Twierdzenie Craméra-Rao - Notatki - Statystyka opisowa, Notatki'z Statystyka opisowa. Poznan University of Economics
atom_86
atom_8611 March 2013

Twierdzenie Craméra-Rao - Notatki - Statystyka opisowa, Notatki'z Statystyka opisowa. Poznan University of Economics

PDF (235.8 KB)
2 strony
616Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu statystyki opisowej: twierdzenie Craméra-Rao; dowód.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Twierdzenie Craméra-Rao. Niech   :P będzie rodziną rozkładów

na przestrzeni próby,  parametrem liczbowym a przestrzeń parametrów

 przedziałem na prostej. Jeżeli spełnione są pewne warunki regularności,

to wariancja każdego estymatora nieobciążonego ̂ parametru  spełnia

nierówność

  .ˆ 1   IV przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

      ,ˆ,ln 



  xa

xp

wtedy   . Ia

Twierdzenie. Jeżeli  nXXX ,,, 21 X jest prostą próbą losową z

populacji o rozkładzie normalnym  ,N , to

a) X n

X i i

n

 

 1

1

ma rozkład normalny  

  

n

 ,N ;

b)  

2

21

sn  , ma rozkład chi-kwadrat 2 1n z (n-1) stopniami swobody,

gdzie   

 

n

i

i XX n

s 1

22

1

1 ;

c) n X

s

 ma rozkład t[n-1] t-Studenta z (n-1) stopniami swobody;

d) statystyki X i s2 są niezależne.

Dowód. Własność a) jest oczywista i wynika stąd, że kombinacja liniowa

zmiennych losowych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny.

b) i d). Bez straty ogólności można założyć, że =0 a =1. Istotnie

    ,1

11 2

1

2

1

2

1 2

2

Ysn X

n

XXXsn n

i

n

i

ii n

i

i    

  

 

  

   

  

  

  

  

     



gdzie  nYYY ,,, 21 Y jest prostą próbą losową z populacji o rozkładzie

N(0,1). Rozważmy następujące przekształcenie ortonormalne ( C C IT  n)

. 1

gdzie , 11211

1

111

n ccc

cc

cc

n

nnn

n



  

  

 



C

Zgodnie z założeniem

  .E oraz E tzn.,,N~ 1

nn

nX

X

IXX0XI0X T 

  

  

 

Ponieważ przekształcenie ortonormalne jest izometrią, to C X X  ,

docsity.com

gdzie  oznacza n-wymiarową normę euklidesową. Oczywiście Y C X 

jest wektorem normalnym  nI0,N . Wystarczy zauważyć, że wektor

wartości oczekiwanych E E EY C X C X 0     a macierz kowariancyjna E E EYY C XX C C XX C C C IT T T T T T       n .

Zatem zmienne losowe Yi , i=1,...,n są niezależne o jednakowym rozkładzie

N(0,1). Macierz C została zdefiniowana w ten sposób, że

. 11

11 XnX n

X n

Y n  

Jednocześnie mamy

      .1 22 1

2

1

22 XnXXXXsn n

n

i

i   

Ponieważ Y X , to

    .1 22221221 2

22

1

2

nnn YYYYYXnXXsn  

Tym samym   21 sn , ma rozkład chi-kwadrat 2 1n i jest niezależne od

X .

c) Podobnie, bez straty ogólności, możemy założyć, że =0 a =1. n X

s

jest ilorazem dwóch niezależnych zmiennych losowych, jednej o standardowym rozkładzie normalnym i drugiej będącej pierwiastkiem z

ilorazu zmiennej o rozkładzie chi-kwadrat z (n-1) stopniami swobody

podzielonej przez (n-1). Zatem jest to rozkład t-Studenta z (n-1)

stopniami swobody.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome