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funzioni a più variabili esercizi, Esercitazioni e Esercizi di Matematica Per L'economia. Università Politecnica delle Marche

Matematica Per L'economia

Descrizione: Esercizi di funzioni a più variabili
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FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI
Esercizi svolti
1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente :
(a) f(x, y) = log(1 x2y2)
(b) f(x, y) = log(x2+y2)
(c) f(x, y) = py2x4
(d) f(x, y) = psin(x2+y2)
(e) f(x, y) = log(xy2+x2y)
2. Determinare le linee di livello e l’immagine delle seguenti funzioni:
(a) f(x, y) = 2x5y
(b) f(x, y) = x2y
(c) f(x, y) = sx2
y+ 1
(d) f(x, y) = 1
x2+y2
3. Calcolare i seguenti limiti :
(a) lim
(x,y)(0,0)
xy2
x2+y2
(b) lim
(x,y)(0,0) xy log(x2+y2)
(c) lim
(x,y)(0,0)
x32xy +y2
x2+y2
(d) lim
(x,y)(0,0)
y4
x2+y4
(e) lim
(x,y)(0,0)
xsin xy
x2+y2
4. Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni
(a) f(x, y) = x2+ 2xy xy2
(b) f(x, y) = ye2x2
(c) f(x, y) = y2ex
(d) f(x, y) = log(x2+y2)
(e) f(x, y) = ex/y
5. Calcolare ( se esiste ) il gradiente delle seguenti funzioni nei punti indicati:
(a) f(x, y) = xy e|x+y|in (0,0) (b) f(x, y) = |x+y|sin(x2+y) in (0,0)
(c) f(x, y) = p|x2xy|in (0,0) (d) f(x, y) = (xy)p|yx2|in (1,1)
6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validit`a del teorema di Schwarz:
(a) f(x, y) = 1
7x+ 4y2
(b) f(x, y) = log(1 x2y2)
(c) f(x, y) = 1x
y
7. Determinare le derivate delle seguenti funzioni lungo le direzioni e nei punti assegnati:
(a) f(x, y) = x2+xy 2 in P(1,0) nella direzione ~v = (2,1)
(b) f(x, y) = excos yin P(0,0) nella direzione del vettore ~v = (1,2)
(c) f(x, y) = p|x2xy|in P(0,0) nella direzione del vettore ~v = (1,1)
8. Determinare il piano tangente al grafico delle seguenti funzioni :
(a) f(x, y) = x3y3nel punto (0,1,1)
(b) f(x, y) = xy+yxnel punto (1,1,2)
(c) f(x, y) = px2+y2nel punto (2,0,2)
9. Determinare lo sviluppo di Taylor di secondo grado centrato nell’origine delle seguenti funzioni :
(a) f(x, y) = sin xsin y
(b) f(x, y) = xexy
(c) f(x, y) = x2sin(y2)
10. Data la funzione f(x, y) = 1 + 3
p(x1)2y, si verifichi che non `e differenziabile in (1,0) e si calcolino le sue
derivate direzionali in tale punto, per ogni vettore vnon nullo.
11. Calcolare gli eventuali punti di massimo, minimo o sella delle seguenti funzioni:
(a) f(x, y) = x2y+x22y(b) f(x, y) = x3+y3+xy
(c) f(x, y) = log(1 + x2y2) (d) f(x, y) = xcos y
(e) f(x, y) = p1 + x2+y2(f) f(x, y) = e(x2+y2)
(g) f(x, y) = 1
x2+ 2y2(h) f(x, y, z) = z218x2+ 6xy 4y2z.
12. Calcolare fe2fdei seguenti campi scalare
(a) f(x, y, z) = xy2+yz3z2
(b) f(x, y, z) = ysin z+xsin y
(c) f(x, y, z) = px2+y2+z2.
13. Calcolare divergenza e rotore dei seguenti campi vettoriali :
(a) F(x, y, z) = (xy, yz, zx)
(b) F(x, y, z) = (x2+yz, xyz, x +zy2)
(c) F(x, y, z) = (xcos z, y sin x, z cos y).
FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI
Esercizi svolti - SOLUZIONI
1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente :
(a) f(x, y) = log(1 x2y2) : D={(x, y) : x2+y2<1}
Essendo log xdefinita per x > 0 si ha che f(x, y) risulta definita per 1 x2y2>0, da cui il risultato.
(b) f(x, y) = log(x2+y2) : D=R2− {(0,0)}
Essendo log xdefinita per x > 0 si ha che f(x, y) risulta definita per x2+y2>0, cosa verificata per
tutti i punti di R2esclusa l’origine degli assi.
(c) f(x, y) = py2x4:D={(x, y) : yx2y≤ −x2}
Essendo xdefinita per x0 si ha che f(x, y) risulta definita per y2x40y2x4yx2
oppure y≤ −x2.
(d) f(x, y) = psin(x2+y2) : D={(x, y) : x2+y2[2kπ, (2k+ 1)π], k 0}
Essendo la funzione xdefinita per x0 si ha che la funzione f(x, y) risulta definita per (x, y) tali che
sin(x2+y2)0x2+y2[2kπ, (2k+ 1)π], per qualche k0.
