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funzioni a più variabili esercizi, Esercitazioni e Esercizi di Matematica Per L'economia. Università Politecnica delle Marche

Matematica Per L'economia

Descrizione: Esercizi di funzioni a più variabili
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FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI
Esercizi svolti
1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente :
(a) f(x, y) = log(1 x2y2)
(b) f(x, y) = log(x2+y2)
(c) f(x, y) = py2x4
(d) f(x, y) = psin(x2+y2)
(e) f(x, y) = log(xy2+x2y)
2. Determinare le linee di livello e l’immagine delle seguenti funzioni:
(a) f(x, y) = 2x5y
(b) f(x, y) = x2y
(c) f(x, y) = sx2
y+ 1
(d) f(x, y) = 1
x2+y2
3. Calcolare i seguenti limiti :
(a) lim
(x,y)(0,0)
xy2
x2+y2
(b) lim
(x,y)(0,0) xy log(x2+y2)
(c) lim
(x,y)(0,0)
x32xy +y2
x2+y2
(d) lim
(x,y)(0,0)
y4
x2+y4
(e) lim
(x,y)(0,0)
xsin xy
x2+y2
4. Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni
(a) f(x, y) = x2+ 2xy xy2
(b) f(x, y) = ye2x2
(c) f(x, y) = y2ex
(d) f(x, y) = log(x2+y2)
(e) f(x, y) = ex/y
5. Calcolare ( se esiste ) il gradiente delle seguenti funzioni nei punti indicati:
(a) f(x, y) = xy e|x+y|in (0,0) (b) f(x, y) = |x+y|sin(x2+y) in (0,0)
(c) f(x, y) = p|x2xy|in (0,0) (d) f(x, y) = (xy)p|yx2|in (1,1)
6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validit`a del teorema di Schwarz:
(a) f(x, y) = 1
7x+ 4y2
(b) f(x, y) = log(1 x2y2)
(c) f(x, y) = 1x
y
7. Determinare le derivate delle seguenti funzioni lungo le direzioni e nei punti assegnati:
(a) f(x, y) = x2+xy 2 in P(1,0) nella direzione ~v = (2,1)
(b) f(x, y) = excos yin P(0,0) nella direzione del vettore ~v = (1,2)
(c) f(x, y) = p|x2xy|in P(0,0) nella direzione del vettore ~v = (1,1)
8. Determinare il piano tangente al grafico delle seguenti funzioni :
(a) f(x, y) = x3y3nel punto (0,1,1)
(b) f(x, y) = xy+yxnel punto (1,1,2)
(c) f(x, y) = px2+y2nel punto (2,0,2)
9. Determinare lo sviluppo di Taylor di secondo grado centrato nell’origine delle seguenti funzioni :
(a) f(x, y) = sin xsin y
(b) f(x, y) = xexy
(c) f(x, y) = x2sin(y2)
10. Data la funzione f(x, y) = 1 + 3
p(x1)2y, si verifichi che non `e differenziabile in (1,0) e si calcolino le sue
derivate direzionali in tale punto, per ogni vettore vnon nullo.
11. Calcolare gli eventuali punti di massimo, minimo o sella delle seguenti funzioni:
(a) f(x, y) = x2y+x22y(b) f(x, y) = x3+y3+xy
(c) f(x, y) = log(1 + x2y2) (d) f(x, y) = xcos y
(e) f(x, y) = p1 + x2+y2(f) f(x, y) = e(x2+y2)
(g) f(x, y) = 1
x2+ 2y2(h) f(x, y, z) = z218x2+ 6xy 4y2z.
12. Calcolare fe2fdei seguenti campi scalare
(a) f(x, y, z) = xy2+yz3z2
(b) f(x, y, z) = ysin z+xsin y
(c) f(x, y, z) = px2+y2+z2.
13. Calcolare divergenza e rotore dei seguenti campi vettoriali :
(a) F(x, y, z) = (xy, yz, zx)
(b) F(x, y, z) = (x2+yz, xyz, x +zy2)
(c) F(x, y, z) = (xcos z, y sin x, z cos y).
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Informazioni sul documento
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Indirizzo: Economia
Universita: Università Politecnica delle Marche
Data di caricamento: 18/05/2012
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