗ (Ass) B rimanga verticale la velocità di trascinamento orizzontale, dovuta al modo del piano inclinato, debba essere compensata dalla componente orizzontale della velocità di risalita del disco sul piano inclinato. La velocità ango- lare del disco risulterà essere diretta in senso orario e può essere calcolata sapendo che ω⃗d ∧ (A −C) = v⃗(Rel)B . ∣v⃗(Rel)B ∣ = ∣ḋ∣ = ωd ⋅AC ωd = ∣ḋ∣ AC (4.6) 4.1.2 Quesito 2 Si procede ora al calcolo dell’accelerazione angolare dell’asta AB derivando l’equazione (4.3). äeiα±⃗ a (Ass) B = c̈eiγ±⃗ a (Tr) C + d̈eiδ±⃗ a (Rel) C (4.7) Nell’equazione (4.7) il termine a sinistra dell’uguale rappresenta l’accel- erazione assoluta a⃗ (Ass) B del punto B che trasla lungo la guida verticale con accelerazione pari ad ä, mentre i termini a destra dell’uguale rappresentano 56 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 57 — #57 i i i i i i CAPITOLO 4. DISCO CUNEO↺ rispettivamente l’accelerazione di trascinamento a⃗ (Tr) B e l’accelerazione rel- ativa a⃗ (Rel) B del punto A se il suo moto fosse studiato con la terna mobile traslante descritta in precedenza. Proiettando sugli assi reale ed immaginario l’equazione (4.7) si ottiene il seguente sistema di equazioni nelle incognite ä e d̈. { ä cosα = c̈ cosγ + d̈ cos δ ä sinα = c̈ sinγ + d̈ sin δ (4.8) Esse rappresentano la proiezione sull’asse reale e su quello immaginario dei vettori accelerazione precedentemente definiti. Il sistema di equazioni appena scritto è di tipo lineare e consente di ricavare le due incognite cercate ä e d̈, ponendo c̈ = −0,2 m/s2. La soluzione a cui si giunge è riportata di seguito. {ä d̈ } = {0,2 m/s2 0,1 m/s2} (4.9) É possibile anche in questo caso ottenere una soluzione grafica dell’e- quazione di chiusura delle accelerazioni, riportata nell’equazione (4.7), in cui sono stati messi in evidenza il termine di accelerazione assoluta a⃗ (Ass) B del punto B, quello di accelerazione relativa a⃗ (Rel) B del punto B rispetto alla terna mobile e quello di trascinamento a⃗ (Tr) B del punto A rispetto alla terna mobile, cos̀ı come riportato in Tabella 4.4. Vettore Modulo Fase a⃗ (Ass) B ä incognito ∥OB nota a⃗ (Tr) B c̈ = −0,2ms2 ∥OD nota a⃗ (Rel) B d̈ incognito ∥CD nota Tabella 4.4 Anche per le accelerazioni vale la medesima osservazione fatta sul poligono di chiusura delle velocità: affinchè l’accelerazione assoluta del punto B che si muove di moto rettilineorimanga verticale è necessario che l’accelerazione di trascinamento, diretta orizzontalmente e dovuta all’accelerazione del pi- ano inclinato, sia compensata dalla componente orizzontale dell’acceler- azione relativa dovuta al fatto che il disco stia aumentando la sua velocità di risalita lungo il piano inclinato. 57 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 60 — #60 i i i i i i CAPITOLO 5. MANOVELLISMO PIANO INCLINATO 5.1, ovvero posizione, velocità e accelerazione angolare della manovella, posizione della biella e lunghezza del pistone idraulico. α = 30 α̇ = −10 rad/s α̈ = 100 rad/s2 β = 330 CB = 0,5 m Tabella 5.1: Dati dell’atto di moto considerato Si chiede quindi di determinare: 1. la velocità del corsoio B; 2. la velocità di sfilo del pistone CB; 3. l’accelerazione del corsoio B; 5.1 Risoluzione 5.1.1 Quesito 1 Si definisca innanzi tutto un sistema di riferimento nel piano immaginario; si definiscano inoltre i quattro vettori a⃗, b⃗, c⃗ e d⃗ riportati in Figura 5.2 e descritti formalmente nell’equazione (5.1). O A α β 30 B C π D δ γ a⃗ c⃗ d⃗ b⃗ Figura 5.2: Poligono di chiusura dei vettori posizione 60 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 61 — #61 i i i i i i CAPITOLO 5. MANOVELLISMO PIANO INCLINATO a⃗ = (A −O) = OAeiα = aeiα b⃗ = (B −A) = ABeiβ = beiβ c⃗ = (D −O) = ODeiγ = ceiγ d⃗ = (B −D) =DBeiδ = deiδ (5.1) Le convenzioni sui segni sono riportate in Figura 5.2, mentre in Tabella 5.2 sono riportate le grandezze note e quelle incognite di tali vettori. Vettore Modulo Fase a⃗ a = 0,4m cost. α = 30 variabile b⃗ b = 0,4m cost. β = 330 variabile c⃗ c cost. γ = 300 cost. d⃗ d variabile δ = 30 cost. Tabella 5.2 Per risolvere la cinematica del sistema è necessario scrivere l’equazione di chiusura sui vettori posizione; tale equazione definisce che il moto del sistema avvenga in modo conforme ai vincoli. a⃗ + b⃗ = c⃗ + d⃗ (5.2) Si osserva innanzi tutto che il vettore c⃗ , che congiunge due punti che rimangono fissi nello spazio, rimarrà costante sia in modulo che in fase: infatti tale vettore rappresenta la distanza fra il punto O ed il piano incli- nato. Tale termine scomparirà nelle derivazioni e pertanto non è necessario determinarne i valori dato che il problema richiede termini di velocità e di accelerazione. Utilizzando la notazione complessa l’equazione (5.2) può essere riscritta nel seguente modo. aeiα + beiβ = ceiγ + deiδ (5.3) Per ricavare la velocità del corsoio B è necessario derivare l’equazione (5.3) ottenendo quanto segue. aα̇ei(α+ π 2 )´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ v⃗ (Tr) B + bβ̇ei(β+π2 )´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ v⃗ (Rel) B = ḋeiδ±⃗ v (Ass) B (5.4) 61 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 62 — #62 i i i i i i CAPITOLO 5. MANOVELLISMO PIANO INCLINATO Osservando con attenzione l’equazione appena scritta è possibile notare come i vari termini che la compongono possono essere ricavati mediante lo studio con le terne mobili. Posizionando infatti una terna mobile traslante nel punto A è possibile suddividere i termini dell’equazione (5.4) cos̀ı come segue. v⃗ (Ass) B : rappresenta il termine di velocità assoluta del punto B: tale punto infatti può unicamente traslare parallelamente al piano incli- nato; v⃗ (Tr) B : rappresenta la velocità di trascinamento della terna mobile con origine in A: la sua velocità corrisponde quindi alla velocità di un punto in moto rotatorio attorno al punto O con velocità α̇; v⃗ (Tr) B : rappresenta la velocità relativa del punto B rispetto alla terna traslante con origine in A: il punto B può infatti unicamente ruotare rispetto all’origine della terna mobile posizionata in A con velocitàβ̇. Proiettando sui due assi reale ed immaginario l’equazione (5.4) si ottiene un sistema lineare composto da due equazioni nelle due incognite ḋ e β̇. { −aα̇ sinα − bβ̇ sinβ = ḋ cos δ aα̇ cosα + bβ̇ cosβ = ḋ sin δ (5.5) Esse rappresentano la proiezione sull’asse reale e su quello immagi- nario dei vettori velocità precedentemente definiti. Il sistema scritto nell’e- quazione 5.5 è un sistema lineare nelle due equazioni ḋ e β̇. É quindi pos- sibile risolverlo per sostituzione oppure utilizzando l’approccio matriciale mostrato nell’equazione (5.6). [− cos δ −b sinβ− sin δ b cosβ ]{ḋβ̇} = { aα̇ sinα−aα̇ cosα} (5.6) La soluzione dell’equazione (5.6) porta ad avere i valori della velocità del corsoio B come richiesto. {ḋ β̇ } = [− cos δ −b sinβ− sin δ b cosβ ] −1 { aα̇ sinα−aα̇ cosα} = {6,92 m/s20 rad/s } (5.7) Analizzando i singoli termini dell’equazione (5.4) è possibile notare come le incognite del problema siano i valori dei moduli dei vettori velocità defini- ti sulla terna mobile mentre le direzioni di tutti i vettori velocità risultino essere note come sintetizzato nella seguente tabella. 62 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 65 — #65 i i i i i i CAPITOLO 5. MANOVELLISMO PIANO INCLINATO a⃗ (Rel) Bn : rappresenta il termine di accelerazione relativa in direzione normale. Essendo il punto B in moto rotatorio rispetto al punto A tale termine è costituito dall’accelerazione centripeta. a⃗ (Rel) Bt : rappresenta il termine di accelerazione relativa in direzione tangenziale. Essendo il punto B in moto rotatorio rispetto ad A tale termine è non nullo solamente se l’asta AB sta variando la propria velocità. Proiettando l’equazione quanto appena ricavato sui due assi reale ed immaginario, è possibile ottenere il seguente sistema di equazioni lineari. { −aα̈ sinα − aα̇2 cosα − bβ̈ sinβ − bβ̇2 cosβ = d̈ cos δ aα̈ cosα − aα̇2 sinα + bβ̈ cosβ − bβ̇2 sinβ = d̈ sin δ (5.10) Ancora una volta si procede scrivendo sotto forma matriciale il sistema di equazioni (5.10) (sistema di due equazioni nelle incognite d̈ e β̈). [− cos δ −b sinβ− sin δ b cosβ ]{d̈β̈} = { aα̈ sinα + aα̇ 2 cosα + bβ̇2 cosβ −aα̈ cosα + aα̇2 sinα + bβ̇2 sinβ} (5.11) Dall’equazione (5.11) si ricavano quindi i due valori di accelerazione incogniti. {d̈ β̈ } = { −429,28 m/s2−892,82 rad/s2} (5.12) I risultati numerici ottenuti indicano che sia l’asta AB che il corsoio stanno decelerando, secondo le convenzioni di segno indicate nella Figura 5.2. Ancora una volta è possibile compilare una tabella in cui si evidenziano i termini noti quelli incogniti di ciascun vettore indicato nella (5.9). Anche in questo caso risultano essere note le direzioni di tutti i vettori accelerazione ed è possibile disegnare il poligono di chiusura dei vettori sopra indicati. 65 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 66 — #66 i i i i i i CAPITOLO 5. MANOVELLISMO PIANO INCLINATO Vettore Modulo Fase a⃗ (Ass) B d̈ incognita ∥π nota a⃗ (Tr) Bt aα̈ = 40 m/s2 nota –OA nota a⃗ (Tr) Bn aα̇ 2 = 40 m/s2 nota ∥OA nota a⃗ (Rel) Bt bβ̈ = 14,64 m/s2 incognita –AB nota a⃗ (Rel) Bn bβ̇ 2 = 160 m/s2 incognita ∥AB nota Tabella 5.4 ~a (Ass) B ~a (Rel) Bn ~a (Rel) Bt ~a (Tr) Bn ~a (Tr) Bt 50 m s2 Figura 5.5: Poligono di chiusura sulle accelerazioni 66 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 67 — #67 i i i i i i 6 Manovellismo particolare In Figura 6.1 è riportato lo schema di un sistema meccanico che si muove nel piano verticale, costituito dall’asta OA = 0,4 m incernierata a terra nel punto O e dall’asta AB = 1,4 m vincolata in A all’asta OA tramite una coppia rotoidale e in C al terreno tramite un vincolo che consente la rotazione dell’asta e lo scorrimento della stessaall’interno del vincolo in C (manicotto). O A C B β Figura 6.1: Manovellismo particolare I dati relativi all’atto di moto all’istante t considerato sono riportati in Tabella 6.1, ovvero posizione, velocità e accelerazione angolare della manovella, posizione relativa della biella rispetto alla cerniera in C. Si chiede quindi di determinare: 1. la velocità angolare ωAB dell’asta AB; 67 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 70 — #70 i i i i i i CAPITOLO 6. MANOVELLISMO PARTICOLARE a⃗ b⃗ c⃗ γ α β O A C Figura 6.3: Poligono di chiusura sulle posizioni Osservando con attenzione l’equazione appena scritta è possibile notare come i vari termini che la compongono possono essere ricavati mediante lo studio con le terne mobili. Posizionando infatti una terna mobile con origine nel punto C rotante in modo solidale con l’asta AB è possibile suddividere i termini dell’equazione (6.3) cos̀ı come segue. v⃗ (Ass) A : rappresenta il termine di velocità assoluta del punto A: tale punto infatti può unicamente ruotare attorno al punto O; v⃗ (Tr) A : rappresenta la velocità di trascinamento del punto A pensato solidale con la terna mobile posizionata con origine in C: la sua ve- locità corrisponde quindi alla velocità di un punto in moto rotatorio attorno al punto C con velocità β̇; v⃗ (Tr) A : rappresenta la velocità relativa del punto A rispetto alla ter- na mobile con origine in C: il punto B rispetto alla terna mobile può infatti unicamente