(e) f(x, y) = log(xy2+x2y) : D={(x, y) : (x > 0, y > 0) (x < 0,0< y < x)(x > 0, y < x)}
Essendo log xdefinita per x > 0 si ha che f(x, y) risulta definita per xy2+x2y > 0xy(y+x)>0.
Studiando il segno delle funzioni xy ex+yseparatamente e utilizzando la regola dei segni si ottiene il
risultato.
2. Determinare le linee di livello e l’immagine delle seguenti funzioni:
(a) f(x, y) = 2x5y:
Ponendo f(x, y) = ksi ottiene 2x5y=k2xk= 5yy=2xk
5, per ogni kR.Im(f) = R.
(b) f(x, y) = x2y
Ponendo f(x, y) = ksi ottiene x2y=ky=k
x2, se k6= 0 e xy = 0 ( insieme dei punti degli assi ) se
k= 0. Im(f) = R.
(c) f(x, y) = sx2
y+ 1
Il dominio della funzione f(x, y) `e D={(x, y) : y > 1}∪{(x, y) : x= 0, y 6=1}. Ponendo f(x, y) = k
ek > 0 si ottiene :
sx2
y+ 1 =kx2
y+ 1 =k2x2=k2(y+ 1) y=x2
k21.
Le linee di livello per k > 0 risultano quindi essere {(x, y) : y=x2
k21, x 6= 0}.Si ottiene invece per
k < 0 e {(x, y)D:x= 0}per k= 0. Im(f) = [0,+).
(d) f(x, y) = 1
x2+y2
Ponendo f(x, y) = ksi ottiene 1
x2+y2=kx2+y2=1
k, per k > 0, e per k0. Im(f) = (0,+).
3. Calcolare i seguenti limiti :
(a) lim
(x,y)(0,0)
xy2
x2+y2= 0
Calcolando il limite lungo le rette passanti per l’origine si ottiene 0 e quindi il limite `e 0 oppure non
esiste. Passando alle coordinate polari si ottiene :
ρcos θ ρ2sin2θ
ρ2
=ρcos θsin2θρ0.
(b) lim
(x,y)(0,0) xy log(x2+y2) = 0
Calcolando il limite lungo le rette passanti per l’origine si ottiene 0 e quindi il limite `e 0 oppure non
esiste. Passando alle coordinate polari si ottiene : ρcos θ ρ sin θlog(ρ2)ρ2|log(ρ2)| → 0.
(c) lim
(x,y)(0,0)
x32xy +y2
x2+y2non esiste
Pongo y=mx e calcolo il limite lungo le rette passanti per (0,0).
x32x(mx)+(mx)2
x2+ (mx)2=x32mx2+m2x2
x2(1 + m2)=x2m+m2
(1 + m2)2m+m2
(1 + m2)per x0.
Siccome il risultato varia al variare della direzione il limite non pu`o esitere.
(d) lim
(x,y)(0,0)
y4
x2+y4non esiste
Eseguendo il limite lungo le rette y=mx si ottiene 0. Quindi il limite di f(x, y) `e 0 oppure non esiste.
Lungo la retta x= 0 il limite risulta per`o essere 1. Il limite quindi non esiste.
(e) lim
(x,y)(0,0)
xsin(xy)
x2+y2= 0
Calcolando il limite lungo le rette passanti per l’origine si ottiene 0 e quindi il limite `e 0 oppure non
esiste. Passando alle coordinate polari si ottiene :
ρcos θsin(ρcos θ ρ sin θ)
ρ2|sin(ρ2cos θsin θ)|
ρρ2|cos θsin θ|
ρρ0.
4. Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni
(a) f(x, y) = x2+ 2xy xy2:f(x, y) = (2x+ 2yy2,2x2xy)
(b) f(x, y) = ye2x2:f(x, y) = (4xye2x2, e2x2)
(c) f(x, y) = y2ex:f(x, y) = (y2ex,2yex)
(d) f(x, y) = log(x2+y2) : f(x, y) = ( 2x
x2+y2,2y
x2+y2)
(e) f(x, y) = ex/y :f(x, y) = (ex/y
y,xex/y
y2)
5. Calcolare ( se esiste ) il gradiente delle seguenti funzioni nei punti indicati:
(a) f(x, y) = xy e|x+y|in (0,0) :
Essendo f(x, y) nulla lungo gli assi il gradiente esiste ed `e (0,0).
(b) f(x, y) = |x+y|sin(x2+y) in (0,0) :
lim
h0
f(h, 0) f(0,0)
h= lim
h0|h|sin (h2)
h= 0, quindi f
x (0,0) = 0,
lim
h0
f(0, h)f(0,0)
h= lim
h0|h|sin (h)
h= 0, quindi f
y (0,0) = 0,
da cui segue f(0,0) = (0,0).
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Universita: Università Politecnica delle Marche
Data di caricamento: 18/05/2012
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