Całki niewłaściwe - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Całki niewłaściwe - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University

PDF (113.9 KB)
4 strony
382Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru analizy matematycznej: całki niewłaściwe.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 4
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Całki niewłaściwe I. Całki niewłaściwe w przedziale nieskończonym.

Niech funkcja f będzie określona w przedziale ), a i całkowalna w każdej skończonej części

 Ta, tego przedziału. Granicę  T

a T

dxxf )(lim nazywamy całką funkcji f w granicach od a do

nieskończoności i oznaczamy symbolem  

a

dxxf )( . W przypadku, gdy granica ta jest skończona,

mówimy, że całka jest zbieżna. Jeżeli granica jest nieskończona lub nie istnieje, to mówimy, że

całka jest rozbieżna.

Poniżej podamy kilka przykładów badania zbieżności całek niewłaściwych.

Rachunki wykonamy za pomocą kalkulatora ClassPad 300 Plus.

Przykład 1. Zbadać zbieżność całki

 

0 1 dx

x x

Zgodnie z definicją, liczymy całkę

  T

dx x

x

0 1

oraz granicę

Zatem całka jest rozbieżna.

Przykład 2. Zbadać zbieżność całki

 

1 )3( xx dx

Zgodnie z definicją, liczymy całkę

  T

xx dx

1 )3(

oraz granicę

Zatem całka jest zbieżna.

II. Całki funkcji nieograniczonych.

Jeżeli przedział  ba, zawiera punkt ),( bac , w którego otoczeniu funkcja f jest

nieograniczona, to całkę niewłaściwą funkcji f w przedziale  ba, określamy jako

 

 

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

 )(lim)(lim)(

00

W przypadku, gdy ac  lub bc  , znika jeden ze składników.

Przykład 3. Zbadać zbieżność całki

  1

0 21 x

dx

W tym przypadku

 

  

1

0 20

1

0 2 1

lim 1 x

dx x

dx

Ponieważ

  21ln

2 12ln

2 1

2 ln

2 2ln

 

 

oraz

więc całka jest rozbieżna.

Przykład 4. Zbadać zbieżność całki

  2

0 2 34xx

dx

Ponieważ )3)(1(342  xxxx , więc

  2

1

1

0

2

0

2

0 2 )3)(1()3)(1()3)(1(34 xx

dx xx

dx xx

dx xx

dx

Zbadajmy zbieżność pierwszej całki:

 

  



1

0 0

1

0 )3)(1( lim

)3)(1( xx dx

xx dx

Rozumując jak w Przykładzie 3 stwierdzamy, że pierwsza całka jest rozbieżna.

Nie ma więc potrzeby badania zbieżności drugiej całki.

Ostatecznie, dana całka jest rozbieżna.

Przykład 5. Zbadać zbieżność całki

 1

0

ln dx x x

Zgodnie z definicją mamy

 

 

1

0 0

1

0

lnlimln

 

dx x xdx

x x

Ponieważ

oraz

   

2

0 lnlim 

więc nasza całka jest rozbieżna.

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome