Fondamenti di progettazione strutturale meccanica - Travi soggette a taglio e momento flettente, Dispense di Progettazione Strutturale Meccanica

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Travi soggette a taglio e momento flettente Quando i carichi o i momenti hanno vettori perpendicolari all’asse si parla di sollecitazioni su travi o beams Il piano di inflessione è quello ove agiscono i carichi e che contiene la linea d’asse indeformata e deformata Lo scopo è di determinare le sollecitazioni che agiscono su ogni sezione lungo l’asse Trave Incastrata a sbalzo Cantilever beam Trave appoggiata a sbalzo Beam with an overhang Trave semplicemente appoggiataSimply supported beam Spesso le travi sono classificate in funzione delle loro condizioni vincolari Il passaggio dai vincoli fisici alla idealizzazione degli stessi nel modello va fatta considerando le effettive condizioni di deformabilità locale Il sistema di ancoraggio ad asola consente piccoli spostamenti assiali carrello Il fissaggio sulla parete sottile garantisce l’impedimento della traslazione ma non la locale rotazione cerniera Il fissaggio rigido del piatto di base garantisce il bloccaggio incastro Le strutture a traliccio (travi sottili rispetto ingombro struttura) sono considerate come tutte incernierate per effetto dei cedimenti vincolari – dovuti anche a plasticità locale DETERMINAZIONE DELLE FORZE DI TAGLIO E DEL MOMENTO Il metodo prevede di applicare le condizioni di equilibrio al corpo libero, ossia avendo sostituito ai vincoli le forze vincolari Si effettua un taglio in una generica sezione x e si impone l’equilibrio (ds o sn) 0vertF =∑ ( )V x P= 0xM =∑ ( )M x Px= CONVENZIONE DEI SEGNI (secondo deformabilità) i momenti sono positivi quando le fibre inferiori sono tese Il taglio è positivo quando provoca sul materiale rotazione oraria Metodo dell’equilibrio differenziale Si effettua l’equilibrio di un elementino fermandosi ai termini dei I ordine Eq. Verticale: ( ) 0dVq x dx V V dx dx  − + + =    ( )dV q x dx = − Quindi la derivata del taglio coincide con l’intensità carico distribuito, per il segno dipende dalla convenzione di V Eq. Momento ( ) ( ) 0 2 dx dMM V x dx q x dx M dx dx  + − − + =    ( )dM V x dx = La derivata del momento flettente risulta pari al all’azione del taglio V, il segno risulta dalle convezioni adottate Infinitesimo ord. superiore Derivando la II e ricordando la I: ( ) ( ) 2 2 dV xd M q x dx dx = = − Assenza carico distribuito: taglio costante, momento variabile linearmente Carico distribuito costante: taglio lineare, momento variabile quadraticamente Carico distribuito potenza n: taglio potenza n+1, momento potenza n+2 x polo eq. DIAGRAMMI DEL TAGLIO E DEL MOMENTO FLETTENTE La rappresentazione grafica è molto utile per determinare le sezioni più sollecitate ove sarà opportuno effettuare le verifiche strutturali Calcolo reazioni vincolari 0AM =∑ 2 0 2B LR L Pa q− − = 2 B Pa LR q L = + 2A Pb LR q L = + ( ) 0 ( ) x a A aM x M V x dx= + ∫ ( ) 00 2 x a Pb LM x q qx dx L  = + + −   ∫ 0 x a≤ ≤ Tracciamento dei diagrammi ( ) 0 ( ) x a AV x R q x dx= − ∫ ( ) 2a Pb LV x q qx L = + − a x L≤ ≤ ( ) ( ) ( ) x b a a V x V a P q x dx= − − ∫ ( ) 2b Pa LV x q qx L = − + − ( ) ( ) 2 2( ) 2 2 2 2 L x b a ba a Pab aL q Pax Lx qxM x M a V x dx q a q L L   = + = + − + − + −       ∫ ( ) 2 2 2a Pb L qM x q x x L  = + −    ( )0 0aM = ( ) 2 2 2 2b Pab Pa Pax Lx qxM x q L L L = + − + − ( ) 0bM L = Strutture reticolari Sia che si tratti di collegamenti angolari, sia mediante perni, queste strutture vengono schematizzate mediante cerniere in quanto sotto carico le giunzioni si comportano come cerniere plastiche Per verificare l’isostaticità occorre valutare i GdL. Per il loro calcolo risulta più agevole considerare le cerniere come corpi rigidi e le aste (non si ha mai momento flettente se i carichi sono applicati solo alle cerniere) come vincoli che sottraggono 1 GdL. ( )2 numero di cerniereGdL = ⋅ ( ) ( )numero aste vincoli a terraGdV = + La struttura sarà iperstatica se GdV > GdL, isostatica se GdV = Gdl, ipostatica GdV < GdL 39 cerniere = 78 GdL 75 aste + 3 vincoli = 78 GdV La struttura è isostatica e non è labile in quanto composta da tanti anelli chiusi isostatici e ben vincolata a terra Se si stacca un’asta in corrispondenza di un nodo i sostituendo al vincolo interno i carichi, l’equilibrio alla rotazione in j dell’asta i-j impone che sia nulla la componente ortogonale Ti Pertanto gli elementi si comportano come bielle (se rettilinee aste) essendo possibili solo carichi congiungenti i perni, di trazione (tiranti) oppure di compressione (puntoni) Data questa caratteristica le strutture reticolari sono particolarmente interessanti perché carichi di trazione/compressione utilizzano pienamente le sezioni resistenti Nel calcolo si ipotizza l’assenza dell’attrito nei perni Classico traliccio alta tensione Telaio motociclistico a culla Chassis autoveicolo da competizione misto reticolare – piastre portanti Prima vettura a scocca portante 2 5 6cos cos 04 4 π π   − − =        N N N 2 2=N P 2 2 2 2 0 2 2 2 2 − − = PN P 2 3 6sin sin 04 4 π π   + − − =        N N N P 3 2 = PN 3 2 2 22 0 2 2 2 + − − =P N P P Considerando i versi impostati per N2 e N3, entrambe le aste 2 e 3 sono in compressione Cern. D 1 2 = PN L’ultima asta 1 si trova in trazione Cern. B Cern. A L’ultima cerniera non ha incognite e può essere utilizzata per verifica Convenzioni segno: + =——s=5àì Trazione =_= Compressione Con carico P= 1 kN Azione assiale N; N; [KN] 1 +£ +0,500 2 -PV2 —1,414 3 -Pì —0,500 4 +p£É +0,707 5 2 —0,500 6 —pP ° —-0,707 3 + +0,500