muoversi parallelamente al segmento AC con velocità ḃ. Proiettando sugli assi reale ed immaginario l’equazione (6.3) si ottiene il seguente sistema di equazioni. { −aα̇ sinα + ḃ cosβ − bβ̇ sinβ = 0 aα̇ cosα + ḃ sinβ + bβ̇ cosβ = 0 (6.4) 70 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 71 — #71 i i i i i i CAPITOLO 6. MANOVELLISMO PARTICOLARE Esse rappresentano la proiezione sull’asse reale e su quello immaginario dei vettori velocità precedentemente definiti. Il sistema di equazioni appena scritte è di tipo lineare e può quindi essere risolto utilizzando la forma matriciale sotto riportata. [cosβ −b sinβ sinβ b cosβ ]{ ḃ β̇ } = { aα̇ sinα−aα̇ cosα} (6.5) Risolvendo il sistema lineare (6.5) e sostituendo gli opportuni valori numerici è possibile ottenere la seguente soluzione numerica. { ḃ β̇ } = {−8,19 m/s 9,55 rad/s} (6.6) Il valore negativo assunto dal termine ḃ comporta che la lunghezza del vettore b⃗ valutata in un istante di tempo successivo a t sia minore di quella iniziale. Tale constatazione è in accordo con l’osservazione che per una ve- locità di rotazione dell’asta OA negativa rispetto alle convenzioni adottate, l’osservatore rotante con origine in C vede avvicinarsi il punto A. Analizzando i singoli termini dell’equazione (6.3) è possibile notare come le incognite del problema siano i valori dei moduli dei vettori velocità defini- ti sulla terna mobile mentre le direzioni di tutti i vettori velocità risultino essere note come sintetizzato in Tabella 6.3. Vettore Modulo Fase v⃗ (Ass) A aα̇ = −10 m/s nota –OA nota v⃗ (Rel) A ḃ incognita ∥AC nota v⃗ (Tr) A bβ̇ incognita –AC nota Tabella 6.3 Noto in modulo, direzione e verso il vettore velocità assoluta del punto A è dunque possibile pervenire ad una soluzione grafica del problema mediante il disegno del poligono di chiusura dei vettori velocità ottenuto tracciando le direzioni note della velocità relativa e di quella di trascinamento, sapendo che queste ultime devono sommarsi. Tale disegno è riportato in Figura 6.4 secondo la scala riportata nella figura stessa. 71 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 72 — #72 i i i i i i CAPITOLO 6. MANOVELLISMO PARTICOLARE ~v (Tr) A ~v (Rel) A ~v (Ass) A 1m s Figura 6.4: Poligono di chiusura sulle velocità 6.1.2 Quesito 2 Si procede ora al calcolo dell’accelerazione angolare dell’asta AB derivando l’equazione (6.3). aα̈ei(α+ π 2 )´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ a⃗ (Ass) At +aα̇2ei(α+π)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ a⃗ (Ass) An b̈eiβ±⃗ a (Rel) A +2ḃβ̇ei(β+π2 )´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ a⃗ (Cor) A + bβ̈ei(β+π2 )´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ a⃗ (Tr) At + bβ̇2ei(β+π)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ a⃗ (Tr) An = 0 (6.7) Osservando con attenzione l’equazione appena scritta è possibile notare come i vari termini che la compongono possono essere ricavati mediante lo studio con le terne mobili. Posizionando infatti una terna mobile traslante nel punto A è possibile suddividere i termini dell’equazione 6.7 cos̀ı come segue. a⃗ (Ass) At : rappresenta il termine di accelerazione assoluta tangenziale del punto A: tale punto ruota attorno al punto O e avrà accelerazione assoluta tangenziale solamente se l’asta OA varia la sua velocità nel tempo; a⃗ (Ass) An : rappresenta il termine di accelerazione assoluta normale del punto A: tale punto ruota attorno al punto O: il suo valore sarà quindi pari al valore di accelerazione centripeta a⃗ (Rel) A : rappresenta l’accelerazione relativa del punto A rispetto alla terna mobile con origine in C; a⃗ (Tr) At : rappresenta il termine di accelerazione di trascinamento tan- genziale del punto A; tale punto ruota attorno al punto C e avrà 72 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 75 — #75 i i i i i i CAPITOLO 6. MANOVELLISMO PARTICOLARE ~a (Ass) A ~a (Rel) A ~a (Co) A ~a (Tr) At ~a (Tr) An50 m s2 Figura 6.5: Poligono di chiusura sulle accelerazioni Vettore Modulo Fase v⃗B incognita incognita v⃗A aα̇ nota –OA nota v⃗AB ABβ̇ nota –AB nota Tabella 6.5 6.1.3 Quesito 3 Per il calcolo dei valori numerici della velocità del punto B è conveniente proiettare le componenti dei due vettori velocità sull’asse delle ascisse e delle ordinate. vBx = −aα̇ sinα −ABβ̇ sinβ = 8,39 m/s vBy = aα̇ cosα +ABβ̇ cosβ = 0,46 m/s (6.12) Il modulo della velocità del punto B risulta essere il modulo della somma vettoriale delle due componenti. ∣v⃗B ∣ = √v2Bx + v2By = 8,41 m/s (6.13) 75 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 76 — #76 i i i i i i CAPITOLO 6. MANOVELLISMO PARTICOLARE O A C B ~vA ~vBA ~vB Figura 6.6: Composizione vettoriale della velocità del punto B 6.1.4 Quesito 4 Per quanto riguarda l’accelerazione del punto B è possibile procedere ap- plicando il teorema di Rivals per le accelerazioni al corpo rigido AB. a⃗B = a⃗A + ⃗̇ωAB ∧ (B −A)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ a⃗t BA + ω⃗AB ∧ (ω⃗AB ∧ (B −A))´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ a⃗n BA (6.14) Dove nell’equazione (6.14) è possibile distinguere i seguenti termini: a⃗A è l’accelerazione assoluta del punto A, nel nostro caso costituita della sola componente normale; a⃗tBA è la componente tangenziale dell’accelerazione di trascinamento del punto A pensato solidale ad una terna mobile con origine nel punto A e traslante con esso senza modificare la direzione dei suoi assi; a⃗nBA è la componente normale dell’accelerazione di trascinamento del punto A pensato solidale ad una terna mobile con origine nel punto A e traslante con esso senza modificare la direzione dei suoi assi. Separando il modulo e la direzione di ciascun vettore è possibile com- pilare la seguente tabella. Calcolando il modulo delle due componenti del vettore accelerazione lungo i due assi x e y si ottengono le seguenti proiezioni. aBx = −aα̇2 cosα −ABβ̇2 cosβ −ABβ̈ sinβ = −165 m/s2 aBy = −aα̇2 sinα +ABβ̇2 sinβ +ABβ̈ cosβ = 310 m/s2 (6.15) Il modulo dell’accelerazione del punto B risulta essere il modulo della somma vettoriale delle due componenti. ∣a⃗B ∣ = √a2Bx + a2By = 351 m/s2 (6.16) 76 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 77 — #77 i i i i i i CAPITOLO 6. MANOVELLISMO PARTICOLARE Vettore Modulo Fase a⃗B incognita incognita a⃗A aα̇ 2 –OA nota a⃗tBA ABβ̈ –AB nota a⃗nBA ABβ̇ 2 ∥AB nota Tabella 6.6 O A C B ~aA ~anBA ~atBA ~aB Figura 6.7: Composizione vettoriale dell’accelerazione del punto B Si riporta inoltre in Figura 6.8 la traiettoria percorsa dal punto B lungo un completo giro di manovella. Infine si riportano nella seguente Figura 6.9, l’andamento del modulo del vettore b e dell’angolo β al variare dell’angolo α su una rotazione completa dell’asta OA, evidenziando con un cerchietto rosso i valori relativi all’istante considerato. 77 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 80 — #80 i i i i i i CAPITOLO 6. MANOVELLISMO PARTICOLARE 80 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 81 — #81 i i i i i i 7 Sistema di corpi rigidi In figura 7.1 è riportato lo schema di un sistema meccanico che si muove nel piano verticale, costituito dall’asta AB = 3 m collegata mediante un pattino ad una seconda asta BC. All’estremità C di tale asta è incernierato un disco di raggio 0,6 m che rotola senza strisciare lungo un piano orizzontale. É inoltre assegnata la legge oraria (di tipo periodico) del punto C espressa secondo un sistema di riferimento con orignine nel punto C; tale legge vale xC(t) = 6 + 2,5 sin(2πt). A B C G Figura 7.1: Sistema articolato Si consideri quindi il sistema nell’istante t = 0 s e si calcolino: 1. la configurazione assunta dal sistema; 81 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 82 — #82 i i i i i i CAPITOLO 7. SISTEMA DI CORPI RIGIDI 2. la velocità di rotazione dell’asta AB; 3. la velocità del baricentro G; 4. l’accelerazione angolare dell’asta AB; 5. l’accelerazione del baricentro G. 7.1 Risoluzione 7.1.1 Quesito 1 Per prima cosa si forniscono alcune rappresentazioni della configurazione assunta dal sistema durante il suo funzionamento lungo un periodo. Per facilitare la comprensione della cinematica del sistema, è stata ev- idenziata nella Figura 7.2 la velocità ẋC assunta dal centro del disco C nell’istante considerato. Il sistema, costituito da 3 corpi rigidi che si muovono nel piano, dis- porrebbe, in assenza di vincoli, di 9 gradi di libertà. Per calcolare i gradi di libertà effettivamente lasciati liberi dal sistema di vincoli è necessario considerare che: la rotazione relativa tra l’asta AB e l’asta BC è impedita dal pattino in B (vincolo doppio); la traslazione orizzontale del punto B è impedita dal pattino (vincolo doppio); esiste un legame tra gli spostamenti orizzontali e verticali del punto C dell’asta BC e quelli del centro del disco per la presenza della cerniera (vincolo doppio); il vincolo di puro rotolamento tra disco e piano inclinato impedisce il distacco del disco dal piano e lega la rotazione del disco all’avanza- mento relativo dello stesso lungo il piano (vincolo doppio); Il computo dei gradi di libertà del sistema può quindi essere sintetizzato nella seguente tabella. Per la risoluzione dei quesiti proposti è opportuno posizionare in un sistema cartesiano i vettori rappresentati nella seguente figura. 82 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 85 — #85 i i i i i i CAPITOLO 7. SISTEMA DI CORPI RIGIDI Vettore Modulo Fase a⃗ AB costante α variabile b⃗ BC variabile β variabile c⃗ c = R costante γ = 90 costante d⃗ d = xC variabile δ = 0 costante Tabella 7.2 le aste AB e BC a rimanere sempre ortogonali fra di loro). In particolare si può affermare che, secondo le convenzioni riportate in Figura 7.3, β = α+ π 2 ; di conseguenza, derivando la relazione appena scritta β̇ = α̇ e β̈ = α̈. Proiettando quindi l’equazione (7.2) sui due assi reale ed imamginario, è possibile ottenere il seguente sistema di due equazioni nelle due incognite b e α. { a cosα = −b sinα + d a sinα = b cosα + c (7.3) Dalla prima delle due equazioni del sistema è possibile esplicitare b in funzione dell’altra incognita α. b = d − a cosα sinα (7.4) Sostituendo quindi la relazione (7.4) nella seconda equazione del sistema (7.3) è possibile ottenere la seguente espressione. d cosα + c sinα − a = 0 (7.5) Mettendo a sistema l’equazione (7.5) con la relazione trigonometrica fondamentale cos2 α+ sin2 α = 1 è possibile giungere all’equazione risolutiva di seguito riportata. cosα = ad ± √ 4a2d2 − a (c2 + d2) (a2 − c2)(c2 + d2) (7.6) L’equazione (7.6) ammette due soluzioni nella variabile cosα e quindi quattro soluzioni nella variabile α; di queste ultime solo una risulta accetta- bile ed è quella per cui α risulta pari a 65,87 . Sostituendo quindi il valore appena ottenuto nella relazione (7.4), è possibile ricavare anche il valore di b che risulta pari a 5,23 m. 85 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 86 — #86 i i i i i i CAPITOLO 7. SISTEMA DI CORPI RIGIDI 7.1.2 Quesito 2 Per il calcolo delle velocità richieste è possibile procedere derivando l’e- quazione (7.1). iaα̇eiα = ḃeiβ + ibβ̇eiβ + ḋ (7.7) Ricordando inoltre che α̇ = β̇ è possibile raccogliere a fattor comune il termine iα̇ ottenendo la seguente espressione. iα̇ (aeiα − beiβ) = ḃeiβ + ḋ (7.8) Osservando quindi la Figura 7.4 è possibile osservare come il termine aeiα − beiβ , messo in evidenza nella precedente equazione, corrisponda al vettore f⃗ riportato in Figura 7.4. A B a⃗ d⃗ b⃗ c⃗α β γ f⃗ ϕ Figura 7.4: Poligono di chiusura dei vettori posizione L’equazione (7.8) può essere quindi riscritta nel seguente modo. α̇fei(ϕ+ π 2 ) = ḃeiβ + ḋ (7.9) Proiettando l’equazione vettoriale (7.9) sui due assi reale ed immag- inario è possibile ottenere un sistema di due equazioni scalari nelle due incognite α̇ e ḃ: infatti sia il modulo che l’anomalia del vettore f⃗ sono ricavabili da semplici relazioni trigonometriche. { −α̇f sinϕ = ḃ cosβ + ḋ α̇f cosϕ = ḃ sinβ (7.10) Risolvendo quindi il sistema appena scritto è possibile ricavare i valori numerici assunti dalle due incognite α̇ e ḃ nell’istante t = 0. {α̇ ḃ } = {1,23 rad/s 18,0 m/s } (7.11) 86 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 87 — #87 i i i i i i CAPITOLO 7. SISTEMA DI CORPI RIGIDI Ricavati i due valori numerici delle incognite del sistema, è possibile fornire una rappresentazione grafica del poligono di chiususra delle velocità in Figura 7.5. ḋ ḃ α̇f 2 m s Figura 7.5: Poligono di chiusura dei vettori velocità 7.1.3 Quesito 3 Per ricavare la velocità del baricentro G è sufficiente osservare che questo ultimo appartiene al corpo BC, di cui risulta nota la velocità di un suo pun- to (il punto C) e la sua velocità di rotazione β̇. É quindi possibile scrivere la velocità del punto G sfruttando il teorema di Rivals per le velocità. v⃗G = v⃗C + ω⃗BC ∧ (G −C) = ḋ +GCβ̇ei(β+π2 ) = v⃗C + v⃗GC (7.12) Il termine v⃗GC è interpretabile come la velocità relativa associata al punto G vista da un osservatore mobile con origine nel punto C e traslante con esso senza modificare la direzione dei suoi assi. Separando il modulo e la direzione di ciascun vettore è possibile com- pilare la seguente Tabella 7.3. Vettore Modulo Fase v⃗G incognita incognita v⃗C ḋ nota nota v⃗GC GCβ̇ nota –GC nota Tabella 7.3 87 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 90 — #90 i i i i i i CAPITOLO 7. SISTEMA DI CORPI RIGIDI Dove nell’equazione (7.20) è possibile distinguere i seguenti termini: a⃗C è l’accelerazione assoluta del punto C, nel caso in esame nulla, in quanto ẍc(t = 0) = 0; a⃗tGC è la componente tangenziale dell’accelerazione di trascinamento del punto G pensato solidale ad una terna mobile con origine nel punto C e traslante con esso senza modificare la direzione dei suoi assi; a⃗nGC è la componente normale dell’accelerazione di trascinamento del punto G pensato solidale ad una terna mobile con origine nel punto C e traslante con esso senza modificare la direzione dei suoi assi. Separando il modulo e la direzione di ciascun vettore è possibile com- pilare la seguente tabella. Vettore Modulo Fase a⃗G incognita incognita a⃗C ẍc nota a⃗tGC GCβ̈ –GC nota a⃗nGC GCβ̇ 2 ∥GC nota Tabella 7.4 Calcolando il modulo delle due componenti del vettore accelerazione lungo i due assi x e y si ottengono le seguenti proiezioni. aGx = d̈ −GCβ̈ sinβ −GCβ̇2 cosβ = 12,4 m/s2 aGy = +GCβ̈ cosβ −GCβ̇2 sinβ = 17,4 m/s2 (7.21) Il modulo dell’accelerazione del punto G risulta essere il modulo della somma vettoriale delle due componenti. ∣a⃗B ∣ = √a2Bx + a2By = 21,43 m/s2 (7.22) É infine possibile fornire in Figura 7.8 la rappresentazione in scala delle componenti dell’accelerazione del punto G nell’istante considerato t = 0. Da ultimo si propone in Figura 7.9 la rappresentazione delle traiettorie percorse rispettivamente dal punto B in linea rossa e dal punto G in blu. 90 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 91 — #91 i i i i i i CAPITOLO 7. SISTEMA DI CORPI RIGIDI A B C G ~anGC ~atGC ~aG Figura 7.8: Composizione