Tensione e deformazione: Coulomb e legge di Hooke generalizzata - Prof. Colombi, Appunti di Scienza Delle Costruzioni

Scarica Tensione e deformazione: Coulomb e legge di Hooke generalizzata - Prof. Colombi e più Appunti in PDF di Scienza Delle Costruzioni solo su Docsity! 1 LEGAME COSTITUTIVO DOMANDE: 1) PROVA DI TRAZIONE MONOASSIALE + DIAGRAMMA SFORZO-DEFORMAZIONE + LEGGE DI HOOKE 2) LEGGE DI HOOKE GENERALIZZATA + COSTANTI ESLASTICHE: 81-36-18-9-6-2 (E e 𝝂) 3) CASO DI PRESENZA DI TENSIONI TANGENZIALI (COSTANTE ELASTICA G) 4) DEFORMAZIONI VOLUMETRICA + LIMITI SULLE COSTANTI ELASTICHE 5) LEGAME COSTITUTIVO NEL CASO DI SFORZO PIANO DELLE TRAVI 6) DEFORMAZIONI ANELASTICHE 7) PROBLEMA ELASTICO 8) PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI 9) ESEMPIO: 3 MODI DI CALCOLO DELLA DILATAZIONE LUNGO 𝒏, cioè 𝜺𝒏 2 1) PROVA DI TRAZIONE MONOASSIALE + DIAGRAMMA SFORZO - DEFORMAZIONE + LEGGE DI HOOKE Per effettuare una verifica di sicurezza è necessario mettere in conto il legame tra la causa e l’effetto, cioè il LEGAME TRA GLI SFORZI E LE DEFORMAZIONI considerando le caratteristiche del materiale, per questo motivo si studia il LEGAME COSTITUTIVO, che riguarda la RISPOSTA DEL MATERIALE ALLE AZIONI APPLICATE. Per studiare la risposta di un materiale si effettua una PROVA DI TRAZIONE MONOASSIALE. Si applica una forza di trazione P su una barra di sezione A (campione). La tensione 𝝈 nella prova monoassiale è data da 𝝈 = 𝑷 𝑨 . La deformazione diretta (dilatazione/allungamento percentuale) 𝜺 viene misurata tramite un estensometro ed è data da 𝜺 = 𝒍 !$𝒍 𝒍 . Il DIAGRAMMA SFORZO DEFORMAZIONE 𝝈 − 𝜺 per un acciaio da carpenteria è il seguente: Per la Scienza delle Costruzioni ci si limita a considerare solo il campo elastico lineare finisce con il raggiungimento della tensione di snervamento fy (anche se il materiale ha altre risorse oltre a fy dato che c’è la fase di incrudimento). Nella fase elastica, ovvero fino a fy, la barra di acciaio si comporta come se fosse un elastico deformandosi, ma poi, quando viene rimosso il carico, torna nella condizione iniziale senza deformazioni residue. Facendo la stessa cosa oltre lo snervamento, rimuovendo il carico si avrebbe come risultato una deformazione residua per cui la barra rimarrebbe deformata. Quindi il campo è elastico e lineare perché la curva 𝜎 − 𝜀 è rappresentata da una retta ed è dunque lineare. NELLA FASE ELASTICA LINEARE VALE LA LEGGE DI HOOKE 𝜺 = 𝑲 ∙ 𝝈. FASE 1: andamento lineare, comportamento elastico fino al raggiungimento della tensione di snervamento fy (y = yielding) FASE 2: snervamento FASE 3: incrudimento dove per ottenere incrementi di deformazione bisogna aumentare lo sforzo applicato fino a quanto si raggiunge il valore massimo FASE 4: strizione fino alla rottura finale del campione in cui rimangono due spezzoni della barra 5 Se si confrontano le relazioni (a) e (b) è evidente che siccome il secondo membro non è cambiato, il primo membro che ha cambiato segno non può che essere uguale a zero poiché l’unico numero che è uguale a meno se’ stesso è proprio zero. Allora per qualunque valore di 𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑 vale che 𝝈𝟏𝟐 = 𝟎. Se 𝜎01 = 0 deve valere per qualunque valore di 𝜀0, 𝜀1, 𝜀2 i coefficienti 𝐷0100, 𝐷0111, 𝐷0122 che moltiplicano 𝜀0, 𝜀1, 𝜀2 devono essere tutti uguali a zero per ogni scelta della terna 𝜀0, 𝜀1, 𝜀2. Allora si ha che: Ripetendo il ragionamento ruotando gli assi 𝑥1 e 𝑥2di 180° si ottiene che: Questo vuol dire che NEL RIFERIMENTO PRINCIPALE DI DEFORMAZIONE, LE TENSIONI TANGENZIALI SONO NULLE, MA SE NON CI SONO TENSIONI TANGENZIALI, ALLORA VUOL DIRE CHE CI SI TROVA NEL RIFERIMENTO PRINCIPALE DI SFORZO; QUINDI, IL RIFERIMENTO PRINCIPALE DI SFORZO E QUELLO DI DEFORMAZIONE COINCIDONO. Allora, sfruttando l’isotropia si è determinato che non ci sono tensioni tangenziali infatti 𝜎01 = 0, 𝜎12 = 0 e 𝜎02 = 0 per cui si passa da 18 a 9 costanti elastiche. Nel legame diretto (D) e nel legame inverso (C) si hanno 3 relazioni e per ognuna di queste righe si hanno 3 costati elastiche per un totale di 3 x 3 = 9 costanti elastiche: § DA 9 COSTANTI ELASTICHE A 6 à ROTAZIONE DI 90° Ci si posiziona nel RIFERIMENTO PRINCIPALE DI SFORZO 𝝈𝟏,𝝈𝟐, 𝝈𝟑 la cui deformazione 𝜺𝟏 tramite il legame inverso è data da: (a) (a) 6 Si fa ruotare il riferimento attorno all’asse 𝑥0 di 90°, facendo ruotare l’asse 𝑥1 su 𝑥2 e 𝑥2 portandolo in basso si ha che l’asse 𝑥0 non è cambiato quindi la deformazione 𝜀0 nel nuovo e nel vecchio riferimento rimane la stessa infatti 𝜺𝟏3 = 𝜺𝟏 così come la tensione 𝜎30 infatti 𝝈3𝟏 = 𝝈𝟏. Invece, la tensione 𝜎31 è cambiata perché l’asse verticale prima si chiamava 𝑥2 quindi 𝝈3𝟐 = 𝝈𝟑 e anche 𝜎32 è cambiata perché una volta l’asse orizzontale si chiamava 𝑥1 quindi 𝝈3𝟑 = 𝝈𝟐. Nel nuovo riferimento, in cui le costanti elastiche rimangono le stesse per l’isotropia vale che: Sostituendo le relazioni di uguaglianza 𝜀03 = 𝜀0, 𝜎30 = 𝜎0, 𝜎31 = 𝜎2, 𝜎32 = 𝜎1 nell’equazione si ottiene che: Eseguendo la sottrazione (a) – (b) raccogliendo i termini comuni si ottiene il seguente risultato: Allora ciò che si trova nel primo membro deve essere uguale a zero quindi 𝑪𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝑪𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟎 per cui: 𝑪𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑪𝟏𝟏𝟑𝟑 Ripetendo il ragionamento ruotando prima intorno all’asse 𝑥1 e poi intorno all’asse 𝑥2 si ottiene che: 𝑪𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝑪𝟐𝟐𝟑𝟑 𝑪𝟑𝟑𝟏𝟏 = 𝑪𝟑𝟑𝟐𝟐 Dunque, SU OGNI RIGA I TERMINI FUORI DALLA DIAGONALE SONO UGUALI. Questa semplificazione consente di avere 2 costanti elastiche per linea, di cui una della diagonale principale ed una dei termini fuori dalla diagonale per un totale di 2 x 3 = 6 costanti elastiche. Inoltre, sempre con lo stesso ragionamento si ottiene che: 𝑪𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝑪𝟐𝟐𝟑𝟑 𝑪𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑪𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝑪𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑪𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑪𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑪𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑪𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝑪𝟑𝟑𝟏𝟏 (b) 7 I TERMINI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE SONO UGUALI ED ANCHE I TERMINI FUORI DALLA DIAGONALE SONO UGUALI E QUINDI SERVE UN UNICO TERMINE DI COSTANTE ELASTICA PER LA DIAGONALE PRINCIPALE ED UN UNICO TERMINE PER I TERMINI FUORI DALLA DIAGONALE. Le costanti elastiche si riducono a 2, per cui si hanno due coefficienti a e b, dove a indica il termine sulla dalla diagonale e b il termine fuori dalla diagonale, che servono per identificare il legame costitutivo. LE DUE COSTANTI ELASTICHE SONO IL MODULO DI YOUNG ED IL COEFFICIENTE DI POISSON. Il modulo di Young E (modulo elastico) ha le dimensioni di uno sforzo [𝐸] = [6] [8]" e si misura in [𝑀𝑃𝑎] mentre il coefficiente di Poisson 𝜐 è un numero puro [𝜈] = [−] a-dimensionale. Il coefficiente di Poisson 𝝊 è il rapporto in modulo della contrazione trasversale rispetto a quella longitudinale. Il LEGAME COSTITUTIVO si scrive dunque nel seguente modo: 10 § SI TROVA LA MATRICE DI SFORZO NEL NUOVO RIFERIMENTO [𝝈3] con la matrice del cambiamento del sistema di riferimento [𝑻] tramite la legge di deformazione dei tensori doppi: Dove: [𝑇] è costituita dai versori dei nuovi assi scritti nel vecchio sistema di riferimento. Il risultato che si ottiene è il seguente: [𝝈3] = I 𝝈𝟏𝟐 0 0 0 −𝝈𝟏𝟐 0 0 0 𝟎 J § SI APPLICA IL LEGAME ELASTICO PER DETERMINARE LE DEFORMAZIONI 𝜺𝟏3 , 𝜺𝟐3 , 𝜺𝟑3 NEL NUOVO RIFERIMENTO A PARTIRE DA 𝝈′𝟏 = 𝜎01, 𝝈′𝟐 = −𝜎01, 𝝈′𝟑 = 0 poichè si è nel riferimento principale in cui compaiono solo i termini sulla diagonale infatti [𝝈3] = I 𝝈𝟏𝟐 0 0 0 −𝝈𝟏𝟐 0 0 0 𝟎 J: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝜀03 = 𝜎03 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎13 + 𝜎23) = 𝜎01 𝐸 − 𝜈 𝐸 (−𝜎01 + 0) = 𝜎01 𝐸 + 𝜈 𝐸 𝜎01 → 𝜺𝟏3 = 𝝈𝟏𝟐 𝑬 (𝟏 + 𝝂) 𝜀13 = 𝜎13 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎03 + 𝜎23) = −𝜎01 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎01 + 0) = − 𝜎01 𝐸 − 𝜈 𝐸 𝜎01 → 𝜺𝟐3 = − 𝝈𝟏𝟐 𝑬 (𝟏 + 𝝂) 𝜀23 = 0 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎01 − 𝜎01) → 𝜺𝟑3 = 𝟎 § BISOGNA TORNARE INDIETRO AL SISTEMA DI RIFERIMENTO DI PARTENZA QUINDI DA [𝜺3] SI DEVE PASSARE A [𝜺] Tramite la legge di deformazione dei tensori doppi: [𝜺] = [𝑻][𝜺!][𝑻]𝒕 Dove: [𝜺3] nel riferimento principale è data dalla seguente espressione: Svolgendo il prodotto matriciale si ottiene il TENSORE DI DEFORMAZIONE NEL RIFERIMENTO INIZIALE [𝜺]: QUINDI, NEL RIFERIMENTO DI PARTENZA SI DETERMINA CHE: 𝜺𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝝊 𝑬 𝝈𝟏𝟐 Dato che lo scorrimento angolare 𝜸𝟏𝟐 è dato da 𝜸𝟏𝟐 = 𝟐𝜺𝟏𝟐 allora si ottiene che: 𝜸𝟏𝟐 = 𝟐 (𝟏 + 𝝊) 𝑬 𝝈𝟏𝟐 𝑛0 𝑛1 𝑛2 11 § SI DEFINISCE UNA NUOVA COSTANTE ELASTICA DETTA MODULO DI ELASTICITA’ TANGENZIALE G: 𝑮 = 𝑬 𝟐 ∙ (𝟏 + 𝝊) 𝜸𝟏𝟐 = 𝟐 (𝟏 + 𝝊) 𝑬 𝝈𝟏𝟐 = 𝝈𝟏𝟐 𝑮 → 𝜸𝟏𝟐 = 𝝈𝟏𝟐 𝑮 Il modulo di elasticità tangenziale G ha le dimensioni di un modulo elastico, è uno sforzo [𝐺] = [6] [8"] = [𝑀𝑃𝑎] 3 COSTANTI ELASTICHE: § E: MODULO DI YOUNG (detto anche modulo elastico) [termini sulla diagonale principale] § 𝝂 : COEFFICIENTE DI POISSON [termini fuori dalla diagonale] § G: MODULO DI ELASTICITA’ TANGENZIALE [relativo alle tensioni tangenziali] Nella realtà queste 3 non sono indipendenti perché la relazione 𝐺 = ; 1(0=>) fa da legante per cui le costanti elastiche indipendenti sono 2 da cui poi si ottiene la terza. QUESTA RELAZIONE PERMETTE DI CALCOLARE GLI SCORRIMENTI ANGOLARI DALLE TENSIONI TANGENZIALI 12 4) DEFORMAZIONE VOLUMETRICA + LIMITI COSTANTI ELASTICHE Si è nel riferimento principale di deformazione. La deformazione volumetrica 𝜺𝑽 è la variazione di volume sul volume iniziale 𝜺𝑽 = 𝒅𝑽!$𝒅𝑽 𝒅𝑽 ed è pari a 𝜺𝑽 = 𝜺𝟏 + 𝜺𝟐 + 𝜺𝟑. Si applica il legame tramite le seguenti equazioni: ⎩ ⎨ ⎧𝜀& = (& ) − * ) (𝜎' + 𝜎%) 𝜀' = (' ) − * ) (𝜎& + 𝜎%) 𝜀% = (( ) − * ) (𝜎& + 𝜎') Allora si ottiene che: 𝜀B = 𝜀0 + 𝜀1 + 𝜀2 = 𝜎0 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎1 + 𝜎2) + 𝜎1 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎0 + 𝜎2) + 𝜎2 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎0 + 𝜎1) = 𝜎0 + 𝜎1 + 𝜎2 𝐸 − 2𝜈(𝜎0 + 𝜎1 + 𝜎2) 𝐸 → 𝜺𝑽 = 𝟏 − 𝟐𝝂 𝑬 (𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 + 𝝈𝟑) Dove: (𝜎0 + 𝜎1 + 𝜎2) = 𝑡𝑟[𝜎] è la somma dei termini che stanno sulla diagonale principale. CI SI POSIZIONA IN UNA PARTICOLARE SITUAZIONE DI COMPRESSIONE IDROSTATICA: Sono presenti solo delle azioni normali di compressione, ovvero delle pressioni, tra loro uguali in tutte le direzioni. L’oggetto posto sotto il pelo libero è compresso perché su di esso agisce la pressione dell’acqua in tutte le direzioni. Quindi sul corpo si ha che −𝑝 − 𝑝 − 𝑝 = −3𝑝. Allora (𝜎0 + 𝜎1 + 𝜎2) = −3𝑝. § SI DEFINISCE IL MODULO DI DEFORMABILITA’ VOLUMETRICA 𝑲 = 𝑬 𝟑(𝟏$𝟐𝝂) Il coefficiente K permette di calcolare 𝜀E dato 𝑝 infatti si ha che: 𝜺𝑽 = 𝟏 − 𝟐𝝂 𝑬 (𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 + 𝝈𝟑) = 1 − 2𝜈 𝐸 (−3𝑝) → 𝜺𝑽 = − 𝟑𝒑(𝟏 − 𝟐𝝂) 𝑬 Ma dato che 𝐾 = ; 2(0$1F) allora si ha che: 𝜺𝑽 = − 𝟑𝒑(𝟏 − 𝟐𝝂) 𝑬 = − 𝟑(𝟏 − 𝟐𝝂) 𝑬 𝒑 = − 𝟏 𝑲𝒑 → 𝜺𝑽 = − 𝒑 𝑲 Essendo 𝒑 di compressione idrostatica è negativo e di conseguenza anche 𝜺𝑽 è negativo perché si ha una riduzione del volume 15 6) DEFORMAZIONI ANELASTICHE La deformazione totale complessiva è data da un contributo elastico ed un contributo anelastico. Oltre alle deformazioni elastiche dovute all’elasticità del materiale, esistono anche dei contributi anelastici, come il caso della deformazione termica. Le DEFORMAZIONI ANELASTICHE invece non sono influenzate dai carichi applicati quindi non variano durante il processo deformativo. IL LEGAME COSTITUTIVO ASSOCIA GLI SFORZI ALLA SOLA PARTE ELASTICA (e non la parte anelastica) perché quella tiene conto, attraverso le proprietà elastiche, del solo contributo elastico. Considerando il legame costitutivo, questo considera solamente la parte elastica, per cui nel legame inverso 𝜎'( = 𝐶'(%& 𝑒%& le deformazioni elastiche 𝑒%& sono date da 𝑒%& = (𝜀%& − 𝜃%&) , cioè la differenza tra le deformazioni totali 𝜀%& e le deformazioni anelastiche 𝜃%&. Allora 𝜎'( è il tensore elastico dovuto alla sola deformazione elastica 𝑒'(. UN ESEMPIO DI DEFORMAZIONE ANELASTICA È LA VARIAZIONE DI TEMPERATURA ∆𝑻. Il contributo della parte anelastica 𝜶∆𝑻 è proporzionale alla variazione termica ∆𝑇 attraverso il coefficiente di dilatazione termica 𝜶. Le variazioni termiche sono dei gradienti termici che hanno effetto solo sulle dilatazioni (deformazioni dirette) ma non hanno alcun effetto sugli scorrimenti angolari per cui la parte anelastica 𝛼∆𝑇 si somma solamente alle deformazioni dirette 𝜀00, 𝜀11, 𝜀22. Le dimensioni di α sono l’inverso della temperatura perché la deformazione deve essere a-dimensionale quindi se la temperatura si misura in °C α deve essere pari a 1/°C. 16 7) PROBLEMA ELASTICO Dato un continuo matematico posto su un sistema di riferimento cartesiano ortogonale 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, vincolato in 𝑆O, caricato alla Cauchy, ovvero soggetto a forze di superficie f che agiscono su una porzione della superficie laterale caricata 𝑆P e soggetto alle forze di volume F che agiscono su tutto il corpo, in cui non ci sono momenti distribuiti, bisogna calcolare le componenti di sforzo 𝝈𝒊𝒋, le componenti di spostamento 𝒔 e quelle di deformazione 𝜺𝒊𝒋. LE INCOGNITE DEL PROBLEMA SONO 15: 6 sforzi 𝝈𝒊𝒋, 6 deformazioni 𝜺𝒊𝒋 e 3 spostamenti 𝒔. LE EQUAZIONI CHE SI HANNO A DISPOSIZIONE SONO: § 3 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO § 6 EQUAZIONI DELLE COMPONENTI DI DEFORMAZIONE § 6 EQUAZIONI DI LEGAME (legano gli sforzi alle deformazioni) Il bilancio tra equazioni ed incognite c’è perché si hanno in totale 15 equazioni in 15 incognite. Si può far vedere che la soluzione esiste ed è unica; infatti, il PROBLEMA ELASTICO AMMETTE SOLUZIONE E LA SOLUZIONE È UNICA (TEOREMA DI KIRCHOFF). Il problema elastico è retto da equazioni lineari (le equazioni di equilibrio indefinito, le equazioni delle componenti di deformazione e le equazioni di legame) per cui è possibile utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti. CONDIZIONI AL CONTORNO SULLA PARTE CARICATA 3 equazioni sul contorno Equazioni di congruenza CONGRUENZA SUL MANTELLO DOVE SONO IMPOSTE LE CONDIZIONI DI VINCOLO 3 equazioni al contorno ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝜀0 = 𝜎0 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎1 + 𝜎2) 𝜀1 = 𝜎1 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎0 + 𝜎2) 𝜀2 = 𝜎2 𝐸 − 𝜈 𝐸 (𝜎0 + 𝜎1) H 𝜎01 = 𝐺𝛾01 𝜎02 = 𝐺𝛾02 𝜎12 = 𝐺𝛾12 deformazioni dirette scorrimenti angolari 17 8) PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Le equazioni di equilibrio, congruenza e legame sono equazioni differenziali alle derivate parziali lineari, quindi vale il principio di sovrapposizione degli effetti. L’effetto di un’azione A e di un’azione B, contemporaneamente agenti sul solido, è uguale alla sovrapposizione dell’effetto della sola azione A sommata alla sola azione B (senza A), pensate applicate indipendentemente una dall’altra e senza riguardo all’ordine di applicazione. Il principio di sovrapposizione degli effetti viene utilizzato nella soluzione del problema delle travi.