Matrici e sistemi di equazioni lineari, Dispense di Matematica Generale

Scarica Matrici e sistemi di equazioni lineari e più Dispense in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! Capitolo 1 Sistemi di equazioni lineari e matrici I sistemi di equazioni lineari hanno importanza per le loro applicazioni in diverse aree. Esempi di questi sistemi sono 3x − 2y + z = 1 x +y − 4z = −2 2x +y − z = 4 { x1 − x2 + x3 = 4 2x1 − x2 − x3 = 5  x/3−y = 4 2x −y/4 = 2 x +y = 3/7 Ognuno è formato da un insieme di equazioni nelle quali ogni incognita x,y, z, . . . (oppu- re, con altra denominazione, x1, x2, x3, . . .) è precedute da un coefficiente (un numero reale qualsiasi) e compare sempre e solo alla prima potenza e senza l’intervento di altre funzioni (trigonometriche, logaritmiche ecc.). Esiste poi in ogni equazione un termine senza incognita che per convenienza si trasporta al secondo membro, dopo il segno di uguale, ed è detto termine noto. Un generico sistema di m equazioni lineari in n incognite si scrive nella forma  a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · · · + a1jxj + · · · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · · · + a2jxj + · · · · · + a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · = · · ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · · · · · + aijxj + · · · · · · + ainxn = bi · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · = · · am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · · · · + amjxj + · · · + amnxn = bm (1.1) Le incognite sono indicate da x1, x2, x3, . . . , xn, i simboli aij rappresentano i coefficienti, e b1, b2, b3, . . . , bm sono i termini noti. Osserviamo che aij è il coefficiente della j-esima incognita nell’equazione i-esima. Naturalmente è possibile che alcuni coefficienti e alcuni termini noti siano nulli. Se tutti i termini noti sono uguali a zero il sistema si dice omogeneo. È evidente che nei casi concreti la scelta di quale sia la prima incognita, quale sia la seconda ecc. è del tutto arbitraria e puramente convenzionale. Comunque, una volta ordinate le incognite secondo un criterio, è opportuno scrivere tutte le equazioni rispettando il medesimo ordinamento per le incognite. Scriviamo un esempio di sistema formato da due equazioni in tre incognite dapprima, sulla sinistra, senza rispettare alcun ordinamento particolare, e sulla destra rispettando invece in ogni equazione l’ordinamento (x,y, z):{ 3y − x + z = −1 x − 2z +y = 2 { −x + 3y + z = −1 x +y − 2z = 2 Si vede subito che questo è un caso particolare del sistema generico (1.1), nel quale si ha ora n = 3, m = 2, e (x1, x2, x3) = (x,y, z). Quando un sistema è scritto in modo che: 1 CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 2 • le incognite compaiono nel medesimo ordine in ogni equazione, • i termini noti sono tutti collocati al secondo membro, si dice che è in forma standard. 1.1 Metodo di sostituzione Le conoscenze di matematica elementare sono normalmente sufficienti per risolvere un pic- colo sistema. Il metodo più naturale è quello detto “per sostituzione”, che vediamo all’opera in tre esempi. Esempio 1.1 Risolviamo con il metodo di sostituzione il sistema 3x −y + z = 4 x + 2y + z = −3 x − 4y − z = 9 Dalla prima equazione ricaviamo la x (prima incognita) che sostituiamo nella seconda e nella terza. Dopo qualche manipolazione si ottiene: 3x −y + z = 4 x + 2y + z = −3 x − 4y − z = 9 =⇒  x = y/3− z/3+ 4/3 7y + 2z = −13 − 11y − 4z = 23 Il secondo passaggio consiste nel ricavare la seconda incognita, qui la y , dalla seconda equazione, sostituendola poi nella terza: x = y/3− z/3+ 4/3 7y + 2z = −13 − 11y − 4z = 23 =⇒  x = y/3− z/3+ 4/3 y = −2z/7− 13/7 − 6z = 18 Osserviamo che questa tecnica ci porta alla fine, almeno in questo caso, ad avere in fondo una equazione nella sola incognita z e le altre incognite x e y espresse in modo esplcito in funzione di essa. Ricaviamo perciò z e sostituiamo nelle relazioni al di sopra: x = y/3− z/3+ 4/3 y = −2z/7− 13/7 − 6z = 18 =⇒  x = 2 y = −1 z = −3 e questo ci consegna l’unica soluzione (x,y, z) = (2,−1,−3), la cui correttezza possiamo controllare sostituendo questi valori nelle equazioni di partenza, verificando cioè che 3(2)− (−1)+ (−3) = 4 (2)+ 2(−1)+ (−3) = −3 (2)− 4(−1)− (−3) = 9 La soluzione del sistema trovata è evidentemente l’unica esistente. Esempio 1.2 Consideriamo ora il sistema 3x −y + z = 4 x + 2y + z = −3 x −5 y − z = 9 CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 5 Si osservi che in ogni matrice (scritta fra parentesi quadre) compaiono a sinistra della barra verticale i coefficienti delle incognite, e invece al di là della barra (usata proprio per creare una distinzione anche dal punto di vista grafico) compiono uno sotto l’altro i termini noti. Poiché evidentemente il nome assegnato alle incognite è irrilevante è chiaro che tutte le informazioni relative a un sistema di equazioni lineari si traducono nella costruzione di una corrispondente matrice completa dei coefficienti e dei termini noti. Ci saranno tante righe quante sono le equazioni e tante colonne quante sono le incognite più una, la colonna dei termini noti. Per discutere quindi la teoria dei sistemi di equazioni lineari è perciò necessario introdurre per esteso l’argomento delle matrici. 1.2 Matrici Una matrice è, in parole semplici, una tabella rettangolare di numeri disposti per righe e per colonne. L’insieme delle matrici con m righe e n colonne è indicato conMm,n e una matrice di questo tipo è detta di ordine m × n (m per n). Così un elemento di M2,3 è una matrice 2×3, 2 righe e 3 colonne, un elemento diM3,2 è una matrice 3×2, 3 righe e 2 colonne (si noti la differenza dal caso precedente) ecc. Le matrici quadrate di ordine n, che hanno un numero n di righe pari al numero n delle colonne, formano l’insiemeMn. Vediamo alcuni esempi, ponendo sotto a ciascuna matrice l’indicazione del corrispondente ordine m×n:[ −1 3 0 √ 2 ] 2×2 [ 4 π 3,7 −2 0 3+ √ 2 ] 2×3  4 π/23,5 9 5/11 0  3×2 [ 2 −1 0 ] 1×3 Nella scrittura m × n il primo termine si riferisce alla righe, mentre il secondo indica il numero delle colonne. Gli elementi di una matrice sono inclusi in una parentesi quadra e possono essere numeri di ogni genere (interi, razionali, irrazionali, …). Con la notazione [A]ik si indica l’elemento della matrice A ∈ Mm,n che compare nel posto (i, k), e cioè all’incrocio fra l’i-esima riga e la k-esima colonna (il primo indice si riferisce sempre alla riga e il secondo alla colonna). Per esempio, A = [ 4 2 π −3 1+ √ 2 √ 3/2 ] =⇒ [A]11 = 4 [A]12 = 2 [A]13 = π [A]21 = −3 [A]22 = 1+ √ 2 [A]23 = √ 3/2 A volte è necessario nominare esplicitamente gli elementi di una matrice: per questo si usa di solito (ma non sempre) la stessa lettera che la contraddistingue, scritta però in carattere minuscolo e seguita da due indici, posti in basso, che individuano la riga e la colonna in cui si trova l’elemento dato. Per esempio, il generico elemento di una matrice A ∈Mm,n può essere indicato con aik e, in questo caso, A =  a11 a12 a13 · · · · · · a1n a21 a22 a23 · · · · · · a2n ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 · · · · · · amn  che si riassume con A = [aik] CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 6 Per esempio, se A = [aik] è assegnata da A = [ a11 a12 a13 a21 a22 a23 ] = [ 3 −1 π 0 √ 2 3/4 ] (1.2) allora a11 = 3, a12 = −1, a13 = π, a21 = 0, a22 = √ 2, a23 = 3/4. Nel caso di matrici con un numero di righe o di colonne superiore a 9 è necessario introdurre una virgola che separi l’indice che indica la riga da quello che indica la colonna, per evita- re ambiguità. Infatti, per esempio, la scrittura a213 sarebbe incomprensibile, mentre a21,3 indica chiaramente l’elemento in posizione (21,3), all’incrocio fra la riga 21 e la colonna 3, diversamente da a2,13 che indica invece l’elemento di posizione (2,13). Ovviamente la scelta di usare la lettera a per indicare gli elementi di una matrice A è solo di convenienza. Potremmo anche scrivere A = [αik], utilizzando invece la lettera α. Nel seguito sarà importante aver presente la classificazione delle posizioni occupate dagli elementi di una matrice in pari e dispari. Diciamo che l’elemento aij è in posizione pari se la somma degli indici i+ j è pari, mentre diciamo che è in posizione dispari se la somma degli indici i + j è appunto dispari. Così, il primo elemento in alto a sinistra è in posizione pari, poiché 1+1 = 2, mentre il successivo sulla prima riga è in posizione dispari, poiché 1+2 = 3, e così via. Schematizziamo questa caratterizazione ponendo il simbolo + nei posti pari e il simbolo − nei posti dispari :  + − + − + · · · · · · − + − + − · · · · · · + − + − + · · · · · · ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...  Come si vede i posti pari e dispari si succedono alternativamente da sinistra a destra e dall’alto in basso, a partire dal primo in alto a sinistra. Si osservi che ad essere pari o dispari sono le posizioni, e non gli elementi che sono collocati in esse, che ovviamente non sempre sono numeri interi. Le matrici di ordine 1×n (formate da una sola riga) sono anche dette vettori riga, e le matrici m×1 (formate da una sola colonna) sono dette vettori colonna. In entrambi i casi si può usare un solo indice poiché l’altro prende il valore 1. Così, un generico vettore riga, appartenente a M1,n, e un generico vettore colonna, appartenente aMm,1, sono rispettivamente dati da [ a1 a2 a3 · · · an ]  a1 a2 a3 ... am  Una notazione che tornerà utile nel seguito è quella che indica con Ai la matrice 1 × n che corrisponde alla i-esima riga di A, e indica con Ak la matrice m× 1 che corrisponde alla k-esima colonna. Quindi Ai = [ ai1 ai2 ai3 · · · ain ] Aj =  a1j a2j a3j ... amj  CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 7 La matrice A può allora essere vista come accostamento orizzontale delle colonne A =  a11 a12 · · · a1j · · · a1n a21 a22 · · · a2j · · · a2n ... ... ... ... ... ... ai1 ai2 · · · aij · · · ain ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 · · · · · · amn  = [ A1 A2 · · · Aj · · · An ] oppure come accostamento verticale delle righe A =  a11 a12 · · · a1j · · · a1n a21 a22 · · · a2j · · · a2n ... ... ... ... ... ... ai1 ai2 · · · aij · · · ain ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 · · · · · · amn  =  A1 A2 ... Ai ... Am  Così, per esempio, riferendoci alla (1.2) si ha A1 = [ 3, −1, π ] A2 = [ 0, √ 2, 3/4 ] e inoltre A1 = [ 3 0 ] A2 = [ −1√ 2 ] A3 = [ π 3/4 ] Si osservi che a volte può essere utile usare una virgola per separare i diversi elementi, per evitare ambiguità. Per esempio, non si confondano le matrici[ 2, − √ 3, 1 ] [ 2− √ 3, 1 ] (la prima contiene tre elementi mentre la seconda solo due). Come vedremo più avanti è anche comodo indicare i vettori riga e i vettori colonna con lettere minuscole in grassetto, come a,b,x, ecc. 1.3 Sottomatrici Scelto un numero p di colonne e un numero q di righe di una matrice (righe e colonne anche non contigue fra loro), consideriamo i p×q elementi che si trovano all’incrocio fra le colonne e le righe scelte: questi elementi formano una sottomatrice di ordine p×q. È evidente quindi che è possibile costruire un gran numero di sottomatrici di una qualsiasi matrice assegnata. In particolare, saremo più avanti interessati alle sottomatrici quadrate, per le quali il numero delle righe è pari al numero delle colonne estratte. Osserviamo che non tutti i sottoinsiemi di una matrice formano una sottomatrice. Per esempio, gli elementi evidenziati dai quadratia11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34   a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34   a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34  formano una sottomatrice nei primi due casi ma non nel terzo. CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 10 ecc. Quindi, se A è di ordinem×n (m righe e n colonne) la matrice AT è di ordine n×m (n righe e m colonne), e perciò [AT ]ik = [A]ki Am×na A T n×m In altre parole, la componente di posto (i, k) di AT è la componente di posto (k, i) di A. Per esempio A =  2 −10 3 −2 4  =⇒ AT = [ 2 0 −2−1 3 4 ] o ancora A =  3 −1 42 0 −3 −1 3 5  =⇒ AT =  3 2 −1−1 0 3 4 −3 5  Ovviamente la trasposta della trasposta è ancora la matrice originaria: (AT )T = A. È anche vero che la trasposta di una somma è la somma delle trasposte (A+ B)T = AT + BT 1.7 Simmetria e antisimmetria Le matrici quadrate comprendono due importanti sottoinsiemi, caratterizzati dalle proprietà di simmetria e antisimmetria. Le matrici quadrate simmetriche sono quelle nelle quali gli ele- menti in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale hanno uguale valore, mentre nelle matrici antisimmetriche questi elementi hanno valore fra loro opposto. Ovviamente, una matrice quadrata non è in generale né simmetrica né antisimmetrica. Il risultato più importante consiste, come vedremo, nella possibilità di scomporre ogni matrice A nella somma di due altre matrici, una simmetrica e una antisimmetrica, che si indicano come “parte simmetrica” e “parte antisimmetrica” di A. 1.7.1 Matrici simmetriche Una matrice quadrata è simmetrica se l’elemento generico di posto i, k ha il medesimo valore dell’elemento di posto k, i. Questo significa che la matrice coincide con la sua trasposta e quindi A è simmetrica a A = AT a [A]ik = [A]ki (evidentemente solo le matrici quadrate possono essere simmetriche). Si noti che una matrice di questo tipo ha gli elementi in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale uguali fra loro, come in[ 3 −1 −1 7 ] [ 2 5 5 3 ]  2 −1 4−1 3 7 4 7 −3   0 −π 2−π 3 √2 2 √ 2 5  Per maggiore chiarezza consideriamo il caso di ordine 3 e colleghiamo con un segmento gli elementi collocati in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale, che devono avere uguale valore, mettendo in evidenza anche con un esempio la struttura che abbiamo appena illustrato: [A]ik = [A]ki  a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  ︸ ︷︷ ︸ a12=a21, a13=a31, a23=a32  4 −3 6 −3 2 2 6 2 5  CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 11 1.7.2 Matrici antisimmetriche Una matrice quadrata è antisimmetrica se l’elemento generico di posto i, k ha valore opposto a quello dell’elemento di posto k, i: [A]ik = −[A]ki. Questo significa che la trasposta è uguale all’opposto della matrice stessa, e quindi A è antisimmetrica a AT = −Aa [A]ik = −[A]ki (evidentemente solo le matrici quadrate possono essere antisimmetriche). Osserviamo subito che ogni elemento posto sulla diagonale principale di una matrice anti- simmetrica è nullo poiché, per esempio, deve essere [A]11 = −[A]11 e quindi necessariamente [A]11 = 0 (l’unico numero che coincide con il proprio opposto è lo zero). Esempi di matrici antisimmetriche sono: [ 0 3 −3 0 ] [ 0 −4 4 0 ]  0 2 −1−2 0 √2 1 − √ 2 0   0 −3 π3 0 1 −π −1 0  Come si vede gli elementi sulla diagonale principale sono tutti nulli, mentre gli elementi in posizione simmetrica rispetto ad essa sono opposti uno dell’altro. Per visualizzare la struttura di una matrice antisimmetrica di ordine 3 colleghiamo con un segmento gli elementi che devono avere valori opposti: [A]ik = −[A]ki  0 a12 a13 a21 0 a23 a31 a32 0  ︸ ︷︷ ︸ aii=0, a12=−a21, a13=−a31, a23=−a32  0 −3 5 3 0 2 −5 −2 0  1.7.3 Parte simmetrica e parte antisimmetrica Consideriamo una generica matrice quadrata A e osserviamo che vale in modo ovvio l’uguaglianza A = 1 2 (A+AT )+ 1 2 (A−AT ) Indichiamo per comodità con S e con W le matrici sulla destra, la cui somma coincide con A, e cioé A = 1 2 (A+AT )︸ ︷︷ ︸ S + 1 2 (A−AT )︸ ︷︷ ︸ W = S +W con S = 1 2 (A+AT ) W = 1 2 (A−AT ) Vediamo ora che la matrice S è certamente simmetrica poiché coincide con la sua trasposta. Infatti ST = 1 2 (A+AT )T = 1 2 (AT +A) = 1 2 (A+AT ) = S dove abbiamo sfruttato il fatto che (AT )T = A (la trasposta della trasposta coincide con la matrice originale). Inoltre, la matrice W è invece antisimmetrica, poiché è l’opposta della propria trasposta. Infatti WT = 1 2 (A−AT )T = 1 2 (AT −A) = −1 2 (A−AT ) = −W CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 12 Concludiamo perciò che ogni matrice quadrata A può essere decomposta nella somma di una matrice simmetrica e una matrice antismmetrica, che è tradizione indicare rispettivamen- te come parte simmetrica e parte antisimmetrica diA stessa. A volte si scrive sym(A) e skw(A) per indicare queste due parti di A (la notazione proviene dalle parole inglesi “symmetric” e “skewsymmetric”). Proposizione 1. Ogni matrice quadrata A può essere decomposta nella somma di una parte simmetrica e una parte antisimmetrica: A = sym(A)+ skw(A) sym(A) = 1 2 (A+AT ) skw(A) = 1 2 (A−AT ) Esempio 1.8 Calcoliamo la parte simmetrica e la parte antisimmetrica di A = 3 −1 24 −2 3 0 −2 1  Per la parte simmetrica avremo sym(A) = 1 2 3 −1 24 −2 3 0 −2 1  ︸ ︷︷ ︸ A +1 2  3 4 0−1 −2 −2 2 3 1  ︸ ︷︷ ︸ AT =  3 3/2 13/2 −2 1/2 1 1/2 1  ︸ ︷︷ ︸ sym(A) Per la parte antisimmetrica, invece, skw(A) = 1 2 3 −1 24 −2 3 0 −2 1  ︸ ︷︷ ︸ A −1 2  3 4 0−1 −2 −2 2 3 1  ︸ ︷︷ ︸ AT =  0 −5/2 15/2 0 5/2 −1 −5/2 0  ︸ ︷︷ ︸ skw(A) È utile verificare che effettivamente sym(A) è simmetrica, skw(A) è antisimmetrica e infine che A = sym(A)+ skw(A) e cioé che 3 −1 24 −2 3 0 −2 1  ︸ ︷︷ ︸ A =  3 3/2 13/2 −2 1/2 1 1/2 1  ︸ ︷︷ ︸ sym(A) +  0 −5/2 15/2 0 5/2 −1 −5/2 0  ︸ ︷︷ ︸ skw(A) 1.8 Prodotto righe per colonne Il prodotto fra matrici è un concetto decisamente più delicato delle operazioni viste fino ad ora. Prima di tutto bisogna dire che il prodotto AB di due matrici A e B è definito solo se la matrice A possiede tante colonne quante sono le righe di B. In altre parole, il numero di colonne della matrice sulla sinistra (A, in questo caso) deve essere uguale al numero delle righe della matrice sulla destra (B, in questo caso). Il risultato di questa operazione, che è detto prodotto righe per colonne, è una nuova matrice con tante righe quante ne possiede la matrice A e tante colonne quante ne possiede la matrice B: A m×n B n×p ⇒ AB m×p CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 15 Passiamo ora alla terza riga di AB. Il termine [AB]3,1 (terza riga e prima colonna) si ottiene moltiplicando gli elementi della terza riga di A con gli elementi della prima colonna di B [AB]3,1 = ?  −1 53 0 ñ 4 -2  [  2 −1 0 4 7 3 −5 2 ] [AB]3,1 = [A]3,1[B]1,1 + [A]3,2[B]2,1 = (4)(2)+ (−2)(7) = −6. e quindi si ha [AB]3,1 = −6. In modo analogo [AB]3,2 = ?  −1 53 0 ñ 4 -2  [  2 -1 0 4 7 3 −5 2 ] [AB]3,2 = [A]3,1[B]1,2 + [A]3,2[B]2,2 = (4)(−1)+ (−2)(3) = −10. e quindi [AB]3,2 = −10. Calcoliamo infine [AB]3,3 con [AB]3,3 = ?  −1 53 0 ñ 4 -2  [  2 −1 0 4 7 3 -5 2 ] [AB]3,3 = [A]3,1[B]1,3 + [A]3,2[B]2,3 = (4)(0)+ (−2)(−5) = 10. e anche [AB]3,4 con [AB]3,4 = ?  −1 53 0 ñ 4 -2  [  2 −1 0 4 7 3 −5 2 ] [AB]3,4 = [A]3,1[B]1,4 + [A]3,2[B]2,4 = (4)(4)+ (−2)(2) = 12. In definitiva AB = −1 53 0 4 −2 [2 −1 0 47 3 −5 2 ] = 33 16 −25 66 −3 0 12 −6 −10 10 12  Osservazione. Il prodotto righe per colonne BA (si noti l’inversione nell’ordine dei due fattori) in questo caso non sarebbe possibile, poiché il numero delle colonne (4) della matrice sulla sinistra (B) non è uguale al numero delle righe (3) della matrice sulla destra (A) BA = [ 2 −1 0 4 7 3 −5 2 ]−1 53 0 4 −2  prodotto non definito!!! Non tutte le coppie di matrici possono quindi essere moltiplicate. Possiamo per esempio moltiplicare una 2×3 per una 3×4, ma non per una 4×3. Inoltre, a volte è possibile eseguire CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 16 il prodotto AB ma non il prodotto BA, o viceversa, e quand’anche entrambi i prodotti fossero possibili non è detto che il risultato sia lo stesso, cioè non è detto che si abbia AB = BA. Possiamo però sempre moltiplicare una matrice quadrata A di ordine n per una matrice B dello stesso ordine, e certamente in questo caso possiamo calcolare sia AB che BA, ma anche qui non è detto che il risultato sia lo stesso. Il fatto che in generale si abbia AB 6= BA si esprime dicendo che il prodotto righe per colonne non è commutativo. Per verificare questa affermazione consideriamo A = [ 2 −1 1 3 ] B = [ 3 0 −2 1 ] In questo caso è possibile calcolare sia AB che BA, ma si ottiene AB = [ 8 −1 −3 3 ] BA = [ 6 −3 −3 5 ] =⇒ AB 6= BA Il prodotto righe per colonne soddisfa la proprietà distributiva rispetto alla somma, sia sulla destra che sulla sinistra, e cioè A(B + C) = AB +AC, (C +D)E = CE +DE, nell’ipotesi ovviamente che tutte le operazioni indicate siano possibili. Vale anche la proprietà λ(AB) = (λA)B = A(λB). Si noti infine che il prodotto di un vettore riga A ∈ M1,n con n elementi e di un vettore colonna B ∈Mn,1 con lo stesso numero n di elementi è possibile sia nella forma AB che nella forma BA. Si avrà AB ∈M1 (cioè una matrice formata da un solo numero), mentre BA ∈Mn, e cioè una matrice quadrata di ordine n×n: A 1×n B n×1 ⇒  AB 1×1 BA n×n Per esempio, A = [ 2 −1 3 ] B = 31 4  AB = [17] BA = 6 −3 92 −1 3 8 −4 12  Poiché è sempre possibile moltiplicare una matrice quadrata A ∈ Mn per se stessa possiamo introdurre le potenze Ap, dove p è un intero maggiore o uguale a zero, definite come Ap := AAA · · ·A (p volte), A0 := I, (non bisogna confondere Ap con la p-esima colonna di A, la notazione è la stessa ma dal contesto si dovrebbe capire di cosa si stia parlando). 1.8.1 Matrice identità Una matrice quadrata i cui elementi posti sulla diagonale principale sono uguali a uno mentre gli altri sono tutti nulli è detta matrice identità e indicata con In, dove ovviamente n è l’ordine. Quindi In =  1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 ... ... . . . ... ... 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 1  . CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 17 (Quando l’ordine della matrice è ovvio in base al contesto si può omettere l’indice n e scrivere semplicemente I.) È facile convincersi del fatto che moltiplicando una matrice A di ordine m × n a sinistra per Im oppure a destra per In si ottiene comunque A stessa. Si ha cioè Im Am×n = Am×nIn = A e cioè, riassumendo in modo più esplicito questi due risultati, 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 ... ... . . . ... ... 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 1  ︸ ︷︷ ︸ Im  a11 a12 · · · · · · a1n a21 a22 · · · · · · a2n ... ... ... ... ... am1 am2 · · · · · · amn  ︸ ︷︷ ︸ A (m×n) =  a11 a12 · · · · · · a1n a21 a22 · · · · · · a2n ... ... ... ... ... am1 am2 · · · · · · amn  ︸ ︷︷ ︸ A (m×n)  a11 a12 · · · · · · a1n a21 a22 · · · · · · a2n ... ... ... ... ... am1 am2 · · · · · · amn  ︸ ︷︷ ︸ A (m×n)  1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 0 ... ... . . . ... ... 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 1  ︸ ︷︷ ︸ In =  a11 a12 · · · · · · a1n a21 a22 · · · · · · a2n ... ... ... ... ... am1 am2 · · · · · · amn  ︸ ︷︷ ︸ A (m×n) Omettiamo la dimostrazione formale di questa proprietà, che ci limitiamo a verificare più avanti con qualche significativo esempio. La matrice identità si comporta quindi rispetto al prodotto righe per colonne un po’ come il numero 1 rispetto al prodotto fra numeri: 1a = a1 = a, ImA = AIn = A A ∈Mm,n Si osservi però che in generale le matrici I collocate a sinistra e a destra di A sono diverse fra loro, diversamente da quello che succede in ambito numerico. In particolare, però, nel caso di matrici quadrate n×n avremo InA = AIn = A A ∈Mn con perfetta analogia con i numeri reali. Esempio 1.10 Il prodotto 1 0 00 1 0 0 0 1  ︸ ︷︷ ︸ I3 −21 5  ︸ ︷︷ ︸ a = −21 5  ︸ ︷︷ ︸ a è un caso particolare di 1 0 00 1 0 0 0 1  ︸ ︷︷ ︸ I3 a1a2 a3  ︸ ︷︷ ︸ a = a1a2 a3  ︸ ︷︷ ︸ a Analogamente, il prodotto1 0 00 1 0 0 0 1  ︸ ︷︷ ︸ I3  3 7−1 3 2 11  ︸ ︷︷ ︸ A =  3 7−1 3 2 11  ︸ ︷︷ ︸ A CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 20 È naturale associare a questo sistema una matrice di ordinem×n formata con i coefficienti aij (1 ≤ i ≤m,1 ≤ j ≤ n). Questa è detta matrice dei coefficienti A =  a11 a12 a13 · · · · · · a1n a21 a22 a23 · · · · · · a2n ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 · · · · · · amn  Si introducono poi il vettore (colonna) delle incognite e il vettore (colonna) dei termini noti, indicati di solito con X e B o, rispettivamente con x e b, e definiti come x =  x1 x2 x3 ... xn  b =  b1 b2 ... bm  Osserviamo che b è formato dam elementi, tanti quante sono le equazioni del sistema, mentre x è composto da n elementi, tante quante sono le incognite. Per esempio, la matrice dei coefficienti del sistema{ −x + 3y + z = −1 x +y − 2z = 2 (1.4) è A = [ −1 3 1 1 1 −2 ] mentre il vettore x delle incognite e la colonna b dei termini noti sono x = xy z  b = [−12 ] Mostriamo ora che il sistema (1.4) può essere riscritto nella forma matriciale Ax = b [ −1 3 1 1 1 −2 ] ︸ ︷︷ ︸ A xy z  ︸ ︷︷ ︸ x = [ −1 2 ] ︸ ︷︷ ︸ b (1.5) Calcoliamo il risultato del prodotto righe per colonne Ax [ −1 3 1 1 1 −2 ] ︸ ︷︷ ︸ A xy z  ︸ ︷︷ ︸ x = [ −x + 3y + z x +y − 2z ] ︸ ︷︷ ︸ Ax e poniamo poi Ax = b [ −x + 3y + z x +y − 2z ] ︸ ︷︷ ︸ Ax = [ −1 2 ] ︸ ︷︷ ︸ b . La relazione matriciale Ax = b equivale quindi alle due uguaglianze{ −x + 3y + z = −1 x +y − 2z = 2 CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 21 che corrispondono proprio al sitema di partenza (1.4). Possiamo perciò dire che la (1.5) è la corretta forma matriciale del sistema (1.4). Il prodotto righe per colonne permette pertanto di scrivere il sistema generico (1.1) come  a11 a12 a13 · · · · · · a1n a21 a22 a23 · · · · · · a2n ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 · · · · · · amn  ︸ ︷︷ ︸ A  x1 x2 x3 ... xn  ︸ ︷︷ ︸ x =  b1 b2 ... bm  ︸ ︷︷ ︸ b (1.6) oppure, in forma più compatta, come Ax = b (1.7) Quest’ultima espressione ricorda una generica equazione di primo grado che, come sappiamo, si riduce sempre alla relazione ax = b. Ora, però, i numeri reali assegnati a, b e l’incognita x sono sostituiti, rispettivamente, dalle matrici A, x e b. La scrittura (1.6), riassunta compattamente da (1.7), è detta forma matriciale del sistema di equazioni. In un certo senso non abbiamo guadagnato nulla: si tratta solo di una scrittura del sistema originario in un diverso linguaggio. Tuttavia quello che abbiamo fatto ha anche un risvolto concettuale, poiché ci mostra che l’algebra matriciale è adatta per descrivere i sistemi di equazioni lineari. Esempio 1.12 Scriviamo in forma matriciale il sistema seguente di 3 equazioni nelle incognite (x,y, z,w):  3x −y +w − 4z − 4 = 0 z +w − x = 2 y + 2x + z − 2w − 3 = 0 Riordinando le incognite, portando a destra del segno di uguale i termini noti e indicando anche i coefficienti nulli si ottiene  3x −y − 4z +w = 4 −x + 0y + z +w = 2 2x +y + z − 2w = 3 La matrice dei coefficienti, la colonna delle incognite e la colonna dei termini noti sono quindi A =  3 −1 −4 1−1 0 1 1 2 1 1 −2  x =  x y z w  b = 42 3  , e il sistema, scritto in forma matriciale, diventa Ax = b,  3 −1 −4 1−1 0 1 1 2 1 1 −2  ︸ ︷︷ ︸ A  x y z w  ︸ ︷︷ ︸ x = 42 3  ︸ ︷︷ ︸ b CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 22 1.11 Matrice dei coefficienti e matrice completa Il generico sistema lineare dim equazioni in n incognite (1.1) è completamente descritto dalla matrice dei coefficienti A e dalla colonna dei termini noti b A =  a11 a12 a13 · · · · · · a1n a21 a22 a23 · · · · · · a2n ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 · · · · · · amn  b =  b1 b2 ... bm  È conveniente perciò introdurre Ac , detta matrice completa (o aumentata), che riassume in sé tutte le informazioni fornite separatamente da A e b. Questa nuova matrice possiede tante righe quante quelle di A, e cioè tante quante le equazioni del sistema, e una colonna in più, ottenuta collocando sulla destra di A la colonna dei termini noti del sistema. Per mettere in evidenza che quest’ultima colonna ha un significato diverso dalle altre è cosuetudine separarla con una barra verticale, scrivendo quindi Ac = [A|b]. Definiamo perciò la matrice completa di un sistema di equazioni come: Ac = [A|b] =  a11 a12 a13 · · · · · · a1n b1 a21 a22 a23 · · · · · · a2n b2 ... ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 · · · · · · amn bm  La matrice completa Ac è quindi semplicemente ottenuta per accostamento della colonna dei termini noti sulla destra della matrice dei coefficienti. Non è difficile perciò provare a costruire questa matrice per ognuno dei sistemi di equazioni scritti fino ad ora. Si osservi, infine, come la matrice completa racchiuda in sé tutte le quantità che definiscono completamente un sistema di equazioni. Ciò signifca che un generico sistema di equazioni lineari può essere assegnato semplicemente mediante la sua matrice completaAc , senza dover passare per la scrittura (1.1). Ciò che manca, formalmente, sono solo i nomi che abbiamo deciso di dare alle incognite, che nella matrice completa non compaiono esplicitamente, ma ciò è del tutto inessenziale dal punto di vista di una discussione del sistema o della sua risoluzione. Esercizi Negli esercizi seguenti dedurre la parte simmetrica delle matrice A assegnata verificando che si ottiene il risultato indicato a fianco. 1.1 A = 3 1 23 −2 1 0 −2 1  sym(A) = 3 2 12 −2 −1/2 1 −1/2 1  1.2 A = −2 1 33 4 1 2 −1 3  sym(A) = −2 2 5/22 4 0 5/2 0 3  1.3 A = 1 −2 34 1 −2 7 2 −3  sym(A) = 1 1 51 1 0 5 0 −3  CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 25 1.23 −3 −1 23 0 −1 4 2 0  2 −1π 0 1 −2  = −4−π −15 −1 8+ 2π −4  1.24 −2 1 −32 3 1 1 3 2   2 10 3√ 2 2  = −4− 3 √ 2 −5 4+ √ 2 13 2+ 2 √ 2 14  1.25 −2 1 −3−2 4 1 1 0 2  0 1 −20 3 −1 2 1 0  = −6 −2 32 11 0 4 3 −2  1.26 A =  31 −2  B = [4 −1 3] ⇒ AB = 12 −3 94 −1 3 −8 2 −6  BTAT = 12 4 −8−3 −1 2 9 3 −6  1.27 2 −1 40 2 1 0 0 2   5 −1 33 0 1 −2 0 1  = −1 −2 94 0 3 −4 0 2  1.28 2 −3 10 4 3 0 −2 7   23 −1  =  −69 −13  1 3 −14 −2 3 0 2 −4  −10 2  = −32 −8  1.29 1 0 00 1 0 0 0 1   2−1 4  =  2−1 4  1 1 11 1 1 1 1 1   2−1 4  = 55 5  1.30 −3 2 1−2 3 4 2 0 −3  2 −1 30 1 −3 2 0 −1  = −4 5 −164 5 −19 −2 −2 9  1.31  3 −1 02 1 3 −1 3 2   2 −1 20 3 0 −1 2 3  =  6 −6 61 7 13 −4 14 4  1.32 A = 2 −1 40 2 1 0 0 2  ⇒ AAT = 21 2 82 5 2 8 2 4  1.33 A = 2 −1 33 0 1 0 2 1  ⇒ AAT = 14 9 19 10 1 1 1 5  CAPITOLO 1. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI E MATRICI 26 1.34 A =  3 0 −22 1 4 −1 1 −2  ⇒ ATA = 14 1 41 2 2 4 2 24  1.35 A = 1 −2 02 −1 4 2 0 1  ⇒ ATA =  9 −4 10−4 5 −4 10 −4 17  Verificare la correttezza delle trascrizioni in forma matricale dei sistemi di equazioni lineari elencati qui sotto, nonché della matrice completa ad essi affiancata. 1.36 { x = 2+y y − 2x = 4 [ 1 −1 −2 1 ][ x y ] = [ 2 4 ] [ 1 −1 2 −2 1 4 ] 1.37 { 3x = y − x + 4 y + x = −x + 3 [ 4 −1 2 1 ][ x y ] = [ 4 3 ] [ 4 −1 4 2 1 3 ] 1.38  x + 4y = z + 2 5z − x +y = 3 3+ z = 4− 2y  1 4 −1−1 1 5 0 2 1  xy z  =  23 −1   1 4 −1 2−1 1 5 3 0 2 1 −1  1.39 { − x2 + 3x3 = 1 2x3 = 4− x2 + x1 [ 0 −1 3 −1 1 2 ]x1x2 x3  = [14 ] [ 0 −1 3 1 −1 1 2 4 ] 1.40  3x = 2+ 7y 5y + 4x = 1 y + 3 = 2x −7 35 4 1 −2 [yx ] =  21 −3   −7 3 25 4 1 1 −2 −3  1.41  3m = q − 2 q +m = 1 − 2q = −3− 2m 3 −11 1 2 −2 [mq ] = −21 −3   3 −1 −21 1 1 2 −2 −3  1.42  y − z = 2− 3x 3z = 4+ 2x y = 7+ 3z  3 1 −1−2 0 3 0 1 −3  xy z  = 24 7   3 1 −1 2−2 0 3 4 0 1 −3 7  1.43  w − 3y = 4 3z = 2− x y = 3− 2x 0 −3 0 11 0 3 0 2 1 0 0   x y z w  = 42 3   0 −3 0 1 41 0 3 0 2 2 1 0 0 3  1.44  x + √ 2y = 1−y 2x/3 = 3+πy y = 4− x  1 √ 2+ 1 2/3 −π 1 1 [xy ] = 13 4   1 √ 2+ 1 1 2/3 −π 3 1 1 4 