Liczby zespolone, operacje - Ćwiczenia - Analiza zespolona, Notatki'z Analiza zespolona. University of Bialystok
chomik_82
chomik_8215 March 2013

Liczby zespolone, operacje - Ćwiczenia - Analiza zespolona, Notatki'z Analiza zespolona. University of Bialystok

PDF (97.4 KB)
1 strona
758Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy zespolonej: liczby zespolone, operacje.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza zespolona

Lista 1

Wprowad¹my na zbiorze R2 uporz¡dkowanych par liczb rzeczywistych nast¦puj¡ce dzia- ªania + i ·:

(a, b) + (c, d) := (a + b, c + d), (a, b) · (c, d) := (ac− bd, ad + bc).

Trójka (R2, +, ·) jest ciaªem. Ciaªo to nazywamy ciaªem liczb zespolonych i oznaczamy przez C. Elementy ciaªa C nazywamy liczbami zespolonymi. Uto»samiaj¡c liczb¦ a z par¡ (a, 0) otrzymujemy naturalne zanurzenie ciaªa liczb rzeczy- wistych w ciaªo liczb zespolonych. Przyjmuj¡c oznaczenia: a := (a, 0), i := (0, 1), liczba zespolona przybiera posta¢

z = (a, b) = a + ib, gdzie i2 = i · i = −1.

Liczb¦ a, w tym przedstawieniu, nazywamy cz¦±ci¡ rzeczywist¡ i oznaczamy Re z, nato- miast liczb¦ b nazywamy cz¦±ci¡ urojon¡ i oznaczamy Im z. 1

Liczb¦ zespolon¡ (a,−b) = a − ib nazywamy sprz¦»on¡ z liczb¡ z = (a, b) = a + ib i oznaczamy z.

Zad 1. Wykaza¢, »e dla z, w ∈ C zachodzi a) z = z, d) Re z = z+z

2 ,

b) z + w = z + w, e) Im z = z−z 2i

, c) z · w = z · w, f) z · z = (Re z)2 + (Im z)2.

Zad 2. Przedstawi¢ liczb¦ zespolon¡ w postaci biegunowej (trygonometrycznej).

Zad 3. Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ mno»enia dwu liczb zespolonych. Wyci¡gn¡¢ st¡d nast¦puj¡ce wnioski:

1) |z · w| = |z| · |w|, dla dowolnych z, w ∈ C,

2) |z|2 = zz, dla ka»dego z ∈ C,

3) wzór Moivre'a: zn = |z|n ( cos(nϕ) + i sin(nϕ)

) , gdzie ϕ = arg z,

4) istnieje dokªadnie n pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej a 6= 0.

Zad 4. Wyznaczy¢ sum¦ oraz iloczyn wszystkich pierwiastków n-tego stopnia z jedynki.

Zad 5. Korzystaj¡c z wªasno±ci moduªu i sprz¦»enia liczb zespolonych wykaza¢, »e dla dowolnych z, w ∈ C zachodzi:

1) |z + w| ≤ |z| + |w| (nierowno±¢ trójk¡ta),

2) ∣∣∣|z| − |w|∣∣∣ ≤ |z − w|,

3) |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2) (to»samo±¢ równolegªoboku).

1Re od realis, Im od imaginaris

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome