Sviluppi di McLaurin - Schemi, Schemi riassuntivi di Analisi. Università di Roma Tor Vergata
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val3 maggio 2010

Sviluppi di McLaurin - Schemi, Schemi riassuntivi di Analisi. Università di Roma Tor Vergata

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Sviluppi di mclaurin, schemi riassuntivi.
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Alcuni sviluppi di McLaurin notevoli (si sottintende ovunque che i resti sono trascurabili per x→ 0)

ex = 1 + x+ x2

2! + x3

3! + · · ·+ x

n

n! + o (xn) =

n

k=0

xk

k! + o (xn)

sinhx = x+ x3

3! + x5

5! + · · ·+ x

2n+1

(2n+ 1)! + o x2n+2 =

n

k=0

x2k+1

(2k + 1)! + o x2n+2

coshx = 1 + x2

2! + x4

4! + · · ·+ x

2n

(2n)! + o x2n+1 =

n

k=0

x2k

(2k)! + o x2n+2

tanhx = x− 1 3 x3 +

2

15 x5 + o x6

ln (1 + x) = x− x 2

2 + x3

3 − x

4

4 + · · ·+ (−1)n−1 x

n

n + o (xn) =

n

k=1

(−1)k−1 x k

k + o (xn)

sinx = x− x 3

3! + x5

5! + · · ·+ (−1)n x

2n+1

(2n+ 1)! + o x2n+2 =

n

k=0

(−1)k x 2k+1

(2k + 1)! + o x2n+2

cosx = 1− x 2

2! + x4

4! + · · ·+ (−1)n x

2n

(2n)! + o x2n+1 =

n

k=0

(−1)k x 2k

(2k)! + o x2n+1

tanx = x+ 1

3 x3 +

2

15 x5 + o x6

arcsinx = x+ 1

6 x3 +

3

40 x5 + · · ·+ −1/2

n

x2n+1

2n+ 1 + o x2n+2 =

n

k=0

−1/2 k

x2k+1

2k + 1 + o x2n+2

arccosx = π

2 − arcsinx

arctanx = x− x 3

3 + x5

5 + · · ·+ (−1)n x

2n+1

2n+ 1 + o x2n+2 =

n

k=0

(−1)k x 2k+1

2k + 1 + o x2n+2

(1 + x)α = 1 + αx+ α

2 x2 +

α

3 x3 + · · ·+ α

n xn + o (xn) =

n

k=0

α

k xk + o (xn)

1

1 + x = 1− x+ x2 − x3 + x4 + · · ·+ (−1)n xn + o (xn) =

n

k=0

(−1)k xk + o (xn)

1

1− x = 1 + x+ x 2 + x3 + x4 + · · ·+ xn + o (xn) =

n

k=0

xk + o (xn)

√ 1 + x = 1 +

1

2 x− 1

8 x2 +

1

16 x3 + · · ·+ 1/2

n xn + o (xn) =

n

k=0

1/2

k xk + o (xn)

1√ 1 + x

= 1− 1 2 x+

3

8 x2 − 5

16 x3 + · · ·+ −1/2

n xn + o (xn) =

n

k=0

−1/2 k

xk + o (xn)

3 √ 1 + x = 1 +

1

3 x− 1

9 x2 +

5

81 x3 + · · ·+ 1/3

n xn + o (xn) =

n

k=0

1/3

k xk + o (xn)

1 3 √ 1 + x

= 1− 1 3 x+

2

9 x2 − 7

81 x3 + · · ·+ −1/3

n xn + o (xn) =

n

k=0

−1/3 k

xk + o (xn)

Si ricordi che ∀α ∈ R si pone α 0

= 1 e α

n =

n fattori

α (α− 1) · · · (α− n+ 1) n! se n ≥ 1.

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