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Il Metodo delle forze per le travi elastiche iperstatiche l, Sintesi di Scienza Delle Costruzioni I. Università di Camerino

Scienza Delle Costruzioni I

Descrizione: Il_metodo_delle_forze_per_le_travi
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24/01/13 00:09
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1

Facoltà di Architettura di Siracusa Corso di Scienza delle Costruzioni

Lezione 8 IL METODO DELLE FORZE

PER LE TRAVI ELASTICHE IPERSTATICHE Prof. Ing. Giuseppe Ricciardi

A.A. 2006-2007

2

Il metodo delle forze

Generalità

Il PLV costituisce un mezzo potente e di portata generale per il calcolo delle strutture. Esso si applica sia ai sistemi rigidi che ai sistemi deformabili, ed è valido indipendentemente dalla natura del materiale

Vediamo come si utilizza il PLV per il calcolo di sistemi iperstatici costituiti da travi elastiche. Tale procedura si colloca nell’ambito del metodo delle forze

Con tale metodo si determina tra le infinite configurazioni equilibrate del sistema l’unica congruente, per mezzo delle equazioni di congruenza dell’elasticità.

Il PLV consente la scrittura automatica delle equazioni di congruenza necessarie per la risoluzione del problema. Dal punto di vista operativo il procedimento si compone di più fasi

3

Il metodo delle forze

Individuazione della struttura principale

Data una struttura volte iperstatica, si eliminano gli vincoli sovrabbondanti, così da ridurre la struttura originaria ad un struttura isostatica

Si applicano a questo sistema le incognite iperstatiche ( ) che i vincoli eliminati esercitavano

Il sistema isostatico che si ottiene è detto sistema principale e risulta quindi essere soggetto oltre che ai carichi esterni direttamente applicati al sistema originario, alle reazioni iperstatiche agenti in corrispondenza dei vincoli soppressi

I due sistemi, effettivo e principale, risultano identici e dunque equivalenti, pur di attribuire alle incognite i valori effettivi, reali, che scaturiscono dall’imposizione della congruenza

n n

n kX 1,2, ,k n= K

kX

kX

4

Il metodo delle forze

L’operazione di svincolamento

Nella risoluzione di una struttura iperstatica ci si trova dunque di fronte al problema di svincolarla in modo opportuno per ottenere lo schema isostatico su cui imporre le condizioni di congruenza

In generale lo svincolamento può avvenire in infiniti modi diversi, poiché è possibile degradare sia i vincoli esterni che i vincoli interni, e tra questi è possibile degradare gli infiniti vincoli di incastro interno che garantiscono la continuità della trave.

Normalmente, però, è conveniente degradare o sopprimere i vincoli esterni, o interrompere la continuità della struttura inserendo delle cerniere, eventualmente nei punti di confluenza delle travi (nodi-incastro), facendo attenzione a non introdurre labilità

5

Il metodo delle forze

Esempio 1 (struttura 1 volta iperstatica)

6

Il metodo delle forze

Esempio 2 (struttura 3 volte iperstatica)

Due possibili scelte della struttura principale

7

Il metodo delle forze

Calcolo degli schemi ausiliari

Una volta individuata la struttura isostatica principale, si procede a risolvere i seguenti schemi:

Schema “0” Esso è costituito dal sistema principale sollecitato soltanto dai carichi meccanici e distorcenti agenti sulla struttura originaria; siano , e le caratteristiche dell’azione interna corrispondenti

Schema “i”, per Esso è costituito dal sistema principale sollecitato dalla sola i-esima incognita iperstatica presa unitaria , detta azione (forza o coppia) esploratrice; questo sistema è detto i-esima struttura di servizio; siano , e le caratteristiche dell’azione interna corrispondenti

1n+

1,2, ,i n= K

1iX =

0N 0T 0M

iN iT iM

8

Il metodo delle forze

Applicazione del PLV

Per il PLV si prendono in considerazione due sistemi distinti: un sistema di forze e caratteristiche della sollecitazione (interna) equilibrato ed un sistema di spostamenti e deformazioni congruente.

Come sistema di forze equilibrato si prende quello virtuale o fittizio della i-esima struttura di servizio

Come sistema di spostamenti congruente si prende quello reale che, per il principio di sovrapposizione degli effetti, valido in elasticità lineare, è costituito dalla sovrapposizione dello schema 0 con gli n schemi di servizio moltiplicati ciascuno per la relativa incognita iperstatica

In tal modo, la i-esima applicazione del PLV consente di valutare lo spostamento in corrispondenza della i-esima sconnessione effettuata, la quale deve essere nulla per garantire le condizioni di congruenza del sistema originario

kX

9

Il metodo delle forze

Si determinano tutte le incognite iperstatiche applicando il PLV volte, tante quante sono le strutture di servizio. Si ottiene così un sistema algebrico lineare non omogeneo di equazioni nelle incognite iperstatiche che si possono così ricavare dalla risoluzione del sistema

Esso può porsi nella seguente forma matriciale:

ove è il vettore delle incognite iperstatiche

n

n n

0= + =AX 0ϑ ϑ

X

[ ]1 2T nX X X=X K

10

Il metodo delle forze

Il vettore ha per componenti gli spostamenti in corrispondenza delle sconnessioni effettuate:

Il vettore ha per componenti gli spostamenti in corrispondenza delle sconnessione per effetto dei carichi applicati (ricavabile dallo schema 0)

La matrice è quadrata ed invertibile ed è costituita dagli elementi : ijaA

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a a a a

a a a

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

A

K

K

M M O M

K

ϑ

[ ]1 2T nϑ ϑ ϑ= Kϑ

[ ]0 10 20 0T nϑ ϑ ϑ= Kϑ

11

Il metodo delle forze

Si può verificare che il generico i-esimo spostamento in corrispondenza della i-esima sconnessione può esprimersi nella seguente forma:

ove il generico elemento della matrice è da interpretarsi come lo spostamento in corrispondenza della i-esima sconnessione per effetto della incognita iperstatica posta uguale ad uno

Per la congruenza deve essere:

0 1 1 2 2

0 1

i i i i in n n

i ij jj

a X a X a X

a X

ϑ ϑ

ϑ =

= + + +…+

= +∑

jX

ija A

0, 1,2, ,i i nϑ = = K

12

Il metodo delle forze

Esercizio 1

A B C

2l2l

F

A BC

2l2l

F 1X2

X 3X

2ϑ 3ϑα α

Struttura principale

Per la congruenza deve essere:

1 10 11 1 12 2 13 3

2 20 21 1 22 2 23 3

3 30 31 1 32 2 33 3

0 0 0

a X a X a X a X a X a X a X a X a X

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

= + + + = = + + + = = + + + =

13

Il metodo delle forze

A BC

2l2l

F

10ϑ

20ϑ 30ϑ A BC

2l2l

1 1X =

11a

21 0a = 31 0a =

Schema (0) Schema (1)

A BC

2l2l

3 1X =

13 0a =

23a 33aA BC

2l2l

2 1X =

12 0a =

22a 32a

Schema (3)Schema (2)

14

Il metodo delle forze

A BC

2l2l

F

10ϑ

20ϑ 30ϑα Schema (0)

0( ) cosN x F α=− 0 2x l≤ ≤ 0( )N x

0( ) 0N x = 2l x l≤ ≤ cosF α−

0( )T x 0( ) ( 2)sinT x F α= 0 2x l≤ ≤

− + ( 2)sinF α

0( ) ( 2)sinT x F α=− 2l x l≤ ≤( 2)sinF α

0( ) ( 2)sinM x Fx α= 0 2x l≤ ≤ +

0( )M x 0( ) [ ( ) 2]sinM x F l x α= − 2l x l≤ ≤

15

Il metodo delle forze

Schema (1)

A BC

2l2l

1 1X =

11a

21 0a = 31 0a =

1( )N x 1( ) 1N x = 0 x l≤ ≤

+ 1

1( )T x 0 x l≤ ≤1( ) 0T x =

1( ) 0M x = 0 x l≤ ≤ 1( )M x

16

Il metodo delle forze

A BC 2l2l

2 1X =

12 0a =

22a 32a Schema (2)

2 ( )N x 0 x l≤ ≤2 ( ) 0N x =

2( )T x 1 l+ 0 x l≤ ≤2( ) 1T x l=

−1

2( ) 1M x x l=− + 0 x l≤ ≤ 2( )M x

17

Il metodo delle forze

A BC

2l2l

3 1X =

13 0a =

23a 33a Schema (3)

3 ( )N x 3( ) 0N x = 0 x l≤ ≤

3( )T x

3( ) 1T x l=− 0 x l≤ ≤− 1 l

3( )M x

−1

3( )M x x l=− 0 x l≤ ≤

18

Il metodo delle forze

Calcolo dei contributi agli spostamenti per effetto dei carichi

( ) ( )2 1 0 10

0

cos 2

N x N x Fdx EA EA

αϑ = = −∫ l

l

( ) ( )2 0 20

0 y

M x M x dx

EI ϑ = =∫

l

( ) ( )2 0

2

1 1sin 1 sin 2 2 2y y

x F x Fxdx x dx EI EI

α α − ⎛ ⎞= − + − − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ l

l

l

l l

l

2

sin 16 y

F EI

α− l

( ) ( )3 0 30

0 y

M x M x dx

EI ϑ = =∫

l

( ) 2

2

0 2

1 1sin sin sin 2 2 16y y y

x F x F Fx dx x dx EI EI EI

α α α= − + − − = −∫ ∫ l

l

l

l l

l l

19

Il metodo delle forze

Calcolo dei contributi agli spostamenti per effetto delle incognite iperstatiche poste pari a uno

( )21 11

0

N x a dx

EA EA = =∫

l l 13 31 0a a= =12 21 0a a= =

( ) ( )222 22 2

0 0 3y yy

M x x a dx dx

EI EIEI

= = =∫ ∫ l l l l

l

( ) ( ) ( )2 3 23 32 2

0 0 6y yy

M x M x x x a a dx dx

EI EIEI

= = = =∫ ∫ l l l l

l

( )2 23 33 2

0 0 3y yy

M x xa dx dx EI EIEI

= = =∫ ∫ l l l

l

20

Il metodo delle forze

Equazioni di congruenza:

1 10 11 1 1cos 02 Fa X X EA EA

ϑ ϑ α= + = − + =l l

2

2 20 22 2 23 3 2 3sin 016 3 6y y y

Fa X a X X X EI EI EI

ϑ ϑ α= + + = − + + =l l l

2

3 30 32 2 33 3 2 3sin 016 6 3y y y

Fa X a X X X EI EI EI

ϑ ϑ α= + + = − + + =l l l

Soluzione del sistema delle equazioni di congruenza:

1 cos2 FX α= 2 3 sin8

FX X α= = l

21

Il metodo delle forze

Sollecitazioni del sistema originario (sovrapposizione degli effetti):

( ) ( ) ( )0 1 1N x N x N x X= + = cos , 0

2 2

cos , 2 2

F x

F x

α

α

− ≤ ≤

≤ ≤

l

l l

( ) ( ) ( ) ( )0 2 2 3 3T x T x T x X T x X= + + = sin , 0

2 2

sin , 2 2

F x

F x

α

α

≤ ≤

− ≤ ≤

l

l l

( ) ( ) ( ) ( )0 2 2 3 3M x M x M x X M x X= + + =

( )

( )

sin , 0 2 4 2

sin , 2 4 2

xF x x

F xx x

α

α

⎡ − ⎤ − ≤ ≤⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤− − ≤ ≤⎢ ⎥⎣ ⎦

l l

l l l

22

Il metodo delle forze

Esercizio 2

q

A B

q

l

h

C

1X A B

l

h

C

Struttura principale

Per la congruenza deve essere:

1 10 11 1 0a Xϑ ϑ= + =

23 Il metodo delle forze

A B

q

l

h C

10ϑ

Schema (0) Schema (1)

A B

l

h

C

1 1X = 11a

(0) 2BR ql= (0) 2AR ql=

(0) 1BR l= (0) 1AR l=

1x 1z

2x 1x

1z 2x

1x 1z

2x

1x 1z

2x

1 2( ) 1N x l=

1 1 1( ) 1 ( )M x x l= − +

+

0 2( ) 2N x ql= −

− +

2 0 1 1 1( ) ( ) 2M x q lx x= −

24

Il metodo delle forze

( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1 1 2 0 2 10 1 2

0 0

h

y

M x M x N x N x dx dx

EI EA ϑ = + =∫ ∫

l

( ) 3

2 1 1 1 1 2

0 0

1 1 11 2 2 24 2

h

y y

q x q q qhx x dx dx EI EA EI EA

⎛ ⎞= − − + − = − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ ∫

l l l l

l l

( ) ( )2 21 1 1 2 11 1 2

0 0

h

y

M x N x a dx dx

EI EA = + =∫ ∫

l

2 1

1 22 2 0 0

1 1 11 3

h

y y

x hdx dx EI EA EI EA ⎛ ⎞= − + = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ ∫

l l

l l l

3

10 1

11 2

24 2

3

y

y

q qh EI EA

X ha EI EA

ϑ +

= − = +

l

l

l

1 10 11 1 0a Xϑ ϑ= + =

25

Il metodo delle forze

Esercizio 2 bis

q

A B

q

l

h

C

1X A B

1X l

h

C

Struttura principale

Per la congruenza deve essere:

1 10 11 1 0a Xϑ ϑ= + =

26 Il metodo delle forze

A B

q

l

h10ϑ

Schema (0) Schema (1)

A B

l

h

(0) 0BR =

(0) AR ql=

1 1X = 11a

(1) 1BR =

(1) 1AR =

C

(0) 2 2AM ql=

C 1 1X =

(1) AM l=

1z

1x

1z

1z

0 0N =

2 0 1 1( ) 2M x qx= −

1x

1 1N =

1 1 1( )M x x= −

+

1x

1x 1z

2x

2x

2x

2x

27 Il metodo delle forze

( ) ( ) ( ) 4

0 1 1 1 2 10 1 1 1 1

0 0

1 2 8y y y

M x M x q qdx x x dx EI EI EI

ϑ = = − = −∫ ∫ l l l%

( ) ( )2 2 2 321 1 1 2 11 1 2 1 1 2

0 0 0 0

1 1 3

h h

y y y

M x N x ha dx dx x dx dx EI EA EI EA EI EA

= + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ l l l

%

3

10 1

11 2

24 2

3

y

y

q qh EI EA

X ha EI EA

ϑ +

= − = +

l %

% l%

l

1 10 11 1 0a Xϑ ϑ= + =% % %%

28 Il metodo delle forze

Esercizio 3

A B

q

sT

iT∆ +

l

1X 2X

q

A B sT

iT∆ +

l 2ϑ

Struttura principale

___ 2 d d tt h α∆η α ∆ χ= =

___

2 i st tt ∆ ∆∆ +=

2 i st tt ∆ ∆∆ −=

Per la congruenza deve essere:

1 10 11 1 12 2

2 20 21 1 22 2

0 0

a X a X a X a X

ϑ ϑ ϑ ϑ = + + = = + + =

29 Il metodo delle forze

A B

q ____

T

T+∆ +

l

10ϑ 20ϑ

Schema (0)

T−∆

1x+

0( ) 0N x = 2

0( ) 2 2M x qlx qx= −

A B

l

1 1X =

11a 21a 1x

1( ) 1M x x l=− +1( ) 0N x =Schema (1)

1x

2( ) 1N x = 2( ) 0M x =

+A B

l

2 1X =12a

22a

Schema (2)

30 Il metodo delle forze

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1 0 1 10

0

___

1 1 0

2 y

N x N x M x M x dx

EA EI

tN x t M x dx h

ϑ

α∆α ∆

⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤

+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦

l

l

2 3

0

21 1 2 24y y

x qx x t q tdx EI h EI h

α∆ α∆⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ l l l

l l

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 2 0 2 20

0

___

2 2 0

2 y

N x N x M x M x dx

EA EI

tN x t M x dx h

ϑ

α∆α ∆

⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤

+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦

l

l ___ ___

0 1 tdx tα ∆ α ∆= ⋅ =∫ l

l

31 Il metodo delle forze

( ) ( ) 22 21 1 11

0 0

1 1 3y y y

N x M x xa dx dx EA EI EI EI

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + = − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ l l l

l

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 12 21

0 0

y

N x N x M x M x a a dx

EA EI ⎡ ⎤

= = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ l

( ) ( )2 2 22 2 22

0 0

1 1 y

N x M x a dx dx

EA EI EA EA ⎡ ⎤

= + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ l l l

1 10 11 1 0a Xϑ ϑ= + =

3

01 1

11

24

3

y

y

q t EI h

X a

EI

α∆ ϑ

+

= − =

l l

l

Equazioni di congruenza:

___ 02

2 22

X t EA a ϑ α ∆= − = −2 20 22 2 0a Xϑ ϑ= + =

32 Il metodo delle forze

Sollecitazioni del sistema originario (sovrapposizione degli effetti):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ___

0 1 1 2 2 2 2N x N x N x X N x X N x X t EAα ∆= + + = = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 1 1 2 2 2 q x XT x T x T x X T x X

= + + = + l

l

( ) ( ) ( ) ( ) 2

0 1 1 2 2 112 qx xM x M x M x X M x X X⎛ ⎞= + + = + −⎜ ⎟

⎝ ⎠l

33 Il metodo delle forze

Esercizio 4

A B

___

1ϑ ϕ= ∆

2l 2l C

1X1X

Struttura principale

A B C

___

0ϕ∆ >

2l 2l

A B 11a

C 1 1X = 1 1X =

0 2 AM =

1 2 AV l=

1 2 BV l=

A B 10 0ϑ = C

Schema (0) Schema (1)

0( ) 0N x = 1( ) 0N x =

0( ) 0M x = x

1( ) 2 2M x x l=− +

34 Il metodo delle forze

10 0ϑ =

( ) 221 11

0 0

4 41 3y y y

M x xa dx dx EI EI EI

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ ∫

l l l

l

Equazione di congruenza:

1 3

4 yEIX ∆ϕ= l

1 40 3 y

X EI

∆ϕ = + l1 10 11 1 0a Xϑ ϑ= + =

( ) 0N x =

( ) 1 2 2 3

2 yEIT x X ∆ϕ= =

l l

( ) 1 2 31 1

2 yEIx xM x X ∆ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠l l l

35 Il metodo delle forze

Esercizio 4 bis

B

2l 2l C

1X

Struttura principale

A ___

0ϕ∆ > 1ϑA B

C

___

0ϕ∆ >

2l 2l

B

___

10 / 2ϑ ϕ= ∆ C

Schema (0)

A B11 a

C

1 1 AV l= 1 1

BV l=

1 1X = A

___

0ϕ∆ > Schema (1)

0( ) 0N x = 1( ) 0N x =

0( ) 0M x = x

1( ) 1M x x l=− +

36 Il metodo delle forze

10 2 ∆ϕϑ = −

( ) 221 11

0 0

1 1 3y y y

M x xa dx dx EI EI EI

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ ∫

l l l

l

Equazioni di congruenza:

1 10 11 1 0a Xϑ ϑ= + = 101 11

3 2

yEIX a ϑ ∆ϕ= − =

l

( ) 0N x =

( ) 1 2 1 3

2 yEIT x X ∆ϕ= =

l l

( ) 1 31 1 2

yEIx xM x X ∆ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠l l l

37 Il metodo delle forze

Esercizio 5

A B

l

A A AMα φ=−

B B Bw Vφ=−

M Bu

Aw A B

l

1 1A AXϑ α φ= =−

B B Bw Vφ=−

M Bu

Aw

1X 2X

Per la congruenza deve essere:

1 10 11 1 12 2 1

2 20 21 1 22 2 0 Aa X a X X

a X a X ϑ ϑ φ ϑ ϑ = + + = − = + + =

38 Il metodo delle forze

A B 10 10 10

c dϑ ϑ ϑ= +

0 0 B

B Bw Vφ= − M

Bu

Aw 20ϑ

Schema (0)

0 AV M l=

Aw l

0 BV M l=

0( ) 0N x = 0

10 2 d B A B Aw w wM φϑ = − + = +

l l ll

0( ) MM x x l =

x +

20 d

Buϑ = −

x +

0 0 B

B Bw Vφ= −0 Bw− l

39 Il metodo delle forze

A B l

11 11 11 c da a a= +

1 1X =

21a

1 1 AV l= 1 1

BV l=

1 1 B

B Bw Vφ= − Schema (1)

1( ) 1 xM x l = −

1( ) 0N x =

x

1

11 2 d B Bwa φ= − =

l l

x +

1 1 B

B Bw Vφ= −1Bw− l

40 Il metodo delle forze

Schema (2)

A B l

12 0a = 2 1 BH =2 1X =

22a

2( ) 1N x =

x+

2( ) 0M x =

41 Il metodo delle forze

( ) ( ) 00 1 10 10 10

0

c d B A

y

M x M x w wdx EI

ϑ ϑ ϑ= + = − + =∫ l

l l

2

2 2 0 6

A B A B

y y

M x M w wx dx M EI EI

φφ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= − + + = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ l l

l l l ll l

20 20 20 0 c d

xB xBu uϑ ϑ ϑ= + = − = −

( ) 22 11 11 11 11 2 2

0 0

1 1 3

c d B B B

y y y

M x w xa a a dx dx EI EI EI

φ φ⎛ ⎞= + = + = − + = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ ∫

l l l

l l l l

12 21 0a a= =

( )22 22 22 22

0 0c d

N x a a a dx

EA EA = + = + =∫

l l

42 Il metodo delle forze

1 01 11 1 12 2 1 1Aa X a X Xϑ ϑ α φ= + + = = −

2 02 21 1 22 2 0a X a Xϑ ϑ= + + =

1 12 26 3 B A B

A y y

wM X X EI EI

φ φ φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − + + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

l l

ll l

2 0Bu XEA − + =

l

2

1

2

6

3

A B

y

B A

y

w M EI

X

EI

φ

φφ

⎛ ⎞ + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠= + +

l

l l

l

l

2 B EAX u= l

43 Il metodo delle forze

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 B EAN x N x N x X N x X u= + + = l

( ) ( ) ( ) ( ) 10 1 1 2 2 M XT x T x T x X T x X= + + = + l l

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 11 x xM x M x M x X M x X M X⎛ ⎞= + + = + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠l l

44

Esempio 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1 0 1 01 1

1 +

z

y

N x N x M x M x du x dx dx N x dx

EA EI dx

d x M x dx

dx

ϑ

ϕ

= + +

=

∫ ∫ ∫

∫ l l l

l

( ) 2 1

1 1 1 1 2 0 0 0

2 1 2

h h

y

qx tx dx x dx tdx EI H

α∆ α∆= − + − + − =∫ ∫ ∫ l

4 2

8 2y

qh h t t EI H

α ∆ α ∆= − − − l

1 3

4 yEIX ∆ϕ= l

1 40 3 y

X EI

∆ϕ = + l1 01 11 1a Xϑ ϑ= +

45

Esempio 6 ( ) ( )2 21 1

11 y

N x M x a dx dx

EA EI = + =∫ ∫l l

( ) ( ) ( )22 2 1 31 2 1 1 2 1 3

0 0 0

h h

y y

M xN x M x dx dx dx

EA EI EI = + + =∫ ∫ ∫

l

2 3 1

2 1 0 0

1 22 3

h

y y

x hdx dx EA EI EA EI

= + = +∫ ∫ l l

4 2

1 3

8 2 2

3

y

y

qh h t t EI H

X h

EA EI

α ∆ α ∆+ + =

+

l

l 1 01 11 1a Xϑ ϑ= +

46

Trave continua a due campate ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

20 1 0 2 01 1 1 1 1 2 2

0 0

3 2 0 2

1 2 2 2

24 16

I II I II III

y y

III II III

y y y

M x M x M x dx M x dx

EI EI

M x q FM x dx EI EI EI

ϑ −

= +

+ = − −

∫ ∫

l l

l

l

l l

( ){ } ( ){ }2 21 1 1 2 11 1 2

0 0

2 3 3 3

I II III

y y y y y

M x M x a dx dx

EI EI EI EI EI

= + = + =∫ ∫ l l l l l

( ) 11 1I xM x = − l

( ) 21 2 1II III xM x− = − l

( ) 2 1

0 1 12 2 I q qxM x x= −l

( )0 2 22 II FM x x=

( ) ( )0 2 22 III FM x x= −l

47

Trave continua a due campate

3 2 2 01

1 11

3 3 2 24 16 16 32

q F qX F a ϑ ⎡ ⎤

= − = + = +⎢ ⎥ ⎣ ⎦

l l l l

l 1 01 11 1 0a Xϑ ϑ= + =

48

Trave continua a due campate -tabelle

2

22

1 24 2

2 24

A y

B y

q a b EI

q a a EI

ϑ

ϑ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

l

l

l

6

3

A y

B y

M EI

M EI

ϑ

ϑ

=

=

l

l

3

24A B y

q EI

ϑ ϑ= = l

( )

( )

2 2

2 2

6

6

A y

B y

Fb b

EI

Fa a

EI

ϑ

ϑ

− =

− =

l

l

l

l

3 0

3 0

7 360

8 360

A y

B y

q EI

q EI

ϑ

ϑ

=

=

l

l

2

16A B y

F EI

ϑ ϑ= = l

49

Trave continua - Equazione dei tre momenti

1 01 11 1 12 2

2 02 21 1 22 2 23 3

3 32 2 33 3

0 0

0

a X a X a X a X a X

a X a X

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

= + + =

= + + + =

= + =

50

Trave continua – Cedimenti vincolari

( )3 301 1 2 1 2

1 1 24 yBy

q u EI

ϑ ⎛ ⎞

= − + + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠

l l l l

1 2 11 3 y

a EI +

= l l

( ) ( )3 301 1 2 1 2 1 2

1 1 24 2

B

y

q q EI

φϑ ⎛ ⎞

= − + + + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠

l l l l l l

2 1 2

11 1 2

1 1 3 By

a EI

φ ⎛ ⎞+

= + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠

l l

l l

51

Forza Unitaria 2

2 1 2

12 y tX q EI

H α∆

= −l21 1 2

12 y tX q EI

H α∆

= −l

( )0N̂ x = 0, 0

2

0, 2

x

x

≤ ≤

≤ ≤

l

l l

( ) 0N x =

( )0̂T x = 1 , 0 2 2 1 , 2 2

x

x

≤ ≤

− ≤ ≤

l

l l

( ) 2

T x q x⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ l

( )0M̂ x = ( )

1 , 0 2 2

1 , 2 2

x x

x x

≤ ≤

− ≤ ≤

l

l l l

( ) ( ) 2

22 12 2y q t qM x EI x x

H α∆

= − + + − l

l

52

Forza Unitaria

( ) ( )

( ) ( )

2 2

0

2

2

1 1 2 2 2

1 1 2 + 2 2

r A y

A y

q tu C f x x x M dx EI H

q tx x x M dx EI H

α∆

α∆

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= = − − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤− − − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

l

l

l

l

l l

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