Twierdzenie Stokesa - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Twierdzenie Stokesa - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (185.6 KB)
1 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: twierdzenie Stokesa.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza matematyczna III Lista 7

Zad 1. Niech S = {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ U}, gdzie f jest funkcją klasy C1 na zbiorze otwartym U ⊂ R2, oraz niech ω = P dy ∧ dz +Qdz ∧ dx+ Rdx ∧ dy będzie 2-formą określoną na płacie S. Sprawdzić słuszność wzoru∫

S

ω =

∫∫ U

R1(x, y)− P1(x, y) ∂f

∂x (x, y)−Q1(x, y)

∂f

∂y (x, y) dxdy,

gdzie P1(x, y) = P (x, y, f(x, y)) oraz analogicznie dla funkcji Q1, R1.

Zad 2. Obliczyć ∫ Sk

k ω dla następujących form

k ω oraz k-łańcuchów Sk zadanych parametrycznie

Φ : P k → Sk, gdzie

a) 0 ω (x) = x P 0 = {0} Φ(0) = 2

b) 1 ω (x) = (1− x) dx P 1 = [0, π2 ] Φ(t) = sin t

c) 0 ω (x, y) = x+ y P 0 = {0} Φ(0) = (1, 2)

d) 1 ω (x, y) = dx+ x dy P 1 = [0, 1] Φ(t) = (1 + t, t2)

e) 2 ω (x, y) = xy dx ∧ dy P 2 = [1, 2]× [0, 2π] Φ(t1, t2) = (2 + t1 cos t2, t1 sin t2)

f) 1 ω (x, y, z) = dx+ dy + dz P 1 = [π, 3π] Φ(t) = (2 cos2 t, 5, 1 + e−t)

g) 2 ω (x, y, z) = x dx ∧ dy + dx ∧ dz P 2 = [0, 2π]× [0, π2 ] Φ(t1, t2) = (sin t1 cos t2, sin t1 sin t2, cos t2)

h) 3 ω (x, y, z) = dx ∧ dy ∧ dz P 3 = [0, 1]× [0, 1]× [0, 3] Φ(t1, t2, t3) = (t1t2, t1, t1t3)

Zad 3. Obliczyć ∫ s ω dla następujących form ω oraz łańcuchów s

a) ω = x21 dx2 ∧ dx3 + x22 dx3 ∧ dx1 + x23 dx1 ∧ dx2, s jest zewnętrzną stroną [0, 1]3.

b) ω = (x31 + x32) dx2 ∧ dx3 + dx3 ∧ dx1 + dx1 ∧ dx2, s jest zewnętrzną stroną powierzchni ograniczającej obszar {(x1, x2, x3) : x21 + x22 < 1, |x3| < 1}.

c) ω = dx2 ∧ dx3 + dx3 ∧ dx1 + sin x3dx1 ∧ dx2, s ogranicza obszar x21 + x22 < 1− |x3|, |x3| < 1 i jest skierowana do wewnątrz.

d) ω = x2 dx1 − x1 dx2 + dx3, s jest krzywą (0, 2π] 3 t 7→ ((1 + cos t) cos t, (1 + cos t) sin t, 1 + cos t) ∈ R3.

e) ω = x21 dx1 + x22 dx2 + x23 dx3, s jest krzywą (0, 2π] 3 t 7→ (cos t, sin t, sin2 t) ∈ R3.

Zad 4. Obliczyć pochodną zewnętrzną następujących form na R3

a) ω(x, y, z) = cos(x+ y), b) ω(x, y, z) = 1 1+x2

dy + √

1 + exz dx,

c) ω(x, y, z) = sin(xy)dy ∧ dz + ex2−y2−z2dx ∧ dz, d) ω(x, y, z) = sin(xyz)dx ∧ dy ∧ dz.

Zad 5. Sprawdzić twierdzenie Stokesa na R2, biorąc:

a) 0 ω (x, y) = 1

x2+y2 , s1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, y ≥ 0}.

b) 1 ω (x, y) = 1

1+y dx+ dy, s2 = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x, 1 ≤ x+ y ≤ 5}.

c) 1 ω (x, y) = 2x dy + dx, s2 = {(x, y) ∈ R2 : |x− 3| ≤ 3, |y| ≤ 2, x2 + 4y2 ≥ 4}.

Zad 6. Sprawdzić twierdzenie Stokesa w R3, biorąc:

a) 0 ω= log(xyz), s1 - krzywa [1, 2] 3 t 7→ (t+ 1, t4, 4t).

b) 1 ω= ex+y+zdx+ dz, s2 = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ |x| ≤ 2, 1 ≤ |y| ≤ 2, y + z = 1}.

c) 2 ω= x2dy∧dz+ y2dx∧dz+ z2dx∧dy, s3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤

√ x2 + y2}.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome