Meccanica dei Materiali - Appunti completi ed esercizi svolti, Appunti di Meccanica Materiali E Costruzioni Macchine

Scarica Meccanica dei Materiali - Appunti completi ed esercizi svolti e più Appunti in PDF di Meccanica Materiali E Costruzioni Macchine solo su Docsity! MECCANICA DEI MATERIALI A cura di Matteo Rotundo INTRODUZIONE AL CORSO PREVIEW MACROARGOMENTI DEL CORSO (introduzione, non necessario imparare) ANALISI CINEMATICA La cinematica è la disciplina che studia i movimenti di un corpo (come un corpo si muove). Nel corso però verranno trattati corpi che non si muovono (sembra paradossale): l’obiettivo di quest’analisi cinematica è la classificazione delle “strutture”. Le strutture si intendono come insiemi di parti necessarie a sostenere dei carichi, la si intende come un sottoinsieme dei sistemi meccanici progettati per sopportare dei carichi. Affinché possa avvenire la classificazione delle strutture è necessario definire alcuni concetti basilari: • Punto materiale (I livello di astrazione) È possibile trattare un oggetto come un punto quando l’estensione fisica reale del componente non ha influenza sullo studio di tale componente. • Corpo rigido (livello di astrazione basilare) È un oggetto che ha un’estensione fisica (possibilmente semplificata rispetto l’oggetto reale, e quindi privata dei dettagli irrilevanti per l’analisi presa in considerazione). Si parla di rigidezza perché il corpo non si può deformare (il corpo reale in realtà è deformabile, ma quest’ultimo sarà oggetto di interesse solo quando si parlerà di Tensioni e Deformazioni. EQUILIBRIO Si iniziano a definire una serie di grandezze, cioè forze applicate alla struttura (rappresentazioni delle sollecitazioni che deve sopportare la struttura): si parla quindi di schema di forze. A fronte delle forze applicate/attive, nascono delle forze reattive (quelle che per reazioni sono generate da un vincolo) L’obiettivo di questa sezione è il calcolo delle forze reattive. FORZE INTERNE Le forze attive (applicate) si scaricano sui vincoli, ma prima di arrivare sui vincoli si distribuiscono all’interno della struttura. Una volta calcolate forze attive e reattive, è necessario conoscere come queste forze passano all’interno della struttura. Per questo si parla di forze interne. L’obiettivo è calcolare come le forze si distribuiscono (fluiscono) all’interno della struttura. ANALISI CINEMATICA 1-CONCETTI BASILARI 1.1-PUNTO MATERIALE Un punto materiale è un corpo privo di estensione fisica. È un’astrazione molto forte che viene assunta quando l’estensione fisica non ha influenza sul problema che è oggetto di studio. Generalmente il punto materiale coincide con un punto caratteristico del corpo, che potrebbe essere il baricentro (per un corpo reale). 1.2-GRADI DI LIBERTA’ DI UN SISTEMA I gradi di libertà (𝐺𝐷𝐿) sono i parametri necessari per identificare la posizione del corpo. Per esempio, i gradi di libertà di un punto materiale sono le tre coordinate 𝑥𝑃 , 𝑦𝑃 , 𝑧𝑃 𝐺𝐷𝐿 = 3 Se il punto 𝑃 non è vincolato in alcun modo, allora esso si può muovere lungo tre direzioni differenti (ha tre gradi di libertà). 1.3-GRADI DI VINCOLO Un corpo o un punto si dicono vincolati se perdono uno o più gradi di libertà. I gradi di vincolo (𝐺𝐷𝑉) sono i gradi di libertà persi. Nell’esempio del punto materiale, si supponga che il punto sia vincolato a muoversi sul piano 𝑥𝑦. 𝐺𝐷𝐿 = 2 𝐺𝐷𝑉 = 1 Un grado di liberà è soppresso dal vincolo Si prenda quest’altro esempio in cui si suppone che il punto sia vincolato a muoversi lungo una linea: In questo caso i 𝐺𝐷𝐿𝑅 = 1 (l’ascissa curvilinea 𝑠) 𝐺𝐷𝐿𝑅 = 𝐺𝐷𝐿 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑖 𝐺𝐷𝑉 = 2 Per un punto materiale, quindi, vale la seguente relazione: 𝑮𝑫𝑳𝑹 + 𝑮𝑫𝑽 = 𝟑 1.4-DEFINIZIONE DI ANALISI CINEMATICA L’analisi cinematica è un bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo 1.5-CORPO RIGIDO Il Corpo Rigido è un corpo che ha un’estensione fisica ma viene assunto come non deformabile. In realtà tutti i corpi, per quanto rigidi possano essere considerati, in realtà se soggetti a sollecitazioni meccaniche si deformano. Si potrebbe fare un esempio di corpo rigido con una ruota di un vagone ferroviario. Siano 𝑂 il centro di questa ruota e 𝑃1 e 𝑃2 due punti sulla ruota. Un corpo si dice rigido quando la posizione relativa tra due punti qualsiasi all’interno del corpo non cambia. Il concetto di rigidità quantifica la capacità di una struttura ad opporsi alla deformazione. Il diamante è il materiale più rigido. La deformazione elastica è reversibile: non danneggia il materiale. GRADI DI LIBERTA’ DI UN CORPO RIGIDO I gradi di libertà di un corpo rigido non vincolato sono 𝟔: le tre coordinate del baricentro (o di un altro punto caratteristico del corpo) che essendo un punto non subisce rotazione, e altre tre coordinate, che è necessario specificare in quanto il corpo potrebbe ruotare attorno al punto caratteristico in 3 differenti direzioni (intorno ai tre assi). Ad esempio, le altre tre coordinate potrebbero essere gli angoli di rotazione del corpo rispetto agli assi. 𝐺𝐷𝐿 = 6 GRADI DI VINCOLO DI UN CORPO RIGIDO Un corpo rigido si dice vincolato quando perde dei gradi di libertà. Anche questa volta i gradi di vincolo sono i gradi di libertà persi. Supponiamo che un corpo rigido sia vincolato a muoversi in un piano (detto corpo rigido piano): I parametri necessari a identificare la posizione del corpo sono le due coordinate del baricentro sul piano 𝑥𝑦 e poi una terza coordinata dovuta al fatto che il corpo può sempre ruotare attorno all’asse 𝑧; schematizzando la situazione sul piano 𝑥𝑦 si comprende meglio: 𝐺𝐷𝐿𝑅 = 𝑋𝐺 , 𝑌𝐺 , 𝜗𝑧 = 3 Le rotazioni lungo 𝑥 e 𝑦 non sono permesse (in quanto il piano è vincolato proprio al piano 𝑥𝑦), così come non può avvenire lo spostamento lungo l’asse 𝑧 Quindi 𝐺𝐷𝑉 = 𝑍𝐺 , 𝜗𝑥, 𝜗𝑦 = 3 VINCOLI COMBINATI Si parla di vincoli combinati quando su un corpo agiscono contestualmente più vincoli semplici. 3-ANALISI CINEMATICA 3.1-CLASSIFICAZIONE DELLE STRUTTURE: ANALISI CINEMATICA Sui vincoli combinati in un corpo si esegue l’analisi cinematica, che consta dei seguenti passaggi: 1. Calcolo dei 𝐺𝐷𝐿 dell’oggetto privo di vincoli: si parte dall’ipotesi che non ci siano vincoli e ci si chiede quanti 𝐺𝐷𝐿 avrebbe il corpo 2. Calcolo dei 𝐺𝐷𝑉 introdotti dai vincoli: si sommano per ogni singolo vincolo 3. Si esegue il bilancio tra gradi di libertà (senza vincoli) e gradi di vincoli: 𝐺𝐷𝐿 − 𝐺𝐷𝑉 = 𝐺𝐷𝐿𝑅 = { > 0 → 𝐼𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠𝑖 𝑝𝑢ò 𝑚𝑢𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒 = 0 → 𝐼𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑝𝑢ò 𝑚𝑢𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒 < 0 → 𝐼𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑝𝑢ò 𝑚𝑢𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒 𝑒 ℎ𝑎 𝑝𝑖ù 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑜𝑙𝑖 𝑑𝑖 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑖 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑟𝑖 𝐺𝐷𝐿𝑅 = { > 0 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 (𝐿𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒) = 0 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑠𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 ∗→ 𝑆𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 < 0 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 *La condizione di isostaticità sopra esposta rappresenta una condizione necessaria ma non sufficiente: potrebbe succedere che i vincoli siano posti in maniera tale da non soddisfare il requisito di isostaticità. Affinché il sistema sia isostatico, oltre al fatto che 𝐺𝐷𝐿𝑅 = 0, i vincoli devono essere ben posti. Si precisa che la meccanica dei materiali è basata su piccoli spostamenti: quando si terranno in considerazione gli spostamenti, questi si assumono come piccoli. 3.1-ANALISI CINEMATICA DI UN CORPO RIGIDO PIANO ESEMPIO #1 (Trave appoggiata) Sul singolo corpo agiscono due vincoli e in questo caso 𝐺𝐷𝐿 = 3 𝐺𝐷𝑉 = 2 + 1 𝐺𝐷𝐿𝑅 = 0 La cerniera in 𝐴 permette solo rotazioni intorno ad 𝐴, ma tale rotazione è impedita dal carrello in 𝐵: il sistema non permette alcuno spostamento. Il sistema è isostatico. ESEMPIO #2 Tale configurazione è la medesima dell’esempio precedente (𝐺𝐷𝐿𝑅 = 0 e 𝐺𝐷𝑉 = 3) ma non è un sistema isostatico. Ruotando l’oggetto di un angolo 𝜗 è possibile il piccolo spostamento verticale. La cerniera lascia quindi questa labilità dello spostamento verticale. Il sistema è labile. ESEMPIO #1 (Arco a tre cerniere) Dato che si hanno due corpi i 𝐺𝐷𝐿 = 3 ∙ 2 = 6 Si hanno le due cerniere a terra che introducono due gradi di vincolo e una cerniera mobile che introduce 2(𝑛 − 1) = 2(2 − 1) = 2 gradi di vincolo. 𝐺𝐷𝑉 = 2 + 2 + 2 = 6 𝐺𝐷𝐿 − 𝐺𝐷𝑉 = 6 − 6 = 0 La struttura è isostatica. Provando a effettuare questo spostamento angolare, seguirebbe uno spostamento di 𝐶 che però non è compatibile con il resto della struttura (comporterebbe una compressione del corpo 2 (che non è comprimibile perché è un corpo rigido). ESEMPIO #2 In questo caso 𝐺𝐷𝐿 = 3 ∙ 2 = 6 𝐺𝐷𝑉 = 2 + 2 + 2 = 6 𝐺𝐷𝐿 − 𝐺𝐷𝑉 = 0 La struttura sembrerebbe essere isostatica per il calcolo analitico ma in realtà non lo è! Provando a fare una piccola rotazione di 𝜗𝐴 questa è permessa: in teoria se lo spostamento non fosse piccolo la cerniera mobile 𝐶 si dovrebbe spostare lungo un arco di circonferenza, ma dato che lo spostamento è piccolo, lo spostamento di 𝐶 è tutto verticale. Il sistema è labile. ESEMPIO #3 𝐺𝐷𝐿 = 3 ∙ 3 = 9 𝐺𝐷𝑉𝑖 = { 𝐴: 2 𝐵: 2(3 − 1) = 4 𝐶: 2 𝐷: 1 𝐺𝐷𝐿 − 𝐺𝐷𝑉 = 9 − 9 = 0 La struttura è isostatica. EQUILIBRIO 3-CONDIZIONI DI EQUILIBRIO 3.1-CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PER L’EQUILIBRIO DEL PUNTO MATERIALE Dato un punto materiale nello spazio su cui agiscono più forze… … il punto materiale è in equilibrio quanto la somma vettoriale (o risultante) delle forze agenti sul punto è pari a 𝟎 ∑𝐹?̅? = 0 Poiché un vettore nello spazio ha tre componenti cartesiane lungo i tre assi 𝑥, 𝑦, 𝑧 allora la somma delle forze lungo 𝑥, lungo 𝑦 e lungo 𝑧 deve essere nulla. Nello spazio si avranno quindi tre equazioni di equilibrio (analogamente nel piano se ne avranno solamente due relative agli assi 𝑥 e 𝑦) { ∑𝐹?̅? = 0 ∑𝐹?̅? = 0 ∑𝐹?̅? = 0 Il numero 3 di equazioni di equilibrio nello spazio e 2 nel piano hanno una diretta corrispondenza con i 𝐺𝐷𝐿. Sembrerebbe che il numero di equazioni di equilibrio esistenti corrisponde al numero di 𝑮𝑫𝑳 e questo si spiega banalmente con il fatto che il numero di 𝑮𝑫𝑳 si indica il numero di spostamenti che il corpo può subire. Per imporre una condizione di staticità rispetto quegli spostamenti bisogna imporre una corrispondente equazione di equilibrio. 3.2-CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PER L’EQUILIBRIO DEL CORPO RIGIDO Si consideri un corpo rigido nello spazio: questo è in equilibrio se il sistema di forze ha risultante nulla e la somma vettoriale dei momenti calcolati rispetto un polo 𝑶 qualsiasi è par a 𝟎 { ∑𝐹?̅? = 0 ∑𝑀𝑂𝑖 ̅̅ ̅̅ ̅ = 0 In termini scalari: { ∑𝐹?̅? = 0 ∑𝐹?̅? = 0 ∑𝐹?̅? = 0 ∑𝑀𝑂𝑥 ̅̅ ̅̅ ̅ = 0 ∑𝑀𝑂𝑦 ̅̅ ̅̅ ̅ = 0 ∑𝑀𝑂𝑧 ̅̅ ̅̅ ̅ = 0 Si noti che in questo caso le equazioni di equilibrio sono 𝟔, proprio come i 𝐺𝐷𝐿 di un corpo rigido nello spazio. L’equilibrio di un sistema di forze diventa indipendente dal riferimento scelto: • Se un sistema di forze ha Momento nullo rispetto ad un generico polo 𝑂, allora avrà Momento nullo rispetto a qualsiasi polo. • Un altro esempio è quello per cui il sistema di forze è nullo rispetto 𝑥, 𝑦, 𝑧: se si sceglie un altro sistema di riferimento la risultante delle forze sarà sempre nulla Vediamo cosa succede per un corpo rigido nel piano: Le equazioni di equilibrio scalari saranno 3: le due relative alle forze lungo 𝑥, 𝑦 e poi una sola relativa ai momenti lungo 𝑧 (si ricordi che il momento di una forza è ortogonale al piano in cui giacciono i due vettori iniziali, che in tal caso è il piano 𝑥𝑦) { ∑𝐹?̅? = 0 ∑𝐹?