vettoriale dell’accelerazione del punto G A B C G Figura 7.9: Traiettoria dei punti B e G 91 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 92 — #92 i i i i i i CAPITOLO 7. SISTEMA DI CORPI RIGIDI 92 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 95 — #95 i i i i i i CAPITOLO 8. SISTEMA DISCO ASTA t = 0 s OE = 2,75 m ε = 120 t = 0,1 s OE = 2,72 m ε = 187,9 Tabella 8.1: Dati dell’atto di moto considerato 5. l’accelerazione della massa collegata alla fune. 6. l’accelerazione del punto E; 8.1 Risoluzione 8.1.1 Quesito 1 Per prima cosa si propone in Figura 8.3 una analisi del sistema articola- to proposto, dando una rappresentazione della configurazione assunta dal sistema per differenti istanti temporali t. Il sistema, costituito da 4 corpi rigidi che si muovono nel piano, dis- porrebbe, in assenza di vincoli, di 12 gradi di libertà. Per calcolare i gradi di libertà effettivamente lasciati liberi dal sistema di vincoli è necessario considerare che: i due dischi sono collegati rigidamente fra di loro; l’asta OE è collegata a terra tramite una cerniera; esiste un vincolo di puro rotolamento tra il disco 2 e il piano inclinato; la massa m è vincolata tramite un pattino al piano inclinato (è vico- lata quindi la rotazione e lo spostamento in direzione ortogonale al piano inclinato); lo spostamento della massa m lungo il piano inclinato è vincolato tramite la fine alla rotazione del disco 1; la rotazione dell’asta OE è vincolata dal perno alla rotazione dei due dischi. Il computo dei gradi di libertà del sistema può quindi essere sintetizzato nella seguente tabella. Per la risoluzione dei quesiti proposti è opportuno posizionare in un sistema cartesiano i vettori rappresentati nella Figura 8.4. 95 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 96 — #96 i i i i i i CAPITOLO 8. SISTEMA DISCO ASTA O D E (a) Istante t = 0 s O D E (b) Istante t = 0,17 s O D E (c) Istante t = 0,34 s O D E (d) Istante t = 0,51 s O D E (e) Istante t = 0,68 s O D E (f) Istante t = 0,85 s Figura 8.3: Cinematica del sistema per vari istanti temporali La chiusura proposta in Figura 8.4, seppur formalmente corretta, risulta poco agevole per la risoluzione dei quesiti proposti, in quanto non consente di utilizzare direttamente i dati relativi alla rotazione dell’asta OE (ϕ, ϕ̇ e ϕ̈) forniti dal testo del problema. Si propone quindi l’utilizzo del sistema di vettori riportato in Figura 8.5. Nella seguente Tabella 8.3 è proposta una analisi dei vari vettori ri- portati in Figura 8.5, precisando quali siano le componenti degli stessi che rimangono costanti e quali invece varino nel tempo. A questo punto è possibile scrivere l’equazione vettoriale di chiusura sui 96 DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- i i “libro” — 2009/3/18 — 16:08 — page 97 — #97 i i i i i i CAPITOLO 8. SISTEMA DISCO ASTA 3 g.d.l. x 4 corpi rigidi 12 g.d.l. - collegamento rigido tra i dischi 3 g.d.v. - cerniera in O 2 g.d.v. - vincolo di puro rotolamento del disco 2 2 g.d.v. - pattino sulla massa m 2 g.d.v. - vincolo del perno in E 2 g.d.v. - Totale 1 g.d.l. residuo Tabella 8.2: Computo dei g.d.l. residui del sistema E b⃗ O γ ϑ d⃗ ε a⃗ β c⃗ e⃗ Figura 8.4: Poligono di chiusura sui vettori posizione vettori posizione, cos̀ı come di seguito riportato. c⃗ + d⃗ + e⃗ = f⃗ (8.1) Tale equazione vettoriale può essere espressa mediante la notazione dei numeri complessi, mettendo quindi in evidenza il modulo e l’anomalia dei vettori indicati nell’equazione (8.1). ceiγ + deiϑ + eeiε = feiϕ (8.2) L’equazione vettoriale appena scritta contiene tre incognite, rispoetti- vamente: lo spostamento del centro dei due dischi d lungo il piano incli- nato, l’anomalia ε del vettore e⃗ e la distanza f fra il punto O ed il perno 97