̅? = 0 ∑𝑀𝑂𝑧 ̅̅ ̅̅ ̅ = 0 3.3-DUALISMO EQUAZIONI DI EQUILIBRIO - 𝑮𝑫𝑳 GDL EQUAZIONI DI EQUILIBRIO PUNTO MATERIALE nello spazio 3 3 PUNTO MATERIALE nel piano 2 2 CORPO RIGIDO nello spazio 6 6 CORPO RIGIDO nel piano 3 3 L’equazione di equilibrio in una determinata direzione serve a garantire/bloccare il grado di libertà in quella direzione. Un sistema di forze equilibrato ha due caratteristiche: 1. Risultante delle forze nulla 2. Momento risultante nullo Le Reazioni Vincolari della Cerniera Si ricorda che la cerniera introduce 2 𝐺𝐷𝑉 e lascia 1 𝐺𝐷𝐿𝑅 Il vincolo impedisce gli spostamenti 𝑣 = 0 e 𝑢 = 0 Come fatto già nel caso precedente al posto del vincolo si sostituiscono due forze 𝑉𝐴̅̅ ̅ e 𝐻𝐴̅̅̅̅ e ottenere una situazione equivalente: Si hanno quindi 2 𝐺𝐷𝑉 che corrispondono a 2 reazioni vincolari (quindi due incognite vincolari). Le Reazioni Vincolari del Pattino/Doppio Pendolo Si ricorda che il doppio pendolo introduce 2 𝐺𝐷𝑉 e lascia 1 𝐺𝐷𝐿𝑅 Il vincolo impedisce lo spostamento 𝑢 = 0 e la rotazione 𝜗 = 0 Si immagina di eliminare il vincolo e ottenere una situazione equivalente introducendo la forza 𝐻𝐴̅̅̅̅ e il momento 𝑀𝐴̅̅ ̅̅ Le Reazioni Vincolari dell’Incastro a terra Si ricorda che l’incastro a terra introduce 3 𝐺𝐷𝑉 e lascia 0 𝐺𝐷𝐿𝑅 Il vincolo impedisce gli spostamenti 𝑢 = 0 e 𝑣 = 0 e la rotazione 𝜗 = 0 introducendo le 3 seguenti reazioni vincolari: 4.3-LE REAZIONI VINCOLARI DEI VINCOLI INTERNI Le Reazioni Vincolari della Cerniera Interna o Mobile con 2 corpi Si ricorda che la Cerniera Interna introduce 2(𝑛 − 1) = 2(2 − 1) = 2 𝐺𝐷𝑉 Si supponga di eliminare il vincolo e separare idealmente i corpi. La cerniera impedisce uno spostamento relativo orizzontale e verticale sul corpo 1 e quindi, volendo realizzare una situazione equivalente, si aggiungono le forze 𝑅𝐴𝐻̅̅ ̅̅ ̅ e 𝑅𝐴𝑉̅̅ ̅̅ ̅. Per il Principio di Azione e Reazione vale la stessa cosa per il corpo 2: le forze agenti sul corpo 1, per effetto dell’interazione con il corpo 2, sono uguali e opposte alle forze che agiscono sul corpo 2 per effetto dell’interazione con il corpo 1. Si sta assumendo la cerniera A come un’entità puntiforme, ma pensando il tutto rigorosamente, il principio di azione e reazione andrebbe applicato tra Corpo 1 e cerniera e poi tra cerniera e Corpo 2. In realtà, anche trascurando quanto appena detto sulla cerniera, il risultato non cambia: il sistema di forze agente sulla cerniera è automaticamente equilibrato: le forze orizzontali e verticali sulla cerniera sono uguali e opposte. 2 𝐺𝐷𝑉 → 2 𝑅𝑒𝑎𝑧. 𝑉𝑖𝑛𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑖 È importante comunque considerare anche il sistema di forze sulla cerniera perché potrebbero essere presi in esame casi come quello che verrà illustrato: si supponga che sulla cerniera agisca una forza ?̅? Se si esplode e si considera la situazione equivalente: Allora la forza ?̅? non è trascurabile e quindi il sistema di forze sulla cerniera non è equilibrato: affinché sia equilibrato la somma di tutte le forze agenti a destra e a sinistra della cerniera dovrebbero annullare anche la forza ?̅? e quindi non dovrebbero essere uguali e opposte ma dovrebbero essere diverse. Segue che per garantire l’equilibrio ∑𝐹𝑐𝑒𝑟𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ = 0 e questo implica che, per il principio di azione e reazione le reazioni vincolari dovrebbero essere 4 (perché le forze agenti sui due corpi a destra e a sinistra devono essere differenti). È cambiato il fatto che oltre i due corpi, c’è un terzo corpo che è la cerniera che non è più trascurabile ma necessita l’imposizione dell’equilibrio. In definitiva: se una cerniera è priva di forze applicate basta applicare il principio di azione e reazione tra i due membri collegati alla cerniera mentre se la cerniera ha una forza direttamente applicata allora, per garantire l’equilibrio, le forze a destra e a sinistra sono diverse. ESEMPIO #3 Data la geometria della struttura si intuisce che gli angoli in azzurro sono angoli 𝜋 4 Analisi cinematica Si hanno 3𝑛 = 6 𝐺𝐷𝐿 e 2 + 2 + 2(𝑛 − 1) = 6 𝐺𝐷𝑉 La struttura è isostatica. Analisi delle forze (corpo AB) Si eliminano i vincoli e si sostituiscono con le reazioni vincolari ad essi staticamente equivalenti. Le forze 𝑉𝐶̅̅ ̅ e 𝐻𝐶̅̅ ̅̅ che agiscono sul membro 𝐴𝐶 per effetto di interazione nel punto 𝐶 con il membro 𝐶𝐵. Per il principio di azione e reazione, sulla cerniera, si eserciteranno le forze in arancione (stessa direzione e verso opposto). Come polo per i momenti si può scegliere sia 𝐴 che 𝐶 (è indifferente) per cui si considererà 𝐴 come polo. Il momento della forza ?̅? è negativo e il braccio che va tenuto in considerazione è quello disegnato in viola, cioè la distanza tra il punto e la retta d’azione della forza (e non la lunghezza 𝐴𝐷). Il momento di 𝑉𝐶̅̅ ̅ è antiorario (positivo) e ha questo braccio. Il momento di 𝐻𝐶̅̅ ̅̅ è orario (negativo) e ha questo braccio. { ∑𝐹𝑉̅̅ ̅ = 0 ∑𝐹𝑂̅̅ ̅ = 0 ∑?̅? = 0 → { 𝑉𝐴 + 𝑉𝑐 − 𝐹 = 0 𝐻𝐴 +𝐻𝑐 = 0 −𝐹 ∙ 𝐿 2 + 𝑉𝐶 ∙ 𝐿 − 𝐻𝐵 ∙ 𝐿 = 0 Analisi delle forze (corpo BC) { ∑𝐹𝑉̅̅ ̅ = 0 ∑𝐹𝑂̅̅ ̅ = 0 ∑?̅? = 0 → { −𝑉𝑐 + 𝑉𝐵 = 0 −𝐻𝑐 +𝐻𝐵 = 0 𝑉𝐶 ∙ 𝐿 − 𝐻𝐶 ∙ 𝐿 = 0 Analisi delle forze (complessiva) Nel complesso si ha un sistema di 6 equazioni (che corrispondono ai 𝐺𝐷𝐿) in 6 incognite (che corrispondono ai 𝐺𝐷𝑉). Si ricordi che la coincidenza tra equazioni/incognite e 𝐺𝐷𝐿/𝐺𝐷𝑉 accade solamente per le strutture isostatiche. { 𝑚 𝑉𝐴 + 𝑉𝑐 − 𝐹 = 0 𝐻𝐴 +𝐻𝑐 = 0 −𝐹 ∙ 𝐿 2 + 𝑉𝐶 ∙ 𝐿 − 𝐻𝐵 ∙ 𝐿 = 0 −𝑉𝑐 + 𝑉𝐵 = 0 −𝐻𝑐 +𝐻𝐵 = 0 𝑉𝐶 ∙ 𝐿 − 𝐻𝐶 ∙ 𝐿 = 0 Risolvendo il sistema per sostituzione e controllando la coincidenza di verso ipotizzato e segno delle forze: { 𝑚 𝑉𝐴 = 3 4 𝐹 𝐻𝐴 = 𝐹 4 𝐻𝐶 = − 𝐹 4 𝑉𝐵 = 𝐹 4 𝐻𝐵 = − 𝐹 4 𝑉𝐶 = 𝐹 4 Il segno – relativo ad alle forze indica che il verso ipotizzato per la forza è errato. A questo punto si ripropone lo schema della struttura con i versi corretti delle forze: Bisogna controllare ora che il sistema sia equilibrato riscrivendo nuovamente le equazioni del sistema: se non risulterà equilibrato allora vuol dire che sarà stato commesso qualche errore nella risoluzione del primo sistema. Nella verifica del momento conviene scegliere un polo differente da quello utilizzato precedentemente (ad esempio nel calcolo dei momenti si prenderà il punto 𝐶) 𝐴𝐶: { 3 4 𝐹 + 𝐹 4 − 𝐹 = 0 𝐹 4 − 𝐹 4 = 0 𝐹 ∙ 𝐿 2 − 3 4 𝐹 ∙ 𝐿 + 𝐹 4 ∙ 𝐿 = 0 𝐵𝐶: { 𝐹 4 − 𝐹 4 = 0 𝐹 4 − 𝐹 4 = 0 − 𝐹 4 ∙ 𝐿 + 𝐹 4 ∙ 𝐿 = 0 Non sono stati commessi errori: la soluzione è corretta. OSSERVAZIONE Si consideri un corpo del sistema: Preso in considerazione l’angolo Analisi cinematica Si hanno 3 𝐺𝐷𝐿 e 3 𝐺𝐷𝑉, siamo in presenza di una struttura isostatica. Analisi delle forze Si eliminano i vincoli e si sostituiscono le forze vincolari incognite Si impone l’equilibrio scegliendo come polo per i momenti il punto 𝐵: { ∑𝐹𝑉̅̅ ̅ = 0 ∑𝐹𝑂̅̅ ̅ = 0 ∑?̅? = 0 → { 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 𝑃 = 0 𝐻𝐵 + 𝑄 = 0 𝑉𝐴 ∙ 2𝑏 − 𝑃 ∙ 𝑏 − 𝑄 ∙ ℎ = 0 { 𝑉𝐴 = 𝑃 2 + 𝑄ℎ 2𝑏 𝐻𝐵 = −𝑄 𝑉𝐵 = 𝑃 2 − 𝑄ℎ 2𝑏 Il verso di 𝐻𝐵 è quindi errato per cui: Si verifica che il sistema di forze sia equilibrato scegliendo come polo per il momento il punto 𝐴 questa volta: { 𝑃 2 − 𝑄ℎ 2𝑏 + 𝑃 2 + 𝑄ℎ 2𝑏 − 𝑃 = 0 − ( 𝑃 2 − 𝑄ℎ 2𝑏 ) + 2𝑏 + 𝑃𝑏 − 𝑄ℎ = 0 Analisi delle forze interne Per capire come le forze fluiscono all’interno della struttura si utilizza il Metodo delle Sezioni: si immagina di sezionare la struttura in un punto generico Tagliando la struttura l’equilibrio non è più garantito per i due pezzi sezionati: i due pezzi che ne derivano si muoverebbero di moto accelerato per cui è proprio l’integrità strutturale che fa si che il corpo sia in equilibrio. Nel punto in cui si opera il taglio immaginario le due parti della struttura che si stanno separando si scambiano delle forze, che sono proprio le forze interne. È come se succedesse che affinché sia garantito l’equilibrio le due parti in prossimità della parte sezionata interagiscono scambiandosi forze interne, è come se ci fosse una sorta di incastro tra le due parti. Nel punto sezionato della struttura, per garantire l’equilibrio, nasce una forza o un sistema di forze tali da formare un sistema di forze interne con risultante di forze nulla e momento risultante nullo: Sembrerebbe che aggiungendo la forza 𝑃 si vada a equilibrare la forza 𝑃: in teoria la risultante delle forze, in tal modo, sarebbe nulla, ma non sarebbe nullo il momento risultante: le due forze creano una coppia oraria 𝑃 ∙ 𝑎 e per equilibrare tale coppia ci dovrà essere una coppia antioraria e quindi un momento 𝑀 = 𝑃 ∙ 𝑎 che equilibra il tutto Allora, per il Principio di Azione e Reazione, queste forze saranno uguali ed opposte nella parte inferiore: Le forze interne (o reazioni/sollecitazioni interne) sono quindi un sistema di forze che la struttura si scambia punto per punto e immaginando di sezionare la struttura in un punto, la parte inferiore e superiore o la parte destra e sinistra, si scambieranno delle forze mutue che sono tali da garantire l’equilibrio anche di una porzione infinitesima della struttura. Le forze interne rispondono ad un principio che garantisce l’equilibrio anche di una parte infinitesima della struttura. Nell’ultimo passaggio eseguito abbiamo individuato le forze interne della parte superiore e poi per il Principio di Azione e Reazione le abbiamo riflesse nella parte inferiore. Ma le forze interne della parte inferiore, l’equilibrio di questa parte inferiore? Eliminando il taglio si ha un sistema di forze equilibrato quindi è un sistema che ha risultante nulla e momento risultante nullo. Separando con il taglio, ogni porzione è dotata di un sistema di forze con risultante nulla e momento risultante nullo: questo vuol dire che la risultante della porzione superiore è uguale e opposta alla porzione inferiore (idem per il momento risultante). In generale, in un punto generico della struttura si ha un sistema di forze dotato di forza e momento risultante: la forza risultante ha una componente scomposta lungo l’asse della struttura detta Sforzo Assiale ?̅? e una componente normale all’asse identificata con ?̅? detta Sforzo di Taglio (cioè una forza che agisce normalmente/di taglio all’asse di una struttura) e poi si ha un momento ?̅? che tenderebbe a inflettere la struttura, per cui ?̅? è detto Momento Flettente Il Momento Flettente sollecita la sezione in maniera non uniforme: La parte soprastante sarà soggetta a compressione (parte che tende ad essere schiacciata), quella inferiore a trazione (parte che tende ad essere allungata). Si parla quindi di Fibre Tese e Fibre Compresse. Il momento non ha una convenzione rigida sul segno ma dal punto di vista progettuale interessa segnalare la parte della sezione soggetta a compressione e la parte della sezione soggetta a trazione (la parte più critica). Si parla quindi di Convenzione delle Fibre Tese. Il calcolo di queste azioni interne verrà rappresentato graficamente con dei diagrammi che evidenziano quanto vale punto per punto sulla struttura lo sforzo assiale, lo sforzo di taglio e il momento flettente. ESEMPIO #1 Analisi cinematica Si hanno 3 𝐺𝐷𝐿 e 2 + 1 = 3 𝐺𝐷𝑉, si sta trattando una struttura isostatica. (NB: se il carrello fosse stato orizzontale la struttura sarebbe risultata labile) Analisi delle forze Svincolando la struttura e considerando che il carrello esplica una forza nella direzione che forma un angolo di 𝜋 4 con l’orizzontale e tenendo conto di 𝐵 come polo per il momento { ∑𝐹𝑉̅̅ ̅ = 0 ∑𝐹𝑂̅̅ ̅ = 0 ∑?̅? = 0 → { 𝑉𝐴 + 𝑅𝐸 ∙ √2 2 − 5𝑃 = 0 𝐻𝐴 + 𝑅𝐸 ∙ √2 2 = 0 −𝑃 ∙ 𝐿 − 2𝑃 ∙ (2𝐿) − 2𝑃 ∙ (3𝐿) + [0 + 𝑅𝐸 ∙ √2 2 (4𝐿)] = 0 { 𝑉𝐴 = 9 4 ∙ 𝑃 𝐻𝐴 = − 11 4 ∙ 𝑃 𝑅𝐸 = 11 4 √2 ∙ 𝑃 Bisogna cambiare il verso ad 𝐻𝐴 e quindi: Si esegue la verifica di equilibrio: { 𝑉𝐴 = 9 4 ∙ 𝑃 − 5 ∙ 𝑃 + 11 4 ∙ 𝑃 = 0 11 4 ∙ 𝑃 − 11 4 ∙ 𝑃 = 0 2𝑃 ∙ 𝐿 + 2𝑃 ∙ 2𝐿 + 𝑃 ∙ 3𝐿 − 9 4 𝑃 ∙ 4𝐿 = 0 Calcolo delle sollecitazioni interne Si utilizza il Metodo delle Sezioni e si immagina di tagliare la struttura in un punto generico imponendo l’equilibrio delle parti separate. Si nota che tra 𝐴 e 𝐵 non c’è nessuna discontinuità (e per discontinuità si intende la presenza di forze concentrate e cambi di direzione della struttura): poiché il calcolo varia prima e dopo la presenza di una forza, il calcolo va effettuato prima e dopo ogni forza. Lo stesso discorso vale per i cambi di direzione: la forza assiale sul tratto 𝐴𝐵 diventa una forza di taglio nel tratto 𝐵𝐶. Tratto 𝐴𝐵 In questo tratto non vi è alcuna discontinuità e si riporta il concio elementare: Dato che bisogna imporre l’equilibrio della parte destra o sinistra e dato che si deve ottenere il medesimo risultato, conviene imporre l’equilibrio nella parte sinistra: { 𝑁:𝑁 − 11 4 𝑃 = 0 𝑇: 𝑇 + 9 4 𝑃 = 0 𝑀:𝑀 − 9 4 𝑃 ∙ 𝑥 = 0 → { 𝑁 = 11 4 𝑃 𝑇 = − 9 4 𝑃 𝑀 = 9 4 𝑃𝑥 Queste azioni interne si rappresentano con dei diagrammi: soffermiamoci sempre su 𝐴𝐵 La struttura è quella ricalcata in blu. Da notare che il Momento non è costante ma vale 0 quando 𝑥 = 0 e cresce linearmente con 𝑥 . Per la convenzione delle Fibre Tese, bisogna riportare il diagramma del momento dalla parte delle fibre tese e quindi nella parte inferiore: 𝑁 = 11 4 𝑃 𝑇 = − 9 4 𝑃 𝑀 = 9 4 𝑃𝐿 Il taglio è diventato positivo questa volta e quindi va rappresentato dall’altra parte della struttura e ∆𝑇 = 3 4 𝑃 + 5 4 𝑃 = 2𝑃 La pendenza del tratto di 𝑀 si invertirà perché sarà pari a 11 12 = ( 11 4 𝑃𝐿 3𝐿 ) Tratto 𝐷𝐸 A questo punto non conviene guardare a quello che c’è prima, ma la parte di destra del tratto. { 𝑁:𝑁 − 11 4 𝑃 = 0 𝑇: 𝑇 − 11 4 𝑃 = 0 → 𝑀:𝑀 − 11 4 𝑃𝑠 = 0 { 𝑁 = 11 4 𝑃 𝑇 = 11 4 𝑃 𝑀 = 11 4 𝑃𝑠 In tal caso ∆𝑇 = 2𝑃 (forze e momenti concentrati introducono sempre un salto nei diagrammi corrispondenti di forze e momenti). 𝑁 = 11 4 𝑃 𝑀 = − 3 4 𝑃𝑥 + 5𝑃𝐿 𝑇 = 3 4 𝑃 Non ci possono essere salti nel Momento, perché non ci sono momenti concentrati, il momento a destra e sinistra del punto deve essere uguale. Nel punto finale il Momento è 0 e accade così generalmente nei punti terminali in cui c’è la cerniera perché questa lascia libera la rotazione. Nei punti in cui ci sono i vincoli, i diagrammi delle sollecitazioni rappresentano sollecitazioni che sono proprio uguali ai vincoli. Normalmente, per capire qual è il punto più sollecitato, si guarda al diagramma del momento flettente. 2-FORZE DISTRIBUITE 2.1-IL CONCETTO DI FORZA DISTRIBUITA Il concetto di Forze Distribuite è strettamente legato al concetto di Sollecitazioni Interne. Se appoggio un blocco di cemento al centro di un tavolo, la Forza Peso del blocco ripartisce uniformemente con una reazione ad incastro/appoggio ai due estremi del tavolo dal valore di 𝐹/2. Questo, dal punto di vista globale dell’equilibrio, non cambia nulla. Si parla quindi di Forza Distribuita, che possiamo idealizzare come una serie di piccole forze una appresso all’altra. Provando ad ottenere il risultato del diagramma del taglio o del momento flettente con 𝑛 forze una attaccata all’altra, tale risultato cambia rispetto, per esempio, a quanto visto nell’esempio del paragrafo precedente. Ogni qualvolta la sollecitazione su una struttura non si esplica su un solo punto ma su una superficie ampia, allora si parla di Forze Distribuite. Per capire come trattare dal punto di vista strutturale queste forze distribuite, il passo più immediato è immaginare queste forze distribuite come una sistema di forze concentrate che non necessariamente devono essere tutte uguali tra di loro (ci saranno zone della struttura scheletrica dove le pressioni saranno maggiori e altri punti in cui saranno minori). Considerando un sistema di forze, la risultante 𝑅 la si può esprimere come: 𝑅 =∑𝐹𝑖 𝑛 𝑖=1 Si delinea l’idea per cui il sistema di forze si può esprimere come questa risultante somma delle altre. In teoria dovremmo individuare un punto particolare nel quale sarà applicata la risultante in modo da poter veramente essere convinti che quest’ultima sia equivalente al sistema di forze. Un Carico Distribuito, ai fini dell’equilibrio globale (cioè per calcolare le reazioni vincolari), lo si può considerare come una forza concentrata il cui modulo è pari all’area della distribuzione (𝑷𝟎𝑳) applicata nel baricentro della distribuzione. 2.3-DISTRIBUZIONE NON UNIFORME Considerando una distribuzione non uniforme e triangolare (Carico Distribuito Triangolare) La risultante 𝑅 sarà uguale all’area della distribuzione (area di un triangolo): 𝑅 = 𝑃0𝐿 2 La risultante 𝑅 sarà applicata nel baricentro della distribuzione, cioè del triangolo rettangolo 𝑥𝑅 = 2/3 𝐿 Il baricentro di un triangolo rettangolo si trova ad 𝐿/3 dal cateto minore 2.4-EFFETTI DEI CARICHI DISTRIBUITI SULLE FORZE INTERNE Consideriamo la seguente struttura, Si consideri un generico carico distribuito, che all’ascissa 𝑥 varrà 𝑃(𝑥). Si consideri l’elementino in azzurro di lunghezza 𝑑𝑥: su di esso agiranno 𝑁, 𝑇 e poi agirà anche il carico distribuito (costante, dato che si considera un tratto infinitesimo) Per l’equilibrio dell’elementino, le forze a destra e a sinistra non possono essere uguali e quindi ipotizzo che, per effetto dell’incremento 𝑑𝑥, si avrà anche una variazione 𝑑𝑁, 𝑑𝑇 e 𝑑𝑀 delle forze interne. Scrivendo l’equilibrio di questo concio infinitesimo: { 𝑁:𝑁 + 𝑑𝑁 − 𝑁 = 0 𝑇: 𝑇 + 𝑑𝑇 − 𝑇 − 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 0 𝑀: 𝑇𝑑𝑥 + 𝑀𝑑𝑀 −𝑀 + 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 = 0 → { 𝑑𝑁 = 0 𝑑𝑇 𝑑𝑥 = 𝑃(𝑥) 𝑑𝑀 𝑑𝑥 = −𝑇 Il fatto che la derivata del taglio è pari al carico distribuito vuol dire che se il carico distribuito non c’è, il taglio è costante (o cotante a tratti). Per quanto riguarda l’equazione del momento, si otterrebbe 𝑑𝑀 + 𝑇𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥2 2 = 0 ma 𝑑𝑥 è una quantità infinitesima per cui 𝑑𝑀 + 𝑇𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥2 2 ~𝑑𝑀 + 𝑇𝑑𝑥 e quindi segue l’equazione del momento sopra riportata. Ma il taglio è la derivata del momento (già avevamo visto nell’esercizio del paragrafo 1.3 che il momento esaminato era lineare e il coefficiente angolare era proprio il taglio) Si poteva anche intuire perché sostituendo ad 𝑥 un numero sempre minore di 𝐿 nell’equazione del Momento, si ottiene una quantità che è sempre positiva. Basta poi chiudere il “circolo” del momento e le fibre tese stanno sempre dalla parte della coda (e quindi questa volta nella parte inferiore). Inoltre, l’equazione del momento, che è parabolico, va a 0 per 𝑥 = 0 e va a 0 anche per 𝑥 = 𝐿 e quindi si ha quest’andamento. Il punto in cui il Taglio è 0 è un punto in cui il momento ha derivata nulla ed è quindi un punto di massimo (o di minimo) per il momento. ESEMPIO #2 Si riporta la struttura risolta: Calcoliamo le sollecitazioni interne sempre con lo stesso metodo delle sezioni. Considerando che la risultante del carico varrà 𝑃0𝑥 𝐿 ∙ 𝑥 2 e sarà applicata al baricentro di questo triangolo che varrà 𝑥/3, si impone l’equilibrio: { 𝑁 = 0 𝑇 + 𝑃0𝐿 6 − 𝑃0𝑥 2 2𝐿 = 0 𝑀 − 𝑃0𝐿 6 𝑥 + 𝑃0𝑥 2 2𝐿 𝑥 3 = 0 → { 𝑁 = 0 𝑇 = 𝑃0𝑥 2 2𝐿 − 𝑃0𝐿 6 = 0 𝑀 = 𝑃0𝐿 6 𝑥 + 𝑃0𝑥 3 6𝐿 = 0 Il taglio risulta essere parabolico (la derivata del taglio è il carico distribuito, che è lineare), ma il taglio è la derivata del momento che sarà quindi cubico. Si eseguono i diagrammi: Per 𝑥 = 0 il taglio diventa − 𝑃0𝐿 6 ( ), mentre per 𝑥 = 𝐿 il taglio assume il valore di 𝑃0𝐿 3 : ma questo è normale perché agli estremi il taglio deve essere pari alle reazioni vincolari… L’andamento è parabolico ma con che concavità? Bisogna considerare che la derivata del taglio è il carico distribuito, che è un triangolo che nel punto ( ) e quindi la funzione avrà un punto di minimo quindi la concavità sarà rivolta verso l’alto. Per vedere dove si annulla il taglio basta risolvere l’equazione 𝑇 = 0 e cioè 𝑃0𝑥 2 2𝐿 − 𝑃0𝐿 6 = 0 per cui 𝑥 = 𝐿 √3 ≅ 0,6𝐿 Il momento è sicuramente nullo agli estremi (agli estremi ci sono le cerniere) e sicuramente nel punto 𝑥 = 0,6𝐿 troveremo un punto di massimo. Inoltre, avrà andamento cubico. Primo tratto { 𝑁 = 0 𝑇 = − 𝑃𝐿 6 𝑀 = 𝑃𝐿 6 𝑥 Secondo tratto { 𝑁 = 0 𝑇 = − 𝑃𝐿 6 + 𝑃𝐿 3 = 𝑃𝐿 6 𝑀 = 𝑃𝐿 6 𝑥 + 𝑃𝐿 3 (𝑥 − 𝐿) Terzo tratto { 𝑁 = − 𝑃𝐿 6 𝑇 = 0 𝑀 = 0 Diagrammi **Diagrammi** Calcolo delle sollecitazioni interne (Corpo 2) In questo caso sono presenti sia discontinuità legate alle forze sia discontinuità geometriche. Primo tratto { 𝑁 = 1 3 𝑃𝐿 𝑇 = 0 𝑀 = 0 Secondo tratto { 𝑁 = 0 𝑇 − 5 6 𝑃𝐿 + 𝑃𝑥 = 0 𝑀 + 𝑃𝑥 𝑥 2 − 5 6 𝑃𝐿𝑥 = 0 → { 𝑁 = 0 𝑇 = 5 6 𝑃𝐿 − 𝑃𝑥 = 0 𝑀 = 5 6 𝑃𝐿𝑥 − 𝑃 𝑥2 2 = 0 Diagrammi Il taglio sarà lineare e il momento parabolico. La posizione del baricentro deve soddisfare le condizioni di equilibrio. La forza risultante applicata al baricentro deve avere due caratteristiche: • Deve avere la stessa Forza risultante della distribuzione di forze ∑𝑚𝑖𝑔𝑖 = 𝑚𝑔 → 𝑚 =∑𝑚𝑖 • Deve avere lo stesso Momento risultante della distribuzione di forze 𝑥1𝑚1𝑔 + 𝑥2𝑚2𝑔 +⋯+ 𝑥𝑖𝑚𝑖𝑔 +⋯𝑥𝑛𝑚𝑛𝑔 = 𝑥𝐺𝑚𝑔 𝑥𝐺 = ∑𝑚𝑖𝑥𝑖 𝑚 Nel caso più generale si definiscono le seguenti Coordinate del Baricentro: { 𝑥𝐺 = ∑𝑚𝑖𝑥𝑖 𝑚 𝑦𝐺 = ∑𝑚𝑖𝑦𝑖 𝑚 𝑧𝐺 = ∑𝑚𝑖𝑧𝑖 𝑚 Le coordinate del baricentro sono una media ponderata (o pesata) delle coordinate delle singole masse, con i pesi rappresentati dalle masse stesse. Quindi il baricentro tende a spostarsi nei pressi delle masse più grandi. 1.2-BARICENTRO DI UN VOLUME GENERICO Si consideri un volume 𝑉 rispetto ad un sistema di riferimento 𝑥𝑦𝑧: Non abbiamo più una distribuzione discreta di masse, ma una distribuzione continua di masse e quindi le sommatorie, che compaiono nelle equazioni delle coordinate del baricentro viste nel paragrafo precedente, diventano integrali. Considerando che la massa è il prodotto tra volume e densità, allora 𝑑𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 dove 𝜌 è la densità: 𝑥𝐺 = ∫𝑥 𝑑𝑚 𝑚 = ∫ 𝑥 ∙ 𝜌 𝑑𝑉 𝑑 𝑉 𝜌𝑉 = ∫ 𝑥 𝑑𝑉 𝑑 𝑉 𝑉 { 𝑥𝐺 = ∫ 𝑥 𝑑𝑉 𝑑 𝑉 𝑉 𝑦𝐺 = ∫ 𝑦 𝑑𝑉 𝑑 𝑉 𝑉 𝑧𝐺 = ∫ 𝑧 𝑑𝑉 𝑑 𝑉 𝑉 1.3-BARICENTRO DI UN AREA Si consideri un’area 𝐴 rispetto ad un sistema di riferimento 𝑥𝑦: Le coordinate del baricentro si scrivono trasformando gli integrali delle coordinate del baricentro di un volume in integrali di superficie: { 𝑥𝐺 = ∫ 𝑥 𝑑𝐴 𝑑 𝐴 𝐴 𝑦𝐺 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴 𝑑 𝐴 𝐴 Queste coordinate sono molto utili perché quando si ha a che fare con sezioni trasversali, salvo indicazioni differenti, tutte le forze che agiscono sulla sezione trasversale si immaginano passanti per questo baricentro. Se una sezione presenta un’asse di simmetria, il baricentro si troverà sicuramente sull’asse di simmetria, se ne presenta due di assi di simmetria allora si troverà nell’intersezione tra questi due assi. 1.4-MOMENTI DI INERZIA O MOMENTI DEL SECONDO ORDINE Se si considera un sistema di riferimento 𝑋𝑌 e un’area 𝐴 con il suo baricentro 𝐺 = (𝑋𝐺 , 𝑌𝐺) e poi supponiamo di definire un altro sistema di riferimento 𝑥𝑦 nel baricentro. I Momenti di Inerzia si definiscono in maniera speculare ai Momenti Statici. 𝐼𝑋 = ∫ 𝑌2 𝑑𝐴 𝑑 𝐴 𝐼𝑌 = ∫ 𝑋2 𝑑𝐴 𝑑 𝐴 Dimensionalmente i Momenti di Inerzia si misurano con una lunghezza alla quarta 𝐿4(𝑚4) Il Momento di Inerzia, come i Momenti Statici, sono una misura di quanto l’area sia distante dall’asse preso in considerazione. I Momenti di Inerzia non sono mai nulli e sono sempre positivi. Si può definire anche il Momento di Inerzia Misto: 𝐼𝑋𝑌 = ∫ 𝑋𝑌 𝑑𝐴 𝑑 𝐴 Si può definire anche il Momento di Inerzia Polare, cioè un Momento di Inerzia calcolato non più rispetto ad un asse ma rispetto ad un polo Si consideri il Polo 𝑃 e l’area 𝑑𝐴: quello che conta è la distanza dal polo (distanza da un punto) e non più le coordinate: Considerando che per il Teorema di Pitagora 𝑟2 = 𝑋2 + 𝑌2 𝐼𝑃 = ∫ 𝑟2 𝑑𝐴 = 𝑑 𝐴 ∫ 𝑋2 + 𝑌2 𝑑𝐴 = ∫ 𝑋2 𝑑𝐴 + ∫ 𝑌2 𝑑𝐴 = 𝐼𝑌 + 𝐼𝑋 𝑑 𝐴 𝑑 𝐴 𝑑 𝐴 Quindi il Momento di Inerzia Polare è la somma dei Momenti di Inerzia rispetto agli assi. In generale il Momento di Inerzia definisce la robustezza flessionale di una sezione, più è alto il Momento di Inerzia più la sezione diventa spessa rispetto all’asse preso in considerazione e quindi la sezione diventa rigida. Consideriamo ora la seguente area: Teoricamente ci sono infiniti assi baricentrici: potrei ad esempio identificare un sistema 𝑥′𝑦′ ruotato di un angolo 𝜗 rispetto 𝑥𝑦: in tal caso si avrebbe un altro valore del Momento di Inerzia { 𝐼𝑋′ 𝐼𝑌′ 𝐼𝑋′𝑌′ ≠ { 𝐼𝑋 𝐼𝑌 𝐼𝑋𝑌 Tra tutte le possibili direzioni, tra tutti i possibili angoli, ce ne sono due particolari note come Direzioni Principali d’Inerzia: • L’angolo che fornisce il Massimo Momento di Inerzia della sezione • L’angolo che fornisce il Minimo Momento di Inerzia della sezione Queste due Direzioni sono legate da un angolo di 𝟗𝟎° tra di loro e lungo queste due Direzioni il Momento d’Inerzia Misto 𝑰𝑿𝒀 è nullo. 1.5-MOMENTI D’INERZIA RISPETTO AD ASSI PARALLELI Si consideri un’area 𝐴 di cui è nota la posizione del baricentro 𝐺 rispetto al quale si hanno delle coordinate baricentriche, ma si identifica anche un sistema di riferimento 𝑋𝑌. Ci chiediamo se esiste una relazione tra 𝐼𝑋 ed 𝐼𝑥 e tra 𝐼𝑌 e 𝐼𝑦 Il Momento Statico rispetto 𝑥 vale 0 mentre il Momento di Inerzia non è nullo. Ma se si conosce il Momento di Inerzia baricentrico, si può calcolare il Momento di Inerzia rispetto un asse qualsiasi, nel caso attuale l’asse 𝑋, distante 𝑦𝐺 dall’asse baricentrico? 𝐼𝑋 = ∫ 𝑌2 𝑑𝐴 = 𝑑 𝐴 ∫ (𝑦 + 𝑌𝐺) 2 𝑑𝐴 = 𝑑 𝐴 ∫ (𝑦2 + 𝑌𝐺 2 + 2𝑦𝑌𝐺) 𝑑𝐴 = 𝐼𝑥 𝑑 𝐴 + 𝑌𝐺 2𝐴 + 2𝑌𝐺𝑆𝑥 = 𝐼𝑥 + 𝑌𝐺 2𝐴 Quindi: 𝐼𝑋 = 𝐼𝑥 + 𝑌𝐺 2𝐴 Dove 𝑌𝐺 2 è la distanza al quadrato tra i due assi 𝑌 e 𝑦 Analogamente: 𝐼𝑌 = 𝐼𝑦 + 𝑋𝐺 2𝐴 Nel caso di un’area composta, anche il Momento di Inerzia (di quest’area composta) è additivo e si può scrivere come somma dei Momenti di Inerzia delle aree elementari. ESEMPIO #1 Si supponga di avere la seguente sezione: Il Baricentro ai troverà sull’asse 𝑌 perché la struttura è simmetrica rispetto quest’asse. Non sappiamo però in quale punto preciso sull’asse 𝑌 perciò lo calcoliamo. Scomponiamo la sezione in due sottosezioni (1) e (2): 𝑆𝑋1 = 𝐴1𝑌𝐺1 = (𝑎 − 𝑠)𝑠 ∙ ( 𝑎 − 𝑠 2 + 𝑠) = 𝑠 2 (𝑎 + 𝑠)(𝑎 − 𝑠) 𝑆𝑋2 = 𝐴2𝑌𝐺2 = 𝑏𝑠 ∙ 𝑠 2 𝑆𝑋 = 𝑆𝑋1 + 𝑆𝑋2 = 𝑠 2 (𝑎 + 𝑠)(𝑎 − 𝑠) + 𝑏𝑠 ∙ 𝑠 2 𝑌𝐺 = 𝑆𝑋 𝐴 = 𝑠 2 (𝑎 + 𝑠)(𝑎 − 𝑠) + 𝑏𝑠 ∙ 𝑠 2 (𝑎 − 𝑠)𝑠 + 𝑏𝑠 𝑆𝑌 = 𝑆𝑌1 + 𝑆𝑌2 = 0 + 0 = 0 𝑋𝐺 = 𝑆𝑌 𝐴 = 0 ESEMPIO #2-Metodo alternativo con integrali (non conviene usarlo…) Si supponga di avere la seguente sezione: 𝑆𝑋 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑠 𝑑𝑦 = [𝑠 𝑦2 2 ] 𝐻 0 = 𝐻 0 𝑑 𝐴 𝑠 𝐻2 2 Ma considerando che l’area 𝐴 = 𝐻𝑠 e che la distanza dal baricentro è 𝐻 2 𝑆𝑋 = 𝐻𝑠 ∙ 𝐻 2 = 𝑠 𝐻2 2 Il risultato coincide con quello dell’integrale. 𝑆𝑌 = ∫ 𝑥 𝑑𝐴 = ∫ 𝑥 ∙ 𝐻 𝑑𝑥 = [𝐻 𝑥2 2 ] 𝑠 2 − 𝑠 2 = 0 𝑠 2 − 𝑠 2 𝑑 𝐴 2-STATO TENSIONALE (STRESS) 2.1-GENERALIZZAZIONE FORZE INTERNE AL CASO TRIDIMENSIONALE Consideriamo un corpo generico nello spazio, su cui agiscono delle forze generiche (esterne attive e reattive) e delle forze distribuite, e in cui ci sono anche dei vincoli. Immaginando di aprire questo corpo, “sezionandolo” con un piano parallelo al piano 𝑥𝑦, per garantire l’equilibrio le due parti del corpo si scambiano puntualmente delle forze interne in maniera mutua (cioè si scambiano forze uguali e opposte per il principio di azione e reazione) che variano da punto a punto. Inoltre da un punto di vista dell’equilibrio globale delle forze interne si può considerare la Forza Risultante e il Momento Risultante applicati nel baricentro 𝑂 della sezione 𝐹𝑅 e 𝑀𝑅𝑂 sono Forze Interne 2.2-DEFINIRE LO STATO TENSIONALE Consideriamo una piccola area ∆𝐴 (𝑧) (che ha come normale l’asse 𝑧) del corpo considerato nel paragrafo precedente, seguendo la figura: Sull’area ∆𝐴 agirà solo una porzione delle forze interne e quindi rappresentiamo una forza ∆𝐹 che si può scomporre nella componente normale ∆𝐹𝑛 e una componente tangenziale ∆𝐹𝑡 che a sua volta può essere scomposta lungo 𝑥 e 𝑦. Man mano che si diminuisce l’area ∆𝐴, la forza ∆𝐹 diminuisce (cioè quando ∆𝐴 → 0 anche ∆𝐹 → 0). Quella che segue è una quantità che tende ad un valore finito ed è alla base del Concetto di Stress o Tensione, che è una forza per unità di superficie che varia da punto a punto ma anche in base alla direzione della superficie sulla quale si considera il punto lim ∆𝐴→0 ∆𝐹 ∆𝐴 In particolare, si identificano due grandezze caratteristiche: Tensione Normale Agisce lungo l’asse 𝑧 che è sia la direzione della normale alla sezione sia la direzione lungo la quale agisce la forza 𝜎𝑧 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑛 ∆𝐴 Tensione Tangenziale Può essere scomposta lungo 𝑥 e 𝑦 Per identificare le due componenti bisogna conoscere la direzione della normale alla sezione sulla quale si sta calcolando lo stato tensionale (primo pedice) e la direzione lungo la quale agisce la forza (secondo pedice) 𝜏 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑡 ∆𝐴 = { lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑥 ∆𝐴 = 𝜏𝑧𝑥 lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑦 ∆𝐴 = 𝜏𝑧𝑦 Se oltre che sezionare un piano che ha come normale l’asse 𝑧, si seziona un piano che ha come normale l’asse 𝑦: Oltre l’area ∆𝐴(𝑧) considerata prima (che ha come normale l’asse 𝑧) consideriamo anche l’area ∆𝐴(𝑦) (che ha come normale l’asse 𝑦). Prendiamo in esame proprio quest’ultima: Avremo sempre una forza ∆𝐹 che avrà sempre una componente normale e due componenti tangenziali. Analogamente a quanto detto prima: { 𝜎𝑦 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑦 ∆𝐴 𝜏𝑦𝑥 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑥 ∆𝐴 𝜏𝑦𝑧 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑧 ∆𝐴 Ora, oltre le due sezioni già effettuate, sezioniamo anche con un piano che ha come normale l’asse 𝑥: Oltre l’area ∆𝐴(𝑧) (che ha come normale l’asse 𝑧) e l’area ∆𝐴(𝑦) (che ha come normale l’asse 𝑦) considerate prima, si può tener conto dell’area ∆𝐴(𝑥) (che ha come normale l’asse 𝑥) Analogamente a quanto detto prima: { 𝜎𝑥 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑥 ∆𝐴 𝜏𝑥𝑦 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑦 ∆𝐴 𝜏𝑥𝑧 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑧 ∆𝐴 Consideriamo di vedere il cubo/parallelepipedo dall’alto: Se proviamo a fare l’equilibrio alla rotazione attorno al punto verde, scriveremo che: ∆𝐹𝑥𝑦 ∙ ∆𝑥 − ∆𝐹𝑦𝑥 ∙ ∆𝑦 = 0 𝜏𝑥𝑦 ∙ ∆𝑦 ∙ ∆𝑧 ∙ ∆𝑥 − 𝜏𝑦𝑥 ∙ ∆𝑧 ∙ ∆𝑥 ∙ ∆𝑦 = 0 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 In generale si può applicare lo stesso procedimento agli altri piani e arrivare allo stesso risultato, meglio noto come Proprietà di Reciprocità delle Componenti Tangenziali di Tensione 𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑗𝑖 Una tensione tangenziale che agisce su una faccia è uguale alla tensione tangenziale che agisce su una faccia posta a 𝟗𝟎° rispetto alla prima. Questo fa si che delle sei componenti tangenziali, solo tre siano indipendenti. Quindi lo Stato Tensionale, misurato in Pascal (forza di 𝟏𝑵 misurata su una superficie di 𝟏𝑴𝟐) è univocamente definito da sei componenti cartesiane di tensione: tre componenti normali e tre tangenziali. { 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 = [ 𝑁 𝑚2 ] = [𝑃𝑎] Per inciso, le unità di misura delle grandezze strutturali sono espresse in Mega-Pascal: 1𝑁 𝑚𝑚2 = 106 𝑁 𝑚2 = 𝑀𝑃𝑎 2.4-CONVENZIONI SUI SEGNI Considerando un cubetto a cui è applicato lo Sforzo Normale, questo sforzo normale provoca una Tensione 𝝈. La Tensione 𝝈 è positiva se è di trazione (cioè tende a tirare, stretchare), mentre è negativa se è di compressione. Come già visto, la convenzione sul segno del Taglio non è molto rilevante e non lo è nemmeno per le Tensioni Tangenziali. Il segno che si dà alla Tensione Tangenziale segue il verso degli assi scelto durante la decisione del sistema di riferimento. Ad esempio, 𝜏𝑥𝑦, cioè la tensione che agisce lungo 𝑦 su una faccia che è normale all’asse 𝑥, è positiva se diretta nello stesso verso di 𝑦. Ovviamente la Tensione Tangenziale dipende dalla scelta arbitraria del sistema di riferimento, a differenza della Tensione Normale che è indipendente dal sistema di riferimento. 2.5-DUE ESEMPI SEMPLICI DI DEFINIZIONE DELLO STATO TENSIONALE BARRA SOGGETTA A TRAZIONE (ESEMPIO DI CALCOLO DI TENSIONE NORMALE) Consideriamo una barra di sezione circolare soggetta ad una forza esterna 𝑃 applicata al centroide (baricentro) della sezione. Facendo un focus sulla sezione su cui agisce lo sforzo normale, si nota che la sezione appare più rigonfiata, perché in prossimità del baricentro si stretcha di più. Inoltre, la parte inferiore della sezione trasversalmente si stringe e da un certo punto in poi la deformazione diventa uniforme. Le deformazioni variano da punto a punto. Al centro dell’asse, se si prova a fare una sezione (esattamente a metà), la sezione piana non si è deformata per effetto dello sforzo normale. Quindi ad una distanza sufficiente dal punto di applicazione della forza (o del vincolo) le sezioni rimangono piane. Se così non fosse allora si avrebbe una situazione del genere, per cui le parti evidenziate in blu (che si disegnano per simmetria) non combacerebbero e quindi non ci sarebbero i requisiti di integrità strutturale: Per calcolare il Momento risultante: 𝑀𝑥 = ∫ 𝑑𝐹 ∙ 𝑌 ∙ 𝑑𝐴 = ∫ 𝜎 ∙ 𝑌 𝑑𝐴 𝑑 𝐴 𝑑 𝐴 𝑀𝑦 = ∫ 𝑑𝐹 ∙ 𝑋 ∙ 𝑑𝐴 = ∫ 𝜎 ∙ 𝑋 𝑑𝐴 𝑑 𝐴 𝑑 𝐴 Considerando che 𝜎 = 𝑐𝑜𝑠𝑡. si può portare fuori dal segno di integrale e si arriverà ad individuare dei Momenti Statici. Inoltre, poiché ci sono Momenti applicati alla trave, segue che 𝑀𝑥 = 0 e 𝑀𝑦 = 0 Ma questo si capisce perché i Momenti Statici, se gli assi sono baricentrici, valgono 0 𝑀𝑥 = 𝜎∫ 𝑌 𝑑𝐴 = 0 = 𝜎𝑆𝑥 = 0 𝑑 𝐴 𝑀𝑦 = 𝜎∫ 𝑋 𝑑𝐴 = 0 = 𝜎𝑆𝑦 = 0 𝑑 𝐴 Se la forza passa per il baricentro, l’equilibrio impone che il momento sia nullo. Se avessimo una forza che è decentrata rispetto al baricentro, questa forza genererà dei momenti. ESEMPIO DI CALCOLO DI TENSIONE TANGENZIALE MEDIA Consideriamo di prendere un blocchetto (come, ad esempio, una gomma) e immaginiamo di incollare le estremità a due superfici molto rigide. È applicata una forza esattamente al centro di questo blocchetto: Ci si aspetta che la parte del blocchetto che non è supportata tenda a scendere verso sotto (parte tratteggiata). Applicando il metodo delle sezioni (tagliando con i piani rossi), immaginiamo di considerare solamente il blocchetto libero di deformarsi: Agiranno allora delle forze di taglio 𝐹 2 , che sono forze interne localmente e puntualmente supportate da tensioni tangenziali distribuite ad esempio sulla superficie laterale che si va a zoomare qui sotto. Il taglio genera le tensioni tangenziali Di quella superficie laterale si considera un’area 𝑑𝐴 sulla quale agirà una tensione 𝜏 tale per cui: ∫ 𝜏 𝑑𝐴 = 𝐹 2 = 𝑇 𝑑 𝐴 Assumendo per ipotesi che 𝜏 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝜏𝐴𝑉𝐺 (dove il pedice 𝐴𝑉𝐺 sta per 𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒, cioè 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎): ∫ 𝜏𝐴𝑉𝐺 𝑑𝐴 = 𝑇 → 𝑑 𝐴 𝜏𝐴𝑉𝐺 ∫ 𝑑𝐴 = 𝑇 → 𝑑 𝐴 𝜏𝐴𝑉𝐺 = 𝑇 𝐴 La distribuzione delle tensioni tangenziali, in realtà in questo caso, è tutt’altro che costante. Proviamo a comprendere perché e consideriamo un blocchetto della superficie indicata: Immaginando che ci sia questa tensione tangenziale (in giallo), per la condizione di reciprocità delle componenti tangenziali di tensione, ci sarà anche la tensione tangenziale segnata in rosso. Ma in realtà la tensione tangenziale rossa non c’è, ci sarebbe solo nel caso in cui fosse applicata dall’esterno. Prendendo invece un elementino interno: Proponendo il medesimo ragionamento e immaginando che ci sia la tensione tangenziale in giallo, e quindi di conseguenza che ci sia la tensione tangenziale in rosso, questa volta la tensione tangenziale in rosso c’è. È come se si avesse una trave formata da 5 assi di legno sovrapposte: se applichiamo una forza si deformano, ma nella deformazione queste assi di legno scorrono una rispetto all’altra, scivolano. Se le si incollano (il che non vuol dire che si aggiunge del materiale o la sezione trasversale cambia forma), il blocco è estremamente più rigido perché quella colla fa si che all’interno di quella faccia si trasmettano tensioni tangenziali che fanno si che le due sezioni non possano scivolare una rispetto all’altra. Questo esempio rende l’idea su come sui piani trasversali nascono sempre le tensioni tangenziali, cosa che però non c’è sulla superficie esterna, che presenta tensioni tangenziali solo nel caso in cui queste vi venissero applicate. Quindi, grossolanamente, il taglio medio 𝜏𝐴𝑉𝐺 lo si può calcolare come rapporto tra il taglio e l’area, ponendo attenzione al fatto che non si tratta di una tensione tangenziale puntuale, che sarà massima al centro e nulla alle estremità. 3.3-DEFORMAZIONE NORMALE Vediamo un esempio quasi uguale a quello di prima con lo scopo di rispondere al primo dei due punti sopra illustrati (Variazione Distanza tra due punti del corpo, Variazione Volume) La deformazione è direzionale, perché si sta considerando la variazione di distanza tra un punto 𝐴 e un punto 𝐵 diretta lungo una certa direzione 𝑛. Lungo direzioni differenti ci possono essere deformazioni differenti. Ad esempio, in una barra soggetta a trazione, due punti posti sull’asse verticale della barra si allontanano tra loro, mentre due punti posti orizzontalmente uno accanto all’altro si avvicinano. Si può definire una Deformazione Normale Media 𝜺𝒏𝑨𝑽𝑮 (𝑛 perché si ha una variazione di distanza lungo la direzione 𝑛) in questo modo: 휀𝑛𝐴𝑉𝐺 = ∆𝑠′ − ∆𝑠 ∆𝑠 Questa è una deformazione media, percentuale; poiché la deformazione varia puntualmente quello che si fa per trovare la Deformazione Normale 𝜺𝒏 è: 휀𝑛 = lim ∆𝑠→0 ∆𝑠′ − ∆𝑠 ∆𝑠 Si comprende che la Deformazione Normale è adimensionale Si parla di Deformazione “Normale” perché due punti si allontanano o si avvicinano l’un l’altro se c’è una forza che tende a tirarli (forza di trazione) o a comprimerli (forza di compressione) l’uno rispetto all’altro. Quindi questo implica che quella Deformazione Normale è generata da una Tensione Normale. Se i punti si allontanano la Deformazione è positiva, ma i punti si allontanano se c’è una tensione di trazione, e quindi la Tensione è positiva… Se i punti si avvicinano la Deformazione è negativa, ma i punti si avvicinano se c’è una tensione di compressione, e quindi la Tensione è negativa… 3.3-DEFORMAZIONE TANGENZIALE Vediamo un esempio quasi uguale a quello di prima con lo scopo di rispondere al secondo dei due punti sopra illustrati (Variazione Angolo tra due direzioni, Variazione Forma) Può accadere che, oltre alla variazione di lunghezza dei segmenti 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 in 𝐴′𝐵′ e 𝐴′𝐶′, ci sia anche una variazione di angolo. Si può considerare che: lim 𝐶→𝐴 𝐵→𝐴 𝜗 = 𝜗′ Si può definire la Deformazione Tangenziale, generata dalla Tensione Tangenziale: 𝛾𝑛𝑡 = 𝜋 2 − 𝜗′ Una Deformazione Tangenziale è una variazione di angolo tra due direzioni poste originariamente a 𝟗𝟎° una rispetto all’altra e si misura in radianti (è un angolo). 3.4-COMPONENTI CARTESIANE DELLO STATO DI DEFORMAZIONE Consideriamo un cubetto nello spazio 𝑥𝑦𝑧, avviene una deformazione e il cubetto varia in forma e volume, con angoli tra i suoi assi che non sono più di 90°. Ci saranno tre componenti di Deformazione Normale che esprimono, per un determinato punto, quanto varia la distanza lungo 𝒙, 𝒚 e 𝒛: { 휀𝑥 휀𝑦 휀𝑧 Ci saranno anche tre componenti di Deformazione Tangenziale: { 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧 Quindi lo Stato di Deformazione, in un punto del corpo, è identificato da 6 componenti cartesiane: 휀 = { 휀𝑥 휀𝑦 휀𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